%表題 SPMODEL レファレンスマニュアル % チェビシェフ関数展開を利用したガラーキン法 % %履歴 2006/01/06 作成 竹広真一 % 2006/01/14 非圧縮流体用定式化を別ファイルに分割 % 2011/01/23 非圧縮流体用定式化両端粘着条件バグ fix % \documentclass[a4j,12pt]{jarticle} \usepackage{Dennou6} \Dtitle[チェビシェフ・ガラーキン法] {チェビシェフ関数展開を利用した\\ガラーキン法} \Dauthor{竹広真一} \Ddate{平成 23 年 1 月 23 日} \Dparskip \begin{document} \maketitle この文書は, チェビシェフ関数展開ルーチンを利用した ガラーキン法による数値計算の定式化を説明する. \section{チェビシェフ関数の性質} チェビシェフ関数系 $T_k(x)$ は区間 $[-1,1]$ で定義される関数からなり, 次の性質ような性質をもつ. % \begin{itemize} \item 定義 \begin{equation} x=\cos \theta; \quad T_k(x) = T_k(\cos\theta) = \cos k\theta. \end{equation} \item 微分の表現 \footnote{ \begin{eqnarray*} \DD{T_k}{x} &=& \DD{T_k(\cos \theta)}{\theta}\DD{\theta}{x} = = \frac{(\cos k \theta)'}{(cos\theta)'} = \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta},\\ \DD[2]{T_k}{x} &=& \DD{}{\theta}\left(\DD{T_k}{x}\right)\DD{\theta}{x} = \DD{}{\theta}\left(\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\right) \frac{1}{(cos\theta)'} = \frac{k^2\cos k\theta\sin\theta - k\sin k\theta \cos\theta} {-\sin^3\theta}. \end{eqnarray*} } \begin{equation} x=\cos\theta, \quad \DD{T_k}{x} = \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}, \quad \DD[2]{T_k}{x} = \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta} {\sin^3\theta}. \end{equation} \item 端点での値 \footnote{ \begin{eqnarray*} \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=1} &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta} = \lim_{\theta\rightarrow 0} k^2\frac{\sin k\theta}{n\theta}\frac{\theta}{\sin\theta} = k^2, \\ \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=-1} &=&\lim_{\theta\rightarrow \pi} \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta} = \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{k\sin k(\pi-\varphi)}{\sin(\pi-\varphi)} = \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{-k\cos k\pi\sin\varphi}{\sin\varphi}\\ &=& (-1)^{k+1}\lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{k\sin\varphi}{\sin\varphi} = (-1)^{k+1}k^2, \\ \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=1} &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta} {\sin^3\theta} = \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{(-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta)'} {(\sin^3\theta)'}\\ &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{k^3\sin k\theta\sin\theta -k^2 \cos k\theta\cos\theta + k^2\cos k\theta \cos\theta -k\sin k\theta \sin\theta} {3\sin^2\theta\cos\theta}\\ &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} k(k^2-1)\frac{\sin k\theta}{3\sin\theta\cos\theta} = \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{k^2(k^2-1)}{3} \frac{\sin k\theta}{k\theta} \frac{\theta}{\sin\theta} \frac{1}{\cos\theta} = \frac{n^2(n^2-1)}{3}.\\ \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=-1} &=& \lim_{\theta\rightarrow \pi} \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta} {\sin^3\theta} = \lim_{\theta\rightarrow \pi} k(k^2-1)\frac{\sin k\theta}{3\sin\theta\cos\theta}\\ &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{k(k^2-1)}{3} \frac{\sin k(\pi-\varphi)} {\sin(\pi-\varphi)\cos(\pi-\varphi)} = \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{k(k^2-1)}{3} \frac{-\cos k\pi\sin k\varphi} {-\sin\varphi\cos\varphi}\\ &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} (-1)^k\frac{k(k^2-1)}{3} \frac{\sin k\varphi}{\sin\varphi\cos\varphi} = (-1)^k\frac{k(k^2-1)}{3} \end{eqnarray*} } \begin{eqnarray} & & T_k(1) = 1, \quad T_k(-1) = (-1)^k, \\ & & \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=1} = k^2, \quad \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=-1} = (-1)^{k+1}k^2, \\ & & \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=1} = \frac{k^2(k^2-1)}{3}, \quad \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=-1}= (-1)^k\frac{k^2(k^2-1)}{3}. \end{eqnarray} \item 微分方程式 \footnote{ \begin{eqnarray*} \DD[2]{T_k}{x} &=& \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta} {\sin^3\theta}. = -k^2\frac{\cos k\theta}{\sin^2\theta} + k\frac{\sin k\theta \cos\theta}{\sin^3\theta}. = -k^2\frac{T_k(x)}{1-x^2} + \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta} \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\\ &=& -k^2\frac{T_k(x)}{1-x^2} + \DD{T_k}{x} \frac{x}{1-x^2} \rightarrow (1-x^2)\DD[2]{T_k}{x}-x\DD{T_k}{x} +k^2T_k(x). \end{eqnarray*} } \begin{equation} (1-x^2)\DD[2]{T_k}{x} - x\DD{T_k}{x} + k^2 T_k = 0. \end{equation} \item 漸化式 \footnote{ 三角関数の和を積に直す公式より \begin{displaymath} \cos(k+1)\theta + \cos(k-1)\theta = 2 \cos k\theta \cos\theta \rightarrow T_{k+1}(x) + T_{k-1}(x) = 2x T_k(x). \end{displaymath} } \begin{equation} T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x). \end{equation} \item 昇降漸化式 \footnote{ \begin{eqnarray*} T_{k+1}(x) &=& \cos (k+1)\theta = \cos k\theta \cos\theta - \sin k\theta \sin\theta = x T_k(x) - \frac{1}{k}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\sin^2\theta = x T_k(x) - \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x}, \\ T_{k-1}(x) &=& \cos (k-1)\theta = \cos k\theta \cos\theta + \sin k\theta \sin\theta = x T_k(x) + \frac{1}{k}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\sin^2\theta = x T_k(x) + \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x}. \end{eqnarray*} } \begin{equation} T_{k\pm 1}(x) = x T_k(x) \mp \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x} \end{equation} \item 直交関係 \footnote{ \begin{displaymath} \int_{-1}^{1} T_k(x)T_l(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int_{pi}^{0} \cos k\theta \cos l\theta \frac{-\sin\theta \ d\theta}{\sin\theta} = \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta. \end{displaymath} $k \neq l$ のとき \begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta &=& \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2} [ \cos(k+l)\theta + \cos(k-l)\theta]\ d\theta\\ &=& \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{k+l}\sin(n+m)\theta + \frac{1}{k-l}\sin(n-m)\theta \right]_0^\pi = 0. \end{eqnarray*} $k = l \neq 0$ のとき \begin{displaymath} \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta = \int_{0}^{\pi} \cos^2 k\theta \ d\theta = \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 k \theta ]\ d\theta = \frac{1}{2}\left[ \theta + \frac{1}{2k}\sin 2k\theta \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}. \end{displaymath} $k = l = 0$ のとき \begin{displaymath} \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta = \int_{0}^{\pi} \ d\theta = \left[\theta \right]_0^\pi = \pi. \end{displaymath} } \begin{equation} \int_{-1}^{1} T_k(x)T_l(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \alpha_k \delta_{kl}, \end{equation} % ここで \begin{equation} \alpha_k=\left\{ \begin{array}{ll} \pi & k = 0 \\ \pi/2 & k \neq 0 \end{array} \right.. \end{equation} である. \item 低次の関数形 \begin{equation} T_0(x) = 1, \ T_1(x) = x, \ T_2(x) = 2x^2-1, \ T_3(x) = 4x^3-3x, \ T_4(x) = 8x^4-8x^2 + 1, \ldots \end{equation} \end{itemize} \section{チェビシェフ関数展開} 区間 $[x_{min},x_{max}]$ でとある時間発展方程式と境界条件の下での解を ガラーキン法で数値計算したい. 区間 $[x_{min},x_{max}]$ で定義された関数 $f^*(x^*)$ は 次の線形写像で区間 $[-1,1]$ での関数 $f(x)$ へと写される. % \begin{equation} x^* = \frac{x_{max}+x_{min}}{2} + \frac{x_{max}-x_{min}}{2} \times x. \end{equation} % したがって, 区間 $[-1,1]$ で $f(x)$ をチェビシェフ関数で構成された 境界条件を満たす関数系 $\phi_n(x)$ を用いて % \begin{equation} \Deqlab{ガラーキン展開} f(x) = \sum_{n=K_s}^{N}a_n\phi_n(x) \end{equation} % と表せればよい. $\phi_n(x)$ はガラーキン法の基底関数系であり, チェビシェフ関数の線形結合で表されるとする. $K_s$ は基底関数のもっとも低い次数, $K$ が最高次の切断次数を表す. % \begin{equation} \Deqlab{ガラーキン基底チェビシェフ展開} \phi_n(x) = \sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x) \end{equation} % $\phi_n(x)$ は $n$ 次の多項式であることに注意されたい. $(A_{ln})$ は $(K+1) \times(K-K_s)$ の行列である. 一方で, $f(x)$ が $K$ 次までのチェビシェフ関数系 $T_k(x)$ で 展開されているとする. すなわち % \begin{equation} \Deqlab{チェビシェフ展開} f(x) = \sum_{k=0}^{K}{}'' c_k T_k(x) \equiv \Dinv{2}c_0 T_0(x) + \sum_{k=1}^{K-1}c_k T_k(x) + \Dinv{2}c_K T_K(x) = \sum_{n=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x) \end{equation} % ただし % \begin{equation} \beta_k = \left\{ \begin{array}{ccc} 1/2 & \quad & (k=0,K) \\ 1 & \quad & (k \neq 0,K) \end{array} \right. \end{equation} % である. \subsection{チェビシェフ係数からガラーキン係数の計算} いま $c_k$ を計算できているとして, ガラーキン法による展開係数 $a_n$ を 求めることを考える. \Deqref{ガラーキン展開}と\Deqref{ガラーキン基底チェビシェフ展開}から % \begin{displaymath} f(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\phi_n(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x). \end{displaymath} % これと\Deqref{チェビシェフ展開}が等しいので % \begin{equation} \Deqlab{17} \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x). \end{equation} % 両辺に $\Ddsty \phi_m(x)=\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)$ ($m=k_s,\ldots,K$) を かけて $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を作用させ, チェビシェフ関数の直交関係を用いる. % \begin{eqnarray*} & & \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)\beta_k c_k T_k(x) = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x) a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x), \\ & & \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}\beta_k c_k \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_k(x) = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} T_l'(x) T_l(x), \\ & & \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}\beta_k c_k \alpha_k\delta_{l'k} = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \alpha_l \delta_{l'l}, \\ & & \sum_{k=0}^{K} \alpha_k \beta_k c_k A_{km} = \sum_{n=K_s}^{K} a_n \sum_{l=0}^{K}\alpha_l A_{lm} A_{ln}, \end{eqnarray*} % ここで $\Ddsty B_{mn} \equiv\sum_{l=0}^{K}\alpha_l A_{lm} A_{ln} $ と書き直すと行列の積の形にかけて % \begin{displaymath} \sum_{k=0}^{K} \alpha_k \beta_k c_k A_{km} = \sum_{n=K_s}^{K} B_{mn}a_n \quad (m=k_s,\ldots,K) \end{displaymath} % すなわち, % \begin{eqnarray*} & & \left(\alpha_0 \beta_0 c_0,\ \cdots,\ \alpha_k \beta_k c_k, \ \cdots,\ \alpha_K \beta_K c_K \right) \cdot \left( \begin{array}{ccccc} A_{0k_s} &\cdots& A_{0m} &\cdots& A_{Kk_s} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ A_{kk_s} &\cdots& A_{km} &\cdots& A_{kk_s} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ A_{Kk_s} &\cdots& A_{Km} &\cdots& A_{KK} \end{array} \right)\\ & & = \left( \begin{array}{ccccc} B_{k_sk_s}&\cdots& B_{k_sm} &\cdots& B_{Kk_s} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ B_{kk_s} &\cdots& B_{km} &\cdots& B_{kk_s} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ B_{Kk_s} &\cdots& B_{Km} &\cdots& B_{KK} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} a_{k_s} \\ \cdots \\ a_{m} \\ \cdots \\ a_{K} \end{array} \right) \end{eqnarray*} % この連立方程式を解くことにより $c_k$ から $a_n$ を求めることができる. \subsection{ガラーキン係数からチェビシェフ係数の計算} 逆にガラーキン法による展開係数 $a_k$ から $c_k$ を求めるための式は, \Deqref{17}の両辺に $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) \quad (m=0,\ldots,K)$ を作用させて直交関係を用いると良い. % \begin{eqnarray*} & & \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x) = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x), \\ & & \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x)T_k(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) T_l(x), \\ & & \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k \alpha_m\delta_{mk} = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \alpha_m \delta_{ml},\\ & & \alpha_m \beta_m c_m = \sum_{n=K_s}^{K} a_n