%表題 SPMODEL レファレンスマニュアル % 球面調和函数 % %履歴 2007/10/26 竹広真一 新規作成 % 2007/11/05 竹広真一 和のとり方修正 % \documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{Dennou6} \Dtitle{球面調和函数変換} \Dauthor{竹広真一} \Ddate{平成 19 年 11 月 5 日} \Dparskip \begin{document} \maketitle この文書は, 球面調和関数変換の基本的な定式化を行う. \section{球面調和函数変換} 切断波数 $M$ の球面調和函数逆変換は次のように表される. \begin{equation} g(\lambda,\mu) = \sum_{n=0}^M \sum_{m=-n}^{n} s_n^m P_n^m(\mu)\exp(im\lambda) \end{equation} % ここで $\lambda$ は経度, $\mu=sin\varphi$ は sin 緯度である. $P_n^m(\mu)$ はルジャンドル陪函数であり, ISPACK では 2 に正規化された ものを用いている. % \begin{equation} P_n^m(\mu)= \sqrt{(2n+1)\frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)}} \frac{1}{2^n n!}(1-\mu^2)^{|m|/2} \frac{d^{n+|m|}}{d\mu^{n+|m|}}(\mu^2-1)^n, \quad \int_{-1}^{1}\{P_n^m(\mu)\}^2 d\mu =2. \end{equation} $g(\lambda,\mu)$ が実数であることから $s_n^m$ は \begin{equation} s_n^{-m} = \{s_n^m\}^* \end{equation} の関係を満たしている \footnote{ $ \sum_{m=-n}^{n}s_n^m e^{im\lambda}$ を展開して $\cos(m\lambda)$, $\sin(m\lambda)$ の項を取りだすと \begin{eqnarray*} s_n^m e^{im\lambda} + s_n^{-m}e^{-im\lambda} &=& Re[s_n^m]\cos(m\lambda) + i Re[s_n^m]\sin(m\lambda) + iIm[s_n^m]\cos(m\lambda) - Im[s_n^m]\sin(m\lambda)\\ & &+ Re[s_n^{-m}]\cos(m\lambda) - i Re[s_n^{-m}]\sin(m\lambda) + iIm[s_n^{-m}]\cos(m\lambda) + Im[s_n^{-m}]\sin(m\lambda)\\ &=& (Re[s_n^m]+Re[s_n^{-m}])\cos(m\lambda) + (- Im[s_n^m]+Im[s_n^{-m}])\sin(m\lambda)\\ &&+ i(Im[s_n^m]+Im[s_n^{-m}])\cos(m\lambda) + i(Re[s_n^m]-Re[s_n^{-m}])\sin(m\lambda). \end{eqnarray*} % 虚数部が 0 になる条件から $Re[s_n^m]=Re[s_n^{-m}],Im[s_n^m]=-Im[s_n^{-m}]$, すなわち $s_n^{-m} = \{s_n^m\}^*$ である. }. この制約から逆変換を次のように書き直すことができる. \begin{equation} g(\lambda,\mu) = \sum_{n=0}^M\left[ a_n^0P_n^0(\mu) +\sum_{m=1}^{n}\left\{ a_n^m P_n^m(\mu)\sqrt{2}\cos(m\lambda) -b_n^m P_n^m(\mu)\sqrt{2}\sin(m\lambda) \right\} \right]. \end{equation} % ただし % \begin{equation} a_n^0 = Re[s_n^0], \quad a_n^m = \sqrt{2}Re(s_n^m), \quad b_n^m = \sqrt{2}Im(s_n^m), \quad (m=1,2,\ldots,n, n=1,\ldots,M) \end{equation} \section{ルジャンドル陪函数} 補間の際必要となるルジャンドル陪函数の性質を記しておく. 2 で正規化されているため通常のルジャンドル陪函数と性質が変わる ことに注意されたい. 通常のルジャンドル陪函数を $\tilde{P}_n^m$, 2 で正規化されたルジャンドル陪函数を $P_n^m$ と表すと % \begin{equation} \tilde{P}_n^m(\mu) = (-i)^m\sqrt{\frac{1}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}} P_n^m(\mu) \end{equation} % である\footnote{ ISPACK で用いているルジャンドル陪函数は 符号の定義も違っていることに注意されたい}. 通常のルジャンドル函数の性質として, % \begin{equation} \tilde{P}_m^m(\mu) = (-1)^m(2m-1)!!