%---------------------------------------------------------------------
%  ���� 1989
%  ���� �L�c�p�i 1998

\documentstyle[12pt]{jarticle}

% �݊����̂��߂̒ǉ��}�N��
\newcommand{\SP}{}
\newcommand{\TITLE}[1]{{\LARGE #1}}
\newcommand{\Bi}{\begin{itemize}}
\newcommand{\Ei}{\end{itemize}}
\newcommand{\Bd}{\begin{description}}
\newcommand{\Ed}{\end{description}}
\newcommand{\Be}{\begin{enumerate}}
\newcommand{\Ee}{\end{enumerate}}
\newcommand{\Beq}{\begin{equation}}
\newcommand{\Eeq}{\end{equation}}
\newcommand{\Beqs}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\Eeqs}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\PD}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\PDD}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial{#2}^2}}
\newcommand{\Pd}[2]{\frac{Pd \partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\Ba}[1]{\left(\begin{array}{#1}}
\newcommand{\Ea}{\end{array}\right)}
\newcommand{\DEG}{��}
\newcommand{\REF}{\newline}
\newcommand{\V}[1]{\vec{#1}}
\newenvironment{screen}{\begin{quote}}{\end{quote}}

\begin{document}
%\kanjiskip=1pt plus 1pt minus 1pt
%\setlength{\baselineskip}{18pt}

\hbox{ }
\vspace{1cm}
\begin{center}

{\Large �G�N�}���点��}\\
\vspace{0.5cm}

* ���s��w���{�� \footnote{* ��606 ���s�s������g�c��{����}
\SP ��\SP �� \SP �q\\
\vspace{1cm}

{\Large Ekman spiral} \\
\vspace{0.5cm}
\begin{large}

Satoshi SAKAI \\
Department of Earth Sciences \\
College of Liberal Arts, Kyoto University \\
\end{large}
\end{center}
\vspace{1cm}


\begin{large}
\TITLE{ABSTRACT}
Ekman's theory of ocean current driven by wind is reviewed.
The theory is confirmed by a simple rotating tank experiment.
The visualized flow in the tank fairly fits to the theory.
The basic equation is also solved using the impulse response function
to answer some basic questions on the curious flow in the rotating fluid.
\end{large}

%------------------------ macro -------------------------------------
\newcommand{\ROTA}[1]{\Ba{cc} \cos(#1), &  \sin(#1) \\
                             -\sin(#1), &  \cos(#1) \Ea }
\newcommand{\Vtwo}[2]{\Ba{c} #1 \\ #2 \Ea}
\newcommand{\Atwo}[4]{\Ba{cc} #1, & #2 \\ #3, & #4 \Ea}
%--------------------------------------------------------------------

\section{�͂��߂�}

���Y���̒����ɂ��, 
�����m�̂قڒ�����, �n���C�̋߂��ɃS�~�̂��܂�ꂪ���邱�Ƃ��킩����, 
�Ƃ������Ƃ�1988�N11��NHK�̃j���[�X�ԑg�ŕ񓹂��ꂽ$^{(1)}$. 
���̃S�~�̑��������{���痬��Ă������̂ł���Ƃ������Ƃ�, 
��̓��̍��l�ɑł��グ��ꂽ100�~���C�^�[��, 
�J�^�J�i��������ꂽ�����������̃K���X�r�Ȃ�, 
���т����������̃S�~���f���o���ꂽ.
��������Ă��Ď��͏��X��������.
�Ƃ����Ă��ʂ�
�u�Ƃǂ܂�Ƃ����m��Ȃ����j��ɑ΂���{�肪���ݏグ�Ă����v
�Ƃ����킯�ł͂Ȃ�. 
�܂��u���̎������C�m�����w��̑S���V���������ł���v
�Ƃ����킯�ł��Ȃ��̂ł���. 

����, �����m���C���ɔ������ɂ���ė����ꂽ�C�ʕt�߂̐���,
�n���̎��]�̉e�����󂯂đ����m�̒��S�t�߂ɏW�܂邱�Ƃ�,
���_�I�ɗ\������邱�Ƃł���, 
�C�m�����w�҂ɂƂ��Ắu�펯�v�ƌ����Ă��悢.
���̗��_�Ƃ�, 1905�N�ɔ��\���ꂽEkman�̋��E�w�Ɋւ��闝�_$^{(2)}$��, 
����Ȃ��ɂ͊C�m�����w�͐��藧���Ȃ��ƌ����Ă��ߌ��ł͂Ȃ��قǊ�{�I�ȗ��_�ł���. 
�ɂ�������炸, ���̗��_�𒼐ڎ��؂���悤�Ȋϑ������͂���܂łقƂ�Ǔ����Ă��Ȃ�.
�ԐړI�ȏ؋��͂��Ȃ肠����̂�, 
�O�m�̊C�ʕt�߂̒��ڑ����͋Z�p�I�ɔ��ɓ������,  
���̂悤�Ȋϑ��͂قƂ�ǎ��݂��Ă��Ȃ������̂ł���. 
�i�����ŋ߂ɂȂ���, �V����������g�����������̊ϑ��������I�ɍs���Ă���$^{(3,4,5)}$.�j

�]����, ���̃S�~�̃j���[�X��Ekman�̋��E�w���_�����؂���
�M�d��, �����Ĕ��ɂ킩��₷���؋��Ȃ̂ł���. 
������, �ԐړI�ȏ؋������Ȃ����Ƃ�
�u�`���Łu�܂�Ō��Ă������̗l�ɐ�������v���Ƃ�
���߂����������Ă������ɂƂ���, 
���̃j���[�X�͂܂��Ɂu�n��ɑD�v�ł�����. 
����ɂ��Ă�, 
��X���猩��Ό����Ă��肪�����Ȃ��S�~�ɂ����, 
Ekman���E�w�̗���ɂ������������Ɂu�����v����Ă��܂����̂�, 
���Ƃ�����Ȃ��Ƃł���. 