A_{mn}\alpha_m,\\ & & c_m = \frac{1}{\beta_m}\sum_{n=K_s}^{K} A_{mn}a_n, \quad (m=0,\ldots,K). \end{eqnarray*} % 行列の形で書き直すと % \begin{equation} \left( \begin{array}{c} c_0 \\ \ldots \\ c_m \\ \ldots \\ c_K \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} A_{0,K_s}/\beta_0 & \ldots & A_{0,k}/\beta_0 &\ldots & A_{0,K}/\beta_0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{m,K_s}/\beta_m & \ldots & A_{m,k}/\beta_m &\ldots & A_{m,K}/\beta_m \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{K,K_s}/\beta_K & \ldots & A_{K,k}/\beta_K & \ldots & A_{K,K}/\beta_K \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_{K_s} \\ \ldots \\ a_k \\ \ldots \\ a_K \end{array} \right) \end{equation} % % あるいは行列を書き直して % % % \begin{equation} % c_n = \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K, \ k=K_s,\ldots K) % \end{equation} % % % ただし % % % \begin{equation} % \tilde{A}_{nk} = % \left\{ % \begin{array}{cc} % 2 A_{nk} & (n=0,K)\\ % A_{nk} & (n\neq 0,K) % \end{array} % \right. % \end{equation} % この式は未知数 $a_k$ が $(K-K_s+1)$ 個であるのに対して % 条件式が $K$ 個と多すぎるので, % 高波数成分を切断し低波数成分に制限した連立方程式を構成する. % すなわち % % % \begin{equation} % \left( % \begin{array}{c} % c_0 \\ % \ldots \\ % c_n \\ % \ldots \\ % c_{K-K_s+1} % \end{array} % \right) % = % \left( % \begin{array}{ccccc} % 2A_{0,K_s} & \ldots & 2A_{0,k} & \ldots & 2A_{0,K} \\ % \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ % A_{n,K_s} & \ldots & A_{n,k} & \ldots & A_{n,K} \\ % \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ % A_{K-K_s+1,K_s} & \ldots & A_{K-K_s+1,k} & \ldots & A_{K-K_s+1,K} \\ % \end{array} % \right) % \left( % \begin{array}{c} % a_{K_s} \\ % \ldots \\ % a_k \\ % \ldots \\ % a_K % \end{array} % \right) % \end{equation} % % % あるいは, % \begin{equation} % c_n = \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K-K_s+1, \ k=K_s,\ldots K). % \end{equation} % この連立方程式をしかるべき方法で解くことにより, % チェビシェフ展開係数 $c_n$ からガラーキン展開係数 $a_k$ を % 求めることができる. % 逆にガラーキン展開係数 $a_k$ から チェビシェフ展開係数 $c_n$ を % 計算するには, % % % \begin{eqnarray*} % c_0 &=& \sum_{k=K_s}^{K} 2 A_{0k} a_k,\\ % c_n &=& \sum_{k=K_s}^{K} A_{nk} a_k, \quad (n=1,\ldots,K-1), \\ % c_K &=& \sum_{k=K_s}^{K} 2 A_{Kk} a_k. % \end{eqnarray*} % % % あるいは % % % \begin{eqnarray*} % c_n &=& \sum_{k=K_s}^{K} \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K). \\ % \end{eqnarray*} % \footnote{ % 非線形項のエイリアシングエラーを避けるために, % 格子点数に対してあえて切断波数を少なく選んでいる場合には % 変換行列の最後の $N$ 次の行の 2 倍の係数が不要となることに注意されたい. % } \subsection{境界値問題の解法} 与えられた関数 $g(x)$ に対して, とある境界条件の下で % \begin{equation} {\cal L}[f(x)] = g(x) \end{equation} % を満たす関数 $f(x)$ を求めるという境界値問題を解くことを考える. ここで ${\cal L}$ は $f(x)$ に働く線形微分作用素であるとする. このような問題をチェビシェフ・ガラーキン法で解くには, $f(x)$ を境界条件を満たすガラーキン基底で表現し, % \begin{displaymath} f(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\phi_n(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x), \end{displaymath} % とおく. 一方, 与えられた関数 $g(x)$ はチェビシェフ関数展開されており, % \begin{equation} g(x) = \sum_{k=0}^{K}{}''b_k T_k(x)=\sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x) \end{equation} % そうすると % \begin{equation} \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}{\cal L}[T_l(x)] = \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x), \end{equation} % の式で $b_k$ から $a_n$ を求める式を構成すれば良い. ${\cal L}$ は線形作用素であるから % \begin{equation} {\cal L}[T_l(x)] = \sum_{p=0}^{K} L_{lp}T_p(x) \end{equation} % の形に書き直せる. さらに 両辺に $\Ddsty \phi_m(x)=\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)$ ($m=k_s,\ldots,K$) を かけて $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を作用させ, チェビシェフ関数の直交関係を用いると, % \begin{eqnarray*} \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x) \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \sum_{p=0}^{K} L_{lp}T_p(x) &=& \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x) \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x), \\ \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \sum_{p=0}^{K} L_{lp} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_p(x) & & \\ = \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_k(x), & & \\ \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \sum_{p=0}^{K} L_{lp} \alpha_p \delta_{l'p} &=& \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm} \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k \alpha_k\delta_{l'k} \\ \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K}\sum_{p=0}^{K} A_{ln}L_{lp}\alpha_p A_{pm} &=& \sum_{k=0}^{K} \alpha_k\beta_k b_k A_{km} \end{eqnarray*} % ここで $\Ddsty D_{nm} \equiv \sum_{l=0}^{K}\sum_{p=0}^{K} A_{ln}L_{lp}\alpha_p A_{pm}$ とおけば行列の形で書き直して % \begin{equation} \sum_{n=K_s}^{K}D_{nm} a_n =\sum_{k=0}^{K} \alpha_k\beta_k b_k A_{km}, \quad (m=k_s,\ldots,K) \end{equation} % \begin{eqnarray} & & (a_{k_s},\ \ldots,\ a_n, \ \ldots,\ a_K)\cdot \left( \begin{array}{ccccc} D_{k_sk_s} & \cdots & D_{k_s m} & \cdots & D_{k_s K} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ D_{n k_s} & \cdots & D_{n m} & \cdots & D_{n K} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ D_{K k_s} & \cdots & D_{K m} & \cdots & D_{K K} \end{array} \right)\nonumber\\ &=& (\alpha_0\beta_0 b_0,\ \ldots, \ \alpha_k\beta_k b_k, \ \ldots, \ \alpha_K\beta_K b_K)\cdot \left( \begin{array}{ccccc} A_{0k_s} & \cdots & A_{0 m} & \cdots & A_{0 K} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ A_{k k_s} & \cdots & A_{k m} & \cdots & A_{k K} \\ \cdots & & \cdots & & \cdots \\ A_{K k_s} & \cdots & A_{K m} & \cdots & A_{K K} \end{array} \right)\nonumber\\ \end{eqnarray} % この連立方程式を解くことにより $b_k$ から $a_n$ を求めることができる. \section[ディリクレ・ノイマン境界条件] {ディリクレ・ノイマン境界条件に対する定式化} \subsection{ディリクレ・ノイマン境界条件に対するガラーキン基底の例 : その 