%表題   連続体力学: 基礎法則
%
%履歴   1989-04-21 竹広真一       流体力学の基礎 / 流体力学の基礎方程式
%       1990-04-23 保坂征宏
%       1996-04-23 林 祥介        「基礎法則」へ
%       1999-08-06 林 祥介        最新版

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\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{dennou,Depspic}

\Dtitle{連続体力学: 基礎法則}
\Dauthor{林 祥介, 竹広 真一}
\Ddate{1999 年 08 月 06 日}
\Dpath{/riron/renzoku/housoku/src/}
\Dnoparindent

\begin{document}

%\pagenumbering{roman}
\maketitle
\tableofcontents
%\clearpage
%\pagenumbering{arabic}

\begin{abstract}
連続体の運動を記述する方程式系,
連続の式(質量保存則),
運動方程式(運動量保存則),
熱の式(エネルギー保存則),
に付いて述べる.
\end{abstract}

%--------------------------------------------------------------------
\Dparskip
%--------------------------------------------------------------------
\newpage
\section{連続の式 = 質量保存則}

連続体内の物質の運動とともにうごく領域 $D(t)$ に対して, 
その質量は連続体の変形にはよらないことを考えると
\begin{eqnarray}
   \DD{}{t} \int_{D(t)} \rho dV
        & = & 0
\end{eqnarray}
\vspace{1em}

あるいは, 微分と積分を入れ換えれば
\begin{eqnarray*}
   \int_{D(t)} \DP{}{t} \rho dV 
   + \int_{\partial D(t)} \rho \Dvect{v} \cdot d\Dvect{S}
        & = & 0
\end{eqnarray*}
すなわち
\begin{eqnarray*}
   \int_{D(t)} 
	\left\{ \DP{}{t} \rho + \Ddiv (\rho \Dvect{v}) 
	\right\}
		dV 
        & = & 0
\end{eqnarray*}
$D$ を任意の無限小領域として選んで良いので
\begin{eqnarray}
	\DP{\rho}{t} + \Ddiv (\rho \Dvect{v}) 
        & = & 0
\end{eqnarray}
または
\begin{eqnarray}
	\DD{\rho}{t} + \rho \Ddiv \Dvect{v}
        & = & 0
\end{eqnarray}

\subsection{運動量保存則: オイラーの第一法則}

連続体の運動方程式は連続体内の領域 $D$ に対してニュートン力学を適用すれば
次のように書き下せる:
\begin{eqnarray}
   \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV
        & = & \int_{\partial D} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
            + \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
                                \label{eq-body-m}
\end{eqnarray}
積分形で表現されるこの運動方程式を特に
オイラーの第一運動法則という(Euler's first law of motion )
ことがある.
\vspace{1em}

ここで, 
$\Dvect{v}(\Dvect{x})$ は連続体の各点における連続体物質の運動速度であり, 
\begin{eqnarray}
   \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV
\end{eqnarray}
は連続体領域 $D$ が持つ全運動量に他ならない.
\vspace{1em}

連続体の領域 $D$ に働く力は
各点に働く体積力 $\Dvect{F}_{b}(\Dvect{x})$ と,
表面 $\partial D$ に働く応力 $\Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x})$ である.

\subsection{連続体の角運動量保存則: オイラーの第二法則}

連続体の角運動量方程式は連続体内の領域 $D$ に対して
ニュートン力学を適用すれば次のように書き下せる: 
\begin{eqnarray}
   \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{j} \rho dV
        & = & \int_{\partial D}
                \Dvect{x} \times {\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
            + \int_{D}
                \Dvect{x} \times \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
                                \label{eq-body-am}
\end{eqnarray}
$\Dvect{j}$ は角運動量密度であり, 
非極性物質(nonpolar material) であれば
\begin{eqnarray}
        \Dvect{j} = \Dvect{x} \times \Dvect{v}(\Dvect{x})
\end{eqnarray}
である\footnotemark.
\footnotetext{
        物体が微視的な角運動量 $\Dvect{s}$ を持てば
        \begin{eqnarray*}
                \Dvect{j} = \Dvect{x} \times \Dvect{v}(\Dvect{x})
                                + \Dvect{s}
        \end{eqnarray*}
        である.
        $\Dvect{s}$ が大きいと応力テンソルは対称にはならない.
}
積分形で表現されるこの角運動量の式を特に
オイラーの第二運動法則という (Euler's first law of motion )
ことがある.
\vspace{1em}

%--------------------------------------------------------------------
\section{応力がテンソルであること}

応力は考察するすべての面の向き $\Dvect{n}$ に対して与えなければならな
いわけではない.
\vspace{1em}

以下に示すように運動量保存則を考察することより
応力はテンソルとして与えられることがわかる. 
応力がテンソルで書けるということは, 
面の向きの取り方による応力の変化は座標変換のルールに従ってかける
ということである. 
すなわち,
応力ベクトルの $i$ 成分は
\begin{eqnarray}
    \sigma_{i \Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
        & = & \sigma_{ij} n_{j}  
\end{eqnarray}
と表現される.
応力の, 面の向き依存性の自由度は高々 3 次行列, すなわち, 
$3 \times 3 =9$, というわけである.
\vspace{1em}

\subsection{面の表の応力と裏の応力}

連続体内の領域 $D$ として点 $\Dvect{x}$ を含む厚さ $\delta$, 
上面・下面が面積 $S$ の微小領域を考察する. 
\vspace{1em}

\hspace*{3cm}
\begin{minipage}{100pt}
\begin{Depspic}(100,100){./fig/heimen.ps}
\Deput( 0,40){$\delta$}
\Deput(10,75){$D$}
\Deput(60,40){$S$}
\Deput(40,80){$\Dvect{n}$}
\Deput(60,10){$-\Dvect{n}$}
\Deput(70,90){$\Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}}$}
\Deput( 0,20){$\Dvect{\sigma}_{- \Dvect{n}}$}
\end{Depspic}
\end{minipage}
\hspace*{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
応力の作用反作用を考えるための領域 $D$.
\end{minipage}
\vspace{1em}

(\ref{eq-body-m}) において $\delta \rightarrow 0$ に近づけると, 
体積力, すなわち, 体積積分であらわさられる項は加速度項も含め, 
積分領域の $D$ の体積が $0$ に収斂するので寄与がなくなってしまう:
\begin{eqnarray*}
&&      
   \lim_{\delta \rightarrow 0}
        \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV 
        \rightarrow 0                           \\
&& 
   \lim_{\delta \rightarrow 0}
        \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
        \rightarrow 0                   
\end{eqnarray*}
また, 側面に働く面積力の寄与も 0 である.
よって, $S$ 上の面積分だけがのこり
\begin{eqnarray*}
   0 & = & \int_{S_{u}} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
        +  \int_{S_{d}} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
\end{eqnarray*}
$S_{u}$ は領域の上面, $S_{d}$ は領域の下面をあらわす.
上面の外向き法線ベクトルを $\Dvect{n}$ とすれば
下面の外向き法線ベクトルは $-\Dvect{n}$ なので
面積分を上面だけで評価すれば
\begin{eqnarray*}
   0 & = & \int_{S_{u}} 
           \left( \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
                + \Dvect{\sigma}_{- \Dvect{n}} (\Dvect{x}) \right) dS
\end{eqnarray*}
この関係は連続体内の領域の取り方によらないので
\begin{eqnarray}
        \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
                = - \Dvect{\sigma}_{- \Dvect{n}} (\Dvect{x})
\end{eqnarray}
\vspace{1em}

連続体の内部に想定した境界面の, 正の側の領域が負の側の領域に及ぼす
作用 $\Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x})$ は, 
負の側の領域が正の側の領域に及ぼす
作用 $\Dvect{\sigma}_{-\Dvect{n}} (\Dvect{x})$ と
大きさが同じで向きが反対, ということである.
\vspace{1em}

\subsection{応力テンソル}

連続体内の領域 $D$ として点 $\Dvect{x}$ を含む, 
微小 4 面体を考察する.
4 面のうち, 3 面は座標面に平行,
残りの 1 面は法線ベクトルを $\Dvect{n}$ とする面である.
\vspace{1em}

\hspace*{3cm}
\begin{minipage}{100pt}
\begin{Depspic}(100,100){./fig/yonmen.ps}
\Deput(10,10){$x_1$}
\Deput(80,40){$x_2$}
\Deput(15,95){$x_3$}
\Deput(50,30){$dS$}
\Deput(75,60){$\Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}}$}
\Deput(63,68){$\Dvect{n}$}
\Deput(33,75){$\Dvect{\sigma}_{- \Dvect{e}_{1}}$}
\Deput( 0,55){$\Dvect{\sigma}_{- \Dvect{e}_{2}}$}
\Deput(25,20){$\Dvect{\sigma}_{- \Dvect{e}_{3}}$}
\end{Depspic}
\end{minipage}
\hspace*{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
応力がテンソルであることを考察するための 4 面体.
面 $dS$ の法線ベクトル $\Dvect{n}$ の成分が $n_1>0$, $n_2>0$, $n_3>0$ 
であるものとして描いた.
\end{minipage}
\vspace{1em}