%----------------------------------------------------------------------

\section{Ekman���E�w}
\label{theory}
���������Ɉ�l�ȊC���l��, 
���������̉Q�S���ƒn���̎��]�ɂ��R���I���̗͂��l�������, 
����[���ɂ�����C���̐��������̉^����������, 
\Beqs
\PD{u}{t} & = &   f v + \nu \PDD{u}{z} \label{eq1}\\
\PD{v}{t} & = & - f u + \nu \PDD{v}{z} \label{eq2}
\Eeqs
�ƂȂ�. 
������, $(u, v)$ �͐��������̗���, $f$ �̓R���I���p�����[�^, 
$\nu$ �͉��������̉Q�S���W����, �[�� $z$ �͉������𐳂Ƃ���. 

�����Œ���Ԃ����肷���, 
�㎮�� $z$ �Ɋւ���2�K�A��������������ƂȂ�̂�, 
�e�Ղɉ�����, ��ʉ���

\Beqs
u & = & A \exp( z/D) \cos(z/D+\epsilon_1) 
      + B \exp(-z/D) \cos(z/D+\epsilon_2) \label{eq3}\\
v & = & A \exp( z/D) \sin(z/D+\epsilon_1) 
      - B \exp(-z/D) \sin(z/D+\epsilon_2) \label{eq4}\\
D & \equiv & \sqrt{\frac{2\nu}{f}} 
\Eeqs
�ƂȂ�. 
������ $A$, $B$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$ �͔C�ӂ̎��萔�ł���. 

���E������, 
�C�ʂŕ��ɂ�鉞�͂������Ă�����̂Ƃ�, 
�[���Ƃ���ŗ���͂Ȃ����Ƃ����肷���, 
\Beqs
\Vtwo{\Pd{u}{z}}{\Pd{v}{z}} & = & 
-\frac{1}{\rho\nu} \Vtwo{ F_x }{ F_y} \SP \mbox{at} \SP z=0 \\
\Vtwo{u}{v} & = & \Vtwo{0}{0} \SP \mbox{at} \SP z=\infty
\Eeqs
�ƂȂ�. 
������, $F_x$, $F_y$ �͕��ɂ��C�ʂɉ���鉞�͂ł���. 
���ɂ�鉞�͂̕�����,
���m�ɂ͕��̑��x�ƊC�ʂł̊C���̑��x�̍��̕����ł��邪, 
�ʏ�C�ʂł̗����͕��̑��x�ɔ�ׂď������̂�, 
�����I�ɂ͕��̕����Ɠ����ƍl���Ă��悢.

���̏�������ʉ�(\ref{eq3}--\ref{eq4})�ɓK�p�����, 
\Beq
\Vtwo{u}{v} =  \frac{D}{\sqrt{2} \rho \nu} \exp(-z/D) \ROTA{z/D+\pi/4} 
               \Vtwo{F_x}{F_y} \label{spiral}
\Eeq
�ƂȂ�.
���̉���}�P�Ɏ���.
���̗����x�N�g���̏I�_�����񂾂��̂�\.��\.��\.���ɂȂ邱�Ƃ���, 
���̗������z�̂��Ƃ�Ekman\.��\.��\.��ƌĂ�. 
�}�P������킩��悤��, 
�\�ʂł̗����͕��̌�������E��45\DEG �Ό����Ă���,
�[���Ȃ�ɂ�ĕΊp�͉E���ɑ傫���Ȃ��Ă���.
������, �C�ʂ�菭���[���Ƃ���($z=\frac{1}{2}\pi D$������)�ł�, 
����, ����͕��̌����Ƌt�����������Ă���̂ł���. 

����, ���̗��_�����ۂ̑����m�ɓK�p���Ă݂悤. 
�����m��ł͑����m���C���ɔ�����, ���v���̕��������Ă���. 
���̕��ɂ���ĊC�̐��͗������킯�ł��邪, 
���Ekman�̗��_�ɂ����, 
�C�ʕt�߂̐��͕������E45\DEG �̕����ɗ������. 
�܂�, �C�ʕt�߂̐��͎��v���ɉ��Ȃ���
���S�t�߂ɏW�܂��Ă��邱�ƂɂȂ�. 
���̂悤��, (\ref{spiral})����F�߂��, 
���{����o���S�~���n���C�ߊC�ɗ��ꒅ�����Ƃ͗e�Ղɑz���ł���̂ł���. 