1} $k$ 次の基底が % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_{k-1} T_{k-1}(x) + C_{k-2} T_{k-2}(x) \end{displaymath} % の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める($k=2,\ldots,K$). この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は % \begin{equation} A_{k,k} = 1, \quad A_{k-1,k} = C_{k-1}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2}, \end{equation} % と与えられることになる. \subsubsection{両端境界で値が 0 の場合(両端ディリクレ条件)} 境界条件 $\phi_k(1) = \phi_k(-1) = 0$ より, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} =0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^k + (-1)^{k-1} C_{k-1} + (-1)^{k-2} C_{k-2} =0. \end{eqnarray*} % これを解くと \begin{equation} C_{k-1}=0, \quad C_{k-2} = -1. \end{equation} % したがって \begin{equation} \phi_k(x) = T_k(x) - T_{k-2}(x). \end{equation} \subsubsection{両端境界で微分が 0 の場合(両端ノイマン条件)} 区間両端での微分が 0 となる境界条件 % \begin{equation} \DD{f}{x} = 0 \quad \mbox{at} \quad x=-1,1 \end{equation} % の場合は \begin{eqnarray*} & & \phi'_k(1) = k^2 + (k-1)^2 C_{k-1} + (k-2)^2C_{k-2} =0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^k k^2 + (-1)^{k-1} (k-1)^2 C_{k-1} + (-1)^{k-2}(k-2)^2 C_{k-2} =0. \end{eqnarray*} % ただしこの場合, $k=2$ では境界条件を満たすことができないので $k=3,\ldots,K$ である. $k=2$ の基底は特別に扱い, $\phi_2(x)= T_0(x)$ とおく必要がある. これを解くと, \begin{equation} C_{k-1} = 0, \quad C_{k-2}=-\left(\frac{k}{k-2}\right)^2, \end{equation} % したがって \begin{equation} \phi_2(x) = T_0(x), \quad \phi_k(x) = T_k(x) - \left(\frac{k}{k-2}\right)^2T_{k-2}(x). \end{equation} % 変換行列は \begin{eqnarray} & & A_{0,2} = 1, \nonumber\\ & & A_{k,k} = 1, \quad A_{k-2,k} = - \left(\frac{k}{k-2}\right)^2 \quad (k=3,\ldots,K) \end{eqnarray} \subsubsection{片側端境界で値が 0, 他方で微分値が 0 の場合 (片側ディリクレ, 片側ノイマン条件)} 区間両端での条件が, 片側の値が 0, もう一方で微分値が 0 となる境界条件 % \begin{equation} f(1) = 0, \quad \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = 0, \end{equation} % の場合を考える. この境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} =0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^k k^2 + (-1)^{k-1} (k-1)^2 C_{k-1} + (-1)^{k-2}(k-1)^2 C_{k-2} =0. \end{eqnarray*} % これを解くと, \begin{equation} C_{k-1} = \frac{k^2-(k-2)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \quad C_{k-2} = -\frac{k^2+(k-1)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \end{equation} \subsubsection{片側端境界で微分値が 0, 他方で値が 0 の場合 (片側ノイマン, 片側ディリクレ条件)} 区間両端での条件が, 片側の微分値が 0, もう一方で値が 0 となる境界条件 \begin{equation} \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0, \quad , f(-1) = 0, \end{equation} % の場合を考える. この境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \phi'_k(1) = k^2 + (k-1)^2 C_{k-1} + (k-2)^2C_{k-2} =0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^k + (-1)^{k-1} C_{k-1} + (-1)^{k-2} C_{k-2} =0. \end{eqnarray*} % これを解くと, \begin{equation} C_{k-1} = -\frac{k^2-(k-2)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \quad C_{k-2} = -\frac{k^2+(k-1)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \end{equation} \subsection{一般的な混合境界条件} 区間両端での条件が, ディリクレ・ノイマン型の混合した一般的な場合 を考える. すなわち \footnote{ 区間 $[x_{min},x_{max}]$ での関数 $f^*(x^*)$ に対する 境界条件が % \begin{displaymath} \alpha^*_{1,x_{max}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{max}} + \alpha^*_{0,x_{max}}f^*(x_{max}) = 0, \quad \alpha^*_{1,x_{min}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{min}} + \alpha^*_{0,x_{min}}f^*(x_{min}) = 0, \end{displaymath} % と与えられた場合の, 区間 $[-1,1]$ へ写された関数に対する境界条件を表すには 微分関係 % \begin{displaymath} \DD{f^*}{x^*} = \DD{x}{x^*}\DD{f}{x} = \frac{2}{x_{max}-x_{min}}\DD{f}{x} \equiv\frac{1}{D_{fac}}\DD{f}{x} \end{displaymath} % を気をつけなければならない. ここで $D_{fac}\equiv (x_{max}-x_{min})/2$ である. したがって, 対応する境界条件は % \begin{displaymath} \frac{\alpha^*_{1,x_{max}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} + \alpha^*_{0,x_{max}}f(1) = 0, \quad \frac{\alpha^*_{1,x_{min}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} + \alpha^*_{0,x_{min}}f(-1) = 0, \end{displaymath} % となる. } % \begin{eqnarray} & & \alpha_{1,1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}+ \alpha_{0,1}f(1) = 0,\\ & & \alpha_{1,-1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}+ \alpha_{0,-1}f(-1) =0, \end{eqnarray} % ここで $\alpha_{i,j}$ は定数係数であり, $\alpha_{1,1}$と$\alpha_{0,1}$, $\alpha_{1,-1}$と$\alpha_{0,-1}$ および $\alpha_{0,1}$と$\alpha_{0,-1}$ は同時に 0 とはならないと 仮定する. この境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \alpha_{1,1}\phi'(1)+ \alpha_{0,1}\phi(1) \\ & & = \alpha_{1,1}(k^2 +(k-1)^2C_{k-1}+(k-2)^2C_{k-2}) + \alpha_{0,1}(1 + C_{k-1}+ C_{k-2} ) = 0,\\ & & \alpha_{1,-1}\phi'(-1)+ \alpha_{0,-1}\phi(-1) \\ & & = \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 + (-1)^k (k-1)^2 C_{k-1}+(-1)^{k-1}(k-2)^2C_{k-2}]\\ & & + \alpha_{0,-1}[(-1)^k + (-1)^{k-1} C_{k-1}+ (-1)^{k-2} C_{k-2} ] = 0, \end{eqnarray*} % 行列の形式でかけば % \begin{displaymath} \left( \begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} C_{k-1}\\C_{k-2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} e\\f \end{array} \right), \end{displaymath} % ただし % \begin{eqnarray*} a &=& \alpha_{1,1}(k-1)^2 + \alpha_{0,1} \\ b &=& \alpha_{1,1}(k-2)^2 + \alpha_{0,1} \\ c &=& \alpha_{1,-1}(k-1)^2 - \alpha_{0,-1} \\ d &=& -\alpha_{1,-1}(k-2)^2 + \alpha_{0,-1} \\ e &=& -( \alpha_{1,1}k^2 + \alpha_{0,1}) \\ f &=& -(-\alpha_{1,-1}k^2 + \alpha_{0,-1}). \end{eqnarray*} % これを解くと \begin{displaymath} \left( \begin{array}{c} C_{k-1}\\C_{k-2} \end{array} \right) = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{cc} -d & -b\\ -c & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e\\f \end{array} \right) = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{c} de-bf\\-ce+af \end{array} \right). \end{displaymath} 