% 表題   DCPAM5 第1部 数理モデル 飽和蒸気圧
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% 履歴 
%\Drireki{1993/03/20 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2008/03/25 森川靖大・石渡正樹}
%\Drireki{2013/09/25 高橋芳幸}
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%  \Dchapterhead
\chapter{飽和比湿・蒸気圧}

\section{はじめに}

\Dmodel では, 飽和比湿と二酸化炭素の凝結温度を計算する式を
実装している. 
また, 飽和比湿を計算するための式としては, 
地球流体電脳倶楽部 AGCM5 で用いられていた式と
Nakajima et al. (1992) で使われた式
の二種を用意している
\footnote{
  現状, Nakajima et al. (1992) の飽和水蒸気の式を用意しているが, 
  この式は AGCM5 の式にあるパラメータを与えた場合に対応している.
}%.
\footnote{
  (yot, 2013/10/01) 
  以下には, Tetens (1930) の式についても記述があるが, 現状まだ実装していない. 
}.
以下に
それぞれの説明を記す.

\section{飽和比湿}

飽和比湿 $q^*(T,p)$ は飽和蒸気圧$e^*(T)$ を用いて近似的に,
%
\begin{equation}
  q^*(T,p) = \frac{\epsilon e^*(T)}{p} .
\end{equation}
%
と表す. ここで, $\epsilon = \frac{m_v}{\overline{m}}$, であり, 
$m_v$, $\overline{m}$ は
それぞれ水蒸気の分子量, 平均分子量である. 
%
また, これより, 
%
\begin{equation}
  \DP{q^*}{T}(T,p) = \frac{\epsilon}{p} \DP{e^*}{T}(T)
\end{equation}
%
である.

以下では, 現状実装されている飽和水蒸気圧の式を示す. 

\subsection{AGCM5 で用いられた式}

AGCM5 で用いていた飽和水蒸気圧の式は, Numaguti (1992) に基づくもので
あろうと考えられる. 
この式は下のように表される.
%
\begin{equation}
  e^*(T) = e^*(T=273\mbox{K}) 
                      \exp \left\{ \frac{L}{R_v} 
                            \left( \frac{1}{273} - \frac{1}{T} \right)
                       \right\} ,
  \Deqlab{saturate:DennouAGCM:e-sat}
\end{equation}
%
である
\footnote{
この飽和蒸気圧の式は, 下の式から, 
蒸発の潜熱 $L$, 水蒸気の気体定数 $R_v$ を一定として導出したものである.
%
\begin{equation}
  \frac{1}{e^*_v} \DP{e^*_v}{T} = \frac{L}{R_v T^2}
\end{equation}
}. 
ここで, $e^*(T=273\mbox{K}) = 611$\ [Pa] とする

また, この式より
%
\begin{equation}
  \DP{e^*}{T} (T) 
    = \frac{L}{R_v T^2} 
          e^*(T=273\mbox{K}) 
                      \exp \left\{ \frac{L}{R_v} 
                            \left( \frac{1}{273} - \frac{1}{T} \right)
                           \right\}
\end{equation}
%
となる.


\subsection{Nakajima et al. (1992) で用いられた式}

Nakajima et al. (1992) では, 
Eisenberg and Kauzmann (1961)
\footnote{この訳書が「水の構造と物性」と思われる.} で与えられている
飽和水蒸気圧表と式を近似的に表現する下の式を用いている.
%
\begin{eqnarray}
 e^{*}(T) = p^{*}_{0} \exp \left( - \frac{L}{RT} \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $p^{*}_{0} = 1.4 \times 10^{11}$ Pa, $l = 43655$ J mol$^{-1}$, 
$R$ は普遍気体定数
\footnote{
  Nakajima et al. (1992) では $R = 8.314$ J mol$^{-1}$ K$^{-1}$ である.
}
である
\footnote{
  この式と値は, \Deqref{saturate:DennouAGCM:e-sat} において, 
  $\frac{L}{R_v} = 5251$ とおいた場合に相当する.
}.

また, この式より
%
\begin{eqnarray}
 \DP{q^{*}}{T}(T) = \frac{L}{RT^2} p^{*}_{0} \exp \left( - \frac{L}{RT} \right)
\end{eqnarray}
%
となる.


\subsection{Tetens (1930) の式}

(yot, 2013/10/01) この式は現在まだ実装していない.

Tetens (1930) では, 水と氷に対する飽和蒸気圧として下の式を提唱している
\footnote{
  Tetens (1930) は独語で書かれているため, 独語に明るくない方は
  Murray (1967) を参照すると良いかもしれない.
}. 
%
\begin{eqnarray}
 e^{*}(T) = e^{*}_{0} \exp \left\{ a \frac{T - T_0}{T-b} \right\}
\end{eqnarray}
%
ここで, $e^{*}_{0} = 6.1078 \times 10^{2}$ Pa, $T_0 = 273.16$ である. 
%
また, 水に対しては, $a = 17.2693882$, $b = 35.86$, 
氷に対しては, $a = 21.8745584$, $b = 7.66$ である.

また, この式より, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{e^{*}}{T}(T) = 
    a \frac{ T_0 - b }{ ( T - b )^2 }
    e^{*}_{0} \exp \left\{ a \frac{T - T_0}{T-b} \right\}
\end{eqnarray}
%
となる.


\section{二酸化炭素の飽和蒸気圧}

二酸化炭素の飽和蒸気圧は, Pollack et al. (1981) に示された
凝結温度の式, 
%
\begin{eqnarray}
 T &=& 149.2 + 6.48 \times \log( 1.35 \times 10^{-3} p ), 
\end{eqnarray}
%
から下のように求められる.
%
\begin{eqnarray}
 p &=& \frac{1}{1.35 \times 10^{-3}} \exp\left( \frac{T - 149.2}{6.48} \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $T$, $p$ の単位はそれぞれ K, Pa である. 


\section{参考文献}

\begin{description}
 \item Murray, F. W., 1967:
       On the computation of saturation vapor pressure, 
       {\it J. Appl. Meteor.}, {\bf 6}, 203--204.
 \item Nakajima, S., Hayashi, Y.-Y., Abe, Y., 1992:
         A study on the ``runaway greenhouse effect'' with a one
         dimensional radiative convective equilibrium model.
         {\it J. Atmos. Sci.}, {\bf 49}, 2256--2266.
 \item Numaguti, A., 1982:
       熱帯における積雲活動の大規模構造に関する数値実験,
       東京大学博士論文.
 \item Pollack, J. B., C. B. Leovy, P. W. Greiman, and Y. Mintz, 1981:
       A Martian general circulation experiment with large topography,
       {\it J. Atmos. Sci.}, {\bf 38}, 3--29.
 \item Tetens, O., 1930:
       $\rm \ddot{U}ber$ einige meteorologische Begriffe, 
       {\it Z. Geophys.}, {\bf 6}, 297--309.
 \item カウズマン・アイゼンバーグ著, 関集三・松尾隆祐訳, 1975:
       水の構造と物性, みすず書房, pp.302.
\end{description}