% 表題 DCPAM5 座標系・変換公式に関する解説 -- 球面調和函数 % % 履歴 %\Drireki{1991/12/09 保坂征宏} %\Drireki{2005/04/04 石渡正樹} %\Drireki{2008/06/15 森川靖大} %\Dchapterhead % \section{球面調和函数} \Dseclab{球面調和函数} ここでは連続系での球面調和函数を定義し, スペクトル計算の理解に必要な性質を挙げ, 証明する. まず球面調和函数を定義し, 次いで球面調和函数が完全直交系をなすことを主張する. このことにより, 球面上に分布するあらゆる連続関数が 球面調和函数の重ね合わせで一意的に表されることになる. 球面調和函数は2次元ラプラシアンに関する固有関数であり, このために全波数という概念が生まれる. 参考までにこのことも記しておく. さらに, 球面調和函数を空間微分した結果も書いておく. \begin{enumerate} \item 定義と性質 (球面調和函数, Legendre函数, Legendre陪函数) \item 空間微分 \item 全波数の概念 \end{enumerate} また, イメージをつかむために, ルジャンドル(陪)関数のグラフを示す. \subsection{定義と性質} ここでは, 岩波公式集% \footnote{ 森口, 宇田川, 一松編「数学公式III」,1960 \ を指す. }% のLegendre函数・陪函数 $\tilde{P}_n^m$ , 2 で規格化したLegendre函数・陪函数 $P_n^m$, $4 \pi$ で規格化した球面調和函数 $Y_n^m$ の順に定義する. さらにそれらの性質として, 従う微分方程式, 漸下式, 完全規格直交性について述べる. \subsubsection{岩波公式集の Legendre函数・陪函数$\tilde{P}_n^m$} \begin{itemize} \item 定義 岩波公式集によると Legendre函数・陪函数$\tilde{P}_n^m(\mu)$ は $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される (Rodrigues の公式). % \begin{align} & \tilde{P}_n^m \equiv \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!} \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. Legendre函数 $\tilde{P}_n^0$ を $\tilde{P}_n$ とも書く. \item Legendre 函数・陪函数の満たす方程式 $\tilde{P}^m_n(\mu)$ は次の方程式を満たす. % \begin{align} \DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} \tilde{P}_n^m \right\} + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} \tilde{P}_n^m = 0 . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. \item Legendre 函数・陪函数の従う漸化式 $\tilde{P}_n^m(\mu)$ は次の漸化式に従う. % \begin{align} & (n-|m|+1) \tilde{P}_{n+1}^m - (2n+1) \mu \tilde{P}_n^m +(n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m = 0 . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$, または $m=n=0$ を満たす整数である. % \vspace{5mm} さらに, 次の関係式が成り立つ. % \begin{align} & (1-\mu^2) \DD{}{\mu}\tilde{P}_{n}^{m} = (n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m - n \mu \tilde{P}_n^m . \end{align} ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$ を満たす整数である. \item 完全規格直交性 $\tilde{P}_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ は 次の直交関係を満たす. % \begin{align} \int_{-1}^1 \tilde{P}_n^m(\mu) \tilde{P}_{n'}^m (\mu) d \mu = \frac{2}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!} \delta_{nn'} . \end{align} % ただし, $m,n,n'$ は $0\le |m| \le n,n'$ を満たす整数である. $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は $ \{ \tilde{P}_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて % \begin{align} & A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} \tilde{A}_n^m \tilde{P}_n^m(\mu), \\ & \tilde{A}_n^m = \frac{2n+1}{2} \frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!} \int_{-1}^1 A(\mu) \tilde{P}_n^m(\mu) d \mu \end{align} % と表される. \end{itemize} \subsubsection{2 で規格化した Legendre函数・陪函数$P_n^m$} \begin{itemize} \item 定義 2 で規格化した Legendre函数・陪函数$P_n^m(\mu)$ は $-1 \le \mu \le 1$ において次式で定義される. % \begin{align} & P_n^m \equiv \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } \tilde{P}_n^m = \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!} \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. Legendre函数 $P_n^0$ を $P_n$ とも書く. \item Legendre函数・陪函数の満たす方程式 $P^m_n(\mu)$ は, 次の方程式を満たす. % \begin{align} \DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m \right\} + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} P_n^m = 0 . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. \item Legendre函数・陪函数の従う漸化式 $P_n^m(\mu)$ は, 次の漸化式に従う. % \begin{align} & (n-|m|+1) \sqrt{ \frac{1}{2n+3} \frac{(n+1+|m|)!}{(n+1-|m|)!} } P_{n+1}^m - (2n+1) \sqrt{ \frac{1}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!} } \mu P_n^m \nonumber \\ & \hspace*{2cm} +(n+|m|) \sqrt{ \frac{1}{2n-1} \frac{(n-1+|m|)!}{(n-1-|m|)!} } P_{n-1}^m = 0 , \\ & ∴ P_{n+1}^m = \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} } \mu P_n^m \nonumber \\ & \hspace*{2.5cm} - \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} } \sqrt{ \frac{(n-|m|)(n+|m|)}{(2n+1)(2n-1)} } P_{n-1}^m . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0\le |m| \le n-1$, または $m=n=0$ を満たす整数である. さらに次の関係式が成り立つ. % \begin{align} & (1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m = (n+|m|) \sqrt{ \frac{(n-|m|)(2n+1)}{(n+|m|)(2n-1)} } P_{n-1}^m - n \mu P_n^m . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n-1$ を満たす整数である. \item 完全規格直交性 $P_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ は次の直交関係を満たす. % \begin{align} \int_{-1}^1 P_n^m(\mu) P_{n'}^m (\mu) d \mu = 2 \delta_{nn'} . \end{align} % ただし, $m,n,n'$ は $ 0\le |m| \le n, n' $ を満たす整数である. \vspace{5mm} $-1 \le \mu \le 1$ で定義される連続関数 $A(\mu)$ は $ \{ P_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて % \begin{align} & A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} \tilde{A}_n^m P_n^m(\mu),\\ & \tilde{A}_n^m = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 A(\mu) P_n^m(\mu) d \mu \end{align} % と表される. \end{itemize} \subsubsection{球面調和函数$Y_n^m$} \begin{itemize} \item 定義 球面調和函数 $Y_n^m(\lambda,\varphi)$ は Legendre函数$P_n^m(\sin \varphi)$, 三角関数% \footnote{ $\exp(im\lambda)$ は $\int_0^{2 \pi} \exp(im\lambda) \exp(-im'\lambda) d \lambda = 2 \pi \delta_{mm'}$ を満たす. ただし, $m,m'$ は整数である.}% $\exp(i m \lambda)$ を用いて 次のように定義される. % \begin{align} & Y_n^m(\lambda, \varphi) \equiv P_n^m(\sin \varphi) \exp(i m \lambda) . \end{align} % ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. \item 球面調和函数の満たす方程式 $Y^m_n(\lambda, \varphi)$ は次の方程式を満たす. % \begin{align} & \left[ \frac{1}{\cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} + n(n+1) \right] Y_n^m =0 . \end{align} % すなわち, % \begin{align} \left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right) + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} + n(n+1) \right] Y_n^m =0 \end{align} % の解である. ただし, $m,n$ は $0 \le |m| \le n$ を満たす整数である. \item 完全規格直交性 $Y_n^m$ は次の直交関係を満たす. % \begin{align} \int_{-1}^1 Y_n^m(\lambda, \varphi) Y_{n'}^{m'*} (\lambda, \varphi) d (\sin \varphi) d \lambda = 4 \pi \delta_{mm'} \delta_{nn'} . \end{align} % ただし, $m,m',n,n'$ は $0 \le |m| \le n$ と $0 \le |m'| \le n'$ とを満たす整数である. 球面上で定義される連続関数 $A(\lambda,\varphi)$ は $ \{ Y_n^m | m=0,1,2,\cdots, \ n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ を用いて % \begin{align} & A(\lambda, \varphi) = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=|m|}^{\infty} \tilde{A}_n^m Y_n^m(\lambda,\varphi) ,\\ & \tilde{A}_n^m = \frac{1}{4 \pi} \int_{-1}^1 d (\sin \varphi) \int_0^{2 \pi} d \lambda A(\lambda, \varphi) Y_n^{m*}(\lambda, \varphi) \end{align} % と表される. \end{itemize} \subsection{球面調和函数の空間微分} ここでは, 球面調和函数 $Y_n^m(\varphi,\lambda)$ の \begin{itemize} \item $x$微分 \item $y$微分 \item 2次元ラプラシアン \end{itemize} の計算をする. \subsubsection{$x$微分} \vspace{-7ex} % \begin{align} \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{Y_n^m}{\lambda} = \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\lambda} \left( P_n^m (\sin \varphi) \exp(im \lambda) \right) = \frac{im}{r \cos \varphi} P_n^m (\sin \varphi) \exp(im \lambda) . \end{align} \subsubsection{$y$微分} \vspace{-7ex} % \begin{align} \frac{1}{r} \DP{Y_n^m}{\varphi} = \frac{1}{r} \DP{}{\varphi} \left( P_n^m (\sin \varphi) \exp(im \lambda) \right) = \frac{\sqrt{1-\mu^2} }{r} \DD{}{\mu} P_n^{m} (\mu) \exp(im \lambda) . \end{align} \subsubsection{2次元ラプラシアン} \vspace{-7ex} % \begin{align} \begin{split} \nabla_H^2 Y_n^m &\equiv \frac{1}{r^2} \left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right) + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} \right] Y_n^m \\ &= \frac{1}{r^2} \left[ \frac{1}{\cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} \right] Y_n^m \\ &= - \frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m \end{split} \end{align} \subsection{コメント --- 全波数について} 球面調和函数 $Y^m_n(\lambda,\varphi)$ において $n$ のことを全波数と呼ぶ. 全波数には, 座標系の回転に関して不変である, という特徴がある. すなわち, 任意の $Y_n^m(\lambda, \varphi)$ は 回転して得られる座標系 $(\lambda', \varphi')$ における 全波数 $n$ の球面調和函数 $\{ Y_n^m(\lambda', \varphi') | m=-n,-n+1, \cdots, n \} $ の和で表現できる ： % \begin{align} Y^m_n(\lambda, \varphi) = \sum_{m'=-n}^{n} A_n^{m'} Y^{m'*}_n(\lambda',\varphi') . \end{align} % のである% \footnote{ この特徴を 言い替えれば, 全波数 $n$ の球面調和函数の重ね合わせで表現できる分布関数は 座標系を回転させた系においても 全波数 $n$ の球面調和函数の重ね合わせで表現できることになる. }. この特徴は, 球面調和函数が2次元ラプラシアンの 固有値であることによっている \footnote{ $\nabla_H^2 \equiv \frac{1}{r^2} \left[ \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right) + \frac{1}{\cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} \right] $ の, 固有値を $- \frac{n(n+1)}{r^2}$ とする固有関数であることと, スカラー演算子 $\nabla_H^2$ が 座標系の回転に関して不変な演算子であることとに起因する. すなわち, $\nabla_H^2 Y^m_n(\lambda, \varphi) =- \frac{n(n+1)}{r^2} Y^m_n(\lambda,\varphi)$ より, 球面調和函数 $Y_n^m \exp(im\lambda)$ は 固有値を $-\frac{n(n+1)}{r^2}$ とする $\nabla_H^2$ の固有関数である. $\{Y_n^m |n=0,1,2,\cdots,\ m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ の完全直交性より, $\{Y_n^m | m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ は $\nabla^2_H f = -\frac{n(n+1)}{r^2} f$ の 解空間を張っている基底である. 座標系を回転させて, 新たな座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda',\varphi')$ の和の形で 前の座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda,\varphi)$ を 表現することを考えよう. 絶対系で見て同じ位置の値を比べると, 2次元ラプラシアンを演算した値は不変なので, 前の座標系での球面調和函数 $Y_n^m(\lambda',\varphi')$ は 新たな座標系においても $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m $ の解である. 新たな座標系の球面調和函数の集合 $\{ Y_n^m(\lambda', \varphi') |m=-n,-n+1,\cdots,n \}$ も $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m$ の 解空間の基底である. したがって, 前の座標系の球面調和函数は 新たな座標系の球面調和函数の和の形で書ける. }. \newpage \subsection{グラフ} $P_n^m(\mu)$ の概形をつかむために, 2で規格化した $P_n,P_n^1,P_n^2$ \footnote{ (2005/4/4 石渡) 関数形も書いておきたい. グラフは自分で描きたい.} のグラフを示す. \begin{center} \Depsf[10cm]{spectral/spl-spherical-harmonics-images/legendre1.ps} {\bf 岩波公式集の Legendre函数 $\tilde{P}_n$ のグラフ} (森口, 宇田川, 一松, 1960) \end{center} \begin{center} \Depsf[][7cm]{spectral/spl-spherical-harmonics-images/legendre2.ps} {\bf Legendre函数 $ \overline{P_n^1} = P_n^1/\sqrt{2}, \overline{P_n^2} = P_n^2/\sqrt{2}$ のグラフ} (森口, 宇田川, 一松, 1960) \end{center}