(1-\mu^2)^{m/2}, \quad \tilde{P}_{m+1}^m(\mu) = \mu(2m+1)\tilde{P}_m^m. \end{equation} % 三項漸化式 \begin{equation} \tilde{P}_{n+1}^m(\mu) = \frac{2n+1}{n-m+1}\mu \tilde{P}_n^m(\mu) - \frac{n+m}{n-m+1}\tilde{P}_{n-1}^m(\mu). \end{equation} % 低次のルジャンドル陪函数 % \begin{eqnarray} & & \tilde{P}_1^0(\mu) = \mu, \quad \tilde{P}_1^1(\mu) = -\sqrt{1-\mu^2}, \\ & & \tilde{P}_2^0(\mu) = \frac{1}{2}(3\mu^2-1), \quad \tilde{P}_2^1(\mu) = -3\mu\sqrt{1-\mu^2}, \quad \tilde{P}_2^2(\mu) = 3(1-\mu^2). \end{eqnarray} % 積分 % \begin{equation} \int_{-1}^1 \{\tilde{P}_n^m(\mu)\}^2 d\mu = \frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}. \end{equation} % 2 で正規化されたルジャンドル陪函数に書き換えると, m, m+1 次の ルジャンドル陪函数は \footnote{ \begin{eqnarray*} \tilde{P}_m^m(\mu) &=&(-1)^m\sqrt{\frac{(2m)!}{2m+1}} P_m^m(\mu) = (-1)^m(2m-1)!!(1-\mu^2)^{m/2},\\ P_m^m(\mu) &=& \sqrt{\frac{2m+1}{(2m)!}}(2m-1)!!(1-\mu^2)^{m/2} = \sqrt{\frac{2m+1}{(2m)!}} \frac{(2m)!}{2^m m!}(1-\mu^2)^{m/2} \\ &=& \frac{\sqrt{(2m+1)(2m)!}}{2^m m!}(1-\mu^2)^{m/2}, \\ &=& \frac{\sqrt{(2m+1)!}}{2^m m!}(1-\mu^2)^{m/2}. \\ \tilde{P}_{m+1}^m(\mu) &=& \sqrt{\frac{(2m+1)!}{2m+3}} P_{m+1}^m(\mu) = \mu(2m+1)\tilde{P}_m^m = \mu(2m+1)\sqrt{\frac{(2m)!}{2m+1}} P_m^m(\mu), \\ P_{m+1}^m(\mu) &=& \mu(2m+1)\sqrt{\frac{(2m)!}{2m+1} \frac{2m+3}{(2m+1)!}}P_m^m(\mu) = \mu(2m+1)\sqrt{\frac{2m+3}{(2m+1)^2}}P_m^m(\mu)\\ &=& \mu\sqrt{2m+3}P_m^m(\mu). \end{eqnarray*} }, % \begin{eqnarray} P_m^m(\mu) &=& \frac{\sqrt{(2m+1)!}}{2^m m!}(1-\mu^2)^{m/2}. \\ P_{m+1}^m(\mu)&=& \mu\sqrt{2m+3}P_m^m(\mu). \end{eqnarray} % 三項漸化式は \footnote{ \begin{eqnarray*} & & \sqrt{\frac{1}{2n+3}\frac{(n+m+1)!}{(n-m+1)!}} P_{n+1}^m(\mu) = \sqrt{\frac{1}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}} \frac{2n+1}{n-m+1}\mu P_n^m(\mu) \\ & & - \sqrt{\frac{1}{2n-1}\frac{(n+m-1)!}{(n-m-1)!}} \frac{n+m}{n-m+1}P_{n-1}^m(\mu), \\ & & P_{n+1}^m(\mu) =\sqrt{\frac{2n+3}{2n+1}\frac{(n-m+1)!}{(n+m+1)!} \frac{(n+m)!}{(n-m)!}} \frac{2n+1}{n-m+1}\mu P_n^m(\mu) \\ & & - \sqrt{\frac{2n+3}{2n-1}\frac{(n-m+1)!}{(n+m+1)!} \frac{(n+m-1)!}{(n-m-1)!}} \frac{n+m}{n-m+1}P_{n-1}^m(\mu), \\ & & = \sqrt{\frac{2n+3}{2n+1}\frac{n-m+1}{n+m+1}} \frac{2n+1}{n-m+1}\mu P_n^m(\mu) -\sqrt{\frac{2n+3}{2n-1}\frac{(n-m+1)(n-m)}{(n+m+1)(n+m)}} \frac{n+m}{n-m+1}P_{n-1}^m(\mu),\\ & & = \sqrt{\frac{(2n+3)(2n+1)}{(n-m+1)(n+m+1)}} \mu P_n^m(\mu) -\sqrt{\frac{(2n+3)(n+m)(n-m)}{(2n-1)(n+m+1)(n-m+1)}} P_{n-1}^m(\mu). \end{eqnarray*} } \begin{equation} P_{n+1}^m(\mu) = \sqrt{\frac{(2n+3)(2n+1)}{(n-m+1)(n+m+1)}}\mu P_n^m(\mu) -\sqrt{\frac{(2n+3)(n+m)(n-m)}{(2n-1)(n+m+1)(n-m+1)}} P_{n-1}^m(\mu). \end{equation} % 低次のルジャンドル陪函数は % \begin{eqnarray} & & P_1^0(\mu) = \sqrt{3}\mu, \quad P_1^1(\mu) = \sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{1-\mu^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{1-\mu^2}, \\ & & P_2^0(\mu) = \frac{\sqrt{5}}{2}(3\mu^2-1) , \quad