5 座標系・変換公式

9 99 9 99

A. 球面調和函数

ここでは連続系での球面調和函数を定義し, スペクトル計算の理解に必要な性質を挙げ, 証明する.

まず球面調和函数を定義し, 次いで球面調和函数が完全直交系をなすことを主張する. このことにより, 球面上に分布するあらゆる連続関数が 球面調和函数の重ね合わせで一意的に表されることになる.

球面調和函数は2次元ラプラシアンに関する固有関数であり, このために全波数という概念が生まれる. 参考までにこのことも記しておく.

さらに, 球面調和函数を空間微分した結果も書いておく.

1. 定義と性質（球面調和函数, Legendre函数, Legendre陪函数）
2. 空間微分
3. 全波数の概念

また, イメージをつかむために, ルジャンドル(陪)関数のグラフを示す.

A..1 定義と性質

ここでは, 岩波公式集¹⁰の Legendre函数・陪函数 $\tilde{P}_n^m$ , 2 で規格化したLegendre函数・陪函数 $P_n^m$, $4 \pi$ で規格化した球面調和函数 $Y_n^m$ の順に定義する. さらにそれらの性質として, 従う微分方程式, 漸下式, 完全規格直交性について述べる.

A..1.1 岩波公式集の Legendre函数・陪函数$\tilde{P}_n^m$

• 定義

  岩波公式集によると Legendre函数・陪函数 $\tilde{P}_n^m(\mu)$ は $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される （Rodrigues の公式）.

  
  

  $$\tilde{P}_n^m \equiv \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{\vert m\vert}{2}} }{2^n n!} \DD[n+\vert m\vert]{}{\mu} (\mu^2-1)^n$$ (74)

  
  

  ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である. Legendre函数 $\tilde{P}_n^0$ を $\tilde{P}_n$ とも書く.

• Legendre 函数・陪函数の満たす方程式

  $\tilde{P}^m_n(\mu)$ は次の方程式を満たす.

  
  

  $$\DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} \tilde{P}_n^m \right\} + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} \tilde{P}_n^m = 0$$ (75)

  
  

  ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である.

• Legendre 函数・陪函数の従う漸化式

  $\tilde{P}_n^m(\mu)$ は次の漸化式に従う.
  

  $$(n-\vert m\vert+1) \tilde{P}_{n+1}^m - (2n+1) \mu \tilde{P}_n^m +(n+\vert m\vert) \tilde{P}_{n-1}^m = 0$$ (76)

  
  
  ただし, $m,n$ は $0\le \vert m\vert \le n-1$, または $m=n=0$ を満たす整数である.
  
  

  さらに, 次の関係式が成り立つ.
  

  $$(1-\mu^2) \DD{}{\mu}\tilde{P}_{n}^{m} = (n+\vert m\vert) \tilde{P}_{n-1}^m - n \mu \tilde{P}_n^m$$ (77)

  
  
  ただし, $m,n$ は $0\le \vert m\vert \le n-1$ を満たす整数である.

• 完全規格直交性

  $\tilde{P}_n^m(\mu) \ (n=\vert m\vert,\vert m+1, \cdots)$ は 次の直交関係を満たす.
  

  $$\int_{-1}^1 \tilde{P}_n^m(\mu) \tilde{P}_{n'}^m (\mu) d \mu = \frac{2}{2n+1} \frac{(n+\vert m\vert)!}{(n-\vert m\vert)!} \delta_{nn'}$$ (78)

  
  
  ただし, $m,n,n'$ は $0\le \vert m\vert \le n,n'$ を満たす整数である.
  
  

  $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は $\{ \tilde{P}_n^m \vert n=\vert m\vert,\vert m+1\vert,\cdots \}$ を用いて
  

  $$A(\mu) = \sum_{n=\vert m\vert}^{\infty} \tilde{A}_n^m \tilde{P}_n^m(\mu),$$ (79)

  $$\tilde{A}_n^m = \frac{2n+1}{2} \frac{(n-\vert m\vert)!}{(n+\vert m\vert)!} \int_{-1}^1 A(\mu) \tilde{P}_n^m(\mu) d \mu$$ (80)

  
  
  と表される.

A..1.2 2 で規格化した Legendre函数・陪函数$P_n^m$

• 定義

  2 で規格化した Legendre函数・陪函数$P_n^m(\mu)$ は $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される.

  
  

  $$P_n^m \equiv \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-\vert m\vert)!}{(n+\vert m\ver... ...^2)^{\frac{\vert m\vert}{2}} }{2^n n!} \DD[n+\vert m\vert]{}{\mu} (\mu^2-1)^n ,$$ (81)

  
  
  ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である. Legendre函数 $P_n^0$ を $P_n$ とも書く.