����ɂ��Ă�, ����Ekman\.��\.��\.��͊����, ���v���ɂȂ�Ȃ����낤��. 
�m����, ����Ԃŕ�������������, ���̂悤�ɂȂ邱�Ƃ͂킩��̂ł��邪, 
�����玮�������Ă݂Ă��u����؂�Ȃ����́v�������Ă��܂�. 
���Ȃ킿, Ekman\.��\.��\.��̉��������, 
\begin{screen}
\Be
\item �Ȃ��C�ʂł̗����͕������ƈ�v���Ȃ��̂�?
\item �Ȃ��������[���ƂƂ��ɉE���ɕω���, 
      ���Ƌt�����ɂ����Ȃ蓾��̂�?
\Ee
\end{screen}\noindent
�Ƃ����悤�ȋ^�₪�킢�Ă���̂ł��邪, 
�����猳�̕������𒭂߂Ă݂Ă�
\Be
\item ���E�����͊C�ʂł̗�����^������̂ł͂Ȃ�, 
      ���͂�^������̂ł��邩��, 
      ���������̌����Ɉ�v����K�v�͂Ȃ�. 
\item �R���I���̗͂ƔS���͂̃o�����X���l����΂����Ȃ�. 
\Ee
�Ƃ����������������Ȃ�. 
����ł͏�̋^��ɓ����邱�ƂɂȂ�Ȃ��ł��낤. 
�����ł́u�Ȃ�?�v�͒P�ɕ��������������Ƃœ���������̂Ƃ�
�َ��Ȃ��̂�v�����Ă���̂ł���. 

���͊w�������(\ref{eq1}--\ref{eq2})���̒��������x�������Ă�
����������Ă������Ƃ�, ���ł��͂�����Ɗo���Ă���. 
�u���͉�����̂ɂ킩�����C�����Ȃ�.�v�Ƃ����̂�, 
���ɂƂ��Đ��܂�Ă͂��߂Ă̌o���ł�����. 
����Ȍ�, �C�m�����w���܂ޒn�����̗͊w�̐��E�ɓ���������, 
�����悤�ȁu����؂�Ȃ����́v�����x�ƂȂ��o�����邱�ƂɂȂ�̂ł��邪, 
���ɂ��Ďv����Ekman\.��\.��\.��̎��̑̌���, ���̍ŏ��̂��̂ł�����. 

%----------------------------------------------------------------------

\section{Ekman�点��̉�������}
���_��׋����Ă��[���ł���, 
���̗��_�𒼐ڏؖ�����悤�Ȋϑ����ʂ��قƂ�ǂȂ��ƂȂ��,
���������ł��悢���炻��Ekman\.��\.��\.��������̖ڂŌ��Ă݂����Ȃ�̂�
�l��Ƃ������̂ł���. 
�Ƃ��낪, Ekman\.��\.��\.�񂻂̂��̂��������������͂���܂łɂقƂ�ǂȂ�, 
���Ƃ������Ă�, ���E�����Ƃ��ė������̂��̂�^���� Bottom Ekman �w�̎���
(��C�̐ڒn���E�w�ɑ�������)��, 
���E�����Ƃ��ĉ��͂�^������̂͊F���ł���. 
��������, Ekman�w�̗��_���u�펯�v�ƂȂ��Ă��܂������݂ł�, 
���̉��������������Ƃ���ő債���ƐтɂȂ�Ƃ͎v���Ȃ��̂�, 
���܂��炻�̂悤�Ȏ��������悤�Ƃ���l�����Ȃ��̂�������Ȃ�. 
������, ���������̂͌������̂ł���. 
������, 
���{���̊w�����l�ƂƂ��� Ekman \.��\.��\.��̉������������݂�. 

���̎����Ɏg�p������]��͎莝���̂��̂�,  
��̒��a50cm, ��]����5rpm����50rpm�܂ŘA���I�ɕς�����. 
�����ł�, �����̂��₷�����l������
10rpm���x�̉�]���Ŏ��������邱�Ƃɂ���. 
���̎�, 
��Ɨ��̂Ƃ��Đ����g���� Ekman�w�̌��� $D$ ��1mm���x�ɂȂ��Ă��܂�,
����������ł���̂�, 
�O���Z�����Ɛ��̍����t���g�p���邱�Ƃɂ���. 
�O���Z�����̓��S���W���͎�����10cm$^2$/s���x�ł��邪, 
����������Ƌ}���ɔS�����������Ȃ�. 
�����Ŏg�p���������t�̓O���Z��������80\%, 
���S���W���͖�0.6cm$^2$/s�ł���. 
���̎���, Ekman�w�̌���$D$�͖�8mm�ɂȂ�. 

�g�p���������͐[��10cm, �c��30cm�̃A�N��������, 
����S�̂��A�N�������̓����ȃJ�o�[�Ŕ���ĕ��𑗂�(�}�Q).
���̐����̐[����Ekman�w�̌������l���������̂ł��邪, 
���������̑傫���͉�]��̑傫�����猈�߂����̂�, 
���ɈӖ��͂Ȃ�. 
���E�w�̗����, �u�ԓI�ɐF���𐅖ʂ��牺�����Ɏˏo���邱�Ƃŉ�������D�F����, ���_���i�g���E���ƃt�F�m�[���t�^���C���ŐF��t��������, 
�H����n�����Ė��x�𒲐��������̂ł���. 
���̐F���𒍎ˊ�ɓ���, 
���炩���ߓd���΂ň������΂��Ă������o�l�̗͂��g����, 
���a0.8mm�̃p�C�v����ˏo����. 
���̎�, �ˏo���ꂽ�F���̐�[��,
���̂���̌`�ɂȂ邪, 
���̌�둤�͔�r�I���ꂢ�Ȓ����ƂȂ�. 

