%% % 卒業論文 
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%% \Ddate{2019/02/09}        % ゼミの日時 (毎回変更すること)
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%% \begin{document}
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%\section{エクマン層}      % 節の始めからの場合はこのコマンドを使用する
\markright{付録} %  節の題名を書き込むこと
\setcounter{section}{0}
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\chapter*{付録 A \hspace{30pt} 熱対流の実験}

付録 A は, 熱対流の様子を再現した実験である.
この実験は, 動作確認を目的としたトイ・モデルである. 
実験 A - $1$ では, 2 次元の熱対流を再現する. $0 \le x \le 100$ [m], $0 \le z \le 100$ [m] の領域で, $\Delta x = \Delta z = 1$ [m] としたデカルト座標系を用いた計算を行う.
また, 実験 A - $2$ では, $3$ 次元の熱対流を再現する. $0 \le x \le 100$ [m], $0 \le y \le 100$ [m], $0 \le z \le 100$ [m] の領域で, $\Delta x = \Delta y = \Delta z = 5 $ [m] としたデカルト座標系を用いた計算を行う.
ここでは地球環境を考え, 重力加速度 $g=9.8$ [$\mathrm{m/s^2}$] とする. 
この実験では加熱を早めるため $\mathrm{Q}=4\times10^7\,\mathrm{[W/m^2]}$ とした. 
\begin{table}[htbp]
  \centering
  \caption{実験 A-1 および実験 A-2 の計算設定}
  \label{tab:exp_comparison}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \begin{tabular}{lccc} \toprule
    項目 & パラメータ & 実験 A-1 & 実験 A-2 \\ \midrule
    \quad 格子間隔 & $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ & $1\,\mathrm{m}$ & $5\,\mathrm{m}$ \\
    \midrule
    \quad 計算領域 ($x$) & $L_x$ & \multicolumn{2}{c}{$0 \sim 100$ m} \\
    \quad 計算領域 ($y$) & $L_y$ & \multicolumn{2}{c}{$0 \sim 100$ m} \\
    \quad 計算領域 ($z$) & $L_z$ & \multicolumn{2}{c}{$0 \sim 100$ m} \\
    \quad 重力加速度 & $g$ & \multicolumn{2}{c}{$9.8$ m/s$^{2}$} \\
    \quad 底面加熱 & $Q$ & \multicolumn{2}{c}{$4 \times 10^7 $ W/m$^{2}$} \\
    \quad 初期温度 & $T|_{t=0}$ & \multicolumn{2}{c}{$0$ ($\text{微小な摂動を与える}$)} \\
    \quad 初期流速 & $\mathbf{u}|_{t=0}$ & \multicolumn{2}{c}{$\mathbf{0}$} \\
    \quad 塩分濃度 & $S$ & \multicolumn{2}{c}{$0\,\mathrm{g/m^3}$} \\
    \quad 熱膨張係数 & $\alpha$ & \multicolumn{2}{c}{$1.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}}$} \\
    \quad 海水密度 & $\rho$ & \multicolumn{2}{c}{$1024\,\mathrm{kg/m^3}$} \\
    \quad 海水の熱容量 & $C_p$ & \multicolumn{2}{c}{$4000\,\mathrm{J/(kg \cdot K)}$} \\
    \quad 動粘性係数 & $\nu$ & \multicolumn{2}{c}{$0.02\,\mathrm{m^2/s}$} \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

\subsection*{実験 A - $1$ \hspace{30pt} $2$ 次元の熱対流}

%
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  % --- 1つ目の図 (左) ---
  \begin{subfigure}{0.30\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{figs/1-1-1.png} % ファイル名を変更
    \caption{$t=100s$} % サブキャプション (a) が付きます
    \label{fig:1-1-1}  % 個別に参照したい場合のラベル
  \end{subfigure}
  \hfill % 図と図の間に均等な隙間を作る
  % --- 2つ目の図 (中央) ---
  \begin{subfigure}{0.30\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{figs/1-1-2.png} % ファイル名を変更
    \caption{$t=172s$}
    \label{fig:1-1-2}
  \end{subfigure}
  \hfill % 隙間
 % --- 2つ目の図 (中央) ---
  \begin{subfigure}{0.30\linewidth}
    \centering
    \includegraphics[width=\linewidth]{figs/1-1-3.png} % ファイル名を変更
    \caption{$t=442s$}
    \label{fig:1-1-3}
  \end{subfigure}
  \hfill % 隙間
  % --- 全体のキャプション ---
  \caption{熱対流の時間経過の様子}
  \label{fig:1-1} % 全体を参照するためのラベル
\end{figure}
%

図 \ref{fig:1-1} において, 時間が経つとともに海水が暖められ, 対流が起きる様子が見えた. 
\clearpage
%%%
\subsection*{ 実験 A - $2$ \hspace{30pt} $3$ 次元の熱対流}
%%%
以下の図は, 3次元の熱対流シミュレーションを行った図である. 左から, $x=50$ [m] で切った断面, $y=50$ [m] で切った断面, $z=50$ [m] で切った断面である. 
\begin{figure}[htpb]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=14cm,angle=0]{figs/1-2-1.png}
    \caption{
      $t=70$ s の様子. 対流はまだ起きていない. 
    }
    \label{fig:1-2-1}
  \end{center}
\end{figure}
%%%
\begin{figure}[htpb]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=14cm,angle=0]{figs/1-2-2.png}
    \caption{
      $t=149$ s の様子. 対流が起き始めている. 
    }
    \label{fig:1-2-2}
  \end{center}
\end{figure}
%%%
\begin{figure}[htpb]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=14cm,angle=0]{figs/1-2-3.png}
    \caption{
      $t=261$ s の様子. 領域全体の温度が高くなっている. 
    }
    \label{fig:1-2-3}
  \end{center}
\end{figure}
\clearpage
\chapter*{付録 2 \hspace{30pt} 代表的スケールの推定}

表 2.2 に示したエンケラドゥス内部海における各物理量の代表的スケールは, 先行研究および支配方程式のバランスに基づいて以下のように推定した. 

まず, 幾何学的なスケールについて, 水平スケール $L$ はエンケラドゥスの半径（$R \approx 251$ [km]）と同程度のオーダーである $10^5$ [m] とした. 鉛直スケール（海の厚さ）$H$ については, 重力場測定および秤動の観測データに基づく (Cadek, 2016) の推定に従い, $10^4$ [m] オーダーを採用した. 

流速のスケールについては, 数値シミュレーションによる先行研究 (Tyler2011, Soderlund2014) を参照し, 代表的な水平流速を $U \sim 10^{-2}$ [m/s] と設定した. 鉛直速度 $W$ は, Choblet et al. (2017) の局所的な熱水プルームの値 $10^{-2} $ [m/s] を用いた. 

次に, 力学的な変動量のスケールを見積もる. 圧力変動 $p'$ については, 水平運動量方程式の $y$ 成分において, コリオリ力と圧力勾配力が釣り合う地衡流平衡
\begin{equation}
fu \sim -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial y}  
\end{equation}
を仮定した. これにより, 
\begin{equation}
    p' \sim \rho_0 f L U \approx 10^3 \times 10^{-4} \times 10^5 \times 10^{-2} = 10^2 \ [\mathrm{kg \ m^{-1} s^{-2}}]
\end{equation}
を得る.

\noindent 
密度変動 $\rho'$ については, 温度場の支配方程式（式 \ref{eq:temp}）における熱の移流と供給のバランスを用いて評価した. まず内部熱源による温度変動をスケール解析すると, 
\begin{equation}
  \frac{T}{\tau} \sim \frac{Q}{\rho C_p H}
\end{equation}
である. これより, $\Delta T \sim 10^{-2} [\mathrm{C^{\circ}}]$ と見積もることができる. 線形状態方程式 $\rho' \approx \alpha \rho_{ref} \Delta T$ を適用することで, 
\begin{equation}
    \rho' \sim 10^{-4} \times 10^3 \times 10^{-2} = 10^{-3} \ [\mathrm{kg \ m^{-3}}]
\end{equation}
というオーダーを導出した. 


\section*{付録 3 \hspace{10pt} 粘性・拡散係数の設定}

本研究では，格子スケールの現象における緩和時間 $\tau$ を先行研究 (Bire et al.,2022) と一致させるため，動粘性係数 $\nu$ および熱拡散率 $\kappa$ を調整した．ここで，プラントル数（$Pr = \nu / \kappa$）を 1 と仮定し，運動量と熱の拡散効率が等しい系を考える．

\noindent
動粘性係数を $0.02$ から $0.89$ へと変更させた. これは, 格子スケールの現象の緩和時間を先行研究と合わせるためである. 温度移流の式 (3.5) の左辺, 右辺第 1 項に関してスケール解析を行う. 
すると, 
\begin{equation}
  \frac{T}{\tau}=\frac{\kappa T}{(\Delta x)^2}
\end{equation}
であり, これを $\tau$ について解くと, 
\begin{equation}
  \tau = \frac{(\Delta x)^2}{\kappa}
\end{equation}
であり, この値 $\tau$ を一定としたい. その場合, $\Delta x$ は計算資源によりこれ以上小さくすることが出来ないため, $\kappa$ を大きくする. 計算した表は以下のとおりである. 
\begin{table}[h]
    \centering
    \caption*{表: 格子スケールの現象の緩和時間を一定にした場合の, 粘性係数の値}
    \begin{tabular}{l|c|c|c}
        \toprule
        & 熱拡散係数 $\kappa$, 動粘性係数$\nu(\mathrm{m}^2/\mathrm{s})$ & 格子間隔 $\Delta x(\mathrm{m})$ & 緩和時間 $\tau(\mathrm{s})$ \\
        \midrule
        先行研究 & 0.02 & 300 & $4.5 \times 10^6$ \\
        本研究   & 0.89 & 2000 & $4.5 \times 10^6$ \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}
% ここで本文おしまい
%\end{document}
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG