\Zsubsection{等方的な流体}

ここでは, 等方的なNewton流体における, 
内部エネルギー, エンタルピー, エントロピーの時間変化の式を
書き下す. 

\vspace{5mm}
まず, 等方的な流体についての $ \sigma_{ik} $の表式 $(6)$ を
用いて粘性散逸項を表現しておく. 

\begin{displaymath}
      \sigma_{ik}' \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
    = \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
         \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
              + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
              - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                   \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)
    + \zeta \delta_{ik} \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
         \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }.
\end{displaymath}

右辺第１項は
\begin{eqnarray*}
& & \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
      \left(   \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
             + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
             - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
               \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }     \right)\\
&=& 
         \frac{1}{2} \eta  
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)  \\
&=&
         \frac{1}{2} \eta  
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } 
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^2
           + \frac{1}{2} \eta
           \cdot 
           \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{m} }{ \partial x_{m} }
           \cdot
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } 
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right) \\
&=&
         \frac{1}{2} \eta 
            \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                 + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
                 - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l}}{ \partial x_{l}} \right)^{2}.
\end{eqnarray*}

右辺第２項は

\begin{eqnarray*}
        \zeta \delta_{ik} 
	    \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
               \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }
  &=& 
           \zeta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{i} }
           \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \\
  &=& \zeta ( \mbox{div} \Vectm{v} )^{2}.
\end{eqnarray*}

\newpage

よって, 等方的なNewton流体についての
内部エネルギー $\cdot$ エンタルピー $\cdot$ エントロピーの式は
次のようになる. 
\vspace{5mm}

\begin{screen}
\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial ( \rho \varepsilon )}{ \partial t }  
         + \mbox{div} (\rho \varepsilon \Vectm{v} ) 
   =  \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \mbox{div} \Vectm{v} )^{2}
     - p \mbox{div} \Vectm{v}
     - \mbox{div} \Vectm{q},
\\
& &   \frac{ \partial ( \rho h )}{ \partial t }  
         + \mbox{div} (\rho h \Vectm{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \mbox{div} \Vectm{v} )^{2}
     - \mbox{div} \Vectm{q}
     + \frac{dp}{dt},
\\
& &    \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} 
                   + \Vectm{v} \cdot \mbox{grad} \right) s
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \mbox{div} \Vectm{v} )^{2}
     - \mbox{div} \Vectm{q}.
\end{eqnarray}
\end{screen}
\vspace{5mm}

特に,  \underline{非圧縮流体} のとき, $(17)$〜$(19)$ は次のようになる. 

\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) 
         + \mbox{div} (\rho \varepsilon \Vectm{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
       \right)^{2}
     - \mbox{div} \Vectm{q},
\\
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) 
         + \mbox{div} (\rho h \Vectm{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
       \right)^{2}
     - \mbox{div} \Vectm{q}
     + \frac{dp}{dt},
\\
& &    \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} 
     + \Vectm{v} \cdot \mbox{grad} \right) s
     = \frac{1}{2} \eta 
	      \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
               + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)^{2}
       - \mbox{div} \Vectm{q}. 
\end{eqnarray}

また,  \underline{粘性 $\cdot$ 熱流の効果を無視できる} 場合, 
$(17)$〜$(19)$ は次のようになる. 

\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) 
         + \mbox{div} (\rho \varepsilon \Vectm{v} ) 
   =   - p \cdot \mbox{div} \Vectm{v},
\\
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) 
         + \mbox{div} (\rho h \Vectm{v} ) 
   =   \frac{dp}{dt},
\\
& &   \left( \frac{\partial}{\partial t} 
           + \Vectm{v} \cdot \mbox{grad} \right) s
        = 0.
\end{eqnarray}
　
