%表題   連続体力学: Navier-Stokes 方程式
%
%履歴   1989-04-21 竹広真一       流体力学の基礎 / 流体力学の基礎方程式
%       1990-04-23 保坂征宏
%       1996-04-23 林 祥介        「基礎法則」へ
%       2000-05-24 竹広真一       「Navier-Stokes 方程式」として独立
%       

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\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{dennou,Depspic}

\Dtitle[等方的流体]{流体力学: ニュートン流体の基礎方程式\\
        (ナビエ-ストークス方程式とその仲間)}
\Dauthor{林 祥介, 竹広 真一}
\Ddate[2000/05/24]{2000 年 05 月 24 日}
\Dpath{/riron/renzoku/housoku/src/}
\Dnoparindent
\Dparskip

\begin{document}

%\pagenumbering{roman}
\maketitle
\tableofcontents
%\clearpage
%\pagenumbering{arabic}

\begin{abstract}

ここではニュートン流体の運動方程式とエネルギー方程式
あるいは内部エネルギー, エンタルピー, エントロピーの式を
導く. 

等方的な流体の運動方程式を特に Navier-Stokes 方程式という. 
場合によってはさらに非圧縮である近似を施したものを
そのように呼ぶこともある. 

エントロピーの式より全エントロピーが増大するという
熱力学第 2 法則(?)から, 粘性・熱拡散係数が正であることが
導かれる. 
\end{abstract}

%--------------------------------------------------------------------
\Dparskip
%--------------------------------------------------------------------
\newpage

\section{質量保存則}

\section{Navier-Stokes 方程式}

「連続体力学 : 基礎法則」の運動方程式に
「連続体力学 : 構成方程式」での
ニュートン流体の構成方程式の表現を代入することにより, 
ニュートン流体の運動方程式が得られる. 

\begin{eqnarray}
       \rho \left( \DP{v_i}{t} + v_k \DP{v_i}{x_k} \right)
 &=& - \DP{p}{x_i} + \DP{}{x_i} ( \zeta \cdot \Ddiv \Dvect{v} ) 
\nonumber \\
 & & + \DP{}{x_k}
        \left\{ \eta 
          \left( \DP{v_i}{x_k}
                 + \DP{v_k}{x_i} 
                 - \frac{2}{3} \DP{v_l}{x_l} \right)
        \right\}
     - \rho \DP{\Phi}{x_i} 
%s      + \rho f_{i}
.
\end{eqnarray}

これを Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]という.
  \footnotetext[1]
    {Navier-Stokes 方程式という名称は非圧縮の場合の式について使われる
     ものであると思っていた(例えば, 今井 1973)が,
     最近の流行(例えば, 流体力学ハンドブック (1987) P.14)では
     圧縮性がある場合について Navier-Stokes 方程式と呼び,
     非圧縮の場合には 非圧縮の Navier-Stokes 方程式と呼ぶようである.
    }


特に, 次の仮定が成り立つ場合, 運動方程式 (6) は簡単な形になる. 
\begin{itemize}
\item 非圧縮流体である, 
すなわち ${\displaystyle \frac{d \rho}{d t} = 0}$ とみなせる. 
このとき, ${\displaystyle \Ddiv \Dvect{v} = \DP{v_l}{x_l} = 0 }$
 である. 

\item 粘性率 $\eta$ が流体中で大きく変化しない. 
\end{itemize}

\begin{equation}
      \rho 
        \left( \DP{v_i}{t} + v_k \DP{v_i}{x_k} \right)
  = - \DP{p}{x_i} + \eta \DP[2]{v_i}{x_k} 
    - \rho \DP{\Phi}{x_i} 
%    + \rho f_{i}
   .
\end{equation}

これが非圧縮での Navier-Stokes 方程式\footnotemark[1]である. 
ベクトル形式で書けば

\begin{equation}
     \rho 
       \left(   \DP{\Dvect{v}}{t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \Dvect{v} \right)
 = - \Dgrad p + \eta \nabla^{2} \Dvect{v} 
   - \rho \cdot \Dgrad \Phi 
%   + \rho \Dvect{f}
 .
\end{equation}

あるいは $\rho$ で割って

\begin{equation}
     \DP{\Dvect{v}}{t} + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \Dvect{v}
 = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p + \nu \nabla^{2} \Dvect{v} 
   - \Dgrad \Phi 
%   + \Dvect{f}
   .
\end{equation}

$\nu \equiv \displaystyle{ \frac{\eta}{\rho} }$
\ は動粘性係数（率）と呼ばれる. 


\section{ニュートン流体のエネルギー保存則}

ここでは, 等方的なNewton流体における, 
内部エネルギー, エンタルピー, エントロピーの時間変化の式を
書き下す. 

