1.1 静的安定度の定義

気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 気塊の密度と周囲の空気の密度差 によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$ と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度 $N^{2}$ と呼ぶ.

気塊が上昇することによって, 本来は気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響を 受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法と いう. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる.

気塊とその周囲の大気を考える. 気塊とその周囲の大気には以下のような関係が 成立すると仮定する.

• 気塊と周囲の大気は理想気体の状態方程式に従う.
• 気塊を変位させる前の高度 $z = z_{0}$ において, 気塊と周囲の大気の密度 $\rho$ は等しい(Fig.1).
  

  $$\rho\vert _{z=z_{0}} = \rho^{*}\vert _{z=z_{0}}$$ (1)

  
  

• 気塊の分子量は変化しない. すなわち, 雨として凝縮物が気塊から分離 することはない.
  

  $$\DD{M^{*}}{z} = 0$$ (2)

  
  
  但し $M^{*}$ は周囲の大気の分子量である.

気塊と周囲の大気の密度差は,

$$d \rho = \rho^{*} - \rho$$ (3)

と書けるので, 運動方程式は,

$$\DD[2]{}{t} \delta z = \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}$$ (4)

となる. ただし $g$ は重力加速度である. (4) 式右辺の $\rho, \rho^{*}$ をテーラー展開し, 2 次以上の微小項を無視すると,

$$\frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}} = \frac{g}{\rho^{*}} \left\{ \left( \rho\vert _{z=z_{0}} + \DD{\rho... ...- \left( \rho^{*}\vert _{z=z_{0}} + \DD{\rho^{*}}{z} \delta z \right) \right\},$$

$$= \frac{g}{\rho^{*}} \left( \DD{\rho}{z} \delta z - \DD{\rho^{*}}{z} \delta z \right)$$

となる. ただし式変形において (1) 式の関係を用い た. 理想気体の状態方程式が成立するので, 以下のように変形できる.

$$\frac{g}{\rho^{*}} \left( \DD{\rho}{z} \delta z - \DD{\rho^{*}}{z} \delta z \right) = \frac{g T^{*}}{ M^{*} } \left\{ \DD{}{z} \left( \frac{M}{T} \right) - \DD{}{z} \left( \frac{M^{*}}{T^{*}} \right) \right\} \delta z ,$$

$$= \frac{g T^{*}}{ M^{*} } \left\{ M \DD{}{z} \left( \Dinv{T} \right... ...z} \left( \Dinv{T^{*}} \right) - \Dinv{T^{*}} \DD{M^{*}}{z} \right\} \delta z ,$$

$$= \frac{g T^{*}}{ M^{*} } \left\{ - \frac{M}{T^{2}} \DD{T}{z} + \frac{M^{*}}{{T^{*}}^{2}} \DD{T^{*}}{z} + \Dinv{T} \DD{M}{z} \right\} \delta z ,$$

$$= \left\{ \frac{g} {T } \left( - \DD{T}{z} + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} \right) + g \left( \Dinv{M} \DD{M}{z} \right) \right\} \delta z$$ (5)

但し $M$ は大気の分子量である. また式変形において (2) 式を利用した. (5) 式を (4) 式に代入する ことで,

$$\DD[2]{}{t} \delta z = \left\{ \frac{g} {T } \left( - \DD{T}{z} +... ...} \DD{T^{*}}{z} \right) + g \left( \Dinv{M} \DD{M}{z} \right) \right\} \delta z$$ (6)

となる. 解として $\delta z = sin(Nt)$ を用いることで静的安定度は,

$$N^2 \equiv \frac{g}{T} \left( \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}}\DD{T^{*}}{z} \right) - g \left( \Dinv{M} \DD{M}{z} \right)$$ (7)

と定義される.

図 1: パーセル法による静的安定度の見積もりの概要. 気塊の周囲の大気の温度 $T$ と 分子量 $M$, 気塊の温度 $T^{*}$ と分子量 $M^{*}$ とする. $z = z_0$ において気塊と周囲の大気の密度が等しく, 理想気体の状態方程式 が成立するならば, $M/T = M^{*}/T^{*}$ となる. また気塊を上昇・下降させた際, 気塊の温度は変化するが 気塊から凝縮物が離脱しないと仮定したので, $z+dz$ における気塊の分子量は $M^{*}$ のまま維持される.