���̎����̌��ʂ��ʐ^1, 2�Ɏ���. 
�ʐ^�P�͐F�����ˏo���Ă���10�b�����������̗l�q��, 
�ォ��B�e�������̂�, 
�ʐ^�Q�͋����g���ĉ�����B�e�������̂ł���. 
(�����ɂQ��������B�������̂ł͂Ȃ�, �Ɨ����������ł���.)
�ʐ^�̒��̊i�q��1cm�Ԋu�ŕ����̊O���ɕ`���Ă���, 
�ʐ^�Q�ł͎���������̂ŐF���̂�����Ŗ�0.8cm�̊i�q�ɑ�������. 
�����̎ʐ^�Ɛ}�P���ׂ��, 
����炪���ɂ悭��v���Ă��邱�Ƃ��킩��. 
�ʐ^�P�ł͕\�ʗ����͕������ɑ΂��Ă��傤��45\DEG �ɂȂ����Ă���, 
\.��\.��\.��̌`���}�P�ƂقƂ�Ǐd�Ȃ邭�炢���ꂢ�Ȍ`�ɂȂ��Ă���.
�܂��ʐ^�Q��\.��\.��\.��̌`��, �w�̌����Ƃ��ɂقڗ��_�ʂ�ł���. 
���̂��Ƃ���, 
���̒��x�̎����ł��ȒP��Ekman�̗��_���m���߂邱�Ƃ��ł���, 
�ƌ��������Ƃ���ł��邪, 
���͈�������Ă����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ����Ƃ�����. 

�������͂��߂Ă���C�������̂ł��邪, 
���̎����ł�, ��Ɨ��̂̕\�ʂ����ڕ��ɂ��炳��Ă��邽��, 
��Ɨ��̂̐��������ԂƂƂ��ɏ������Ă��܂�. 
������, �����ȏ㕗�𐁂����Ă����, 
�\�ʂɌ����O���Z�����́u�W�v���ł��Ă��܂�, 
���̗͂����̂ɓ`���Ȃ��Ȃ��Ă��܂��̂ł���. 
���̂��߂�, �F�����ˏo����O�ɏ[���ȃX�s���A�b�v���ł���, 
���X�Č����Ɍ���������ɂȂ��Ă��܂���. 
������, 10����������s��������
�ł����_�l�ɋ߂��������̂������Ɍf�ڂ���. 
�c��̎����ł�, �ꌩ���Ď����悤��\.��\.��\.��`�ɂ͂Ȃ�̂ł��邪, 
�����܂ŗ��_�Ɉ�v������̂͂����ȒP�ɂ͓����Ă��Ȃ�. 
�]����, �����̎ʐ^�͏��X�u�o�������v�̂��炢�����邱�Ƃ�, 
�����m����������������. 
�܂�, �\�ʕt�߂ŃO���Z�����Z�x���ς�邱�Ƃɂ����ܗ����ς���Ă��܂��̂�, 
�ʐ^�Q�̂悤�ɉ����猩���, \.��\.��\.�񂪌��w�I�ɂ䂪��ł��܂�, 
�\�ʋ߂�3mm��(�i�q�̖�1/3)�͂ǂ��������Ă���̂��悭�킩��Ȃ�. 
����, �����̓_�����P��, ���������Č����̂悢�������v�撆�ł���. 

���̂悤�ɑ����r���ۂ������ŕs���͎c����̂�, 
�ꉞ Ekman�̗��_�ɋ߂����E�w���̗�����������邱�Ƃ��o����. 
���̂悤�ȏ󋵂̂��Ƃ�(\ref{spiral})�������藧���Ƃ�, 
�قڊԈႢ�Ȃ��悤�ł���. 
�������, �������o��������ƌ�����, 
���̌��ۂ𕨗��I�ɗ����ł����ƌ����킯�ł͂Ȃ�, 
�O�q�̋^��ɓ�����ꂽ�ƌ����킯�ł��Ȃ���, 
���ƂȂ����S��������ꂽ�悤�ȋC�͂���. 


%----------------------------------------------------------------------

\section{Ekman�点��̕����I����}
\label{phys}

�����ł��������u�Ȃ�?�v�ɂ�������Ă݂悤. 

