%表題   地球の子午面構造 $\sim$ Oort and Peixoto(1983)
%
%履歴   91/05/14 佐藤正樹       D:\DOC\D論\文書\OORT1.TEX
%       91/05/25 佐藤正樹       D:\DOC\D論\文書\OORT1.TEX
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\Zsection{概観}

  Oort and Peixoto(1983) に掲載されている子午面データを用いて, 
  子午面諸量の分布図を作成した. 


\Zsection{目次}

  \begin{description}
  \item オリジナルデータ
  \item 格子点データ
  \item 図集
  \end{description}


\Zsection{文献}

  \begin{description}
  \item Oort, A. H.,  Peix\'{o}t, J. P., 1983 : 
        Global angular momentum and energy balance requirements 
        from observations, 
        {\it Advances in Geophysics}, {\bf 25}, 355-490.
  \end{description}


\newpage
\Zsection{オリジナルデータ}

   Oort and Peixoto(1983)に掲載されている
   1963 $\sim$ 1973 の年平均値の帯状平均値の解析値をファイル入力した. 
   以下のようなファイルがある. 
   これらのファイルに書かれているデータを, 
   を「オリジナルデータ」とよぶことにする. 
   \footnotemark
   \footnotetext{Oort and Peixoto(1983)の表には夏, 冬の
                 値も掲載されている. 
                 これらのデータはいずれ入力する予定. }
   \vspace{10mm}
   
   
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|l|l|l|} 
    \hline
    名称                                 & ファイル     & 原典の表 \\
    \hline
    東西風 $v_{\phi}$                    & UUUYRORG.DAT & Table A2 \\
    南北風 $v_{\theta}$                  & VIDYRORG.DAT & Table A4 \\
    鉛直$p$-速度 $\omega$                & OMGYRORG.DAT & Table A5 \\
    温度 $T$                             & TMPYRORG.DAT & Table A6 \\
    ジオポテンシャル高度の偏差 $Z-Z_{average}$
                                         & DGPYRORG.DAT & Table A7 \\
    比湿 $q$                             & QHUYRORG.DAT & Table A8 \\
    \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \vspace{10mm}

  比湿 $q$ とその他の量とでは
  定義されている高度が異なっている. 
  温度などのほとんどのデータは
  圧力が 1000, 850, 700, 500, 300, 200, 100,  50 mbの高度の8層で, 
  比湿だけは
  1000, 950, 900, 850, 700, 500, 300 mbの7層で定義されている. 
  緯度については全てのデータとも共通で, 
  北緯70度から南緯70度までの5度ごとと, 
  北緯・南緯80度の全部で31点の値が示されている. 
  また南極付近(南緯80度)の 850 mb より下では陸地があるため
  全ての量が未定義である. 
  \vspace{10mm}
  
  
  ジオポテンシャル高度は水平緯度方向に平均した値 $Z_{average}$からの
  差が示されている. 
  南北風, 鉛直$p$-速度は, 
  極向きの運動量バランスから間接的に計算された量である. 
  これはもとのデータが質量保存を満たしていないための処置らしい. 



\newpage
\Zsection{格子点データ}
  
  オリジナルデータは緯度, 圧力間隔が不揃いであり, 
  また比湿とそれ以外の量とが異なった高度で定義されていて, 
  多少扱いにくい. 
  そこで緯度は5度間隔, 高さは50mb間隔で格子をとり,
  全ての格子点上で定義されたデータを作成することにした. 
  緯度は南緯90度から北緯90度までの37点, 
  圧力は0mbから1000mbまでの21点, 
  配列の数が37×21の2次元データである. 
  もとのデータも格子点データではあるが, 
  ここではこのようにして全ての格子点で定義されたデータを
  「格子点データ」とよぶことにする. 
  \vspace{10mm}
  
  
  格子点データは単純に線型に内挿, 外挿することによって求めた. 
  圧力0mbで比湿を0, 
  ジオポテンシャル高度を未定義(値 999.0 を設定)とした他は, 
  特別な細工はしなかった. 
  このような補間の方法はたとえば相対湿度などをプロットすると, 
  たいへん問題があることがわかる. 
  しかし当座の用は足りるであろう. 
  \vspace{10mm}
  
  
  オリジナルデータから1次的な格子点データがつくられる. 
  それは次のような量である. 
  \vspace{10mm}
  
  
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|l|l|l|} 
    \hline
    名称                                & 作成プログラム & ファイル  \\
    \hline
    東西風 $v_{\phi}$                    & GRDUUU.FOR    & UUUYR.DAT \\
    南北風 $v_{\theta}$                  & GRDVVV.FOR    & VIDYR.DAT \\
    鉛直$p$-速度 $\omega$                 & GRDOMG.FOR    & OMGYR.DAT \\
    温度 $T$                             & GRDTMP.FOR    & TMPYR.DAT \\
    ジオポテンシャル高度の偏差 $Z-Z_{average}$
                                         & GRDDGP.FOR    & DGPYR.DAT \\
    ジオポテンシャル高度 $Z$
                                         & GRDGPZ.FOR    & GPZYR.DAT \\
    比湿 $q$                             & GRDQHU.FOR    & QHUYR.DAT \\
    \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \vspace{10mm}
  
  
  ジオポテンシャル高度の絶対値 $Z$ を求めるときに, 
  Oort and Peixoto(1983) の Table III. に示されている平均値
  $Z_{average}$ を用いた. 
  この値はプログラムGRDGPZ.FORにデータ文の形で書かれている. 
  \vspace{10mm}
  