係数行列の行列式が 0 となってしまう特別な場合として, $k=2$ の係数行列式が 0 となる場合を考えよう. このときには基底の一つが % \begin{displaymath} \phi_2(x) = C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % という形となることを意味している. $C_1, C_0$ は片側の境界条件から定めることができて, 例えば $x=1$ での境界条件から % \begin{displaymath} \alpha_{1,1} C_1 + \alpha_{0,1}(C_1+ C_0) = 0, \quad (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_1 + \alpha_{0,1}C_0 = 0, \end{displaymath} % すなわち \begin{equation} C_1 = -\alpha_{0,1}\quad C_0 = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}, \end{equation} % と定められる. したがって \begin{displaymath} \phi_2(x) = -\alpha_{0,1}T_1(x) + (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_0 T_0(x). \end{displaymath} 結局, この場合は変換行列の 0 行目だけ修正して \begin{eqnarray} & & A_{1,2} = -\alpha_{0,1}, \quad A_{0,2} = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}\\ & & A_{k,k} = 1, \quad A_{k-1,k} = C_{k-1}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2}, \quad (k \ge 3). \end{eqnarray} % と与えられることになる. \subsection{ディリクレ・ノイマン境界条件に対するガラーキン基底の例 : その 2} \subsubsection{両端境界で値が 0 の場合(両端ディリクレ条件)} $T_k(1) = \cos 0 = 1$, $T_k(-1) = \cos k\pi = (-1)^k$ である. 特に $T_0(1)=T_0(-1)=1, T_1(1)=1, T_1(-1)=-1$ であるから, 両端で値が 0 となるようなガラーキン基底は % \begin{eqnarray*} \phi_2(x) = T_2(x) - T_0(x), &\quad& \phi_3(x) = T_3(x) - T_1(x), \\ \ldots & & \ldots \\ \phi_{2k}(x) = T_{2k}(x) - T_0(x), &\quad& \phi_{2k+1}(x) = T_{2k+1}(x) - T_1(x), \\ \ldots & & \ldots \\ \phi_{K-1}(x) = T_{K-1}(x) - T_1(x), &\quad& \phi_{K}(x) = T_{K}(x) - T_0(x). \end{eqnarray*} % 暗黙のうちに $K$ が偶数であることを用いている. 変換行列 $(\tilde{A}_{nk})$ は \begin{equation} (\tilde{A}_{nk}) = \left( \begin{array}{ccccccccccc} -1 & 0 & \ldots & -1 & 0 & \ldots & 0 & -1 \\ 0 & -1 & \ldots & 0 & -1 & \ldots & -1 & 0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} % 解析的に書けば % \begin{eqnarray} \tilde{A}_{0,k} = -[1+(-1)^k]/2 &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{1,k} = -[1-(-1)^k]/2 &\quad & ( k=2,3,\ldots,K-1 )\\ \tilde{A}_{k,k} = 1 &\quad & ( k=2,3,\ldots,K ) \end{eqnarray} \subsubsection{両端境界で微分が 0 の場合(両端ノイマン条件)} 区間両端での微分が 0 となる境界条件 % \begin{equation} \DD{f}{x} = 0 \quad \mbox{at} \quad x=-1,1 \end{equation} % の場合を考える. チェビシェフ関数の微分は % \begin{equation} \DD{T_k(x)}{x} = \DD{T_k(\cos\theta)}{\theta} = \frac{(\cos n\theta)'}{(\cos\theta)'} = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta} \end{equation} % $x=1$ での微分値は $\theta \rightarrow 0$ の極限をとって % \begin{equation} \DD{T_k(x)}{x}|_{x=1} = \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta} = \lim_{\theta\rightarrow 0} k^2\frac{\sin n\theta}{k\theta}\frac{\theta}{\sin\theta} = k^2. \end{equation} % $x=-1$ での微分値は $\varphi=\pi-\theta $ と変換して % \begin{eqnarray} \DD{T_k(x)}{x}|_{x=-1} &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{k\sin k(\pi-\varphi)}{\sin(\pi-\varphi)} = \lim_{\varphi\rightarrow 0} \frac{-k\cos k\pi\sin k\varphi}{\sin\varphi}\nonumber\\ &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} (-1)^{k+1}k^2 \frac{\sin k\varphi}{n\varphi} \frac{\varphi}{\sin\varphi} = (-1)^{k+1}k^2. \end{eqnarray} % したがって, 境界条件を満たすガラーキン基底を \begin{eqnarray*} \phi_2(x) &=& T_0(x), \\ \phi_3(x) &=& T_3(x)- 3^2 T_1(x) \\ \phi_4(x) &=& T_4(x)- (4/2)^2 T_2(x) \\ &\ldots& \\ \phi_{2k-1}(x) &=& T_{2k-1}(x)- (2k-1)^2 T_1(x) \\ \phi_{2k}(x) &=& T_{2k}(x)- k^2 T_2(x) \end{eqnarray*} % これにあわせて変換行列は \begin{equation} (\tilde{A}_{nk}) = \left( \begin{array}{cccccccccccc} 0 & 0 & 1& \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -3^2 &0 &-5^2&\ldots & -(2k-1)^2 & 0 & \ldots & (K-1)^2 & 0 \\ 0 & -4^2&0& \ldots & 0 & -k^2 & \ldots & 0 & (K/2)^2 \\ 1 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\ldots & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \end{array} \right) \end{equation} 解析的に書けば \begin{eqnarray} A_{0,2} = 1, \\ A_{1,k} = -[1-(-1)^k] k^2/2 &\quad & ( k=3,4,\ldots,K-1 )\\ A_{2,k} = -[1+(-1)^k] k^2/8 &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\ A_{k,k} = 1 &\quad & ( k=3,4,\ldots,K ) \end{eqnarray} \subsubsection{片側端境界で値が 0, 他方で微分値が 0 の場合 (片側ディリクレ, 片側ノイマン条件)} 区間両端での条件が, 片側の値が 0, もう一方で微分値が 0 となる境界条件 % \begin{equation} f(1) = 0, \quad \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = 0, \end{equation} % の場合を考える. $k$ 次の基底を % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % と仮定する. 境界条件から \begin{displaymath} \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1}\cdot k^2 + C_1 =0, \quad \phi_k(1) = 1 + C_1 + C_0 =0, \end{displaymath} % これを解くと % \begin{displaymath} C_1 = (-1)^k\cdot k^2, \quad C_0 = (-1)^{k+1}\cdot k^2 - 1 \end{displaymath} % よって基底関数は \begin{equation} \phi_n(x) = T_k(x) + (-1)^k\cdot k^2 T_1(x) + [(-1)^{n+1}\cdot n^2 - 1] T_0(x). \end{equation} % 対応して変換行列は % \begin{eqnarray} \tilde{A}_{0,k} = [(-1)^{k+1}\cdot k^2 - 1] &\quad & ( n=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{1,k} = (-1)^k\cdot k^2 &\quad & ( n=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{k,k} = 1 &\quad & ( n=2,3,\ldots,K ) \end{eqnarray} \subsubsection{片側端境界で微分値が 0, 他方で値が 0 の場合 (片側ノイマン, 片側ディリクレ条件)} \begin{equation} \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0, \quad , f(-1) = 0, \end{equation} % の場合を考える. 先と同様に $n$ 次の基底を % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % と仮定する. 