P_2^1(\mu) = \sqrt{\frac{5}{6}}3\mu\sqrt{1-\mu^2}, \quad = \sqrt{\frac{30}{2}}\mu\sqrt{1-\mu^2}, \\ & & P_2^2(\mu) = \sqrt{\frac{5}{24}}3(1-\mu^2) = \frac{\sqrt{120}}{24}3(1-\mu^2) = \frac{\sqrt{30}}{4}(1-\mu^2). \end{eqnarray} % 積分 % \begin{equation} \int_{-1}^1 \{P_n^m(\mu)\}^2 d\mu = 2. \end{equation} \section{補間の計算} 今, 関数 $g(\lambda,\mu)$ の球面調和関数変換 $s_n^m$ が与えられたとき 任意の点$(\lambda,\mu)$における関数の値を Clenshow's Recurrence Formula \footnote{Clenshow's Recurrence Formula:\\ 関数 $f(x)$ がとある関数系 $F_k(x)$ で % \begin{displaymath} f(x)=\sum_0^N c_k F_k(x) \end{displaymath} % と表されているとする. さらに関数系が次の漸化式 % \begin{displaymath} F_{n+1}(x)=\alpha(n,x)F_n(x)+\beta(n,x)F_{n-1}(x) \end{displaymath} % を満たしているとする. このとき漸化式 \begin{displaymath} y_{N+2}=y_{N+1}=0, \quad y_k = \alpha(k,x)y_{k+1} + \beta(k+1,x)y_{k+2} + c_k \end{displaymath} % で定義される量 $y_k, (k=N,N-1,\ldots,m)$ を用いると $f(x)$ を求めるための関数系の和は % \begin{displaymath} f(x) = \beta(m+1,x)F_m(x)y_{m+2} + F_{m+1}(x)y_{m+1} + F_m(x) c_m \end{displaymath} % と計算することができる. \\ ☆「証明」\\ $y_k$ に関する漸化式を $c_k$ について解き, $f(x)$ の式に代入すると \begin{eqnarray*} f(x) &=& \sum_0^N c_k F_k(x)\\ &=& y_N F_N(x) \\ & & + [y_{N-1}-\alpha(N-1,x)y_N]F_{N-1}(x) \\ & & + [y_{N-2}-\alpha(N-2,x)y_{N-1}-\beta(N-1,x)y_{N}]F_{N-2}(x)\\ & & + [y_{N-3}-\alpha(N-3,x)y_{N-2}-\beta(N-2,x)y_{N-1}]F_{N-3}(x)\\ & & \ldots\\ & & + [y_{m+2}-\alpha(m+2,x)y_{m+3}-\beta(m+3,x)y_{m+4}]F_{m+2}(x)\\ & & + [y_{m+1}-\alpha(m+1,x)y_{m+2}-\beta(m+2,x)y_{m+3}]F_{m+1}(x)\\ & & + [c_m+\beta(m+1,x)y_{m+2}-\beta(m+1,x)y_{m+2}]F_m(x) \end{eqnarray*} % 最後の項だけ $c_0$ のまま残し, $\beta(1,x)y_2$ をわざと足し引きしている. 各 $y_k$ について整理すると % \begin{eqnarray*} f(x) &=& y_N[F_N-\alpha(N-1,x)F_{N-1}-\beta(N-1,x)F_{N-2}]\\ & & +y_{N-1}[F_{N-1}-\alpha(N-2,x)F_{N-2}-\beta(N-2,x)F_{N-3}]\\ & & \ldots\\ & & + y_{m+2}[F_{m+2}-\alpha(m+1,x)F_{m+1}-\beta(m+1,x)F_m]\\ & & + y_{m+1}F_{m+1}+c_mF_m+\beta(m+1,x)y_{m+2}F_m \end{eqnarray*} % $F_k(x)$ の漸化式より $k=N,N-1,\ldots,2$ まではキャンセルし, 残りの項は最後の行だけになる. したがって % \begin{displaymath} f(x) = \beta(m+1,x)y_{m+2}F_m + y_{m+1}F_{m+1} + c_mF_m \end{displaymath} } を用いて計算する. ルジャンドル逆変換の和の順序を変えて % \begin{eqnarray*} g(\lambda,\mu) &=& \sum_{n=0}^M a_n^0P_n^0(\mu) +\sum_{m=1}^{n}\sum_{n=m}^M +\left\{ a_n^m P_n^m(\mu)\sqrt{2}\cos(m\lambda) -b_n^m P_n^m(\mu)\sqrt{2}\sin(m\lambda) \right\}\\ &=&\sum_{n=0}^M a_n^0P_n^0(\mu) + \sum_{m=1}^{n}\sqrt{2}\cos(m\lambda)\sum_{n=m}^M a_n^m P_n^m(\mu) - \sum_{m=1}^{n}\sqrt{2}\sin(m\lambda)\sum_{n=m}^M b_n^m P_n^m(\mu) \end{eqnarray*} % $n$ についての和は Clenshow's Recurrence Formula で計算できる. 