% 表題   DCPAM5  力学過程の支配方程式の導出 -- z-座標プリミティブ方程式
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% 履歴 
%\Drireki{1994/04/13 石渡正樹}
%\Drireki{1997/04/15 赤堀浩司}
%\Drireki{2005/04/04 石渡正樹}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}
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\section{$z$-座標プリミティブ方程式}

\subsection{静力学平衡近似}

鉛直方向の運動方程式に対し, 以下のように静力学平衡近似を行なう. 
    \begin{align}
      0  =  - \frac{1}{\rho} \DP{p}{z} - g.
    \end{align}
このとき, 運動エネルギーの保存則を考慮して, 水平方向の運動方程式に対し
ても近似を施す. 運動エネルギーの式は, 運動方程式の各成分にそれぞれ
$u, v, w$ をかけることで得られる. 
    \begin{align}
      \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 \right)
        & = \quad
              u \DD{u}{t} + v \DD{v}{t} + w \DD{w}{t}  \nonumber \\
        & = \quad
              u \biggl\{           
       - \frac{1}{\rho r \cos \varphi } \DP{p}{\lambda} 
              +  \underbrace{ 2 v \Omega \sin \varphi }_{(1)}
              -  \underbrace{ 2 w \Omega \cos \varphi }_{(2)}
              +  \underbrace{ \frac{u v}{r} \tan \varphi }_{(3)}
              -  \underbrace{ \frac{u w}{r} }_{(4)}
              + {\cal F}_\lambda \biggl\} \nonumber \\
        & \quad
              + v \biggl\{ - \frac{1}{\rho r} \DP{p}{\varphi} 
              - \underbrace{ 2 \Omega u \sin \varphi }_{(1)}
              - \underbrace{ \frac{u^2}{r} \tan \varphi }_{(3)}
              - \underbrace{ \frac{v w}{r} }_{(5)}
              + {\cal F}_\varphi \biggl\} \nonumber \\
        & \quad
              + w \biggl\{ - \frac{1}{\rho} \DP{p}{r} -g 
              + \underbrace{ 2 \Omega u \cos \varphi }_{(2)}
              + \underbrace{ \frac{u^2}{r} }_{(4)}
              + \underbrace{ \frac{v^2}{r} }_{(5)}
              + {\cal F}_r \biggl\} \nonumber \\
        & =   - \frac{1}{\rho} \Dvect{v} \Dgrad{p} - g w
              - \Dvect{v} \cdot \Dvect{\cal F}. 
    \end{align}
コリオリの力およびメトリック項は同じ番号のもの同士で打ち消しあって, 運
動エネルギーの時間変化に寄与しないことがわかる
    \footnote{
        遠心力を重力加速度から分離してエネルギーの式で考慮すると, 
	この寄与はキャンセルすることなく残る.
     }. 
したがって, 静力学平衡近似の際に鉛直成分の式から落とした項(2),(4),(5)
に対応した水平成分の式の項も取り除く. これにより, 運動方程式の水平成分
は次のようになる.
    \begin{align}
          \DD{u}{t} 
    & =   \frac{uv \tan \varphi}{r}
          + fv - \frac{1}{\rho r \cos \varphi} \DP{p}{\lambda}
          + {\cal F}_{\lambda} , \\
          \DD{v}{t}
    & =   - \frac{u^2 \tan \varphi}{a}
         - fu - \frac{1}{\rho r } \DP{p}{\varphi}
          + {\cal F}_{\varphi} . 
    \end{align}
ここで, $f$ はコリオリパラメータ
$f \equiv 2\Omega \sin \varphi$ である. 

\subsection{薄い球殻近似}

大気の層が惑星半径に比べて薄いことを仮定し, 方程式中の $r$ を, 代表的
な惑星半径 $a$ でおきかえる. また, $r$ による微分はすべて海抜高度 $z$ 
による微分でおきかえる. このとき基礎方程式は次のようになる.
    \begin{align}
          \DD{\rho}{t} & = - \rho \Ddiv \Dvect{v},
        \\
          \DD{q}{t}  & = S_q,
        \\
          \DD{u}{t}  & =  \frac{uv \tan \varphi}{a}
          + fv - \frac{1}{\rho a \cos \varphi} \DP{p}{\lambda}
          + {\cal F}_{\lambda}, 
        \\
          \DD{v}{t} 
     & =  - \frac{u^2 \tan \varphi}{a}
         - fu - \frac{1}{\rho a } \DP{p}{\varphi}
          + {\cal F}_{\varphi}, 
        \\
    0  & =  - \frac{1}{\rho} \DP{p}{z} - g,
        \\
        \Deqlab{z熱力}
          \DD{T}{t} & = \frac{1}{C_p^d \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{C_p^d},
        \\
          p & = \rho R^d T_v.
    \end{align}
ここで, 
    \begin{align}
      \DD{}{t}
         & = \DP{}{t}
          + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          + \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}
          + w \DP{}{z},
        \\
      \Ddiv{\Dvect{v}}
     & \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
      +  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\varphi}
         ( v \cos \varphi )
      + \DP{w}{z}.
    \end{align}