• Legendre函数・陪函数の満たす方程式

  $P^m_n(\mu)$ は, 次の方程式を満たす.
  

  $$\DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m \right\} + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} P_n^m = 0$$ (82)

  
  
  ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である.

• Legendre函数・陪函数の従う漸化式

  $P_n^m(\mu)$ は, 次の漸化式に従う.
  

  $$(n-\vert m\vert+1) \sqrt{ \frac{1}{2n+3} \frac{(n+1+\vert m\vert)... ...) \sqrt{ \frac{1}{2n+1} \frac{(n+\vert m\vert)!}{(n-\vert m\vert)!} } \mu P_n^m$$ (83)

  $$\hspace*{2cm} +(n+\vert m\vert) \sqrt{ \frac{1}{2n-1} \frac{(n-1+\vert m\vert)!}{(n-1-\vert m\vert)!} } P_{n-1}^m = 0$$ (84)

  $$∴ P_{n+1}^m = \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-\vert m\vert+1)(n+\vert m\vert+1)} } \mu P_n^m$$ (85)

  $$\hspace*{2.5cm} - \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-\vert m\vert+1)(n... ...+1)} } \sqrt{ \frac{(n-\vert m\vert)(n+\vert m\vert)}{(2n+1)(2n-1)} } P_{n-1}^m$$ (86)

  
  
  ただし, $m,n$ は $0\le \vert m\vert \le n-1$, または $m=n=0$ を満たす整数である.
  
  

  さらに次の関係式が成り立つ.
  

  $$(1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m = (n+\vert m\vert) \sqrt{ \frac{(n-\vert m\vert)(2n+1)}{(n+\vert m\vert)(2n-1)} } P_{n-1}^m - n \mu P_n^m$$ (87)

  
  
  ただし, $m,n$ は $0\le \vert m\vert \le n-1$ を満たす整数である.

• 完全規格直交性

  $P_n^m(\mu) \ (n=\vert m\vert,\vert m+1, \cdots)$ は次の直交関係を満たす.
  

  $$\int_{-1}^1 P_n^m(\mu) P_{n'}^m(\mu) d \mu = 2 \delta_{nn'}$$ (88)

  
  
  ただし, $m,n,n'$ は $0\le \vert m\vert \le n,n'$ を満たす整数である.
  
  

  $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は $\{ P_n^m \vert n=\vert m\vert,\vert m+1\vert,\cdots \}$ を用いて
  

  $$A(\mu) = \sum_{n=\vert m\vert}^{\infty} \tilde{A}_n^m P_n^m(\mu),$$ (89)

  $$\tilde{A}_n^m = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 A(\mu) P_n^m(\mu) d \mu$$ (90)

  
  
  と表される.

A..1.3 球面調和函数$Y_n^m$

• 定義

  球面調和函数 $Y_n^m(\lambda,\phi)$ は Legendre函数 $P_n^m(\sin \phi)$, 三角関数¹¹ $\exp(i m \lambda)$ を用いて 次のように定義される.

  
  

  $$Y_n^m(\lambda,\phi) \equiv P_n^m(\sin \phi) \exp(im \lambda)$$ (91)

  
  

  ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である.

• 球面調和函数の満たす方程式

  $Y^m_n(\lambda, \phi)$ は次の方程式を満たす.
  

  $$\left[ \frac{1}{\cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} + n(n+1) \right] Y_n^m =0$$ (92)

  
  
  すなわち,
  

  $$\left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right) + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} + n(n+1) \right] Y_n^m =0$$ (93)

  
  
  の解である. ただし, $m,n$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ を満たす整数である.

• 完全規格直交性

  $Y_n^m$ は次の直交関係を満たす.
  

  $$\int_{-1}^1 Y_n^m(\lambda, \phi) Y_{n'}^{m'*} (\lambda, \phi) d (\sin \phi) d \lambda = 4 \pi \delta_{mm'} \delta_{nn'}$$ (94)

  
  
  ただし, $m,m',n,n'$ は $\ 0 \le \vert m\vert \le n$ と $0 \le \vert m'\vert \le n'$ とを満たす整数である.
  
  

  球面上で定義される連続関数 $A(\lambda,\phi)$ は $\{ Y_n^m \vert m=0,1,2,\cdots, \ n=\vert m\vert,\vert m+1\vert,\cdots \}$ を用いて
  

  $$A(\lambda, \phi) = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=\vert m\vert}^{\infty} \tilde{A}_n^m Y_n^m(\lambda,\phi) ,$$ (95)

  $$\tilde{A}_n^m = \frac{1}{4 \pi} \int_{-1}^1 d (\sin \phi) \int_0^{2 \pi} d \lambda A(\lambda, \phi) Y_n^{m*}(\lambda, \phi)$$ (96)

  
  
  と表される.