漸化式から $\Ddsty \alpha(n,m,x)=\sqrt{\frac{(2n+3)(2n+1)}{(n-m+1)(n+m+1)}}x$, $\Ddsty \beta(n,m)=-\sqrt{\frac{(2n+3)(n+m)(n-m)}{(2n-1)(n+m+1)(n-m+1)}}$ とおいて, $\Ddsty f_m(\mu)=\sum_{n=m}^M a_n^m P_n^m(\mu)$ は % \begin{eqnarray} & & y_{K+2}=y_{K+1} = 0, \nonumber\\ & & y_{k} = \alpha(k,m,\mu) y_{k+1} + \beta(k+1,m) y_{k+2} + a_k^m, \quad (k=K,K-1,\ldots,m+1),\\ & & f_m(\mu) = \beta(m+1,m) y_{m+2} P_m^m(\mu) + P_{m+1}^m(\mu) y_{m+1} + a_m^m P_m^m(\mu) \nonumber\\ & & = \beta(m+1,m)y_{m+2} P_m^m(\mu) + \mu\sqrt{2m+3}P_m^m(\mu) y_{m+1} + a_m^m P_m^m(\mu)\nonumber\\ & & = \left[a_m^m+\beta(m+1,m)y_{m+2} + \mu\sqrt{2m+3}y_{m+1} \right]P_m^m(\mu). \end{eqnarray} % ただし $\Ddsty P_m^m(\mu) =\frac{\sqrt{(2m+1)!}}{2^m m!}(1-\mu^2)^{m/2}$ と計算することができる. $\Ddsty\sum_{n=m}^M b_n^m P_n^m(\mu)$ の和も同様に計算できる. $\Ddsty\sum_{n=0}^M a_n^0P_n^0(\mu)$ の場合は $\Ddsty f_0(\mu)=\sum_{n=0}^M a_n^0 P_n^0(\mu)$ は % \begin{eqnarray} & & y_{K+2}=y_{K+1} = 0, \nonumber\\ & & y_{k} = \alpha(k,0,\mu) y_{k+1} + \beta(k+1,0)y_{k+2} + a_k^0, \quad (k=K,K-1,\ldots,1),\\ & & f_0(\mu) = \beta(1,0)y_2 P_m^m(\mu) + P_1^0(\mu) y_1 + a_0^0 P_0^0(\mu) = \beta(1,0)y_2 + \sqrt{3}\mu y_1 + a_0^0 \end{eqnarray} \section{エネルギー・エンストロフィースペクトルの計算} 今, 流線関数 $\psi(\lambda,\varphi)$ の球面調和函数展開係数 $a_n^m,b_n^m$ が与えられたとき全エネルギー $E$ 次のように計算される. % \begin{eqnarray} E &=& \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \DP[][]{\psi}{\varphi}^2 + \frac{1}{\cos^2\varphi}\DP[][]{\psi}{\lambda}^2 \right] \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\left\{ \int_0^{2\pi}\left[ \psi\cos\varphi\DP[][]{\psi}{\varphi} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} d\lambda -\int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \psi\frac{1}{\cos\varphi} \DP{}{\psi}\left(\cos\varphi\DP{\psi}{\varphi}\right) \cos\varphi d\varphi d\lambda \right. \nonumber \\ & & \left. +\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \frac{\psi}{\cos^2\varphi}\DP[][]{\psi}{\lambda} \right]_0^{2\pi} \cos\varphi d\varphi - \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\psi}{\cos^2\varphi}\DP[2]{\psi}{\lambda} \cos\varphi d\varphi d\lambda \right\} \nonumber \\ &=&\frac{1}{2}\left\{ -\int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \psi\frac{1}{\cos\varphi} \DP{}{\psi}\left(\cos\varphi\DP{\psi}{\varphi}\right)\right] \cos\varphi d\varphi d\lambda \right. \nonumber \\ & & \left. - \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{\cos^2\varphi}\DP[2]{\psi}{\lambda} \cos\varphi d\varphi d\lambda \right\} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\left\{ -\int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \psi \left[ \frac{1}{\cos\varphi} \DP{}{\psi}\left(\cos\varphi\DP{\psi}{\varphi}\right) + \frac{\psi}{\cos^2\varphi}\DP[2]{\psi}{\lambda} \right] \cos\varphi