4 面体の高さを $\delta$ とする.
4 面体の形を保ったまま $\delta \rightarrow 0$ に近づける.
運動方程式 (\ref{eq-body-m}) において
体積力, すなわち, 体積積分であらわさられる項は加速度項も含め, 
$\delta^{3}$ に比例して小さくなる:
\begin{eqnarray*}
&&      
   \lim_{\delta \rightarrow 0}
        \DD{}{t} \int_{D} \Dvect{v}(\Dvect{x}) \rho dV 
        \propto \delta^{3} \\
&& 
   \lim_{\delta \rightarrow 0}
        \int_{D} \Dvect{F}_{b}(\Dvect{x}) dV
        \propto \delta^{3} \\   
\end{eqnarray*}
一方, 面積力, すなわち面積分であらわされる項の寄与は
$\delta^{2}$ に比例して小さくなる. 
\vspace{1em}

よって, $\delta \rightarrow 0$ においては
\begin{eqnarray*}
   0 & = & \int_{\partial D} \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) dS
\end{eqnarray*}
でなければならない.
\vspace{1em}

面積分を各面上のそれに分けて評価する. 
$x_{i}$ 軸方向の単位ベクトルを
$\Dvect{e}_{i}$ とする. 
$\Dvect{n}$ を法線ベクトルとする面を $S$ とする. 
その微小面積を $dS$ とすれば
$x_{i}$ 軸と垂直な面の面積は $|n_{i}|dS$ である. 
よって
\begin{eqnarray*}
   0 & = & \int_{S} 
        \left(
        \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
        + \Dvect{\sigma}_{- ( {\rm sgn} n_{1} ) \Dvect{e}_{1}} 
                (\Dvect{x}) |n_{1}| 
        + \Dvect{\sigma}_{- ( {\rm sgn} n_{2} ) \Dvect{e}_{2}} 
                (\Dvect{x}) |n_{2}| 
        + \Dvect{\sigma}_{- ( {\rm sgn} n_{3} ) \Dvect{e}_{3}} 
                (\Dvect{x}) |n_{3}| 
        \right) dS
\end{eqnarray*}
${\rm sgn} n_{i}$ は $n_{i}$ の符号である.
面の向きを考慮すれば結局
\begin{eqnarray*}
   0 & = & \int_{S} 
        \left(
        \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
        - \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{1}} 
                (\Dvect{x}) n_{1}
        - \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{2}} 
                (\Dvect{x}) n_{2}
        - \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{3}} 
                (\Dvect{x}) n_{3}
        \right) dS
\end{eqnarray*}
である. 領域は
この関係は連続体内の領域の取り方によらないので
\begin{eqnarray*}
        \Dvect{\sigma}_{\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
                = \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{1}} 
                        (\Dvect{x}) n_{1}
                + \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{2}} 
                        (\Dvect{x}) n_{2}
                + \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{3}} 
                        (\Dvect{x}) n_{3}
\end{eqnarray*}
\vspace{1em}

そこで, 
\begin{eqnarray*}
        \sigma_{ij} (\Dvect{x})         
                = \left( \Dvect{\sigma}_{\Dvect{e}_{j}} 
                        (\Dvect{x}) 
                  \right)_{i}
\end{eqnarray*}
を定義すると
\begin{eqnarray}
        \Dvect{\sigma}_{j\Dvect{n}} (\Dvect{x}) 
                = \sum_{j} \sigma_{ij}(\Dvect{x}) n_{j}
\end{eqnarray}
である.  $\sigma_{ij}$ の最初の添字 $i$ は応力ベクトルの第 $i$ 成分,
後ろの添字 $j$ は面の向きの $j$ 成分に対応している. 

\subsection{垂直応力に付いて}

平面の接線方向の応力(せん断応力ともいう)が常に $0$ である場合, 
法線方向の応力は平面の向きによらない. 
\vspace{1em}

連続体中に図のようなプリズム型の領域を考える. 
\vspace{1em}

\hspace*{5cm}
\begin{minipage}{100pt}
\begin{Depspic}(100,100){./fig/prism.ps}
\Deput(30,30){$\alpha$}
\Deput(85,30){$\alpha$}
\Deput(85,8){$x$}
\Deput(30,70){$l$}
\end{Depspic}
\end{minipage}
\hspace*{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
プリズム型の領域
\end{minipage}
\vspace{1em}

各面の法線方向に応力 $p_{i}\ (i=1,2,3)$ が働いているとする. 
\begin{enumerate}
\item まず, 連続体が静止していて 
        働く力が応力のみである場合を考える. 
        \vspace{1em}

        $x$ 方向の力がつり合うことから 
        \begin{eqnarray*}
           p_{1} l \sin \alpha = p_{2} l \sin \alpha \ \ \
           \mbox{ゆえに}\ \ \ p_{1} = p_{2}
        \end{eqnarray*}
        任意の角度 $\alpha$ について成り立つので, 
        法線方向の応力は面の向きによらず一定である. 
        \vspace{1em}

\item 次に, 連続体は静止していて体積力が働く場合を考える. 
        \vspace{1em}

        プリズム領域に働く体積力は $l^3$ に比例する. 
        一方, 領域の境界面に働く力(応力の寄与)は $l^2$ に比例する. 
        領域を十分小さくとれば, 
        体積力は応力の寄与より十分小さくなるので無視することができる. 
        したがって, 体積力が働いていない場合の結果がそのまま成り立ち, 
        法線方向の応力は面の向きによらず一定である. 
        \vspace{1em}

\item さらに, 連続体が運動している場合を考える. 
        \vspace{1em}

        プリズム型の領域とともに動く座標系にのってみたとき, 
        連続体には応力 $\cdot$ 外力に加えて慣性力が働き, 
        それらがつりあって静止している. 
        ところで慣性力は体積力であるから, 
        領域を十分小さくとれば, 
        応力の寄与より十分小さくなるので無視することができる. 
        したがって, このときも先の結果と一致して, 
        法線方向の応力は面の向きによらず一定であることがわかる. 
        \vspace{1em}

\end{enumerate}

以上より, 接線方向の応力が常に0であるならば, 
法線方向の応力の大きさは面の向きによらないことが示された. 
\vspace{1em}

%--------------------------------------------------------------------
\section{応力テンソルの対称性}

応力テンソルは角運動量保存則を考察することにより, 
物体が極性物質でなければ, 対称テンソルであること示せる. 
この場合, 応力テンソルの自由度は $3 \times 4 /2 =6$ 
ということになる. 
\vspace{1em}

\subsection{対称性}

連続体内の領域 $D$ として点 $\Dvect{x}$ を含む, 
微小 6 面体を考察する.
\vspace{1em}

%\hspace*{3cm}
%\begin{minipage}{100pt}
%\begin{Depspic}(100,100){./fig/rokumen.ps}
%\Deput(10,10){$x_i$}
%\Deput(80,40){$x_j$}
%\Deput(50,30){$dS$}
%\Deput(63,68){$\Dvect{n}$}
%\Deput(33,75){$\sigma_{ij}$}
%\Deput( 0,55){$\sigma_{ji}$}
%\end{Depspic}
%\end{minipage}
%\hspace*{1cm}
%\begin{minipage}{5cm}
%応力テンソルの対称性を考察するための 6 面体の $i-j$ 断面.
%\end{minipage}
%\vspace{1em}

\vspace{1em}

%======================================================================
\newpage
\section{参考文献}

\begin{description}
  \item Batchelor,G.K., 橋本英典 他 訳 : 入門流体力学, 
        東京電機大学出版局, 614pp.

  \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., 竹内 均 訳, 1970 : 流体力学1, 
        東京図書, 280pp.

  \item 今井　功, 1973 : 流体力学(前編), 裳華房, 428pp.
\end{description}
\vspace{2em}

%======================================================================
\newpage
\section{謝辞}

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 
流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 
原作版は竹広真一による「流体力学の基礎」 (1989-04-21) であり, 
保坂征宏による改定 (1990-04-23) を経て, 
林祥介/竹広真一によって「連続体力学: 基礎法則」として書き直された 
(1996-04-23). 
構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてに
感謝するものである. 

本ドキュメントは
\begin{quote}
  http://www.gfd-dennou.org/library/rironn/renzoku/housoku/pub/
\end{quote}
において, 無保証無責任を原則として公開している. 
原著作者ならびにその他の資源提供者(図等の版元等を含む)
の諸権利に抵触しない(不利益を与えない)限り, 
資源は自由に利用していただいて構わない. 
\copyright 林祥介・竹広真一 (Y.-Y. Hayashi and S. Takehiro) 1989. 

\end{document}