A..2 球面調和函数の空間微分

ここでは, 球面調和函数 $Y_n^m(\phi,\lambda)$ の

• x微分
• y微分
• 2次元ラプラシアン

の計算をする.

A..2.1 x微分

$$\frac{1}{r \cos \phi} \DP{Y_n^m}{\lambda} = \frac{1}{r \cos \phi}... ...im \lambda) \right) = \frac{im}{r \cos \phi} P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda)$$ (97)

A..2.2 y微分

$$\frac{1}{r} \DP{Y_n^m}{\phi} = \frac{1}{r} \DP{}{\phi} \left( P_n... ...) \right) = \frac{\sqrt{1-\mu^2} }{r} \DD{}{\mu} P_n^{m} (\mu) \exp(im \lambda)$$ (98)

A..2.3 2次元ラプラシアン

$$\nabla_H^2 Y_n^m \equiv \frac{1}{r^2} \left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right) + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} \right] Y_n^m$$ (99)

$$= \frac{1}{r^2} \left[ \frac{1}{\cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} \right] Y_n^m$$ (100)

$$= - \frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m$$ (101)

A..3 コメント -- 全波数について

球面調和函数 $Y^m_n(\lambda, \phi)$ において $n$ のことを全波数と呼ぶ.

全波数には, 座標系の回転に関して不変である, という特徴がある. すなわち, 任意の $Y_n^m(\lambda,\phi)$ は 回転して得られる座標系 $(\lambda', \phi')$ における 全波数 $n$ の球面調和函数 $\{ Y_n^m(\lambda', \phi') \vert m=-n,-n+1, \cdots, n \}$ の和で表現できる ：

$$Y^m_n(\lambda, \phi) = \sum_{m'=-n}^{n} A_n^{m'} Y^{m'*}_n(\lambda',\phi')$$ (102)

のである¹². この特徴は, 球面調和函数が2次元ラプラシアンの 固有値であることによっている¹³.

A..4 グラフ

$P_n^m(\mu)$ の概形をつかむために, 2で規格化した $P_n,P_n^1,P_n^2$ ¹⁴ のグラフを示す.

岩波公式集の Legendre函数 $\tilde{P}_n$ のグラフ （森口, 宇田川, 一松, 1960）

Legendre函数 $\overline{P_n^1} = P_n^1/\sqrt{2}, \overline{P_n^2} = P_n^2/\sqrt{2}$ のグラフ （森口, 宇田川, 一松, 1960）

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B. 微分公式, ＧＣＭの変数の微分関係式

¹⁵

ここでは, スカラー量, ベクトルの微分を計算する. さらにそれらを元に, 発散$D$, 渦度 $\zeta$, 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数$\psi$ と $(U,V)$ との関係を付ける.

B..1 スカラー量の微分

スカラー量 $f(\lambda,\phi)$ の $x$ 微分は ${\displaystyle \frac{1}{r \cos \phi} \DP{f}{\lambda} }$ で与えられる.

$f$ の $y$ 微分は ${\displaystyle \frac{1}{r} \DP{f}{\phi} \left( = \frac{\cos \phi}{r} \DP{f}{\mu} \right) }$ で与えられる.

$f$ の2次元ラプラシアンは

$$\nabla^2_H f \equiv \frac{1}{r^2} \left[ \frac{1}{\cos \phi} \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} \right] f$$ (103)

$$= \frac{1}{r^2} \left[ \DP{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right\} + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} \right] f$$ (104)

で与えられる.

B..2 ベクトル量の微分

2次元ベクトル場 $\Dvect{v}=(v_1,v_2)$ の水平発散は

$$\mbox{div}_H \Dvect{v} \equiv \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_1}{\lambda} + \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v_2 \cos \phi)$$ (105)

$$= \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_1}{\lambda} + \frac{1}{r} \DP{}{\mu}( \sqrt{1-\mu^2} v_2 )$$ (106)

で与えられる.

$\Dvect{v}$ の回転の $r$ 成分は,

$$(\mbox{rot} \Dvect{v})_r \equiv \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_2}{\lambda} - \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(v_1 \cos \phi)$$ (107)

$$= \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_2}{\lambda} - \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(\sqrt{1-\mu^2}v_1)$$ (108)

で与えられる.

以上で得られた微分公式を元に, 以下に実際にGCMで使用する便利な微分の公式を並べておく.