境界条件から % \begin{displaymath} \phi_k(-1) = (-1)^{n} - C_1 + C_0 =0, \quad \phi'_k(1) = k^2 + C_1 =0, \end{displaymath} % これを解くと % \begin{displaymath} C_1 = - k^2, \quad C_0 = - k^2 + (-1)^{k+1} \end{displaymath} % よって基底関数は \begin{equation} \phi_k(x) = T_k(x) - n^2 T_1(x) + [- k^2 + (-1)^{k+1}] T_0(x). \end{equation} % 対応して変換行列は % \begin{eqnarray} \tilde{A}_{0,k} = [- k^2 + (-1)^{k+1}] &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{1,k} = - k^2 &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{k,k} = 1 &\quad & ( k=2,\ldots,K ) \end{eqnarray} \subsection{一般的な混合境界条件} 区間両端での条件が, ディリクレ・ノイマン型の混合した一般的な場合 を考える. すなわち \footnote{ 区間 $[x_{min},x_{max}]$ での関数 $f^*(x^*)$ に対する 境界条件が % \begin{displaymath} \alpha^*_{1,x_{max}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{max}} + \alpha^*_{0,x_{max}}f^*(x_{max}) = 0, \quad \alpha^*_{1,x_{min}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{min}} + \alpha^*_{0,x_{min}}f^*(x_{min}) = 0, \end{displaymath} % と与えられた場合の, 区間 $[-1,1]$ へ写された関数に対する境界条件を表すには 微分関係 % \begin{displaymath} \DD{f^*}{x^*} = \DD{x}{x^*}\DD{f}{x} = \frac{2}{x_{max}-x_{min}}\DD{f}{x} \equiv\frac{1}{D_{fac}}\DD{f}{x} \end{displaymath} % を気をつけなければならない. ここで $D_{fac}\equiv (x_{max}-x_{min})/2$ である. したがって, 対応する境界条件は % \begin{displaymath} \frac{\alpha^*_{1,x_{max}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} + \alpha^*_{0,x_{max}}f(1) = 0, \quad \frac{\alpha^*_{1,x_{min}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} + \alpha^*_{0,x_{min}}f(-1) = 0, \end{displaymath} % となる. } % \begin{eqnarray} & & \alpha_{1,1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}+ \alpha_{0,1}f(1) = 0,\\ & & \alpha_{1,-1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}+ \alpha_{0,-1}f(-1) =0, \end{eqnarray} % ここで $\alpha_{i,j}$ は定数係数である. この境界条件を満たす $n$ 次の基底を % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % と仮定する. 境界条件から % \begin{eqnarray*} & \alpha_{1,1}(k^2 + C_1) + \alpha_{0,1}(1+C_1+ C_0) = 0, \\ & \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 + C_1] + \alpha_{0,-1}[(-1)^k - C_1 + C_0] = 0, \end{eqnarray*} % これを整理すると \begin{displaymath} \left( \begin{array}[]{cc} \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} & \alpha_{0,1} \\ \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1}& \alpha_{0,-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}[]{c} C_1 \\ C_0 \end{array} \right) = -\left( \begin{array}[]{c} \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\ \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k \end{array} \right), \end{displaymath} % よって, 左辺係数行列の行列式が 0 でない, すなわち \begin{equation} (\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1})\alpha_{0,-1} -(\alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1})\alpha_{0,1} =\alpha_{1,-1}\alpha_{0,1}-\alpha_{1,1}\alpha_{0,-1} -2\alpha_{0,-1}\alpha_{0,1} \neq 0 \end{equation} % の場合には $C_1, C_0$ を定めることができて, % \begin{eqnarray*} &&\left( \begin{array}[]{c} C_1 \\ C_0 \end{array} \right) = -\frac{1}{(\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1})\alpha_{0,-1} -(\alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1})\alpha_{0,1}} \left( \begin{array}[]{cc} \alpha_{0,-1} & -\alpha_{0,1} \\ -\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}& \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} \end{array} \right)\\ &&\qquad\times \left( \begin{array}[]{c} \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\ \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k \end{array} \right)\\ &&= \frac{1}{ \alpha_{1,-1}\alpha_{0,1}-\alpha_{1,1}\alpha_{0,-1} -2\alpha_{0,-1}\alpha_{0,1} }\\ &&\times \left( \begin{array}[]{c} \alpha_{0,-1}[\alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}] -\alpha_{0,1} [\alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k]\\ (-\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1})(\alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}) + (\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1}) [\alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k] \end{array} \right) \end{eqnarray*} 対応する変換行列は % \begin{eqnarray} \tilde{A}_{0,k} = C_0(k) &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{1,k} = C_1(k) &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{k,k} = 1 &\quad & (n=2,3,\ldots,K ) \end{eqnarray} 係数行列式が 0 となる場合には基底の取り方を変えなければならない. 係数行列式が 0 となる時には基底の一つが % \begin{displaymath} \phi_2(x) = C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % という形となることを意味している. $C_1, C_0$ は片側の境界条件から定めることができて, 例えば $x=1$ での境界条件から % \begin{displaymath} \alpha_{1,1} C_1 + \alpha_{0,1}(C_1+ C_0) = 0, \quad (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_1 + \alpha_{0,1}C_0 = 0, \end{displaymath} % すなわち \begin{equation} C_1 = -\alpha_{0,1}\quad C_0 = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}, \end{equation} % と定められる. したがって \begin{displaymath} \phi_2(x) = -\alpha_{0,1}T_1(x) + (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_0 T_0(x). \end{displaymath} $n>2$ での境界条件を満たす $n$ 次の基底は % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_2 T_2(x) + C_1 T_0(x) \end{displaymath} % と仮定する. 境界条件から % \begin{eqnarray*} & \alpha_{1,1}(k^2 + 4C_2 + C_1) + \alpha_{0,1}(1+C_2+ C_1) = 0, \\ & \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 - 4C_2+ C_1] + \alpha_{0,-1}[(-1)^k + C_2 - C_1] = 0, \end{eqnarray*} % これを整理すると \begin{displaymath} \left( \begin{array}[]{cc} 4\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} & \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} \\ -4\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}& \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}[]{c} C_2 \\ C_1 \end{array} \right) = -\left( \begin{array}[]{c} \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\ \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k \end{array} \right), \end{displaymath} % \begin{eqnarray*} &&\left( \begin{array}[]{c} C_2 \\ C_1 \end{array} \right) =-\frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}[]{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\\ &&\qquad\times \left( \begin{array}[]{c} e \\ f \end{array} \right)\\ &&=-\frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}[]{c} de - bf \\ -ce + af \end{array} \right) \end{eqnarray*} % ただし \begin{eqnarray*} a &=& 4\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} \\ b &=& \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} \\ c &=& -4\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}\\ d &=& \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1} \\ e &=& \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\ f &=& \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k \end{eqnarray*} % 対応する変換行列は % \begin{eqnarray} \tilde{A}_{0,2} = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}\\ \tilde{A}_{1,2} = -\alpha_{0,1}\\ \tilde{A}_{1,k} = C_1(k) &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{2,k} = C_2(k) &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\ \tilde{A}_{k,k} = 1 &\quad & (n=3,4,\ldots,K ) \end{eqnarray} 特別な場合に先の結果と一致することを確認しておこう. $\alpha_{1,1}=\alpha_{1,-1}=0$, $\alpha_{0,1}=\alpha_{0,-1}=1$ の場合は両端ディリクレ条件に 一致する. このとき上の係数 $C_1,C_0$ は % \begin{displaymath} \left( \begin{array}[]{c} C_1 \\ C_0 \end{array} \right) =-\frac{1}{2} \left( \begin{array}[]{c} 1 -(-1)^k\\ 1 + (-1)^k \end{array} \right) \end{displaymath} $\alpha_{1,1}=\alpha_{0,-1}=0$, $\alpha_{0,1}=\alpha_{1,-1}=1$ の場合は片側ディリクレ, 片側ノイマン条件に一致する. このとき上の係数 $C_1,C_0$ は % \begin{displaymath} \left( \begin{array}[]{c} C_1 \\ C_0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}[]{c} -(-1)^{k+1}\cdot k^2 \\ -1 + (-1)^{k+1}\cdot k^2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}[]{c} (-1)^k \cdot k^2 \\ (-1)^{k+1} \cdot k^2 -1 \end{array} \right) \end{displaymath} $\alpha_{0,1}=\alpha_{1,-1}=0$, $\alpha_{1,1}=\alpha_{0,-1}=1$ の場合は もう一つの片側ディリクレ, 片側ノイマン条件に一致する. このとき上の係数 $C_1,C_0$ は % \begin{displaymath} \left( \begin{array}[]{c} C_1 \\ C_0 \end{array} \right) = - \left( \begin{array}[]{c} k^2 \\ k^2 + (-1)^k \end{array} \right) \end{displaymath} $\alpha_{1,1}=\alpha_{1,-1}=1$, $\alpha_{0,1}=\alpha_{0,-1}=0$ の場合は両端ノイマン条件に 一致する. このとき上の係数 $C_2,C_1$ は $ a = 4, b = 1, c = -4, d = 1, e = k^2 , f = (-1)^{k+1}k^2 $ より \begin{eqnarray*} \left( \begin{array}[]{c} C_2 \\ C_1 \end{array} \right) =-\frac{1}{8} \left( \begin{array}[]{c} k^2 - (-1)^{k+1}k^2 \\ 4 k^2 + 4 (-1)^{k+1}k^2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}[]{c} -[1 + (-1)^k]k^2/8 \\ -[1- (-1)^k]k^2/2 \end{array} \right) \end{eqnarray*} % また最低次の基底は % \begin{displaymath} \phi_2(x) = T_0(x) \end{displaymath} % である. \section[非圧縮流体のための定式化] {非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための定式化} \subsection{非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための ガラーキン基底の例 : その 1} $n$ 次の基底が % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_{k-1} T_{k-1}(x) +C_{k-2} T_{k-2}(x) + C_{k-3} T_{k-3}(x) + C_{k-4} T_{k-4}(x) \end{displaymath} % の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める. この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は % \begin{eqnarray} & & A_{k,k} = 1, \nonumber\\ & & A_{k-1,k} = C_{k-1,k}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2}, \\ & & A_{k-3,k} = C_{k-3,k}, \quad A_{k-4,k} = C_{k-4}, \nonumber \end{eqnarray} % と与えられることになる. \subsubsection{両境界で粘着条件の場合} 両境界で粘着条件の場合を考える. この場合区間両端での条件は, 値と微分値がともに 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0. \end{equation} % 境界条件を適用すると, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4} = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}( 1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\ & & \phi'_k(1) = T'_k + T'_{k-1}C_{k-1} + T'_{k-2}C_{k-2} + T'_{k-3}C_{k-3} + T'_{k-4}C_{k-4} = 0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k}( T'_k - T'_{k-1}C_{k-1} + T'_{k-2}C_{k-2} - T'_{k-3}C_{k-3} + T'_{k-4}C_{k-4} ) = 0. \end{eqnarray*} % ここで $\Ddsty T'_k = \left.\DP{T_k}{x}\right|_{x=1}=k^2$ である. これを解くと % \begin{eqnarray*} & & C_{k-1}=C_{k-3}=0, \\ & & C_{k-2}=-\frac{T'_{k}-T'_{k-4}}{T'_{k-2}-T'_{k-4}} = -\frac{2(k-2)}{k-3}, \\ & & C_{k-4}=\frac{T'_{k}-T'_{k-2}}{T'_{k-2}-T'_{k-4}} = \frac{k-1}{k-3}. \end{eqnarray*} % \subsubsection{両境界で自由すべり条件の場合} 両境界で自由すべり条件の場合を考える. この場合区間両端での条件は, 値と 2 階微分値がともに 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = 0. \end{equation} % 境界条件を適用すると, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4} = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}( 1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\ & & \phi''_k(1) = T''_k + T''_{k-1}C_{k-1} + T''_{k-2}C_{k-2} + T''_{k-3}C_{k-3} + T''_{k-4}C_{k-4} = 0, \\ & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}( T''_k - T''_{k-1}C_{k-1} + T''_{k-2}C_{k-2} - T''_{k-3}C_{k-3} + T''_{k-4}C_{k-4} ) = 0. \end{eqnarray*} % ここで $\Ddsty T''_k = \left.\DP[2]{T_k}{x}\right|_{x=1}=\frac{k^2(k^2-1)}{3}$ である. これを解くと % \begin{eqnarray*} & & C_{k-1}=C_{k-3}=0, \\ & & C_{k-2}=-\frac{T''_{k}-T''_{k-4}}{T''_{k-2}-T''_{k-4}}, \\ & & C_{k-4}=\frac{T''_{k}-T''_{k-2}}{T''_{k-2}-T''_{k-4}} \end{eqnarray*} % \subsubsection{片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合} 片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合を考える. この場合, 片側境界にて値と 2 階微分値, もう一方では値と 1 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[1]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0. \end{equation} % 境界条件を適用すると, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4} = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}( 1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\ & & \phi''_k(1) = T''_k + T''_{k-1}C_{k-1} + T''_{k-2}C_{k-2} + T''_{k-3}C_{k-3} + T''_{k-4}C_{k-4} = 0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k}( T'_k - T'_{k-1}C_{k-1} + T'_{k-2}C_{k-2} - T'_{k-3}C_{k-3} + T'_{k-4}C_{k-4} ) = 0, \end{eqnarray*} % である. これを解くと % \begin{eqnarray*} & & C_{k-1}= - C_{k-3}, \\ & & C_{k-2}= - C_{k-4}-1, \\ & & C_{k-3}=\frac{1}{\Delta} (T'_{k-2}-T'_{k-4})(T''_{k}-T''_{k-2}) -(T''_{k-2}-T''_{k-4})(T'_{k}-T'_{k-2}), \\ & & C_{k-4}=\frac{1}{\Delta} (T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k}-T''_{k-2}) +(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k}-T'_{k-2}), \end{eqnarray*} % ここで % \begin{displaymath} \Delta=(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k-2}-T'_{k-4}) +(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k-2}-T''_{k-4}) \end{displaymath} % である. \subsubsection{片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合} 片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合を考える. この場合, 片側境界にて値と 1 階微分値, もう一方では値と 2 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0. \end{equation} % 境界条件を適用すると, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4} = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}( 1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\ & & \phi'_k(1) = T'_k + T'_{k-1}C_{k-1} + T'_{k-2}C_{k-2} + T'_{k-3}C_{k-3} + T'_{k-4}C_{k-4} = 0, \\ & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}( T''_k - T''_{k-1}C_{k-1} + T''_{k-2}C_{k-2} - T''_{k-3}C_{k-3} + T''_{k-4}C_{k-4} ) = 0, \end{eqnarray*} % である. これを解くと % \begin{eqnarray*} & & C_{k-1}= - C_{k-3},\\ & & C_{k-2}= - C_{k-4}-1,\\ & & C_{k-3}=\frac{1}{\Delta} (T''_{k-2}-T''_{k-4})(T'_{k}-T'_{k-2}) -(T'_{k-2}-T'_{k-4})(T''_{k}-T''_{k-2}), \\ & & C_{k-4}=\frac{1}{\Delta} (T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k}-T'_{k-2}) +(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k}-T''_{k-2}), \end{eqnarray*} % ここで % \begin{displaymath} \Delta=(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k-2}-T''_{k-4}) +(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k-2}-T'_{k-4}) \end{displaymath} % である. \subsection{非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための ガラーキン基底の例 : その 2} $n$ 次の基底が % \begin{displaymath} \phi_k(x) = T_k(x) + C_3 T_3(x) + C_2 T_2(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x) \end{displaymath} % の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める. この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は % \begin{eqnarray} & & A_{k,k} = 1, \nonumber\\ & & A_{3,k} = C_3, \quad A_{2,k} = C_2, \\ & & A_{1,k} = C_1, \quad A_{0,k} = C_0, \nonumber \end{eqnarray} % と与えられることになる. \subsubsection{両境界で粘着条件の場合} 両境界で粘着条件の場合を考える. この場合区間両端での条件は, 値と微分値がともに 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0. \end{equation} % 境界条件を適用すると, % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{k} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi'_k(1) = k^2 + 9 C_3 + 4 C_2 + C_1 = 0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1} k^2 + 9 C_3 - 4 C_2 + C_1 = 0. \end{eqnarray*} % これを解くと % \begin{eqnarray} & & C_3 = \frac{1}{16}[1-(-1)^k](1-k^2), \ C_2 = -\frac{1}{8}[(-1)^k+1]k^2, \\ & & C_1 = -\frac{1}{16}[1-(-1)^k](9-k^2),\ C_0 = \frac{1}{8}[(-1)^{k}+1](k^2-4). \end{eqnarray} \subsubsection{両境界で自由すべり条件} 両境界で自由すべり条件の場合を考える. この場合区間両端での条件は, 値と 2 階微分値がともに 0 となる境界条件 となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = 0. \end{equation} % 境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi''_k(1) = \frac{k^2(k^2-1)}{3} + 24 C_3 + 4 C_2 = 0, \\ & & \phi''_k(-1) = (-1)^k\frac{k^2(k^2-1)}{3} - 24 C_3 + 4 C_2 = 0. \end{eqnarray*} % これを解くと % \begin{eqnarray} & & C_3 = -\frac{1}{144}[1-(-1)^k]k^2(k^2-1), \\ & & C_2 = -\frac{1}{24}[(-1)^k+1]k^2(k^2-1), \\ & & C_1 = \frac{1}{144}[1-(-1)^k][k^2(k^2-1)-72],\\ & & C_0 = \frac{1}{24}[(-1)^k+1][k^2(k^2-1)-12]. \end{eqnarray} \subsubsection{片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合} 片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合を考える. この場合, 片側境界にて値と 2 階微分値, もう一方では値と 1 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0. \end{equation} % 境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi''_k(1) = \frac{k^2(k^2-1)}{3} + 24 C_3 + 4 C_2 = 0, \\ & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1}k^2 + 9 C_3 -4 C_2 + C_1 = 0. \end{eqnarray*} % これを解くと % \begin{eqnarray} & & C_3 = -\frac{1}{32}\left[\frac{1}{3}k^2(k^2-1)+(-1)^{k+1}k^2 - \frac{1-(-1)^k}{2}\right], \\ & & C_2 = -\frac{1}{48}k^2(k^2-1)+\frac{3}{16}(-1)^{k+1}k^2 -\frac{3}{32}[1-(-1)^k],\\ & & C_1 = \frac{1}{96}k^2(k^2-1)+\frac{1}{32}(-1)^{k+1} k^2 -\frac{33}{64}[1-(-1)^k],\\ & & C_0 = \frac{1}{48}k^2(k^2-1) -\frac{3}{16}(-1)^{k+1} k^2 +\frac{3}{32}[1-(-1)^k] - \frac{1}{2}[1+(-1)^k]. \end{eqnarray} \subsubsection{片側粘着条件条件, 他方自由すべりの場合} 片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合を考える. この場合, 片側境界にて値と 1 階微分値, もう一方では値と 2 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, % \begin{equation} f(1) = f(-1) = 0, \quad \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0. \end{equation} % 境界条件から % \begin{eqnarray*} & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0 = 0, \\ & & \phi'_k(1) = k^2 + 9 C_3 + 4 C_2 = 0, \\ & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}\frac{k^2(k^2-1)}{3} - 24 C_3 + 4 C_2 + C_1 = 0. \end{eqnarray*} % これを解くと % \begin{eqnarray} & & C_3 = \frac{1}{32}\left[\frac{(-1)^k}{3}k^2(k^2-1)-k^2 + \frac{1-(-1)^k}{2}\right], \\ & & C_2 = -\frac{(-1)^k}{48}k^2(k^2-1)-\frac{3}{16}k^2 +\frac{3}{32}[1-(-1)^k],\\ & & C_1 = - \frac{(-1)^k}{96}k^2(k^2-1)+\frac{1}{32} k^2 -\frac{33}{64}[1-(-1)^k],\\ & & C_0 = \frac{(-1)^k}{48}k^2(k^2-1) +\frac{3}{16}k^2 -\frac{3}{32}[1-(-1)^k] - \frac{1}{2}[1+(-1)^k]. \end{eqnarray} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: