\section{数理表現}

ここでは, 惑星表面・地下の熱収支について述べる. 

\subsection{惑星表面 1 層モデル}

惑星表面に 1 層の板があるモデルを考える. 
このモデルは slab ocean モデルと等価である. 

この 1 層の板の熱容量が有限の時, 熱収支は下のように表現できる.
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\begin{eqnarray}
  C_s \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& - F_{SR} - F_{LR} - F_{h,\frac{1}{2}} - L F_{q,\frac{1}{2}} + F_g. 
  \Deqlab{Surf1LayModelHeatBudget}
\end{eqnarray}
%
ここで $C_s$ は熱容量である. 

一方, 熱容量が無限大のときは下のように表現できる. 
%
\begin{eqnarray}
  \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& 0.
\end{eqnarray}
%
このときは, 惑星表面温度を固定することと等価であり, 下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  T_s &=& {\rm Const.}
\end{eqnarray}


\subsection{土壌熱拡散モデル}

地表面のモデルとして, 土壌中の熱伝導を考慮したモデルを考える. 
土壌温度の熱伝導方程式と, その境界条件としての地表面の熱収支は
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\begin{eqnarray}
\Deqlab{surface energy budget:math:thermal diffusion of soil}
  C_{g} \frac{ \partial T_{g} }{ \partial t}
    &=& - \frac{\partial F_{g,h}}{\partial z}
\\
\Deqlab{surface energy budget:math:surface energy equation}
  F_{g,h} &=& F_{SR} + F_{LR} + F_{h} + L F_{q} 
    {\rm \ \ \ for \ z \ = \ 0}
\\
\Deqlab{surface energy budget:math:thermal diffusion flux at the surface}
  F_{g,h} &=& - \kappa \frac{\partial T_{g}}{\partial z}
    {\rm \ \ \ for \ z \ < \ 0}
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで $C_{g}$ は単位体積当たりの土壌熱容量 (J m$^{-3}$ K$^{-1}$) であり, 
$\kappa$ は土壌の熱伝導係数 (W m$^{-1}$ K$^{-1}$) である
\footnote{
  単位体積当たりの熱容量は, 密度 (kg m$^{-3}$) と単位質量あたりの
  比熱 (J K$^{-1}$ kg$^{-1}$) の積である. 
  熱伝導係数は, 密度 (kg m$^{-3}$), 単位質量あたりの比熱 
  (J K$^{-1}$ kg$^{-1}$), 拡散係数 (m$^2$ s$^{-1}$) の積である.
}. 


\subsubsection{融雪・氷の融解に伴う熱収支の修正}

融雪や氷の融解/凝結の時には, 惑星表面温度は凝結温度となる. 
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この時, 惑星表面温度と惑星表面の熱収支は, 
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\begin{eqnarray}
  T_s &=& T_{cond}
\\
\Deqlab{surface energy budget:math:surface energy equation when snow melts}
  F_{g,h} &=& {SR} + F_{LR} + F_{h,\frac{1}{2}} + L F_{q,\frac{1}{2}} (+ F_{IM}) + F_{SM}
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで, $T_{cond}$ は凝結温度であり, $F_{IM}$ は氷の融解・凝結による熱フラックス, 
$F_{SM}$ は融雪による熱フラックスである. 


\subsection{海氷 1 層熱収支モデル}

海氷が存在する場合のモデルとして, 1 層の海氷のモデルを考える. 
海氷面上の熱収支は, 
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\begin{eqnarray}
\Deqlab{surface energy budget:math:energy budget of 1 layer sea ice}
  C_I h_I \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& - F_{SR} - F_{LR} - F_{h,\frac{1}{2}} - L F_{q,\frac{1}{2}} + F_b. 
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで, $C_I$ は海氷の単位体積当たりの熱容量, $h_I$ は海氷の厚さ, 
$F_b$ は海氷の底面から海に伝わる熱伝導フラックスである. 


\subsubsection{海氷の融解に伴う熱収支の修正}

海氷の温度が凝結温度を上回る時には, 海氷が融解する.
この時, 海表面温度 (惑星表面温度) は凝結温度を超えることはない.

この時の惑星表面の熱収支は,
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\begin{eqnarray}
\Deqlab{surface energy budget:math:energy budget of 1 layer sea ice when ice melts}
  C_I h_I \frac{ \partial T_s }{ \partial t}
    &=& - F_{SR} - F_{LR} - F_{h,\frac{1}{2}} - L F_{q,\frac{1}{2}} + F_g - F_{IM}.
\end{eqnarray}
%
となる.
ここで, $F_{IM}$ は海氷の融解による熱フラックスである.