%ɽ��   Ϣ³���ϳ�: ����������
%
%����   89/04/21 �ݹ�����       ή���ϳؤδ���
%       90/04/23 �ݺ�����
%       96/05/24 �� �Ͳ�        �ϵ�ή����Ǿ������񸻡ֱ��ϡפ�
%     2000/05/24 �ݹ�����       �ֹ����������פ�

%\documentstyle[a4j,ascmac,dennou]{jarticle}
\documentstyle[a4j,ascmac,twoside,dennou,Depspic]{jarticle}

\Dtitle{Ϣ³���ϳ�: ����������}
\Dauthor{�ϵ�ή����Ǿ�����}
\Ddate[2000/05/24]{2000 ǯ 5 �� 24 ��}
\Dpath{/riron/kiso/renzokutai/kousei-eq/}

\begin{document}

\pagenumbering{roman}
\maketitle
\tableofcontents
%\clearpage
\pagenumbering{arabic}

\begin{abstract}

���Ϥ�Ϣ³�Τ򵭽Ҥ����ɸ(�ѷ�)�����Ǯ�ϳ��̤ʤɤ�
�ط��Ť���ˡ§�Ǥ���\underline{����������}(constitution equation)��Ƴ�Ф���. 

�ɤ��Ԥ����꼰����, ���Ϥ�\underline{�Ĥ�} (strain) ��Ϳ�����ΤǤ���.
�Ĥߤ�Ϣ³�Τ��ѷ����꼰��������ΤǤ���. 
Ϣ³����� 2 ���֤ε�Υ���к����꼰�������.
����Τ�Τ��Ĥ�®�٤�����. 
�����Ϣ³����� 2 ���Ǥ�®�٤θ��ۤ��꼰�������.

���Ϥ��Ĥ�®�٤Ȥ�����ط��Ǥ�������Ϣ³�Τ�\underline{�˥塼�ȥ�ή��}�Ȥ���.
���Ϥ��Ĥߤ��Τ�Τ�����ط�(�եå���ˡ§)�Ǥ�������
Ϣ³�Τ�\underline{����������}�Ȥ���.

\end{abstract}

%======================================================================
\section{ή��}

  \subsection{ή�Τ����}

  ή���ϳؤǤ�, `�ѷ����䤹��' ʪ���ε��Ū�ʿ��񤤤򰷤�. 
  ʪ���� `�ѷ����䤹��' Ϣ³�ΤȤ��ư����, ή�ΤȸƤФ��. 

  \subsection{ή�Τ����}

  \begin{itemize}

   \item ���\\
      ή�ΤȤ�, \underline{`�ѷ����䤹��' Ϣ³��} �Ǥ���. 
      ʪ����ή�ΤȤ��ư����Ȥ�, 
      ���ο��񤤤� `�ѷ����䤹��' Ϣ³�ΤȤ��ƶ�����뤳�ȤǤ���. 
      \vspace{1em}

      \underline{`�ѷ����䤹��'}�Ȥ�, �鷺�����Ϥ�ä��Ƥ��ѷ�����, 
      �Ȥ������ȤǤ���, ���Τ褦�˸�����������. 
      \vspace{1em}

  \item ����\\
      ή�Τˤ�, �Ż߾��֤ˤ����Ʊ��Ϥ��̤�ˡ�������ˤ�������줺, 
      �����⤽���Ϥ��̤򲡤�������Ư��\footnotemark[1]. 
      
      \footnotetext[1]{�����Ϥ��ϤȤ���. }

  \item �����ξ���\\
      �Ż߾��֤ˤ��������������α��Ϥ�¸�ߤ���Ȳ��ꤹ��. 
      ���ΤȤ�, �ͤ��Ƥ����̤�Ϥ�����٤ꤢ�ä���ʬ�ˤ�, 
      Ʊ���礭���ǵո������Ϥ�Ư��(����ȿ���Ѥ�ˡ§). 
      ή�Τ�����ˤ��,  `�ѷ����䤹��' �Τ�, ��ư��������(��2). 
      ������Ż߾��֤Ǥ��뤳�Ȥ�ȿ����. 
      �������ä�, �Ż߾��֤Ǥ�, ή��������������α��Ϥ�¸�ߤ��ʤ�. 

