付録 A: 負の雲密度の発生を防ぐ処置に関して

本もデルでは中央差分を用いることで生じる負の雲密度を防ぐ為, 全質量が保存 されるように負の雲密度の穴埋めを行なっている. 雲密度に対する穴埋めを行なう関数 FillNegativeMMC の中の式を具体的に書き 下すと, 以下のようになる.

221#221 12#12 222#222 223#223 224#224 225#225 226#226 227#227 228#228 229#229

230#230 (A.1)

231#231 12#12 232#232 233#233 234#234 235#235 236#236 237#237 238#238 239#239 240#240 241#241

242#242 (A.2)

243#243 12#12 244#244 (A.3)

但し, 207#207 は穴埋め前の雲密度, 245#245 は穴埋め後の雲密度, 246#246 は穴埋めする量である. 例えばある一点のみで雲密度が負となった場合, この関数は負の点がゼロとなる ように隣接する点と 2 つ隣の点から雲を削って埋める. その際, 隣接する各点は埋める量全体の 247#247 を負担し, 2 つ隣の各点は埋め る量全体の 248#248 を負担する.

以下では, 単純な場合として, ある一点 249#249 のみ穴埋め前の雲密 度が負である場合に, 穴埋め前後での全雲質量が保存されることを示す. ある一点 249#249 のみ穴埋め前の雲密度が負であるとき, A, B より 250#250 以外の点では 251#251 となる. 以上の 9 点での 246#246 を書き下すと,

252#252 12#12 253#253

254#254 (A.4)

255#255 12#12 256#256

257#257 (A.5)

258#258 12#12 259#259

260#260 (A.6)

261#261 12#12 262#262

263#263 (A.7)

264#264 12#12 265#265

266#266 (A.8)

267#267 12#12 268#268

269#269 (A.9)

270#270 12#12 271#271

272#272 (A.10)

273#273 12#12 274#274

275#275 (A.11)

276#276 12#12 277#277

278#278 (A.12)

となる. 但し

279#279 12#12 280#280 281#281 282#282

283#283 (A.13)

である. 従って

284#284 12#12 285#285

12#12 286#286 287#287 288#288 289#289 290#290 291#291

12#12 292#292 293#293 294#294 295#295 296#296 297#297

12#12 292#292 298#298

12#12 299#299 (A.14)

となるので, 穴埋め前後での質量は相等しい.

同様に雲密度が負である点が複数ある場合についても,穴埋め前後で質量は保存 されると考えられる.