B..3 発散

水平分布する速度場

$$(u,v) \equiv \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right)$$ (109)

の水平発散 $D$ を, $U,V$ を用いて表す.

$$D = \frac{1}{r \cos \phi} \DP{u}{\lambda} + \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v \cos \phi)$$ (110)

$$= \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{U}{\lambda} + \frac{1}{r \cos \phi} \DP{V}{\phi}$$ (111)

$$= \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda} + \frac{1}{r} \DP{V}{\mu}$$ (112)

B..4 渦度

水平分布する速度場

$$(u,v) = \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right)$$ (113)

の渦度 $\zeta$ を, $U,V$ を用いて表す.

$$\zeta = \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v}{\lambda} - \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(u \cos \phi)$$ (114)

$$= \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{V}{\lambda} - \frac{1}{r \cos \phi} \DP{U}{\phi}$$ (115)

$$= \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{V}{\lambda} - \frac{1}{r} \DP{U}{\mu}$$ (116)

B..5 速度ポテンシャル, 流線関数と $(U,V)$

速度ポテンシャル $\chi$, 流線関数 $\psi$ は

$$D \equiv \nabla_H^2 \chi$$ (117)

$$\zeta \equiv \nabla_H^2 \psi$$ (118)

で定義される. $(U,V)$ を $\chi ,\psi$ で表す.

$$U = - \frac{1-\mu^2}{r} \DP{\psi}{\mu} + \frac{1}{r} \DP{\chi}{\lambda}$$ (119)

$$V = \frac{1}{r} \DP{\psi}{\lambda} + \frac{1-\mu^2}{r} \DP{\chi}{\mu}$$ (120)

となる.

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C. Legendre函数 $P_n$ の性質

ここでは Legendre函数 $P_n$の性質である

1. $n-1$ 次以下の多項式との積を $-1 \leq \mu \leq 1$ まで積分すると 零になること
2. $P_n(\mu)$ が $-1 < \mu < 1$ に $n$ 個の零点を持つこと,

を記す. 1 より Gauss 格子を定義することが保証される. また, 1, 2 は共に Gauss-Legendre の公式の証明に用いられる.

C..1 多項式とLegendre函数の積の積分

$P_n(\mu)$ は, $\mu$ の $n$ 次多項式である. $n-1$ 次以下の任意の多項式は $P_0 \sim P_{n-1}$ の和で表されること, $P_n$ の直交性から明らかに, $n-1$ 次以下の任意の多項式 $f(\mu)$ との積を積分すると

$$\int_{-1}^1 f(\mu) P_n(\mu) d \mu = 0$$ (121)

が成り立つ ことがわかる.

C..2 Legendre函数の零点

$P_n$ は $-1 < \mu < 1$ に $n$ 個の互いに異なる零点を持っている. このことについて, 以下に証明しておく. （寺沢, 1983 の10.7 節より）

1. $f(x)=(x-1)^n (x+1)^n$ を導入する.
2. $f=0$ の解は, $x=-1,1$ である. ゆえに, Rolle の定理により, $f'$ は ある $\alpha$（$-1<\alpha<1$ ） で $f'(\alpha)=0$ となる.
   $f'=2nx(x^2-1)^{n-1}$ より, $f'=0$ の解は $x=-1,\alpha,1$ のみである.
3. 同様に, $f''=0$ の解は $x=-1,\beta_1,\beta_2,1$ （ $-1 < \beta_1 < \beta_2 < 1$）のみ.
4. 以上を繰り返すと, $f^{(n)}=0$ の解は $-1$ と $1$ の間で互いに異なる $n$ 個の 解を持つ. （$x=-1,1$ は解でないことに注意せよ. ）
5. したがって, ${\displaystyle P_n= \frac{1}{2^n n!} \DD[n]{}{\mu} (\mu^2-1)^n }$ は $-1$ と $1$ の間で互いに異なる $n$ 個の解を持つ. （証明終り）

この零点の求め方としては, ${\displaystyle x_j=\cos \frac{j-1/2}{n}\pi }$ を近似解として Newton 法を用いるという方法がある.

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D. 積分評価

D..1 Gauss の台形公式

ここでは Gauss の台形公式を示す.

波数 $M$ 以下の三角函数で表現される $g(\lambda)$ （ $0 \le \lambda < 2 \pi$）

$$g(\lambda) = \sum_{m=-M}^{m=M} g_m \exp( i m \lambda )$$ (122)

について $M < I$ を満たすように $I$ をとると,

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda = \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n)$$ (123)

$$\lambda_n = \frac{2\pi (n-1)}{I} \ (n=1,2,\cdots,I)$$ (124)

が成り立つ. これを Gauss の台形公式という.

