\section{モデル}

基礎方程式は以下の式である.
\begin{equation}
  \DP{\theta }{t} = \frac{1}{\rho c_{p}}\frac{\theta }{T}Q 
            + \frac{1}{\rho }\DP{}{z}\left(\rho K_{h}\DP{\theta }{z}\right).
  \Deqlab{基礎方程式}
\end{equation}

ここで $\theta $ は温位, $T$ は温度, $K_{h}$ は鉛直拡散係数, $Q$ は放
射による単位体積あたりの加熱率, $c_{p}$ は定圧比熱である. なお大気は理
想気体であることを仮定している. 

さらに大気は静水圧平衡にあるとする.
\begin{equation}
 \DP{p}{z}=-\rho g.
 \Deqlab{静水圧の式}
\end{equation}

\subsection{拡散係数}

拡散係数は Klemp and Wilhelmson (1978) のパラメタリゼーションを 1 次元
化したものを用いる\footnote{現時点ではまだ実装できていない}. 

\begin{equation}
  \DP{\varepsilon}{t} = -\frac{g}{\theta }K_{h}\DP{\theta }{z} +
  \DP{}{z}\left(K_{h}\DP{\varepsilon}{z}\right) 
  - \frac{0.2}{l}\varepsilon ^{3/2}
\end{equation}
\begin{equation}
  K_{h} = 0.2 \sqrt{\varepsilon }l
\end{equation}

ここで $l$ は混合距離で, ここではモデルの格子間隔を与える.

比較のため Gierash and Goody (1968) で用いられた形式でも計算を行なう.
\begin{equation}
  K_{h} = kz^{2}\sqrt{\left|\frac{g}{\theta }\DP{\theta }{z}\right|}.
\end{equation}

ここで $k=1.32$ である(Priestley, 1959). 

\subsection{放射過程}

放射による加熱/冷却項 $Q$ は以下のように表される.
\begin{equation}
 Q = - \DP{}{z}\left(F_{net,IR} + F_{net,S}\right).
\end{equation}

ここで $F_{net,IR}$ は正味の長波放射フラックス, $F_{net,S}$ は正味の短
波放射フラックスである. 以下では大気中における短波放射の吸収はないと仮
定する.

長波放射は CO${}_{2}$ 15 $\mu $m バンドの赤外放射のみを考慮する. 上向
き及び下向き放射 $F^{\uparrow}_{IR}, F^{\downarrow}_{IR}$ は以下のよう
に計算する(Pollack {\it et al}., 1981; Ye {\it et al}., 1990).
\begin{eqnarray}
    F_{net,IR} &=& F^{\uparrow}_{IR} - F^{\downarrow}_{IR}, \\
    F^{\uparrow}_{IR}(p) &=& 2\pi \left\{\frac{\sigma T_{g}^{4}}{2\pi }
    - 0.488 \int _{B(p_{s})}^{B(p)} E(p,p')\Dd B(p')
    \right\}, \Deqlab{上向き放射}\\
    F^{\downarrow}_{IR}(p) &=& 0.488 \cdot 2\pi \cdot
    \left\{B(p_{t})E(p_{t},p) - \int
    _{B(p)}^{B(p_{t})}E(p',p)\Dd B(p') \right\},  
    \Deqlab{下向き放射}
\end{eqnarray}

ここで $T_{g}$ は地表面温度, $p_{s}, p_{t}$ はそれぞれ地表とモデル大気
上端の気圧, $\sigma $ はボルツマン定数, $B$ は波長 15$\mu$m におけるプ
ランク関数の値である. $E(p,p')$ は気圧 $p$, $p'$ 間における CO${}_{2}$
15$\mu$m バンドの等価幅で, 光路長 $u(p,p')$ を用いて以下のように表現さ
れる.
\begin{eqnarray}
  E(p,p') &=& 54.4\left(\overline{T}/T_{0}\right)^{0.879} \cdot
      \ln \left[ 1 + 0.153\left(\overline{T}/T_{0}\right)^{-0.256}
         u(p,p')^{0.566}\overline{p}^{0.323}\right], \Deqlab{等価幅}\\ 
  u(p, p')&\equiv &\int _{p}^{p'}\frac{\Dd p}{g}.  
\end{eqnarray}

ただし $T_{0}$ は参照温度(200K), $\overline{p}, \overline{T}$ は
圧力 $p$, $p'$ 間において高度平均した圧力と温度である.

\subsection{顕熱輸送}

地表面からの顕熱フラックス $H$ の評価は Louis (1979) のパラメタリゼー
ションを用いる. 
\begin{equation}
 H = \rho c_{p}C_{d}|U|(T_{g}-T_{z=0}).
\end{equation}
\begin{quote}
\[
  C_{d}= \left\{
\begin{array}{ll}
  C_{d0}\left( 1 -
    \frac{b\mbox{Ri}_{B}}{1+c|\mbox{Ri}_{B}|^{1/2}} \right), & 
    \mbox{Ri}_{B} < 0  \\
  C_{d0}\frac{1}{(1+b'\mbox{Ri}_{B})^{2}}, &\mbox{Ri}_{B} \geq 0
\end{array}
\right.
\]
\[
 C_{d0} = \left(\frac{k}{\ln (z/z_{0})}\right)^{2}, \; b=9.4, \; b'=4.7, 
 c=69.5C_{d}\left(\frac{z}{z_{0}}\right)^{1/2},
\]
 
\[
  \mbox{Ri}_{B} \equiv \frac{gz(\theta _{s}-\theta _
  {z=0})}{\overline{\theta }u(z)^{2}}.
\]
\end{quote}

地表風速は 10 m/sec に固定する. 

%地表風速 $|U|$ は 2 次元モデルの結果を適当にパラメタラ
%イズして与える. 時刻 t (単位は LT) において
%
%\[
%   |U| = 0.5 + 15\cdot\exp \left\{ - \left(\frac{t - 15}{3}\right)^{2}\right\}
%\]

\subsection{地表面}

地表面の温度 $T_{g}$ は境界条件とし, 観測される日変化を適当に表現する
ように与える.
\begin{equation}
  T_{g} = 180 + 100\cdot \mbox{max}[ \sin \Omega t, 0 ].
\end{equation}

ここで $\Omega = 2\pi/1$日である.