      �ޤ�, ˡ���������Ϥ��̤����ĥ�������Ư����, 
      ������ʬ��������, �������֤�������(��3). 
      �������ä�, ˡ�������α��Ϥ�, 
      �̤򲡤�������Ư���ʤ���Фʤ�ʤ�. 

      \vspace{40mm}

      \begin{center}
        ��2
        \vspace{40mm}

        ��3
      \end{center}

  \end{itemize}

  \subsection{�˥塼�ȥ�ή�Τι���������}

    ή�����Ư�����Ϥ�,
    ή�Τ�������ʪ����������ή�Τα�ư���֤˰�¸����.
    �Ż�ή����Ǥϱ��Ϥ��̤˿�ľ��������������줺,
    �������̤򲡤�������Ư��.
    ή�Τ��Żߤ��Ƥ��ʤ��Ȥ���,
    ���̤�®�٤ζ��ָ��� ${\displaystyle \DP{v_k}{x_l} }$ ��¸�ߤ�,
    ή��Ʊ�Τΰ������ꤢ���ˤ����Ϥ�Ư��.

    ${\displaystyle u_{kl} \equiv \DP{v_k}{x_l} }$ 
    ��®�ٸ��ۥƥ󥽥�Ȥ���. 
    ���Ϥ�®�ٸ��ۥƥ󥽥� $u_{kl}$ �δؿ��ȹͤ���Τ������Ǥ���.
    �����Ǥ�, ���δؿ��������. 

    \subsubsection{����}

      ɽ���η����������, �����Ǥϼ���2�Ĥβ���򤹤�. 

      \begin{itemize}
      \item ®�ٸ��ۤ���ʬ������. 
      \item ή�Τ�����Ū�Ǥ���. 
      \end{itemize}

    \subsubsection{$\sigma_{ij}$ ��®�ٸ��ۥƥ󥽥� $u_{kl}$ �ˤ��Ÿ��}

      ®�ٸ��ۤ��������Τ�, 
      $\sigma_{ij}$ �� $u_{kl}$ ��Ÿ����, 
      2���ʾ�ι�������Ȥ���̵�뤹��\footnotemark[1]. 

      \footnotetext[1]{
      ���Ϥ��ѷ�®�٤�1������ɽ�����ή�Τ�
      \ Newton ή�� (Newtonian Fluid), 
      �����Ǥʤ���Τ��� Newton ή�� (Non-Newtonian Fluid) �Ȥ���. 
      �����Ǥ�\ Newton ή�Τ�ͤ��Ƥ���. }

      \begin{displaymath}
           \sigma_{ij} 
       =   ( \sigma_{ij})_{0}
         + \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} u_{kl} 
         + O (u_{kl}^{2}).
      \end{displaymath}

    \subsubsection{®�ٸ��ۥƥ󥽥� $u_{kl}$ ��ʬ��}

      ®�ٸ��ۥƥ󥽥� $u_{kl}$ ��
      �о���ʬ��ȿ�о���ʬ��ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���. 

      \begin{displaymath}
        u_{kl} = \frac{1}{2} \cdot e_{kl} + \frac{1}{2} \cdot \Omega_{kl},
      \end{displaymath}

      ������
      \begin{eqnarray*}
            e_{kl} 
       & \equiv &
            \DP{v_k}{x_l} + \DP{v_l}{x_k}, 
      \\
            \Omega_{kl} 
       & \equiv & 
            \DP{v_k}{x_l} - \DP{v_l}{x_k} 
        = - \varepsilon_{klm} \cdot \omega_{m}.
      \end{eqnarray*}

      $e_{kl}$ ���ѷ�®�٥ƥ󥽥�, 
      $\omega_{m}$ �ϱ��٤� $m$ ��������ʬ�Ǥ���
      \footnotemark[1]. 
      \footnotetext[1]{$ \omega_m \equiv 
      \epsilon_{ijm} \DP{v_j}{x_i} $}
      �������ä� $\sigma_{ij}$ �ϤĤ��Τ褦��ɽ�蘆���. 

      \begin{eqnarray}
           \sigma_{ij} 
       &=&   ( \sigma_{ij})_{0}
         + \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} 
         + ( \frac{1}{2} e_{kl} - \frac{1}{2} \epsilon_{klm} \omega_{m}) 
         \\ \nonumber
       &=&   ( \sigma_{ij})_{0}
         + a_{ijkl} e_{kl} 
         + b_{ijm} \omega_{m}
         + O(u_{kl}^{2}).
      \end{eqnarray}

      ������, 
      ${\displaystyle 
          a_{ijkl} = \frac{1}{2} \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} ,
          b_{ijm} = - \frac{1}{2}  \DP{\sigma_{ij}}{u_{kl}} \epsilon_{klm}
      }$ �Ǥ���. 