より実用的な公式は,

$$\sum_{n=1}^{I} \exp(i m \lambda_n) = \left\{ \begin{array}{ll} I & \ \ (m=0) \\ 0 & \ \ (0 < \vert m\vert < I) \\ \end{array}\right.$$ (125)

$$\lambda_n = \frac{2\pi (n-1)}{I} \ (n=1,2,\cdots,I)$$ (126)

である. この証明は, $I > M$ ($\vert m\vert$ の最大値) より $m \neq 0$ の時には ${\displaystyle \exp(i m \lambda_n) = \exp \left( \frac{2\pi i m (n-1)}{I} \right) }$ において, 全ての $n$ について $m(n-1)$ が$I$ の整数倍になることがないことを考慮すると明らかである ( $m$, $n-1$ はともに $I$ よりも小さい整数なので, $m(n-1)$ は $I$ の整数倍にならない) ¹⁶.

以下に Gauss の台形公式の証明を記す.
まず, 左辺を計算すると,

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda = \sum_{m=-M}^{M} \frac{1}{2\pi} g_m \int_0^{2\pi} \exp(i m \lambda) d \lambda =g_0$$ (128)

である. ここで, $\int_0^{2\pi} \exp(i m \lambda) d \lambda$ は $m=0$ の項しか残らないことを使った. 一方右辺は

$$\frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n) = \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} \sum_{m=-M}^{M} g_m \exp(i m \lambda_n)$$ (129)

$$= g_0 + \sum_{m=-M, m\neq0}^{M} \frac{g_m}{I} \sum_{n=1}^{I} \left( \exp(\frac{2 \pi i m}{I}) \right)^{n-1}$$ (130)

ここで, 上に示した「より実用的な公式」により

$$\sum_{n=1}^{I} \left( \exp(\frac{2 \pi i m}{I}) \right)^{n-1} =0 \ \ \ \ (m \neq 0)$$ (131)

が成り立つ. したがって,

$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda = \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n)$$ (132)

となる.

D..2 Gauss-Legendreの公式

$f(\mu)$ を $2J-1$ 次以下の多項式とする. $P_n$ を2で規格化した n 次の Legendre函数とする. このとき, ${\displaystyle \int_{-1}^1 f d \mu }$ は $P_J$ の零点である Gauss 格子 $\mu_j（j=1,2,\cdots,J）$ における $f$ の値 $f(\mu_j)$ のみを用いて, 次式にもとづいて正確に評価することができる.

$$\int^{1}_{-1} f(\mu) d \mu = 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j$$ (133)

$$w_j = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{P_J(\mu)}{(\mu-\mu_j) P^{'}_J (\mu_i)}d \mu = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)}{(J P_{J-1}(\mu_j))^2 } .$$ (134)

ここで, $w_j$ は Gauss 荷重と呼ばれる.

以下では上の式を証明する. ただし, Legendre函数としては, 最初は岩波公式集のLegendre函数 $\tilde{P_n}$ を用い, 最後に2で規格化したLegendre函数 $P_n$ に 直すことにする¹⁷.

STEP 1 Lagrange 補間の導入

$f(\mu)$ を $K$ 次多項式（ $0 \le K \le 2J-1$）とする. $\tilde{P}_n$ を岩波公式集のLegendre函数（Rodriguesの公式） とする.

$$\int_{-1}^1 \tilde{P}_n(\mu) \tilde{P}_{n'}(\mu) d \mu = \frac{2}{2n+1} \delta_{nn'}$$ (135)

$L(\mu)$ を, $f(\mu_j)$ を Lagrange 補間公式にしたがって補間した多項式として 定義する.

$$L(\mu) \equiv \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) \prod_{k=1,k \neq j}^{J} \frac{ \mu-\mu_k}{\mu_j-\mu_k}$$ (136)

このとき, 各$j$ について $L(\mu_j) = f(\mu_j)$ である. ここで $L$ は, $0 \le K \le J-1$ の時（$f$ が $J-1$ 次以下の多項式）のときは 厳密に $L=f$ になる¹⁸ ことに注意せよ.

したがって, 関数 $f(\mu)-L(\mu)$ は

• $0 \le K \le J-1$ の時, $0$ である.
• $J \le K \le 2J-1$ の時,
  $\mu=\mu_j$ を零点とする $K$ 次多項式である. $\mu_j$ は $J$ 次多項式 $\tilde{P}_J(\mu)$ の 零点であることを思い出すと, $f-L$ は $\tilde{P}_J(\mu)$ で割り切れるので, ある $K-J$ 次多項式 $S(\mu)$ を用いて,
  

  $$f(\mu) - L(\mu) = \tilde{P}_J(\mu) S(\mu)$$ (137)

  
  
  と書くことができる.

$f(\mu)-L(\mu)$ を $\mu$ について $-1$ から 1 まで積分する. $J \le K \le 2J-1$ の時については Legendre函数の直交性より, $\tilde{P}_J(\mu) S(\mu)$ の積分は零である. したがって,

$$\int_{-1}^{1} f(\mu) d \mu = \int_{-1}^1 L(\mu) d \mu$$ (138)

$$= \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) \int^1_{-1} \frac{ {\displaystyle \prod_{... ... } { (\mu-\mu_j) {\displaystyle \prod_{k=1,k \neq j}^{J}(\mu_j-\mu_k) } } d \mu$$ (139)

$$= \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) \int_{-1}^1 \frac{\tilde{P}_J(\mu)} {(\mu-\mu_j)\tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} d \mu$$ (140)

$$= 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j$$ (141)

ここで, 証明すべき式の $P_J$ は規格化されていて, 上の式の $\tilde{P}_J$ は規格化されていないのにもかかわらず 同じ $w_j$ が使われているが, $\tilde{P}_J$ と $P_J$ の規格化定数は同じなので consistent である.

STEP 2 ${\displaystyle w_j = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{\tilde{P}_J(\mu)} {(\mu-\mu_j)\tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} d \mu }$ の漸化式を用いた変形

漸化式 (岩波の Lgendre 関数・陪関数の従う漸化式) において $m=0$ とした式

$$(n+1) \tilde{P}_{n+1}(\mu) = (2n+1) \mu \tilde{P}_n(\mu) - n \tilde{P}_{n-1}(\mu) \ \ \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$ (142)

より,

$$(n+1) \left\vert \begin{array}{ll} \tilde{P}_{n+1}(x) & \tilde{P}_n(x) \\ \tilde{P}_{n+1}(y) & \tilde{P}_n(y) \end{array}\right\vert = \left\vert \begin{array}{ll} (2n+1)x \tilde{P}_n(x)-n\tilde{P}_{n... ...+1)y \tilde{P}_n(y)-n\tilde{P}_{n-1}(y) & \tilde{P}_n(y) \end{array}\right\vert$$ (143)

$$= (2n+1)(x-y)\tilde{P}_n(x)\tilde{P}_n(y)$$ (144)

$$+n (- \tilde{P}_{n-1}(x) \tilde{P}_n(y) + \tilde{P}_{n-1}(y) \tilde{P}_n(x) )$$ (145)

$$= (2n+1)(x-y)\tilde{P}_n(x)\tilde{P}_n(y) + n \left\vert \begin{arr... ...de{P}_{n-1}(x) \\ \tilde{P}_{n}(y) & \tilde{P}_{n-1}(y) \end{array}\right\vert$$ (146)

となる. この式を $n=0,1,\cdots,n-1$ について加えると,

$$n \left\vert \begin{array}{ll} \tilde{P}_n(x) & \tilde{P}_{n-1}(x) \\ \tilde{P}_n(y) & \tilde{P}_{n-1}(y) \end{array}\right\vert = \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(x-y)\tilde{P}_k(x)\tilde{P}_k(y)$$ (147)

が成り立つ. ここで $n=J,x=\mu,y=\mu_j$ とすると $\tilde{P}_J(\mu_j)=0$ より,

$$J \tilde{P}_J (\mu) \tilde{P}_{J-1} (\mu_j) = \sum_{k=0}^{J-1} (2k+1) (\mu-\mu_j) \tilde{P}_k(\mu) \tilde{P}_k(\mu_j).$$ (148)

よって,

$$\frac{\tilde{P}_J (\mu) }{\mu-\mu_j} = \frac{ {\displaystyle \sum_{k=0}^{J-1} (2k+1) \tilde{P}_k(\mu) \tilde{P}_k(\mu_j) } } {J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j)}$$ (149)

である. したがって,

$$w_j = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \frac{\tilde{P}_J(\mu)} {(\mu-\mu_j) \tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} d \mu$$ (150)

$$= \frac{1}{2 J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j) \tilde{P}^{'}_{J} (\mu_j)} \sum_{k=0}^{J-1} (2k+1) \tilde{P}_k(\mu_j) \int_{-1}^1 \tilde{P}_k(\mu) d \mu$$ (151)

$$= \frac{1}{J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j) \tilde{P}^{'}_{J} (\mu_j)}$$ (152)

である. ただし, (A.80) における積分は, k=0 の時のみ0でない値を 持つこと, および $\tilde{P}_0 = 1$ を使った. さらに, 漸化式

$$(1-\mu^2) \DP{\tilde{P}_n}{\mu} = n \tilde{P}_{n-1}(\mu) - n \mu \tilde{P}_n(\mu)$$ (153)

で $n=J, \mu=\mu_j$ とする. $\tilde{P}_J(\mu_j)=0$ より,

$$w_j = \frac{1-\mu_j^2}{(J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j))^2 }$$ (154)

となる.

