A. 準圧縮方程式系の導出

1 基礎方程式

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで 決まることになる. このような系では温位 4#4 が保存量として使える.

1 気温 1#1, 密度 2#2, 風速 3#3 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 1#1, 圧力 5#5, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式

 

122#122 (36)

123#123 (37)

連続の式

 

124#124 (38)

密度の式(状態方程式)

 

125#125 (39)

熱の式

 

126#126 (40)

凝縮成分の混合比保存式

 

127#127 (41)

128#128 (42)

129#129 (43)

ここで 130#130, 59#59, 131#131 は単位質量当たりの乾燥成分の 気体定数, 定圧比熱, 密度であり, 132#132 は非断熱加熱, 40#40 は気体成分の混合比, 41#41 は雲水混合比, 43#43 は雨水混合比である. 133#133 は, 凝縮成分の数だけ存在する. 134#134, 38#38, 39#39 を付けた項はそれぞれ 拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている.

30#30 11#11 135#135

11#11 136#136 (44)

ただし, 137#137, 41#41, 43#43 はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 138#138 は.

139#139 11#11 140#140

11#11 141#141

11#11 142#142

11#11 143#143

となるので,

144#144 (45)

である. 但し 145#145 は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. rho:rho, rho:rho_d 式より,

30#30 11#11 146#146 (46)

となる.

と定義すると, rho:p-T_1 式は以下のように書ける.

30#30 11#11 148#148 (47)

また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,

30#30 11#11 149#149

11#11 150#150 (48)

である. 但しエクスナー関数 6#6 は 151#151 の関係を満たす.

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は

152#152 (49)

である. ここで 1#1 は温度, 5#5 は圧力, 153#153 は単位質量当たりの比熱, 154#154 は比容である. theta1 式の 154#154 は, 理想気体の状態方程式を用いると,

155#155 (50)

と書ける. ここで 145#145 は分子量, 156#156 は気体定数である. theta1 式に theta2 式を代入し整理すると,

157#157 (51)

となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので 153#153 と 156#156 は共に 5#5 に依存しない. 一般に 153#153 は 1#1 の関数であるが, 153#153 を定数とみなすと,

158#158 11#11 159#159

160#160 11#11 161#161

162#162 11#11 163#163 (52)

となり, 温位が得られる.

2 温位 4#4, 圧力 5#5, 風速 3#3 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 4#4, 圧力 5#5, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

164#164 (53)

165#165 (54)

圧力方程式

 

166#166 (55)

密度の式(状態方程式)

 

167#167 (56)

熱の式

 

168#168 (57)

凝縮成分の混合比の保存式

 

169#169 (58)

170#170 (59)

171#171 (60)

ただし温位 4#4 は

172#172 (61)

であり, 仮温位 33#33 は,

173#173 (62)

である. 音速 174#174 は

175#175 (63)

である. 59#59 と 176#176 はそれぞれ単位質量当たりの 乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, 177#177 という 関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を 178#178 として 2#2 の全微分を求める.

179#179 11#11 180#180

11#11 181#181

11#11 182#182 183#183

11#11 184#184 (64)

となる. pressure:theta-p:drho 式を圧力の式として整理すると,

であり, 連続の式を用いると,

となり, 圧力方程式が得られる.

3 温位 4#4, 無次元圧力 6#6, 風速 3#3 を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 4#4, 無次元圧力 6#6, 風速 3#3, 密度 2#2 で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 equations:continue と状態方程式 equations:rho を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式

 

187#187 (65)

188#188 (66)

圧力方程式

 

189#189 (67)

状態方程式

 

190#190 (68)

熱の式

 

191#191 (69)

水蒸気および水物質混合比の式

 

192#192 (70)

193#193 (71)

194#194 (72)

ただし, エクスナー関数 6#6 は,

195#195 (73)

であり, 音速 174#174 は

196#196 (74)

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.

197#197 11#11 198#198

11#11 199#199

11#11 200#200

11#11 201#201

11#11 202#202 (75)

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を 203#203 として 2#2 の全微分を計算する.

179#179 11#11 204#204

11#11 205#205

11#11 206#206 207#207

11#11 208#208 209#209

11#11 210#210

11#11 211#211 (76)

となる. pressure:theta-pi:drho 式を圧力の式として整理すると,

212#212 (77)

となり, 連続の式を用いると,

213#213 (78)

となり, 圧力方程式が得られる.

2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

但し, 222#222 とし, 基本場の風速 3#3 と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡,

223#223 (79)

の関係が成り立つものとする.

2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は 7#7 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.

225#225 11#11 226#226

11#11 227#227 (80)

ここで 228#228 は,

229#229 (81)

である.

3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.

さらに静水圧の式を利用すると以下となる.

232#232 11#11 233#233

11#11 234#234

ここで 235#235 は,

236#236 11#11 237#237

11#11 238#238 (82)

であり, DTheta 式の第 2 項を計算すると,

239#239 11#11 240#240

11#11 241#241 242#242

11#11 243#243

であり, DTheta 式の第 3 項を計算すると,

244#244 11#11 245#245

11#11 246#246

であり, DTheta 式の第 4 項を計算すると,

247#247 11#11 248#248

11#11 246#246

となるので,

249#249 (83)

である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 全量を平均成分に置き換えることで,

250#250 (84)

となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 251#251 の式は以下のように書ける.

232#232 11#11 252#252 253#253

4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝縮に伴う圧力変化を無視し,

として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので, この近似を用いることとした.

圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成 分よりも十分小さいという仮定を用い, 255#255, 256#256 とする.

上式では 35#35 を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を 無視すると, 258#258 と等しくなることを利用している.

259#259 11#11 260#260

261#261 262#262

11#11 263#263

261#261 264#264 (85)

ただし 265#265, 266#266 であることを用いた. 平均成分は 8#8 にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.

さらに 6#6 を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる.

268#268 11#11 269#269

11#11 270#270

11#11 271#271

11#11 272#272

以上より,

273#273 (86)

である.

5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

ここで平均場の量は 8#8 の関数であることを用いると,

275#275 (87)

となる.

6 混合比の保存式の線形化

凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに 等しい.

276#276 (88)

277#277 (89)

278#278 (90)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す 279#279 は 除いた.

運動方程式

 

10#10 11#11 280#280 (91)

13#13 11#11 281#281

282#282 (92)

圧力方程式

 

283#283 (93)

熱の式

 

284#284 (94)

凝縮成分の混合比の保存式

 

285#285 (95)

286#286 (96)

287#287 (97)