    \subsubsection{$ (\sigma_{ij})_{0}$ ��ɽ��}

      ή�Τ��Żߤ��Ƥ���Ȥ���ή�����Ư�����Ϥ�, 
      �̤˿�ľ�������˲���������Ư������ $p$ �����Ǥ���. 
      �������ä�, ���ϥƥ󥽥�� 
      ${\displaystyle \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} }$ 
      ��ɽ�����. 

      ����, $e_{kl} = 0,  \omega_{m} = 0$ �Ǥ��뤫��
      (5)��������, �ܹह�뤳�Ȥˤ��, 

      \begin{displaymath}
         (\sigma_{ij})_{0} = -p \delta_{ij} .
      \end{displaymath}


    \subsubsection{$ b_{ijm} $ ��ɽ��}

      ή�Τ����β�ž���Ƥ���Ȥ���®�٤Τ���ˤ����Ϥ�¸�ߤ���, 
      ���Ϥ����Ǥ���. 
      ��, ή�Τ�$x$�����ž���Ȥ���
      ��®�� {\boldmath $\Omega$} �ǹ��β�ž���Ƥ���Ȥ���. 
      ®�٤�
      \ $\Dvect{v} =\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} $ ���

      \begin{eqnarray*}
        \mbox{\boldmath $v$} = (0, \Omega z,- \Omega y),& &
      \\
        \Omega = \mid \mbox{\boldmath $\Omega$} \mid .& &
      \end{eqnarray*}

      ���ΤȤ� 
      $e_{kl} = 0, \ \omega_{1} = 2 \Omega, \ \omega_{2} = \omega_{3} = 0$ 
      �Ǥ���. �������ä�, ���ϥƥ󥽥��

      \begin{displaymath}
        \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + b_{ij1} \cdot 2 \Omega.
      \end{displaymath}

      ���Ϥϰ��Ϥ����Ǥ��뤫��
       $ \sigma_{ij} = -p \delta_{ij} $ �Ȥʤ�. �������ä�, 
       $b_{ij1} = 0$ �Ǥ���. 
      Ʊ�ͤ�, $y$ ��, $z$ ����ž�ˤĤ��ƹͤ����, 
      $\omega_{m}$ �η��� $b_{ijm}$ �Ϥ��٤� 0 �Ȥʤ�. 

      \begin{displaymath}
        b_{ijm} = 0.
      \end{displaymath}

    \subsubsection{$ a_{ijkl}$��ɽ��}

      ή�Τ�����Ū�Ǥ���Ȥ�������ˤ��,  $e_{kl}$ �η��� $a_{ijkl}$ �� 
      4�����������ƥ󥽥�
      �Ǥʤ���Фʤ�ʤ�\footnotemark[2]. 
        \footnotetext[2]{4���������ƥ󥽥뤬����ɽ���Ǥ��뤳�ȤˤĤ��Ƥ�, 
        �̥��꡼��`�ƥ󥽥�δ���'���� . }

      \begin{displaymath}
            a_{ijkl} 
        =   A \delta_{ij} \delta_{kl} 
          + B  \delta_{ik} \delta_{jl} + C \delta_{il} \delta_{jk} .
      \end{displaymath}

    \subsubsection{���ϥƥ󥽥��ɽ��}

      �ʾ���, ���ϥƥ󥽥�ϼ��Τ褦�˽񤱤�. 

      \begin{eqnarray*}
        \sigma_{ij} 
           & = & - p \delta_{ij}
                 + A \delta_{ij} e_{kk} 
                 + B  e_{ij} + C e_{ji} 
      \\
           & = & - p \delta_{ij} 
                 + A \delta_{ij} e_{kk} 
                 + (B+C) e_{ij}.
      \end{eqnarray*}

      �����Ǥ��餿��� ${\displaystyle A = \frac{\lambda}{2}
      , B+C = \mu }$ �Ȥ���. 
      �ޤ�, 
      $e_{kk} = 2 {\displaystyle \DP{v_k}{x_k}}
       = 2 \Ddiv\Dvect{v} $ ���ѷ����뤳�Ȥˤ��
      ���ϥƥ󥽥��ɽ����������. 
      \vspace{5mm}

      \begin{equation}
           \sigma_{ij} 
       = - p \delta_{ij} 
         + \mu \left( \DP{v_i}{x_j} + \DP{v_j}{x_i} \right)
         + \lambda \delta_{ij} \cdot \Ddiv\Dvect{v}.
      \end{equation}

      \vspace{5mm}

      $\mu$ ��Ǵ��������Ψ��, $\lambda$ ����2Ǵ��������Ψ�ˤȤ���. 

      \vspace{10mm}

      ���ϥƥ󥽥��ɽ����, ����˼����ͤ��ѷ�����뤳�Ȥ�¿��. 

      \begin{displaymath}
           \sigma_{ij} 
             =   - p \delta_{ij} 
           + \mu \left( \DP{v_i}{x_j} + \DP{v_j}{x_i}
           - \frac{2}{3} \delta_{ij} \DP{v_l}{x_l} \right) 
           + (\lambda + \frac{2}{3} \mu ) \delta_{ij} 
             \cdot \Ddiv\Dvect{v}.
      \end{displaymath}

      ���ʤ��, 
      \vspace{5mm}

      \begin{equation}
           \sigma_{ij} 
            =   - p \delta_{ij} 
           + \eta \left( \DP{v_i}{x_j} + \frac{v_j}{x_i}
                       - \frac{2}{3} \delta_{ij} \DP{v_l}{x_l} \right)
           + \zeta \delta_{ij} \cdot \Ddiv\Dvect{v}.
      \end{equation}

      $\eta \equiv \mu$ ��Ǵ��������Ψ�ˤǤ���. 
      ${\displaystyle \zeta \equiv \lambda+\frac{2}{3}\mu}$ ��
      ��2Ǵ��������Ψ�ˤȤ�����\footnotemark[1]. 

      \footnotetext[1]{$\lambda$ �� $\zeta$ ����̤��뤿���, 
      ��������2Ǵ��������Ψ��, 
      �⤦����������Ǵ��������Ψ�ˤȤ��뤳�Ȥ⤢��. 
      ������, �ɤ����ɤ��Ƥ֤���, ���ߤ�����餷��. 
      �ޤ�,  $\mu$ �� $\lambda$ ,  $\eta$ �� $\zeta$ ��
      ���줾��ڥ��Ȥ��ƻȤ���. 
      �ʸ�, �����Ǥ�,  $\eta$ �� $\zeta$ ���ȹ礻�������Ѥ���. }


\section{������}

  \subsection{�����Τ����}

  \subsection{���������Τι���������}


%======================================================================

\section{����ʸ��}

\begin{description}
  \item Batchelor,G.K., ���ܱ�ŵ ¾ �� : ����ή���ϳ�, 
        ����ŵ���ؽ��Ƕ�, 614pp.

  \item Landau,L.D., Lifshitz,E.M., ���� �� ��, 1970 : ή���ϳ�1, 
        ����޽�, 280pp.

  \item ���桡��, 1973 : ή���ϳ�(����), �ز�˼, 428pp.
\end{description}
\vspace{2em}

%======================================================================

{\Large \bf �ռ�}
\vspace{1em}

�ܹƤ� 1989 ǯ���� 1993 ǯ���������ϵ�����ʪ���زʤǹԤ��Ƥ���, 
ή���������ߥʡ��ǤΥ��ߥʡ��Ρ��Ȥ���ȤˤʤäƤ���. 
�����Ǥ��ݹ�����ˤ���ή���ϳؤδ��á� (89/04/21) �Ǥ���,
�ݺ������ˤ����� (90/04/23) ��Ф�, 
�ӾͲ�ˤ�ä��ϵ�ή����Ǿ������ǡ�Ϣ³���ϳؤδ��á�
�Ȥ��ƽ�ľ���줿 (96/04/23). 
������ݹ�����ˤ�äơ�Ϣ³���ϳ� : �����������פ�
ʬ�䡦�Խ����줿(2000/05/24). 
�����ȥǥХå��˶��Ϥ��Ƥ��줿���ߥʡ����üԤΤ��٤Ƥˤ�
���դ��ʤ���Фʤ�ʤ�.

\end{document}
