%  表題  Crank-Nicolson 法による拡散方程式の数値解法
%        基本的な考え方
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%  履歴  2000/01/18  小高正嗣
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\section{基本的な考え方}

無次元化された 1 次元拡散方程式

\begin{equation}
  \DP{\psi }{t} = \DP[2]{\psi }{x},\Deqlab{拡散方程式}
\end{equation}

を考える. ここで $\psi = \psi (x,t), x=[0,1], t=[0,T]$ とする. これ
を空間方向に 2 次心差分で差分化する. $\psi _{i}(t)=\psi(ih, t)$ とする
と,

\begin{equation}
  \DP{\psi }{t} = \frac{\psi _{i+1} - 2 \psi _{i} + \psi _{i-1}}{h^{2}},
\end{equation}

となる. 

前節にならい時間方向にも差分化する. $\psi _{i}^{j}=\psi(ih,j\tau )$ と
すると,

\begin{equation}
  \frac{\psi _{i}^{j+1}-\psi _{i}^{j}}{\tau } = \left(
  \frac{\psi _{i+1} - 2 \psi _{i} + \psi _{i-1}}{h^{2}}\right)^{\theta }.
\end{equation}

ここで

\[
  \left(\frac{\psi _{i+1}-2\psi _{i}+\psi _{i-1}}{h^{2}}\right)^{\theta }
= \theta \left(\frac{\psi _{i+1}^{j+1}-2\psi _{i}^{j+1}+\psi _{i-1}^{j+1}}
  {h^{2}}\right) + 
  (1-\theta )\left(\frac{\psi _{i+1}^{j}-2\psi _{i}^{j}+\psi _{i-1}^{j}}
  {h^{2}}\right), 
\]

である.

Crank-Nicolson 法では $\theta = \frac{1}{2}$ とするので,

\[
  \left(\frac{\psi _{i+1}-2\psi _{i}+\psi _{i-1}}{h^{2}}\right)^{\theta }
= \frac{1}{2} \left(\frac{\psi _{i+1}^{j+1}-2\psi _{i}^{j+1}+\psi _{i-1}^{j+1}}
  {h^{2}} + \frac{\psi _{i+1}^{j}-2\psi _{i}^{j}+\psi _{i-1}^{j}}
  {h^{2}}\right), 
\]

となる. まとめると,

\begin{equation}
  \frac{\psi _{i}^{j+1}-\psi _{i}^{j}}{\tau } = 
  \frac{1}{2} \left(\frac{\psi _{i+1}^{j+1}-2\psi _{i}^{j+1}+\psi _{i-1}^{j+1}}
  {h^{2}} + \frac{\psi _{i+1}^{j}-2\psi _{i}^{j}+\psi _{i-1}^{j}}
  {h^{2}}\right), 
\end{equation}

または,

\begin{equation}
  -\psi _{i-1}^{j+1} + 2 \left(\frac{h^{2}}{\tau }+1\right)\psi _{i}^{j+1}
  -\psi _{i+1}^{j+1} = 
   \psi _{i-1}^{j} + 2 \left(\frac{h^{2}}{\tau }-1\right)\psi _{i}^{j}
  +\psi _{i+1}^{j}, 
\end{equation}

である. $\Dvect{\psi }^{j,T}=(\psi _{1}^{j},\psi _{2}^{j}, ... ,\psi
_{i}^{j}, ... )$ とすると, 上式は

\begin{equation}
  \Dvect{A} \Dvect{\psi }^{j+1} = \Dvect{B} \Dvect{\psi }^{j},
  \Deqlab{行列表現}
\end{equation}

と形式的に表される. 係数行列の第 1 行及び第 N 行の要素は境界条件により異なる.