��b������(\ref{eq1}--\ref{eq2})��
�R���I���̗͂ƔS���������l���������̂Ȃ̂�,  
$f=0$ �Ƃ��ăR���I���̗͂𖳎������, 
���Ȃ��݂̊g�U������, 
\Beq
\PD{u}{t}  =  \nu \PDD{u}{z} \label{dif}
\Eeq
�ƂȂ�. 
������$v$�Ɋւ��鎮��, $u$�̎��Ɠ��l�Ȃ̂ŏȗ�����. 
���̌n��$z=0$��, ���ɂ��O��$F_x(t)$������������̉���, 
\Beqs
u & =&  \int_0^\infty I(\tau) F_x(t - \tau) d\tau \label{difs} \\
I(t) & \equiv & \frac{1}{\rho\sqrt{\pi \nu t}} 
                    \exp ( - \frac{z^2}{4\nu t}) \label{difi}
\Eeqs
�Ə�����. 
������, $I$ �͒P�ʃC���p���X�����֐���, 
����u�ԂɒP�ʃC���p���X�̊O��
�i���ԕ��͖������ł��邪�ϕ������1�ɂȂ�O�́j�����������, 
�O�͂��S�������Ȃ��������̉��ł���. 
���̒P�ʃC���p���X�����֐���}3 �Ɏ���. 
�͂����ډ����$z=0$�ł�, 
�͂������������̉������ł��傫��, 
�Ȍ�$t^{-1/2}$�ŏ������Ȃ��Ă���. 
������, $t^{-1/2}$�Ō�������Ƃ����̂�, 
�w���֐��I�Ɍ�������̂ɔ�ׂĔ��Ɏ��Ԃ�������, 
�����I�Ȏ��ԃX�P�[�����Ȃ�, 
�Ƃ������Ƃɒ��ӂ��Ă�����������. 
���, �����̓_$z\not=0$�ł�
�͂���������u�Ԃɂ͑S����������, 
���Ԃ����ɂ��$z=0$�̉��ɑQ�߂���. 
�܂�
\begin{screen}
\Be
\item �O�͂���������ꏊ��, ���̉e�����Ȃ��Ȃ�ɂ�
      ���Ȃ莞�Ԃ�������. 
\item �O�͂��g�U(�S��)�ɂ�藣�ꂽ�Ƃ���ɓ`���ɂ͎��Ԃ�������. 
\Ee
\end{screen}\noindent
�Ƃ������ƂɂȂ�. ������� 1 �� 2 �̗��Ԃ��ł���. 
�g�U�Ɋւ��Ă͉�X�͂��Ȃ�̌o��������̂�, 
����O�̂��Ƃɕ������邩������Ȃ���, 
���̓���O�̂��Ƃ�\.��\.��\.��\.�Ǝ��Ƃ��ĕ\���ł���, 
�Ƃ������Ƃ���؂Ȃ̂ł���. 
������(\ref{dif})�͐��`�Ȃ̂�, 
�ߋ��ɉ�������O�͂̉e����S�Đϕ�����Ό��݂̉�(\ref{difs})�ƂȂ�.


���, ��b������(\ref{eq1}--\ref{eq2}) �� $\nu=0$ �Ƃ����, 
������ȒP�ɉ�����
\Beq
\Vtwo{u}{v}= \ROTA{ft} \Vtwo{u_0}{v_0}
\Eeq
�ƂȂ�. 
������, $u_0$, $v_0$ �͏����l�ł���. 
����͊����U���ƌĂ΂�, ��]�n�̎��R�U���ł���. 
���Ȃ킿, ���]�n�ł�
�u���̂ɊO�͂������Ȃ����, ���̕��̂͐Î~�܂��͓��������^��������
�v(�j���[�g���̑�P�@��)
�̂ł��邪, ��]�n�ł�
\begin{screen}
      ���̂ɊO�͂������Ȃ����, ���̕��̂͐Î~�܂���
      \underline{����$2\pi/f$�̉~�^��}������
\end{screen}\noindent
�̂ł���. 
������, ����$2\pi/f$�͍��W�n�̉�]����$2\pi/\Omega$�̔����ł���. 
�Ȃ������Ȃ邩�𒼊��I�ɐ�������ɂ�, 
��������������̂ł����ł͏ȗ�����. 
�Ƃɂ���, �����j���[�g�����n���̎��]����Ɋ����Ȃ��琶�����Ă�����, 
�ނ̖@���͈قȂ������̂ɂȂ��Ă����͂��Ȃ̂ł���. 

����, ���̂��Ƃ�O���ɂ�����, ������x, 
��b������(\ref{eq1}--\ref{eq2}) �𒭂߂Č��悤. 
��������`�̎��ł���̂�, (\ref{dif})���Ɠ��l, 
�C���p���X�����̌`�ŉ���������͂��ł���. 
�C���p���X�����֐���, �������̎��Ԃ����O�͂�����������̉��ł���̂�, 
�O�͂���������u�Ԃɂ̓R���I���̗͂͂قƂ�ǌ�����,
�g�U�������Ɠ��l�ɊC�ʂɃ֐��I�ȗ������z���ł���͂��ł���. 
���̌�̓R���I���̗͂��󂯂Ȃ���, 
���������Ɋg�U���Ă������ƂɂȂ邪, 
���̂Ƃ��O�͈͂�ؓ����Ȃ�.
�ƂȂ��, ���̎��ɑ΂���C���p���X�����֐���, 
���]�n�̃C���p���X�����֐�������$2\pi/f$�ŉ�]���������̂ɂȂ�,
�Ƃ������Ƃ��e�Ղɑz���ł���. 
���ŏ�����
\Beqs
\Vtwo{u}{v} &=& 
\int_0^\infty \V{I}(\tau) \Vtwo{F_x(t-\tau)}{F_y(t-\tau)} d\tau 
                                  \label{impulses}\\
\V{I}(t) &\equiv& \ROTA{ft} I(t)  \label{impulsev}
\Eeqs
�ł���.
����, (\ref{impulsev})�� ��(\ref{eq1}--\ref{eq2})���ɑ�����Ă݂��
���̎��𖞂����̂�, 
�z���ʂ�(\ref{impulsev})�������̌n�̃C���p���X�����֐��ł���, 
(\ref{impulses})����������(\ref{eq1}--\ref{eq2})�̉��ł��邱�Ƃ��킩��. 
�܂��O�͂����ȏꍇ, 
$z=0$��(\ref{impulses})����Fresnel�ϕ��ƂȂ�, 
(\ref{spiral})���̉��Ɉ�v���邱�Ƃ��m���߂���.
%�i$z=0$ �ȊO��(\ref{impulses})����(\ref{spiral})���Ɉ�v���邱�Ƃ��ؖ�����̂͂��Ȃ����j