まず, 等方的な流体についての $ \sigma_{ik} $の表式 $(6)$ を
用いて粘性散逸項を表現しておく. 

\begin{displaymath}
      \sigma_{ik}' \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
    = \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
         \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
              + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
              - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                   \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)
    + \zeta \delta_{ik} \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
         \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }.
\end{displaymath}

右辺第１項は括弧の中身が対称であることに注意して, 
\begin{eqnarray*}
& & \eta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
      \left(   \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
             + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
             - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
               \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }     \right)\\
&=& 
         \frac{1}{2} \eta  
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)  \\
&=&
         \frac{1}{2} \eta  
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } 
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^2
           + \frac{1}{2} \eta
           \cdot 
           \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{m} }{ \partial x_{m} }
           \cdot
           \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } 
                - \frac{2}{3} \delta_{ik} 
                  \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right) \\
&=&
         \frac{1}{2} \eta 
            \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
                 + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
                 - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l}}{ \partial x_{l}} \right)^{2}.
\end{eqnarray*}

右辺第２項は

\begin{eqnarray*}
        \zeta \delta_{ik} 
            \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
               \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} }
  &=& 
           \zeta \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{i} }
           \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \\
  &=& \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2}.
\end{eqnarray*}

\newpage

よって, 等方的なNewton流体についての
内部エネルギー $\cdot$ エンタルピー $\cdot$ エントロピーの式は
次のようになる. 

\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial ( \rho \varepsilon )}{ \partial t }  
         + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) 
   =  \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2}
     - p \Ddiv \Dvect{v}
     - \Ddiv \Dvect{q},
\\
& &   \frac{ \partial ( \rho h )}{ \partial t }  
         + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2}
     - \Ddiv \Dvect{q}
     + \frac{dp}{dt},
\\
& &    \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} 
                   + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
            - \frac{2}{3} \delta_{ik}
                 \frac{ \partial v_{l} }{ \partial x_{l} } \right)^{2}
     + \zeta ( \Ddiv \Dvect{v} )^{2}
     - \Ddiv \Dvect{q}.
\end{eqnarray}

特に,  \underline{非圧縮流体} のとき, $(17)$〜$(19)$ は次のようになる. 

\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) 
         + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
       \right)^{2}
     - \Ddiv \Dvect{q},
\\
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) 
         + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) 
   =   \frac{1}{2} \eta
       \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
            + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} }
       \right)^{2}
     - \Ddiv \Dvect{q}
     + \frac{dp}{dt},
\\
& &    \rho T \left( \frac{\partial}{\partial t} 
     + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s
     = \frac{1}{2} \eta 
              \left( \frac{ \partial v_{i} }{ \partial x_{k} }
               + \frac{ \partial v_{k} }{ \partial x_{i} } \right)^{2}
       - \Ddiv \Dvect{q}. 
\end{eqnarray}

また,  \underline{粘性 $\cdot$ 熱流の効果を無視できる} 場合, 
$(17)$〜$(19)$ は次のようになる. 

\begin{eqnarray}
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho \varepsilon ) 
         + \Ddiv (\rho \varepsilon \Dvect{v} ) 
   =   - p \cdot \Ddiv \Dvect{v},
\\
& &   \frac{ \partial }{ \partial t } ( \rho h ) 
         + \Ddiv (\rho h \Dvect{v} ) 
   =   \frac{dp}{dt},
\\
& &   \left( \frac{\partial}{\partial t} 
           + \Dvect{v} \cdot \Dgrad \right) s
        = 0.
\end{eqnarray}

\section{全エントロピーの時間変化}


\section{まとめ}

  \subsection{ニュートン流体の方程式系}

  \subsection{非圧縮ニュートン流体の方程式系}




%======================================================================
\newpage
\section{参考文献}

\begin{description}
  \item Batchelor,G.K., 橋本英典 他 訳 : 入門流体力学, 
        東京電機大学出版局, 614pp.

  \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., 竹内 均 訳, 1970 : 流体力学1, 
        東京図書, 280pp.

  \item 今井　功, 1973 : 流体力学(前編), 裳華房, 428pp.

  \item Glansdorff,P.,Prigogine,I., 松本 元 ,竹山 脇三 訳, 1977 : 
        構造・安定性・ゆらぎ. 
        みすず書房, 297pp.

  \item 中村 育雄, 1998 : 流体解析ハンドブック, 共立出版, 538pp. 
\end{description}
\vspace{2em}

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\newpage
\section{謝辞}

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 
流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 
原作版は竹広真一による「流体力学の基礎方程式」 (1989-04-21) であり, 
保坂征宏による改定 (1990-04-23) を経て, 
林祥介/竹広真一によって「連続体力学: 基礎法則」として書き直された 
(1996-04-23). 
構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてに
感謝するものである. 

本ドキュメントは
\begin{quote}
  http://www.gfd-dennou.org/library/rironn/renzoku/housoku/pub/
\end{quote}
において, 無保証無責任を原則として公開している. 
原著作者ならびにその他の資源提供者(図等の版元等を含む)
の諸権利に抵触しない(不利益を与えない)限り, 
資源は自由に利用していただいて構わない. 
\copyright 林祥介・竹広真一 (Y.-Y. Hayashi and S. Takehiro) 1989. 



\end{document}

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% TeX-command-default: "pLaTeX"
% End:
