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1. 基礎方程式系

本数値モデルは水平・鉛直の 2 次元モデルである. 水平方向の座標変数を $x$, 鉛直方向の座標変数を $z$ と表し, 時間方向の変数は $t$ と表す.

1.1 運動方程式・圧力方程式・熱の式・混合比の保存式

力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系(Klemp and Wilhelmson,1978)を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 方程式中の変数は付録 D に示す.

以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮しない. また圧力方程式では非断熱加熱による大気の膨張と, 凝縮に伴う圧力変化を無視している.

運動方程式

$\displaystyle \DP{u}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x}
+ Turb.u$ (1.1)
$\displaystyle \DP{w}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{z}
+ Turb.w$  
    $\displaystyle + \left(
\frac{\theta}{\bar{\theta}}
+ \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/...
...
- \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
{1 + \sum \bar{q_{v}}}
\right) g$ (1.2)

圧力方程式

$\displaystyle \DP{\pi}{t}
= - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} \bar{\theta_{v}}^{2}}
\DP{}{x_{j}}(\bar{\rho} \bar{\theta_{v}} u_{j})$     (1.3)

熱の式

$\displaystyle \DP{\theta}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{\theta}{x} + w \DP{\theta}{z} \right)
- w\DP{\bar{\theta}}{x}
+ \Dinv{\bar{\pi}} \left(Q_{cnd} + Q_{rad} + Q_{dis}\right)$  
    $\displaystyle + Turb.\bar{\theta}
+ Turb.\theta$ (1.4)

混合比の保存式

$\displaystyle \DP{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right)
- w\DP{\bar{q_{v}}}{x}
+ Src.q_{v} + Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}},$ (1.5)
$\displaystyle \DP{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
+ Src.q_{c} + Turb.q_{c}$ (1.6)
$\displaystyle \DP{q_{r}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
+ Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$ (1.7)

ただし, $\bar{~}$ の付いた変数は水平一様な基本場であることを示し, 上付き添え字 $c$ は個々の凝縮成分を示す.

エクスナー関数 $\pi $

\begin{displaymath}
\pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}
\end{displaymath} (1.8)

温位 $\theta $

$\displaystyle \theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}
= \frac{T}{\pi}$     (1.9)

密度 $\rho $

$\displaystyle \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{R_{d}T}
\left(
\frac{1/{M_{d}}}
{1/M_{d} + \sum{{q_{v}}/{M_{v}}}} \right)
\left( 1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{R_{d}T_{v} }
=
\frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}$ (1.10)

仮温位 $\theta_{v}$

$\displaystyle \theta_{v} =
\frac{\theta}{
\left( \frac{1/M_{d}}
{1/M_{d} + \sum...
...v}}/{M_{v}}}} \right)
\left( 1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} \right) }$     (1.11)

音波速度 ${C_{s}}^{2}$

    $\displaystyle {C_{s}}^{2}
= \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v}$ (1.12)

1.2 雲微物理過程のパラメタリゼーション

方程式系に含まれる凝縮による加熱項 $Q_{cnd}$, 生成項 $Src$, 落下項 $Fall$ の評価は, 中島(1998)で用いられた Kessler (1969) のパラメタリゼーションに従う.

暖かい雨のバルク法のパラメタリゼーションでは, 気相と凝縮相を以下の 3 つのカテゴリーに分ける.
記号 意味 内容
$q_{v}$ 気相の混合比 気体の状態で大気中に存在する水
$q_{c}$ 雲水混合比 落下速度がゼロな液体の粒子で, 実際の大気中の 雲粒に対応する.
    通常 100 $\mu$m 以下の微小な流体粒子である.
$q_{r}$ 雨水混合比 有意な落下速度を持つ液体の粒子で, 実際の 大気中の雨粒に対応する.

そして, 微物理素過程として以下を考慮する. ただし, これらの量は全て正の値として定義され, 水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.
記号 内容
$CN_{vc}$ 凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation)
$EV_{cv}$ 蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation)
$EV_{rv}$ 蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation)
$CN_{cr}$ 併合成長による雲水から雨水への変換.
  併合や水蒸気拡散により, 雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation)
$CL_{cr}$ 衝突併合による雲水から雨水への変換. 大水滴が小水滴を衝突併 合する (collection)
$PR_{r}$ 雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (Precipitation)

この微物理素過程を用いて (1.5) - (1.7) 式を書き直すと, 以下のようになる.

$\displaystyle \DP{\theta}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{\theta}{x} + w \DP{\theta}{z} \right)
- w\DP{\bar{...
...x}
+ \frac{L}{{c_{p}}_{d} \bar{\pi}} \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{\bar{\pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right)
+ Turb.\bar{\theta}
+ Turb.\theta$ (1.13)
$\displaystyle \DP{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right)
- w\DP{\bar{q_{v}}}{x}
- \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)$  
    $\displaystyle + Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}},$ (1.14)
$\displaystyle \DP{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
+ ( CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr}) + Turb.q_{c},$ (1.15)
$\displaystyle \DP{q_{r}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
+ (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv} ) + PR_{r} + Turb.q_{r}$ (1.16)

ここで, $\gamma = L_{v}/ ({c_{p}}_{d} \pi)$ であり, $L_{v}$ は水の蒸発の潜熱[J K$^{-1}$ kg$^{-1}$], ${c_{p}}_{d}$ は乾燥大気の定圧比熱[J K kg$^{-1}$], $\pi $ はエクスナー関数である.

微物理素過程は以下のように定式化する.

水蒸気と雲水の間の変換: $-CN_{vc} + EV_{cv}$
 
雲水は粒が小さく, 水蒸気との間で瞬間的に飽和調節が起こるもの とする. すなわち, 移流などの項を計算した後の温度と水蒸気量が 過飽和状態となっている場合には, ちょうど飽和になる量の水蒸気 を凝縮させる. 一方, 移流などの項を計算した後に, 雲水が存在す るにも拘わらず未飽和になっている場所では, ちょうど飽和になる 量の雲水を蒸発させる.

雲水の併合成長: $CN_{cr}$
 
Kessler (1969) に従って, 以下のように与える.
    $\displaystyle CN_{cr} = ( q_{c} - q_{c0} ) / \tau _{ac}$ (1.17)

雲水の衝突併合: $CL_{cr}$
 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.
    $\displaystyle CL_{cr} = 2.2 q_{c} (\bar{\rho} q_{r})^{0.875} .$ (1.18)

雨水の蒸発: $EV_{rv}$
 

$\displaystyle EV_{rv} =
4.85 \times 10^{-2} (q_{vsw} - q_{v}) (\bar{\rho} q_{r})^{0.65}$     (1.19)

雨水のフラックス: $PR_{r}$
 
雨水の重力落下による混合比の変化率は,
$\displaystyle PR_{r} = \Dinv{\bar{\rho}} \DP{}{z}(\bar{\rho} U_{r} q_{r}).$     (1.20)

であり, 雨水の終端落下速度 $U_{r}$ [m s$^{-1}$] は
$\displaystyle U_{r} = 12.2 (q_{r})^{0.125}$     (1.21)

で与える.

1.3 放射加熱項の表現

放射加熱項 $Q_{rad}$ は正味の上向き放射フラックス $F_{net}$ を用いて 以下のように表される.

\begin{displaymath}
Q_{rad} = - \frac{1}{\overline{\rho}c_{p_{d}}}\DD{F_{net}}{z}
\end{displaymath}

本モデルでは $F_{net}$ は陽に計算せず, $Q_{rad}$ は高度のみに依存する パラメタとして与える.

1.4 乱流混合のパラメタリゼーション

1.4.1 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle Turb.{u_{i}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}}
\left[
- K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
+ \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E
\right].$ (1.22)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり, $E$ は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー
$\displaystyle E = \frac{1}{2}
\overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}}
= \frac{{K_{m}}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}}$     (1.23)

である.

1.4.2 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける.
$\displaystyle Turb.{\theta}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{i}^{\prime} \theta^{\prime}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
.$ (1.24)

ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である.

1.4.3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以 下のように書ける.

$\displaystyle \DP{K_{m}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
\right)
- \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta_{v}}}
\left(\DP{\theta_{el}}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{
\left( \DP{u}{x} \right)^{2}
+ \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
\right\}$  
    $\displaystyle + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
- \frac{K_{m}}{3}
\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$  
    $\displaystyle + \Dinv{2}
\left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
+ \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
\right)
+ \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
+ \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$  
    $\displaystyle - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$ (1.25)

ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする. ただし $\Delta x, \Delta z$ はそれぞれ水平および鉛直格子間隔である. $\theta_{el}$ は以下のように定義する
$\displaystyle \theta_{el}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{ \theta_{v}} + \theta_{v}^{'} \;\;\; (for \;\; q_{c} = 0)$ (1.26)
$\displaystyle \theta_{el}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'} + \frac{ \sum L
q_{v}}{{c_p}_{d} \bar{\pi}}
\;\;\; (for \;\; q_{c} > 0)$ (1.27)

ただし,
$\displaystyle \overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \bar{\theta_{v}}
\left\{
1 + \frac{\theta}{\bar{\theta}}
+ \frac{...
...}
- \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
{1 + \sum \bar{q_{v}}}
\right\}$ (1.28)

である.

1.4.4 散逸加熱項の表現

散逸加熱項 $Q_{dis}$ は, 乱流運動エ ネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える.

\begin{displaymath}
Q_{dis} = \frac{1}{\overline{c_{p}}}\frac{C_{\varepsilon}}{l}
\frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}}.
\end{displaymath} (1.29)

ここで $l=(\Delta x\Delta z)^{1/2}$ である.


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Odaka Masatsugu 平成20年6月27日