�܂�, �O�͂����̂Ƃ������U���̎���$2\pi/f$�ŉ�]���Ȃ���
���̉��𒭂߂Ă݂��, 
���̉��͎���$2\pi/f$�ŉ�]����O�͂ɑ΂���,
�g�U�������̉��Ɠ������ƂɂȂ�. 
(�P�����������l�����, 
�n�\�ʂł̔M���ʂ������I�ɕω�����Ƃ���
�n�ʂ̒��̉��x���z�����߂���Ɠ����ɂȂ�.)
�]����, (\ref{impulses})���ŊO�͂����̏ꍇ�ł�, 
����u�Ԃɓ������O�͂ɂ��e����, 
��莞��($\pi/f$)��̊O�͂ɂ���đł�������Ă��܂��̂�,
���]�n�̂悤�Ɉ���I�ɉ�������邱�Ƃ͂Ȃ�. 
������, ���E�w�̌���$D$�́u�����U���̂P�����̊ԂɊg�U�œ`��鋗���v
�ɂ���Č��邱�ƂɂȂ�. 


���̂悤�ɉ����Ă����, 
\ref{theory}�߂̋^��ɑ΂��ď�����������������\�ɂȂ�. 
���Ȃ킿, 
\begin{screen}
1: �C�ʂł̗��������̕����ƈ�v���Ȃ��̂�, 
\Bi
\item �ߋ��ɉ�����ꂽ�͂ɂ�萶�������ꂪ
      ���ԂƂƂ��ɃR���I���̗͂ɂ���]�������, 
      ���̉e�������݂܂Ŏc���Ă��邽�߂ł���. 
\Ei
2: Ekman\.��\.��\.�񂪉E���ɂȂ�̂�, 
\Bi
\item �C�ʂŉ�������͂��[�������ɓ`���ɂ͎��Ԃ�������̂�, 
      ���̊Ԃɗ���̕������R���I���̗͂ɂ���ĉE���ɉ�]���Ă��܂�����
      �ł���.
\Ei
\end{screen}\noindent
�Ƃ������ƂɂȂ�. 
���̐�����(\ref{impulses})�������t�ŏ����Ȃ����������ł��邱�Ƃɒ��ӂ��Ă�����������. 
�܂�, �C�ʂł̗���̕��������߂���
�u�������̈�ł̊g�U�ߒ��ɂ͓����I�Ȏ��ԃX�P�[�����Ȃ��v
�Ƃ������Ƃ��d�v�ȈӖ�������. 
����, �g�U�ߒ��ɓ����I�Ȏ��ԃX�P�[�����������Ƃ����, 
���̎��ԃX�P�[���ƃR���I���̗͂ɂ�銵������$2\pi/f$�Ƃ̔�ɂ����, 
�C�ʂł̗���̕������ω�����͂�������ł���. 
����, �C�̐[�����L���̏ꍇ�ɂ�
�g�U�ߒ��ɓ����I�Ȏ��ԃX�P�[�����ł���̂�, 
�C�ʂł̗���̌������ς���Ă���. 
����͊C�̐[����$D$ �ɔ�ׂď�������
(�g�U�ߒ��̎��ԃX�P�[����$1/f$�ɔ�ׂĒZ����)�Ɍ����ɂȂ�. 


����, ��̂悤�ȕ����I�ȉ��߂͂���Ă��Ȃ����̂�, (\ref{impulses})��
�̌`���� Ekman �̘_���ɋL����Ă���. 
�͂������Ȃ���, 
���͂����ŋ�Ekman�̃I���W�i���̘_���̃R�s�[����ɓ����, 
���̂��ƂɋC�������̂ł��邪,
�Ȃ����Ȍ�̊C�m�����E�C�ۗ͊w�̋��ȏ���, 
�C���p���X�����̌`��Ekman�w�̗�����L�q�������̂͂Ȃ�. 