STEP3 $\tilde{P}_n$ の規格化

$P_n$ を

$$\int_{-1}^1 P_n(\mu) P_n'(\mu) d \mu = 2$$ (155)

になるように規格化する. ${\displaystyle \tilde{P}_{J-1} =\sqrt{ \frac{1}{2(\mbox{J}-1)+1} } P_{J-1} }$ より,

$$w_j = \frac{1-\mu_j^2} {(J \sqrt{ \frac{1}{2J-1} } P_{J-1}(\mu_j))^2 } = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)} {(J P_{J-1}(\mu_j))^2 }$$ (156)

となる.

まとめ

以上より

$$\int^{1}_{-1} f(\mu) d \mu = 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j$$ (157)

$$w_j = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)}{(J P_{J-1}(\mu_j))^2 }$$ (158)

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E. 球面調和函数の離散的直交関係

ここでは 球面直交関数の離散的直交関係である選点直交性を示す.

$$\sum_{j=1}^{J} \sum_{i=1}^{I} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) w_j = I \delta_{nn'} \delta_{mm'}$$ (159)

ここで, $i,j,m,m',n,n',I,J,M,N(m)$ は整数で, $1 \le i \le I , 1 \le j \le J,$ $0 \le \vert m\vert,\vert m'\vert \le M, \vert m\vert \le n \le N, \vert m'\vert \le n' \le N$ であり, ${\displaystyle M \le \left[ \frac{I}{2} \right] , N(m) \le J-1 }$ を満たす. また, $w_j$ は Gauss 荷重, ${\displaystyle \lambda_i=\frac{2\pi(i-1)}{I} }$, $\mu_j$ は $P_J (\mu)$ の零点である. $[ \ ]$ は それを越えない最大の整数を表す. これは, 有限な直交多項式系において成り立つ 選点直交性と呼ばれる性質である¹⁹.

この式を証明する. Legendre函数・陪函数の定義・（連続系での）直交性, Gauss の台形公式, Legendre函数の零点を用いた多項式の積分評価 を既知とすると,

$$\sum_{j=1}^{J} \sum_{i=1}^{I} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) w_j$$ (160)

$$= I \sum_{j=1}^{J} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) w_j \delta_{mm'}$$ (161)

ここで Gauss の台形公式を使った. 更に変形すると

$$\sum_{j=1}^{J} \sum_{i=1}^{I} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) w_j$$ (162)

$$= I \sum_{j=1}^{J} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m} (\mu_j) w_j$$ (163)

$$= \frac{I}{2} \int_{-1}^1 P_n^m (\mu) P_{n'}^{m} (\mu) d\mu$$ (164)

ここで, Gauss-Legendreの公式を使った. 更に, 連続系の Legendre函数・陪函数の直交性より

$$\sum_{j=1}^{J} \sum_{i=1}^{I} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) w_j$$ (165)

$$= I \delta_{nn'} \delta_{mm'}$$ (166)

が得られる. 以上により, 離散化した球面調和関数の選点直交性が示された.

余談ではあるが, 直交多項式系においては 離散的な直交関係としては選点直交性のほかに 次のような直交関係も知られている²⁰. $\{ f_k(\mu) \}(k=0,1,2,\cdots)$ を $\ [ a ,b ] \$ で定義された 重み $w(\mu)$, 規格化定数 $\lambda_k$ の直交多項式 ${\displaystyle \left( \int_a^b f_k (\mu) f_{k'} (\mu) w(\mu) d \mu = \lambda_k \delta_{kk'} \right) }$ とする. $\mu_j, \mu_{j'}(1 \le j,j' \le J)$ を $f_J(\mu)$ の零点, $w_j=w(\mu_j)$ とすれば, 選点直交性

$$\sum_{j=0}^{J-1} f_k (\mu_j) f_{k'} (\mu_{j}) w_j = \lambda_k \delta_{kk'}$$ (167)

のほかに,

$$\sum_{k=0}^{J-1} \frac{f_k (\mu_j) f_k (\mu_{j'}) }{\lambda_k} = \frac{1}{w_j} \delta_{jj'}$$ (168)

が成り立つ.

実際, Legendre函数 $\{ P_n \}(n=0,1,2,\cdots,J-1)$ については この関係が成り立つ. すなわち, $w_j$ を GCM で用いている Gauss 荷重として,

$$\sum_{n=0}^{J-1} P_n (\mu_j) P_n (\mu_{j'}) = \frac{1}{w_j} \delta_{jj'}$$ (169)

である. しかし, GCM では Legendre函数 $P_{J}$ の零点でのみ 値を計算することと, 波数切断の関係とから, Legendre陪函数 $\{ P_n^m \} (n=\vert m\vert,\vert m\vert+1,\vert m\vert+2,\cdots,N)$ の 離散的直交関係は意味がない²¹. Legendre函数の直交関係についても, 波数切断により $P_n$ は $n=0,1,2,\cdots,N < J-1$ しか扱わないので²² 実際には意味がない.

三角関数についても同様な離散的直交関係がある. 選点直交性

$$\sum_{i=0}^{I-1} \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) = I \delta_{mm'}$$ (170)

のほかに,

$$\sum_{m=-\frac{I}{2}+1}^{\frac{I}{2}} \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m \lambda_{i'}) = I \delta_{ii'}$$ (171)

も成り立つ. （ただし, $I$ は偶数で $I=2M$. $I$ が奇数の場合には, $I=2M+1$ として, $m$についての和は ${\displaystyle -\frac{I-1}{2} \sim \frac{I-1}{2} }$ でとる. ） しかし GCM では, 波数切断により $\vert m\vert$ の最大値 $M$ は ${\displaystyle \frac{I}{3} }$ 以下の値なので やはり意味がない²³. 23 2323

F. スペクトルの係数と格子点値とのやり取り

ここではスペクトルの係数と格子点値との変換法について述べる. 実際の GCM 計算において必要になるのは

• スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り
• 速度の格子点値の発散 $D$ ・渦度 $\zeta$ の スペクトルの係数への変換
• 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数 $\psi$（もとは 発散, 渦度） のスペクトルの係数から速度の格子点値の作成

である.

F..1 スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り

スカラー関数 $A(\lambda,\phi)$ の 格子点値とスペクトルの係数とのやり取りは 以下のとおりである. ただし, 格子点値は $A_{ij} \; (i=1,2,\cdots,I, \; j=1,2,\cdots,J)$ , スペクトルの係数は $\tilde{A}_n^m \; (m=-M,-M+1, \cdots,M, \; n=\vert m\vert,\vert m\vert+1,\cdots,N(m))$ とする.

$$A_{ij} \equiv \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=\vert m\vert}^{N} \tilde{A}_n^m Y_n^m (\lambda_i,\phi_j)$$ (172)

$$\tilde{A}_n^m = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} A_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i,\phi_j) w_j$$ (173)

$$w_j = \frac{(2J-1)(1-\sin^2 \phi_j)} {(J P_{J-1}(\sin \phi_j))^2 }$$ (174)

以後この文書では簡単のために, ${\displaystyle \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=\vert m\vert}^{N} }$ を ${\displaystyle \sum_{m,n} }$ と, ${\displaystyle \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} }$ を ${\displaystyle \sum_{i,j} }$ と表記する.

F..2 スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜東西微分編

まず,

$$\begin{eqnarray*} g&\equiv& \DP{f}{\lambda} \end{eqnarray*}$$

を考える.

東西微分（$\lambda$ 微分）は次式で評価する.

$$g_{ij} \equiv \left[ \DP{}{\lambda} \left( \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda, \phi) \right) \right]_{ij}$$ (175)

すなわち,

$$g_{ij} = \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda_i,\phi_j)$$ (176)

である. 変換公式 (A.103)で $A$ を $g$ とみなしたものと (A.106) とを比較すれば明らかに²⁴,

$$\tilde{g}_n^m = im \tilde{f}_n^m$$ (177)

よって,

$$\tilde{g}_n^m = \frac{1}{I} \sum_{i,j} im f_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i, \phi_j) w_j$$ (178)

である.

次に,

$$\begin{eqnarray*} h \equiv \frac{g}{r \cos^2 \phi} = \frac{1}{r \cos^2 \phi} \... ...left[ = \DP{}{x} \left( \frac{f}{\cos \phi} \right) \right] \end{eqnarray*}$$

とする. $f$ と $h$ とのやり取りを考える. (A.105) より明らかに,

$$\begin{eqnarray*} h_{ij} &=& \frac{1}{r \cos^2 \phi_i} g_{ij} \\ ∴\ h_{ij} &... ...2 \phi_j} \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda_i, \phi_j) \end{eqnarray*}$$

一方, (A.107) より

$$\tilde{h}_n^m = \widetilde{ \left[ \DP{}{\lambda} \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} ... ...ht) \right]_n^m } = im \widetilde{ \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} \right)_n^m }$$

$$= \frac{1}{I} \sum_{i,j} im \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} \right)_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i, \phi_j) w_j$$

$$= \frac{1}{I} \sum_{i,j} im f_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i \phi_j) \frac{w_j}{r \cos^2 \phi_j}$$ (179)

F..3 スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜南北微分編

まず,

$$\begin{eqnarray*} p \equiv \DP{f}{\mu} \end{eqnarray*}$$

を考える.

南北微分（$\mu$微分）は次式で評価する.

$$p_{ij} \equiv \left[ \DP{}{\mu} \left( \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m \right) \right]_{ij}$$ (180)

すなわち,

$$p_{ij} = \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right\vert _j \exp(im \lambda_i)$$ (181)

である.