\section{渦度と発散による表現}

運動方程式から水平渦度 
$\zeta \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} - \frac{1}{a
  \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)$ と 
発散 $D \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} + \frac{1}{a
  \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)$ の式を導く.

● 渦度方程式
$u$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を
作用し, $v$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を
作用し差をとって変形すると次のような渦度方程式が得られる.

\begin{eqnarray}
        \DP{\zeta}{t}
  & = & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
          ( \zeta v \cos  \varphi )
        -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
          ( \zeta u )                \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                 + \frac{RT}{a p_s} \DP{p_s}{\varphi}
                 - F_{\varphi} + f u \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
          \left[   - \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                 + \frac{RT}{a p_s} \DP{p_s}{\lambda}
                 - F_{\lambda} \cos \varphi + f v \cos \varphi \right]
\end{eqnarray}

● 発散方程式
$u$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を
作用し, $v$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を
作用し和をとって変形すると次のような渦度方程式が得られる.

\begin{eqnarray}
        \DP{D}{t}
  & = & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
          ( \zeta v )
        -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
          ( \zeta u \cos \varphi)                \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                 + \frac{RT}{a p_s} \DP{p_s}{\lambda}
                 - F_{\lambda} - f v \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
          \left[    \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                 + \frac{RT}{a p_s} \DP{p_s}{\varphi} \cos \varphi
                 - F_{\varphi} \cos \varphi + f u \cos \varphi \right]
                                                \nonumber \\
  &   & - \nabla^2_{\sigma} ( \Phi + E)
\end{eqnarray}

ただし, 
\begin{eqnarray}
           \nabla^2_{\sigma} 
  & = &    \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
         + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( \cos
           \varphi \DP{}{\varphi} )   \\
           K 
  & = &  \frac{u^2 + v^2}{2}
\end{eqnarray}