����, ������x(\ref{impulses})����������p�x���璭�߂Č��悤. 
��̓I��Ekman�w�̗������z�����߂����Ƃ�, 
�O�͂����ȏꍇ�ɂ�, 
������(\ref{spiral})���ɂ��v�Z��������ȒP�ł���. 
�O�͂�����ȏꍇ��, (\ref{spiral})�����g���Ȃ��̂�, 
(\ref{impulses})�����g�������b�g���łĂ���悤�Ɏv����. 
������, (\ref{impulses})�����g���Ă�, 
�O�͂��s�K���ȕϓ�������ꍇ�ɂ�, 
���ǐ��l�ϕ������邵���Ȃ�. 
����Ȃ�Ό��̎�(\ref{eq1}--\ref{eq2})�𒼐ڐϕ����Ă���Ԃ͂���قǕς��Ȃ�. 
�ނ���w���֐���O�p�֐��̌v�Z�����Ȃ��Ă��悢��, 
(\ref{eq1}--\ref{eq2})���𒼐ڐϕ�����������������m��Ȃ��̂ł���. 

�������Ă݂��(\ref{impulses})���͎��p�I�ɂ͂قƂ�ǈӖ��̂Ȃ����ł���. 
����ł��Ȃ�����(\ref{impulses})���ɂ������. 
�����, �����U���Ɗg�U�Ƃ�����b�I�ȕ����ߒ�����ɂ���, 
�O�͂����̌n�ɋy�ڂ��e����f���ɕ\�����Ă��鎮������ł���. 
����͒P�Ɍ����I�ɕ�����������, �Ƃ������ƂƂَ͈��ȉ��l�ςł���. 
����, �����U���Ɗg�U�Ɋւ��镨���I�Ȓm�����Ȃ������Ƃ�����, 
�Ȃ��C���p���X�����֐���(\ref{impulsev})���ƂȂ�̂������ł���, 
���̉�@�����G�Ȃ����ňӖ��̂Ȃ����̂ɂȂ��Ă��܂��ł��낤. 
���̂悤�ȈӖ���, 
���̉�@�͕����I�_���ɍ���������@�ł���Ǝ��͎v���̂ł���. 

%----------------------------------------------------------------------

\section{�I���}
�Q�N���O, �n�����̗͊w�̔��˂̒n�Ƃ�������A�����J�����ɑ؍݂����܂�, 
�u�n�����̗͊w�͉��p���w�����p������? �v �Ƃ��������
�n�����̗͊w����Ƃ��錤���Ґ��l�ɂ������Ƃ�����. 
�������Ă���������\.�S\.�āu���p���w�v �ł�����. 
���̎�, ���͊w�����ォ������Ă����u����؂�Ȃ����́v�̐��̂��킩�����C������. 
���Ƃ��ƒn�����̗͊w�͉��p���w�ł������̂�.
�]����, �n�����̗͊w�̑��ړI�́u���������������Ɓv�ł���, 
���̕����I���߂͓�̎��ł������킯�ł���. 
�����v���� Ekman �̘_���ɋL���ꂽ�Q�̉�͉��̂���, 
���w�I�ɃG���K���g�ȉ����������p����, 
�����I���߂����₷���C���p���X�����֐��\�����Y�ꋎ���Ă��܂����̂����Ȃ�����. 

����, ����̓R���s���[�^����ł���.
�n�����̗͊w���R���s���[�^�Ȃ��ɂ͌��Ȃ�����ɂȂ���. 
������(\ref{eq1}--\ref{eq2})���炢�̔����������Ȃ��, 
�p�[�\�i���R���s���[�^�Ŋy�ɉ�����. 
�]�k�ɂȂ邪, ����\ref{phys}�߂̃C���p���X�����֐��ɋC�������̂�, 
Ekman�w�̐��l�������p�[�\�i���R���s���[�^�ōs���Ă����Ƃ���, 
����ď����l�ȊO�͕��̉��͂�0�ɂ��Ă��܂���
�i�܂��ɃC���p���X�ɂȂ��Ă��܂����j�̂����������ł�����. 
���̂悤��, �N�ł���y�ɐ��l�v�Z���s����悤�ɂȂ�������, 
����, �n�����̗͊w�̑��ړI���u���������������Ɓv�ł���Ȃ��, 
���̖ړI�͐��l�v�Z�ɂ���ĂقڒB������Ă���Ƃ����Ă悢. 
����, �v�Z���ꂽ���ʂ̕����I�ȉ��߂ł���. 

�c�O�Ȃ���, ��X�̕����I���@�͂͐��w�I�Ȏ��̉�@�ɂ��Ȃ�e������Ă���. 
���̂悤�Ȃ��Ƃ͕��G�Ȑ������������̗͊w�ł�, 
���΂��Όo�����邱�Ƃł��邪, 
���p���w�Ƃ��Ĕ��B���Ă����n�����̗͊w�ɂ����Ă͂Ȃ�����ł���. 
�ƂȂ��, �����I�ȉ��߂����邱�Ƃ�ړI�Ƃ��Ă�����������ɂ�, 
�ŏ�����������̉�@�ɕ����I�ȈӖ����������Ȃ���
�����Ă����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�. 
�Ȃ��Ȃ��, ���w�I�ɂ����Ƃ��ȒP�ȕ��@�ŕ������������Ă�����, 
�ォ��u�t�Đn�v�I�ȁu�����I���߁v�������Ƃ����, 
���l��[���������Ƃ͎v���Ȃ�����ł���. 
�Ⴆ��, (\ref{impulses})���𓱂����ƂȂ���\ref{phys}�߂̐��������Ă�, 
�u�ق�Ƃ���?�v�Ƃ����^�╄�����ꂢ�Ɏ�苎�邱�Ƃ͂ł��Ȃ��ł��낤. 
�u�����̂��́v�̐������͎�����ϑ��ɂ���ďؖ����邱�Ƃ��\�ł���. 
������, ���́u�����I�ȉ��߁v�����������ǂ�����, 
�������߂�ߒ��ł��̕����I�Ș_����ǂ����Ƃ��ł��Ȃ�������, 
�قƂ�Ǐؖ��s�\�Ȃ̂ł���. 
�����, �i�r�G�X�g�[�N�X�̕������𒼐ڐϕ����鐔�l�����ɂ������邱�Ƃł���. 

���̂悤�Ɍ��݂̒n�����̗͊w��, 
�v�Z�@�̔��B�ɂ���đ傫�ȓ]�����ɂ����������Ă���Ǝ��͍l����. 
�������Ȃ���, ����܂Ő��w�I�ɉ������Ƃ���ړI�Ƃ��Ă����̌n��, 
�����I�ɗ������₷���̌n�ɑg�ς��邱�Ƃ�, 
�قƂ�Ǎŏ����炻�̑̌n�����Ȃ����̂ɓ�������������Ȃ�.
������, �����I�ɗ������₷���̌n��, 
���w�I�ɂ͂������Ĉ����ɂ������̂ɂȂ邩������Ȃ�. 
����܂ŉ�͓I�ɂ����Ƃ������₷���`�Ŗ��������Ă����ɂ�������炸,
�n�����̗͊w�̖��͂��Ȃ蕡�G�ł���. 
�����, �����I�ȉ��߂�D�悳���Ė���������, 
���������֐��ŕ\�킷���Ƃ͂ł���, 
�ŏI�I�ɂ͌v�Z�@�̗͂��؂�邵���肪�Ȃ��Ȃ�\��������. 
������, 
����͑f���ɐ��l���������������Ԃ������邩������Ȃ��̂ł���. 
������, ����ł��悢�ł͂Ȃ���. 
��X�͐��E���ōł��b�܂ꂽ�v�Z�@���̒��ɂ���̂�����. 
������, ��X�̍ŏI�I�ȖړI�́u�����֐��ŉ���\�킷�v���Ƃł͂Ȃ��̂�����.
\newpage

\TITLE{REFERENCE}
\REF
1)���C��w�C�m������: ���Y���ϑ������W�ϋ@�\���������񍐏�(1988)
\REF
2)V.W.Ekman: On the Influence of the Earth's Rotation on Ocean-Currents,
Arkiv. Mat. Astr. Fys. Bd 2. No.11 (1905)
\REF
3)M.W.Stacey, S.Pond, P.H.LeBlond: 
A Wind-Forced Ekman Spiral as a Good Statistical Fit to Low-Frequency
Currents in a Coastal Strait.
{\it SCIENCE} (1986), Vol.233 p.470-472.
\REF
4)�׎R�c���O, ���q�V:
�����g�h�b�v���[�����v���t�@�C���[�ɂ�鐁�����̌v��.
��35��C�ݍH�w�u����_���W (1989), p.40-44
\REF
5)�Έ�t�Y, ���c�L, ���c�p�j:
���g���O�������ʂɌ���ꂽ�\�w�G�N�}���w�ɂ���,
1985�N�x ���{�C�m�w��t�G��� �u���v�|�W, p.121-122

\TITLE{�}�Ǝʐ^�̐���}
\Bd
\item[�}�P:] $F_x=0$, $F_y=\sqrt{2}\rho\nu/D$ �̎���Ekman\.��\.��\.��.
          (a) �͏ォ�猩���������z��, $z=\frac{n\pi}{8}D$ 
          $(n=0,1,2,\cdots)$�̂Ƃ���ɖ�󂪕`���Ă���. 
          (b) �͉�($x$������)���猩���������z�ł���. 
\item[�}�Q:] �������u�̏�ʐ}(a)�Ƒ��ʐ}(b). 
          �������������ŏc��30cm, �[��10cm�ł���. 
          A:�����@, B:�d���\���m�C�h, C:���ˊ�, 
          D:�ˏo�p�C�v, E:�����H��.
\item[�}�R:] ��(\ref{dif})�̒P�ʃC���p���X�����֐�(\ref{difi}).  
          ������$z=1$, �j����$z=1$, �_����$z=2$�ł̎��ԕω�������킷. 
\item[�ʐ^�P:] Ekman\.��\.��\.����ォ��B�e��������.
          ���͍�����E�ɐ����Ă���. 
          �΂߂̔������͐F�����ˏo���邽�߂̃p�C�v�ł���. 
\item[�ʐ^�Q:] Ekman\.��\.��\.���������B�e��������. 
          ���͍�����E�ɐ����Ă���. 
          �㕔�̍����c�����ˏo�p�C�v�ł���. 
          �����g���ĎB�e�������̂�, ���E�t�ɏĂ��t����. 

\Ed
\end{document}