  
  \newpage
  1次データを加工してさまざまな量を計算することができる. 
  次の量を計算した. 
  \vspace{10mm}
  
  
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|l|l|l|} 
    \hline
    名称                                & 作成プログラム & ファイル  \\
    \hline
    絶対東西風  $v_{\phi a}$            & MKAMOM.FOR     & UUAYR.DAT \\
    絶対角運動量 $l_{a}$                & MKAMOM.FOR     & AMAYR.DAT \\
    相対角運動量 $l'$                   & MKAMOM.FOR     & AMRYR.DAT \\
    絶対角速度 $\Omega_{a}$             & MKAMOM.FOR     & OMAYR.DAT \\
    相対角速度 $\Omega'$                & MKAMOM.FOR     & OMRYR.DAT \\
    子午面質量フラックス $\Psi$         & MKSFM.FOR      & SFMYR.DAT \\
    相対湿度 $R_{h}$                    & MKSEER.FOR     & QREYR.DAT \\
    湿潤エントロピー $s$                & MKSEER.FOR     & ERNYR.DAT \\
    湿潤静的エネルギー $\sigma$         & MKSEER.FOR     & SEMYR.DAT \\
    乾燥エントロピー $s_{d}$            & MKSEER.FOR     & ERDYR.DAT \\
    乾燥静的エネルギー $\sigma$         & MKSEER.FOR     & SEDYR.DAT \\
    温位 $\Theta$                       & MKSEER.FOR     & PTMYR.DAT \\
    \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \vspace{10mm}
  
  これらの量の定義は次のようになっている. 
  
  \begin{eqnarray*}
  v_{\phi a} &=& v_{\phi} + \Omega_{0} a \cos \theta \\
  l_{a}      &=& v_{\phi} a \cos \theta 
                 + \Omega_{0} a^{2} \cos^{2} \theta  \\
  l'         &=& v_{\phi} a \cos \theta              \\
  \Omega_{a} &=& \frac{v_{\phi}}{a \cos \theta} + \Omega_{0}  \\
  \Omega'    &=& \frac{v_{\phi}}{a \cos \theta}      \\
  R_{h}      &=& \frac{r}{r^{*}(p, T)}               \\
  s          &=& ( 1 - q )
                 \left[ C_{pd} \ln \frac{T}{T_{0}} 
                      - R_{d} \ln 
                      \left( \frac{(1-q)/w_{d}}{(1-q)/w_{d}+q/w_{v}} 
                      \frac{p}{p_{0}} \right)
                  \right]
                + q \frac{L(T)}{T}                   \\
  \sigma     &=& (1-q) C_{pd} T + q L(T)             \\
  s_{d}      &=& s(p, T, q=0)                        \\
  \sigma_{d} &=& \sigma(T, p, q=0)                   \\
  \Theta     &=& T_{0} \exp \left( \frac{s_{d}}{C_{pd}} \right)
  \end{eqnarray*}
  
  
  $\Omega_{0}$ は地球の自転角速度, 
  $\theta$ は緯度, 
  $a$ は地球半径である. 
  また
  $C_{pd}$ は乾燥大気の質量当り等圧比熱, 
  $R$ は乾燥大気の気体定数, 
  $w_{d}$, $w_{v}$ は乾燥大気, 水蒸気の分子量, 
  $T_{0}=273.15$K, $p_{0}=1000$mb は基準温度, 基準圧力, 
  $L$ は質量当り潜熱(温度の関数), 
  $g$ は重力加速度である. 
  $n_{d}$, $n_{v}$ は乾燥空気, 水蒸気のモル質量密度であり, 
  $r$ はモル混合比で $q$ から求まり, 
  $r^{*}$ はモル飽和混合比で $T$, $p$ の関数である. 
  参考までに, 熱力学諸量の近似式(通常の表現)を示しておこう. 
  
  \begin{eqnarray*}
  R_{h}      &=& \frac{p_{v}}{p^{*}(T)}              \\
  s          &=& C_{p} \ln \frac{T}{T_{0}} 
                 - R_{d} \ln \frac{p}{p_{0}}
                 + \frac{L q}{T}                     \\
  \sigma     &=& C_{p} T + L q + g z                 \\
  s_{d}      &=& C_{p} \ln \frac{T}{T_{0}} 
                 - R_{d} \ln \frac{p}{p_{0}}         \\
  \sigma_{d} &=& C_{p} T + g z                       \\
  \Theta     &=& T \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{-R_{d}/C_{p}}
  \end{eqnarray*}
  
  $p_{v}$ は水蒸気の分圧, $p^{*}$は飽和水蒸気圧である. 
  \vspace{10mm}
  
  
  
  子午面流線関数は, $v_{\theta}$ と $\omega$ と次の関係にある. 
  \begin{eqnarray*}
  \frac{g}{2 \pi a \cos \theta} \PD{}{\Psi}{\theta} &=& v_{\theta} \\
  - \frac{g}{2 \pi a^{2} \cos \theta} \PD{}{\Psi}{p} &=& \omega
  \end{eqnarray*}
  
  $p=0, 1000$ mb で $\Psi = 0$ として, 
  $v_{\theta}$ の値を鉛直に積分して $\Psi$ を求めた. 

\newpage
\Zsection{図集}

  次の量の図を作成した. 
  
    \begin{description}
    \item 東西風
    \item 絶対東西風
    \item 絶対角運動量
    \item 相対角運動量
    \item 絶対角速度
    \item 相対角速度
    \item 南北風
    \item 鉛直$p$-速度
    \item 子午面質量フラックス
    \item 温度
    \item 比湿
    \item ジオポテンシャル高度の平均値からの差
    \item ジオポテンシャル高度
    \item 相対湿度
    \item 湿潤エントロピー
    \item 湿潤静的エネルギー
    \item 乾燥エントロピー
    \item 乾燥静的エネルギー
    \item 温位
    \end{description}