d\varphi d\lambda \right\} \nonumber \\ &=& -\frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \psi \Dlapla\psi \cos\varphi d\varphi d\lambda. \end{eqnarray} % ここで, 球面調和函数展開係数を用いると % \begin{equation} \psi = \sum_{n=0}^M a_n^0 P_n(\sin\varphi) +\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^m \sqrt{2}a_n^m P_n^m(\sin\varphi)cos(m\lambda) -\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^m \sqrt{2}b_n^m P_n^m(\sin\varphi)sin(m\lambda) \end{equation} % であるから, \begin{eqnarray} E &=& -\frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \psi \Dlapla\psi \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \sum_{n=0}^M a_n^0 P_n(\sin\varphi) +\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sqrt{2}a_n^m P_n^m(\sin\varphi)\cos(m\lambda) \right.\nonumber \\ & & \left. -\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sqrt{2}b_n^m P_n^m(\sin\varphi)\sin(m\lambda) \right] \nonumber \\ & & \left[ \sum_{n'=0}^Mn'(n'+1)a_{n'}^0 P_n'(\sin\varphi) +\sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} \sqrt{2}n'(n'+1)a_n'^{m'} P_n'^{m'}(\sin\varphi)\cos(m'\lambda) \right.\nonumber \\ & & \left. -\sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} \sqrt{2}n'(n'+1)b_n'^{m'} P_n'^{m'}(\sin\varphi)\sin(m'\lambda) \right] \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=0}^M \sum_{n'=0}^M n'(n'+1) a_{n'}^0 a_n'^0 \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n(\sin\varphi) P_n'(\sin\varphi) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n'(n'+1)a_n^m a_{n'}^{m'} \nonumber \\ & & \qquad \times \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n^m(\sin\varphi)\cos(m\lambda) P_n'^{m'}(\sin\varphi)\cos(m'\lambda) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n'(n'+1)b_n^m b_{n'}^{m'} \nonumber \\ & & \qquad \times \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n^m(\sin\varphi)\sin(m\lambda) P_n'^{m'}(\sin\varphi)\sin(m'\lambda) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=0}^M \sum_{n'=0}^M n'(n'+1) a_{n'}^0 a_n'^0 4pi\delta_{n,n'} \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} 2 n'(n'+1)a_n^m a_{n'}^{m'} \pi\delta_{m,m'}\cdot 2\delta_{n,n'} \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} 2 n'(n'+1)b_n^m b_{n'}^{m'} \pi\delta_{m,m'}\cdot 2\delta_{n,n'} \nonumber \\ &=& 4\pi\left[\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M n(n+1) |a_{n}^0|^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n n(n+1)|a_n^m|^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n n(n+1)|b_n^m|^2 \right] \end{eqnarray} % これより全エネルギーを $(n,m)$ 各成分にわけることができて, $\Ddsty\frac{1}{2}n(n+1)|a_{n}^0|^2$ をエネルギースペクトルの $(n,0)$ 成分, $\Ddsty\frac{1}{2} n(n+1)|a_n^m|^2$ をエネルギースペクトルの $(n,m)$ 成分, $\Ddsty\frac{1}{2}n(n+1)|b_n^m|^2$ をエネルギースペクトルの $(n,-m)$ 成分 と呼ぶ. 同じような計算を全エンストロフィーにも行うことができる. % \begin{eqnarray} Q &=& \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\Dlapla\psi)^2 \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \sum_{n=0}^M n(n+1)a_n^0 P_n(\sin\varphi) +\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sqrt{2} n(n+1)a_n^m P_n^m(\sin\varphi)\cos(m\lambda) \right.\nonumber \\ & & \left. -\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sqrt{2} n(n+1)b_n^m P_n^m(\sin\varphi)\sin(m\lambda) \right] \nonumber \\ & & \left[ \sum_{n'=0}^Mn'(n'+1)a_{n'}^0 P_n'(\sin\varphi) +\sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} \sqrt{2}n'(n'+1)a_n'^{m'} P_n'^{m'}(\sin\varphi)\cos(m'\lambda) \right.\nonumber \\ & & \left. -\sum_{n'=0}^M\sum_{m'=1}^{n'} \sqrt{2}n'(n'+1)b_n'^{m'} P_n'^{m'}(\sin\varphi)\sin(m'\lambda) \right] \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=0}^M \sum_{n'=0}^M n(n+1)n'(n'+1) a_{n'}^0 a_n'^0 \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n(\sin\varphi) P_n'(\sin\varphi) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n(n+1)n'(n'+1)a_n^m a_{n'}^{m'} \nonumber \\ & & \qquad \times \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n^m(\sin\varphi)\cos(m\lambda) P_n'^{m'}(\sin\varphi)\cos(m'\lambda) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n(n+1)n'(n'+1)b_n^m b_{n'}^{m'} \nonumber \\ & & \qquad \times \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} P_n^m(\sin\varphi)\sin(m\lambda) P_n'^{m'}(\sin\varphi)\sin(m'\lambda) \cos\varphi d\varphi d\lambda \nonumber \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=0}^M \sum_{n'=0}^M n(n+1)n'(n'+1) a_{n'}^0 a_n'^0 4pi\delta_{n,n'} \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n(n+1)n'(n'+1)a_n^m a_{n'}^{m'} \pi\delta_{m,m'}\cdot 2\delta_{n,n'} \nonumber \\ & & +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=1}^n \sum_{n'=0}^M\sum_{m'=0}^{n'} 2 n(n+1)n'(n'+1)b_n^m b_{n'}^{m'} \pi\delta_{m,m'}\cdot 2\delta_{n,n'} \nonumber \\ &=& 4\pi\left[\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M n^2(n+1)^2 |a_{n}^0|^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=-n}^n n^2(n+1)^2|a_n^m|^2 +\frac{1}{2}\sum_{n=0}^M\sum_{m=-n}^n n^2(n+1)^2|b_n^m|^2 \right] \end{eqnarray} % これより全エンストロフィーを $(n,m)$ 各成分にわけることができて, $\Ddsty\frac{1}{2}n^2(n+1)^2|a_{n}^0|^2$ を エネルギースペクトルの $(n,0)$ 成分, $\Ddsty\frac{1}{2}n^2(n+1)^2|a_n^m|^2$ を エネルギースペクトルの $(n,m)$ 成分, $\Ddsty\frac{1}{2}n^2(n+1)^2|b_n^m|^2$ を エネルギースペクトルの $(n,-m)$ 成分と呼ぶ. \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: