% 表題   DCPAM5  力学過程の支配方程式の導出 -- 回転系への変換
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% 履歴 
%\Drireki{1994/04/13 石渡正樹}
%\Drireki{1997/04/15 赤堀浩司}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}
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\section{回転系への変換}

ここでは, 方程式系を
一定の自転角速度 $\Dvect{\Omega}$ で回転する回転系に変換する. 

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\subsection{スカラーの変換公式}

慣性系における時間微分を添字 a で, 回転系を添字 r で表現する. このとき, 
任意のスカラー $\psi$ に対して,
    \begin{align}
         \left( \DD{\psi}{t} \right)_{\rm a}
       = \left( \DD{\psi}{t} \right)_{\rm r}
    \end{align}
が成りたつ
    \footnote{
	これは自明のこととしたい. スカラー $\psi$ の座標変換は座標変換テ
	ンソルに依存しない(で同じ値をとる)からである. 
%	なお, Pedlosky
%	(1987) では, ベクトルの変換公式を使ってスカラーの変換を証明して
%	いる. ところがベクトルの変換公式ではスカラーの変換公式を使ってい
%	るので, 何がなんだかわからない.

	一方, ベクトルの座標変換は, 座標変換テンソルとの積で表現され
	る. したがって, 座標変換テンソル自体が時間変化する場合, 当然ベク
	トルの時間微分は座標変換テンソルの時間微分の影響を受ける.
    }. 

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\subsection{ベクトルの変換公式}

任意のベクトル $\Dvect{A}$ に対する慣性系および回転系での微分は次の関
係をもつ. 
    \begin{align}
      \Deqlab{ベクトル回転系}
        \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm a}
           = \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm r}
            + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}.
    \end{align}

(証明) \hspace{1cm} 任意のベクトル $\Dvect{A}$ を, 慣性系では
    \begin{align}
      & \Dvect{A} = 
          \Dvect{i} A_x
          + \Dvect{j} A_y   
          + \Dvect{k} A_z
    \end{align}
と表し, 回転系では
    \begin{align}
      & \Dvect{A} = 
          \Dvect{i}' A'_x
          + \Dvect{j}' A'_y   
          + \Dvect{k}' A'_z
    \end{align}
と表す. 
時間微分をとると
    \begin{align}
      \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm a}
        &=  \Dvect{i} \left( \DD{A_x}{t} \right)_{\rm a}
          + \Dvect{j} \left( \DD{A_y}{t} \right)_{\rm a}
          + \Dvect{k} \left( \DD{A_z}{t} \right)_{\rm a} \nonumber \\
        &=  \Dvect{i}' \left( \DD{A'_x}{t} \right)_{\rm a}
          + \Dvect{j}' \left( \DD{A'_y}{t} \right)_{\rm a}
          + \Dvect{k}' \left( \DD{A'_z}{t} \right)_{\rm a}
          + \left( \DD{\Dvect{i}'}{t} \right)_{\rm a} A'_x
          + \left( \DD{\Dvect{j}'}{t} \right)_{\rm a} A'_y
          + \left( \DD{\Dvect{k}'}{t} \right)_{\rm a} A'_z \nonumber \\
        &=  \Dvect{i}' \left( \DD{A'_x}{t} \right)_{\rm r}
          + \Dvect{j}' \left( \DD{A'_y}{t} \right)_{\rm r}
          + \Dvect{k}' \left( \DD{A'_z}{t} \right)_{\rm r}
          + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{i}' A'_x
          + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{j}' A'_y
          + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{k}' A'_z \nonumber \\
        &=  \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm r}
          + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}.
    \end{align}
\hspace{12cm}
(証明終り)

ここで $\Dvect{A}=\Dvect{r}$ ( $\Dvect{r}$ は位置ベクトル ) とおけば慣
性系での速度 $\Dvect{v}_a \equiv (d\Dvect{r}/dt)_{\rm a}$ (これまでの 
$\Dvect{v}$) は回転系での速度 $\Dvect{v} \equiv (d\Dvect{r}/dt)_{\rm
r}$ を用いて次のように表すことができる.
    \begin{align}
      \Dvect{v}_a = \Dvect{v} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}.
    \end{align}
さらに, \Deqref{ベクトル回転系} で $\Dvect{A}=\Dvect{v}_{\rm a}$ とお
けば, 速度の時間微分項は 
    \begin{align}
        \DD{\Dvect{v}_a}{t}
     =  \DD{\Dvect{v}}{t} + 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
        + \Dvect{\Omega} \times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} ) 
    \Deqlab{速度微分}
\end{align}
と変換できる. 

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\subsection{回転系への変換}

変換の\Deqref{速度微分}を用いて運動方程式を回転系で記述する. 
    \begin{align}
          \DD{\Dvect{v}}{t}
      = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p 
        - 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
        - \Dvect{\Omega} \times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} )
        + \Dgrad \Phi^* + \Dvect{\cal F}. 
    \end{align}
ここで, 重力加速度 $\Dvect{g} \equiv \Dgrad \Phi^* - \Dvect{\Omega}
\times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v})$ を定義すれば, 運動方程式は 
    \begin{align}
      \DD{\Dvect{v}}{t}
      = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p 
        - 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
        + \Dvect{g} + \Dvect{\cal F}
    \end{align}
となる.

連続の式および熱力学の式においては, ラグランジュ微分が作用している密度
および温度は座標変換に無関係なスカラーであるため, その時間微分の形は変
わらない. 連続の式は, 速度場の発散を含むが, これは座標変換によっても値
は変わらない. したがって, これらの式は形を変えない.
%    \footnote{
%	ここで私 (石渡氏? 赤堀氏?) が気になっているのは,
%	運動エネルギー保存の式が, 回転系へ
%	の移行によって形を変えることである.
%    }