\section{ͭ������ˡ�ˤ�����Υ����}
DECAMO �Ǥ�, �����ϳ���������(\ref{eq:nonhydrodynEq_stVecForm})�ζ���Υ������, 
������ͭ������ˡ���Ѥ���.
����, Ω�����̳ʻҤγƥѥå���ʬ�ۤ����ʿ�ʻҥ�����濴����ӱ�ľ�ʻҥ�����濴�κ�ɸ��, ������ź����Ȥä�
%
\begin{equation}
 \alpha_i = (i-\frac{1}{2})\Delta - \dfrac{\pi}{4}, \;\;\; 
 \beta_j = (j-\frac{1}{2})\Delta - \dfrac{\pi}{4}, \;\;\;
 z_k = (k-\frac{1}{2}) \Delta z
\end{equation}
%
�ȵ��Ҥ��뤳�Ȥˤ���. 
������, ��ʿ�����Υ���ǥå���$(i,j)$��$[1,N_c]^2$���ϰϤ���, 
��ľ�����Υ���ǥå���$k$��$[1,N_r]$���ϰϤ������Ф��. 
$N_r$�����������α�ľ��٥���Ǥ���. 
����, �ƥѥå���ˤ�����, $(\alpha_i, \beta_j, z_k)$���濴�Ȥ��븡�����Ѥ�, 
����ǥå���$(i,j,k)$��ź����(�㤨��, $\mathcal{Z}_{ijk}$)���Ȥˤ�äƻ��ꤹ�뤳�Ȥˤ���. 

%%%%%%%%%
%
\def\VolAve#1{\overline{\overline{#1}}}
%
����, ������������(\ref{eq:nonhydrodynEq_stVecForm})�򸡺�����$\mathcal{Z}_{i,j,k}$(�������Ѥ�$|\mathcal{Z}|$�Ƚ�)���Ϥä�������ʬ���뤳�Ȥˤ��, 
��������$\mathcal{Z}_{i,j,k}$���Ф�������ʿ�Ѥ��줿(\ref{eq:nonhydrodynEq_stVecForm})��ȾΥ��������Ƴ��. 
�ե�å������������ʬ��, ��������ȯ�������ˤ��, �������Ѥζ���$\partial \mathcal{Z}_{i,j,k}$���Ф�������ʬ�˽񤭴�����.  
����ˤ��, 
%%
\begin{equation}
 \DD{}{t} \VolAve{\Dvect{q}}_{i,j,k} 
  + \dfrac{1}{|\mathcal{Z}|_{i,j,k}} \int \!\!\! \int_{\partial \mathcal{Z}_{i,j,k}} \Dvect{F} \cdot \Dvect{n} \; dS
  = \VolAve{\Dvect{\Psi}_H}_{i,j,k} + \VolAve{\Dvect{\Psi}_M}_{i,j,k} + \VolAve{\Dvect{\Psi}_C}_{i,j,k} + \VolAve{\Dvect{\Psi}_G}_{i,j,k}
  \label{eq:nonhydrodynEq_VolAveForm}
\end{equation}
%%
������. 
������, ��Ǵ��ή«����ʬ��, ˡ���٥��ȥ�$\Dvect{n}$����������$dS$�����̤��Ϥä���ʬ�����. 
�ʤ�, $\Dvect{\mathcal{F}} \cdot \Dvect{n}$�ϥ٥��ȥ��̤Ǥ���, 
�������Ѥζ����̤��ľ�˲��ڤ뤽�줾��ξ����ѿ��γ������ե�å�����ɽ���Ƥ���. 
��ž�����, ���η����λ���������ʿ���̤�ɽ���Ƥ�. 
%
\begin{equation}
 \VolAve{\phi}_{i,j,k} = \dfrac{1}{|\mathcal{Z}|_{i,j,k}} \int_{\mathcal{Z}_{i,j,k}} \phi \; dV
\end{equation}
%
������, $dV=Jd\alpha d\beta dr$�ϸ������Ѥ����������ǤǤ���. 
�������ä�, $\VolAve{\Dvect{q}}_{i,j,k}$�ϸ�������$\mathcal{Z}_{i,j,k}$�ˤ�������֥٥��ȥ��������ʬ�ͤ��̣����. 
�Ǹ��, $\VolAve{\Dvect{\Psi}_H}, \VolAve{\Dvect{\Psi}_M},\VolAve{\Dvect{\Psi}_C},\VolAve{\Dvect{\Psi}_G}$��, 
���줾��, ���Ϥ��ſ尵��ʬ�ο�ʿ�Ѳ��ˤ���Ϳ, ����Ω���ʻҤδ���Ū�ʴ�Ϳ, ���ꥪ����̤δ�Ϳ, ���Ϥδ�Ϳ�ˤ�륽�������������ʬ�ͤ�ɽ���Ƥ���. 

��, ��������γ��̤��Ϥ�����ʬ�ˤ��ʿ���̤���ܾ�����ɽ�����Ȥˤ���. 
�㤨��, ��������$\mathcal{Z}_{ijk}$�γ���$(i+\frac{1}{2},j,k)$���ڤ�ե�å�����ʿ���ͤ�, 
$\overline{\Dvect{F}}_{i+\frac{1}{2},j,k}$�Ƚ�, 
%
\begin{equation}
 \overline{\Dvect{F}}_{i+\frac{1}{2},j,k} 
  = \dfrac{1}{|\partial \mathcal{Z}|_{i+\frac{1}{2},j,k}} 
    \int \!\!\! \int_{\partial \mathcal{Z}_{i+\frac{1}{2},j,k}} \Dvect{\mathcal{F}} \cdot \Dvect{n} \; dS
\end{equation}
%
�Τ褦���������. 
�������ä�, ����$(i+\frac{1}{2},j,k)$���ڤ����ե�å���($\Dvect{F}_{i+\frac{1}{2},j,k}$�Ƚ�)��, 
�ե�å�������ʿ���ͤȳ��̤����Ѥ�Ȥä�ñ��, 
%
\begin{equation}
 \Dvect{F}_{i+\frac{1}{2},j,k} = \overline{\Dvect{F}}_{i+\frac{1}{2},j,k} \; |\partial \mathcal{Z}|_{i+\frac{1}{2},j,k}
 \label{eq:totalFluxAtinterface_ex}
\end{equation} 
%
�Ȥʤ�. 

(\ref{eq:totalFluxAtinterface_ex}) �Τ褦�˳������θ������볦�̤��ڤ����ե�å�����񤯤��Ȥˤ����, 
�Ƹ���������Ϥä���ʬ���줿������������ (\ref{eq:nonhydrodynEq_VolAveForm}) �ϼ��Τ褦�˽�ľ�����Ȥ��Ǥ���. 
%%
\begin{equation}
 \DD{}{t} \VolAve{\Dvect{q}}_{i,j,k} =  \Dvect{H}_{i,j,k}(\Dvect{q}) +  \Dvect{V}_{i,j,k}(\Dvect{q}). 
  \label{eq:nonhydrodynEq_VolAveSplitForm}
\end{equation}
%%
������, ��ʿ�����α�ư�ȱ�ľ�����α�ư��ʬΥ��, 
������ɽ�����ʲ��Τ褦��, $\Dvect{H}, \Dvect{V}$�Ȥ�����. 
%%
\begin{eqnarray}
 \Dvect{H}_{i,j,k}(\Dvect{q}) &=& 
  - \dfrac{1}{|\mathcal{Z}|_{i,j,k}} \left[ \Dvect{F}_{i+\frac{1}{2},j,k} - \Dvect{F}_{i-\frac{1}{2},j,k} + \Dvect{F}_{i,j+\frac{1}{2},k} - \Dvect{F}_{i,j-\frac{1}{2},k} \right] \nonumber \\
  && + \VolAve{\Dvect{\Psi}_H} + \VolAve{\Dvect{\Psi}_M} + \VolAve{\Dvect{\Psi}_C} , \\ 
 %%
 \Dvect{V}_{i,j,k} (\Dvect{q}) &=& 
  - \dfrac{1}{|\mathcal{Z}|_{i,j,k}} \left[ \Dvect{F}_{i,j,k+\frac{1}{2}} - \Dvect{F}_{i,j,k-\frac{1}{2}}  \right]
  + \VolAve{\Dvect{\Psi}_G}. 
\end{eqnarray}
%%
�絤�۴ĥ��ߥ�졼�����ˤ�����, ¿���ξ��ʻҥ���α�ľ���������Ͽ�ʿ�������������Ū�˾�����($10^{-2}$��$10^{-3}$��)����, 
CFL ����𤷤ƻ��֥��ƥå����ϸ��������¤����. 
�Τ�, ����Ū�˰���ʻ��֥��ƥå����ϱ�ľ�ʻҥ�����������¸�ˤ��뤿���, 
������ʬ�˴ؤ��ƿ�ʿ�����α�ư�ˤ���Ϳ$\Dvect{H}_{i,j,k}$����Ū, 
��ľ�����α�ư�ˤ���Ϳ$\Dvect{V}_{i,j,k}$��Ū�˼�갷��.

(\ref{eq:nonhydrodynEq_VolAveSplitForm})�˸����ե�å����������ʬ�䥽�������������ʬ��, ����������ˡ(Gaussian quadrature method)���Ѥ���, 
����Ū�˵�����. 
����������ˡ��, ����ʬ�ؿ���ɾ����$x_i(i=1,\cdots, n)$�Ȥ�����б�����Ť�$w_i$��Ŭ�ڤ����֤��Ȥ�, 
����ʬ��$2n-1$��(���뤤�Ϥ���ʲ�)��¿�༰����ʬ��̤Ȱ��פ�����. 
����������ˡ�θ�����, ����Ū��$[-1,1]$����ʬ��֤��Ф�, ���Τ褦�˽񤫤��. 
%%
\begin{equation}
��\int_{-1}^1 f(x) dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)
\end{equation} 
%%
�������٤˴ؤ���$K$�����٤��ݾڤ��뤿��ˤ�, 
$K-1$���ʾ��¿�༰�ˤ�륬��������ˡ���Ѥ���ɬ�פ�����. 
�ܸ���Ǥϱ�ľ�����α�ư�˴ؤ��Ƥ�, �������٤� 2 �����٤ޤǤ������ʤ��Τ�, 
��ľ�����Υ��볦�̤ˤ���������ʬ�ε������ϰ����Ǥ褤. 
����, ��ʿ�����α�ư�˴ؤ��Ƥ�, �������� 3 �����٤��׵᤹��Τ�, ��ʿ�����Υ��볦�̤�����ʬ�ˤ�ʣ���ε�������ɬ�פȤ���. 
���Ū��, 
��������ο�ʿ�����γ���$Z_{i\pm\frac{1}{2},j\pm\frac{1}{2},k}$�ˤ�����ե�å����������ʬ��, �ơ����̤� 2 �Ĥε��������Ѥ���. 
�㤨��, ����$Z_{i+\frac{1}{2},j,k}$������ʬ���Ф��뤳�� 2 �Ĥε������ΰ��֤�, 
$\{(\alpha_{i+\frac{1}{2}}, \beta_j - \Delta \sqrt{3}/6, z_k), (\alpha_{i+\frac{1}{2}}, \beta_j + \Delta \sqrt{3}/6, z_k)\}$�Ǥ���. 
����, ��ľ�����γ���$Z_{i,j,k\pm\frac{1}{2}}$�ˤ�����ե�å����������ʬ�ε�������, ��$(\alpha_i, \beta_j, z_{k\pm\frac{1}{2}})$�� 1 �����ɤ�. 
�ޤ�, ���������������ʬ�Ǥ�, �� 4 ��$(\alpha_i\pm \Delta \sqrt{3}/6, \beta_j \pm \Delta \sqrt{3}/6, z_k)$�ε��������Ѥ���. 
�ʤ�, ��ɾ�������Ф���Ťߤ�Ʊ�����ɤ�. 
��(\ref{fig:gauss_quadrature_point})��, ��������$Z_{ijk}$���Ф�������ʬ������ʬ���Υ���������ˡ�ǵ���Ȥ�, 
�Ȥ���������ΰ��֤򼨤��Ƥ���. 
%
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=14cm,clip]{chapter4/fvCell_quadraturePt.eps}
	\caption{{\footnotesize
	��������$\mathcal{Z}_{i,j,k}$���Ф���ե�å����������ʬ����ӥ������������ʬ�򥬥�������ˡ�ǵ���Ȥ����Ѥ���������ΰ���. 
	����ʬ�γƵ������ϵ���$S$, ����ʬ�γƵ������ϵ���$V$���Ѥ���ɽ���Ƥ���. 
	����$l_{\alpha\pm}$��, ���줾��, $z=z_k$�ε��̤�$\alpha=\alpha_i \pm \Delta/(2\sqrt{3})$�ζ��̤θ����Ǥ���. 
	Ʊ�ͤ�, ����$l_{\beta\pm}$��, ���줾��, $z=z_k$�ε��̤�$\beta=\beta_i \pm \Delta/(2\sqrt{3})$�ζ��̤θ����Ǥ���. 
	$z=z_k$�ε��̾��¸�ߤ���Ƶ�����$S$�϶���$l_{\alpha\pm}$�ޤ��϶���$l_{\beta\pm}$���¸�ߤ���. 
	�ޤ�, �Ƶ�����$V$��$l_{\alpha\pm}$�ȶ���$l_{\beta\pm}$�θ����Ǥ���. 
	}}
	\label{fig:gauss_quadrature_point}
\end{center}
\end{figure}
%

\section{�ƹ���}
����������Ф���ե�å����������ʬ�䥽�������������ʬ������٤˹Ԥ�����ˤ�, 
����������ˤ���������ѿ��ζ���Ū���Ѳ����θ����ɬ�פ�����. 
������, ͭ������ˡ���Ѥ�����, �Ƹ���������Ǥ�����ʿ���̤����Τ����ʤ��Τ�, 
���ܤ��븡������ξ�����Ѥ���¿�༰��������, ����������ξ����ѿ��ζ���Ū���Ѳ���������. 
���̤�, $K$��¿�༰�ˤ��ƹ��ۤ�, �ʤ�餫��������Ф���$K+1$�����٤ζ���Υ������Ϳ����. 

�ܸ���Ǥ�, ���κƹ��ۤμ�ˡ�Ȥ���, 
��ʿ�������Ф��Ƥ�\citet{IvanPHDTheisis,Ivan-et-al2010_ICCFD7}����Ƥ��� CENO(Central ENO) ˡ���Ѥ���. 

\subsection{Central ENO ˡ�ˤ���ʿ�����κƹ���}
CENO ˡ��, �ʤ�餫���ΰ�ǤϹ����٤����뤿���, 
k-exact �Ǿ����ˡ�˴𤤤ƳƸ���������Ф���ʬŪ�ʺƹ��ۤ�Ԥ�. 
�ޤ�, �ʤ�餫�Ǥʤ���ͽ�ۤ�����ΰ�ˤ����Ʋ��ñĴ�������椹�뤿���, 
����Ū�������ƹ��ۤ�ʻ�Ѥ���. 

��������$I(i,j,k)(=\mathcal{Z}_{i,j,k})$���Ǥ�դΰ��֤ˤ�������ѿ�$q_I(\alpha, \beta)$���Ѳ���, ����¿�༰�Ƕ�������. 
%%
\begin{equation}
 q_I^K (\alpha, \beta) 
  = \sum_{ \substack{ p_1,p_2=0 \\ (p_1+p_2\leq K) } }^K  
  (\alpha-\alpha_I)^{p_1} (\beta-\beta_I)^{p_2} D^K_{p_1 p_2}. 
 \label{eq:reconst_polyfunc}
\end{equation}
%
������, $K$��¿�༰�μ���, $(\alpha_I, \beta_I)$��(���Ѻ�ɸ���֤ˤ�����)��������$\mathcal{Z}_{i,j}$���濴���֤�$\alpha_I=\alpha_i, \beta_I=\beta_j$�Ǥ���.  
�ޤ�, $D^K_{p_1 p_2}$�Ϲ⼡¿�༰�η����Ǥ���, $\mathcal{Z}_{i,j,k}$�Ȥ��ζ�˵�θ�������ˤ���������ʿ���ͤ��Ѥ��Ʒ��ꤵ���. 
�ܸ���Ǥ϶��� 3 �����٥����������Ū�Ȥ��뤿��$K=2$�ξ��Τ߰�����, (\ref{eq:reconst_polyfunc})��Ǥ�����٤κƹ��ۤ��ǽ�ˤ���.  
�ʤ�, ñĴ���ΰݻ��Τ����, �����³��ޤ�����Ϣ³��ͽ�ۤ����ή����ΰ�ˤ�����, 
¿�༰�μ���$K$��$1$�ޤ���Ȥ���, ��ߥå���Ŭ�Ѥ����. 
���δ��ˤĤ��Ƥ�, ��ۤɽҤ٤�.  


���ꤵ���٤�����$D^K_{p_1 p_2}$�ο���, $N_D=(K+1)(K+2)/2$�ˤ�ä�Ϳ������. 
�������ä�, $K=2$�ξ��ˤϷ����ο��� 6 �ĤǤ���. 
����$D^K_{p_1 p_2}$�η����, 
(\ref{eq:reconst_polyfunc})�����������ͤ�����$I(i,j,k)$�Υ��ƥ󥷥�˴ޤޤ��Ƹ����������ʿ���ͤȰ��פ��뤳�Ȥ�ݤ����Ȥ�Ƴ�����, 
$D^K_{p_1 p_2}$���Ф�������������Ϥ�򤯤��Ȥˤ�äƤʤ����. 
����$D^K_{p_1 p_2}$���Ф�������������Ϥ�Ƴ���ˤ����ä�, 
�ƹ��ۤμ�ˡ�˲ݤ�����, ����Ū�ˤϼ��Τ褦�ˤʤ�. 
%
\begin{enumerate}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\item ��κƹ��ۤ�, ���Τ�$N \leq K$����¿�༰��Ƹ����ʤ���Фʤ�ʤ�. 
\item ��κƹ��ۤ�, �����������ʿ���ͤ���¸���ʤ���Фʤ�ʤ�. 
\item ��κƹ��ۤ��Ѥ��륹�ƥ󥷥��, ��������$I(i,j,k)$�˥ȥݥ�����Ū�˶�˵�Ǥ��Ĥ����濴��ʪ��Ū�˶ᤤ��������ˤ�äƹ�������ʤ���Фʤ�ʤ�(����ѥ��ȥ��ݡ���). 
\end{enumerate}
%
��������$I(i,j,k)$���Ф���, �����ܤξ��ϡ�$K$-������(K-exactness)�פ�������ɽ���Ƥ���. 
���ʤ��, �򤬼���$K$���뤤�Ϥ���ʲ���¿�༰�Ǥ�����ˤ�, �����Τ˺ƹ��ۤ���뤳�Ȥ��̣����. 
2 ���ܤξ���, �ƹ��ۤ��줿¿�༰�ؿ�����������$I(i,j,k)$������ʿ���ͤ����Τ�Ϳ���뤳�Ȥ�ݤ�. 
���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
 \VolAve{q}_{i,j,k} = \dfrac{1}{|Z_{i,j,k}|} \int_{Z_{i,j,k}} q^K_I (\alpha, \beta) \; dV. 
 \label{eq:KexactVolAvePreserveConstraint} 
\end{equation}
%%
������, $dV=Jd\alpha d\beta$�Ǥ���. 

����ѥ��ȡ����ƥ󥷥�κǾ���������, ɬ�פȤ���뷸���ο�$N_D$�ˤ�äƷ�ޤ�. 
�������ºݤˤ�, ��å�����Ե�§��ʻҤ�����Ū�������ˤ����������٤��ԶѰ���б����뤿���, 
����˶�˵�Υ��뤬���ƥ󥷥���դ��ä�����. 
�ܸ���Ǥ�, $K=2$�� k-exact ˡ���Ѥ��륹�ƥ󥷥��, 
��������$I(i,j,k)$����Ӥ��ζ��ܤθ�������η� 9 �Ĥǹ�������. 
������, �ѥå��γѤˤ��븡������Υ��ƥ󥷥��, �� 8 �Ĥǹ�������. 

��������$I(i,j,k)$���Ф���ƹ��ۤˤ�����, 
���ʤ��������٤�(\ref{eq:KexactVolAvePreserveConstraint})�������ȼ��, 
�����������$\mathbb{A} \Dvect{D}-\Dvect{B}=0$���Ǿ��������Ū�˲򤫤��. 
������, $D$��¿�༰�η���$D^K_{p_1 p_2}$����ʬ�Ȥ���٥��ȥ�Ǥ���. 
������ $\mathbb{A} \Dvect{D}-\Dvect{B}=0$��, 
��������$I(i,j,k)$�Υ��ƥ󥷥�˴ޤޤ�븡������$J(\gamma, \delta,k)$���Ф���, 
%
\begin{equation}
 (\mathbb{A} \Dvect{D}-\Dvect{B})_{\gamma, \delta,k} 
 = \left( 
      \dfrac{1}{| \mathcal{Z}_{\gamma, \delta,k}|} \int_{\mathcal{Z}_{\gamma, \delta,k}} q^K_I (\alpha, \beta) \; dV 
    - \VolAve{q}_{\gamma, \delta, k} 
   \right) = 0
 \label{eq:OverDetermineSys_1} 
\end{equation}
%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
��������������, �ºݤθ�������$J(\gamma, \delta, k)$������ʿ����$\VolAve{q}_J$��, 
�ƹ��ۤ����¿�༰$q^K_I(\alpha, \beta)$�θ�������$J(\gamma, \delta, k)$���Ϥ�����ʿ���ͤ���פ�����.
(\ref{eq:KexactVolAvePreserveConstraint})�����Ū�����������뤿���, 
(\ref{eq:KexactVolAvePreserveConstraint})��$q^K_I$��(\ref{eq:reconst_polyfunc})���֤�����, 
�ǽ�η���$D^K_{00}$��¾��$M=N_D-1$�Ĥ�̤�Τι��ɽ����, 
%%
\begin{equation}
 D^K_{00} = \VolAve{q}_I 
           - \sum_{ \substack{ p_1,p_2=0 \\ (p_1+p_2\leq K) \\ (p_1+p_2\neq 0) } }^K  
           D^K_{p_1 p_2} \overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I
 \label{eq:reconst_polyfunc_firstCoef}
\end{equation}
%%
������. 
������, �Ѿ�$(p_1, p_2)$�δ����⡼����$\overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I$��, 
%
\begin{equation}
  \overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I 
   = \dfrac{1}{|Z_I|} \int_{Z_I} (\alpha-\alpha_I)^{p_1} (\beta-\beta_I)^{p_2} \; dV.
   \label{eq:geometricMoment_local}
\end{equation}
%
���������. 

(\ref{eq:OverDetermineSys_1})��$q^K_I$��(\ref{eq:reconst_polyfunc})��������, 
$D^K_{00}$���Ф�(\ref{eq:reconst_polyfunc_firstCoef})���Ѥ����, 
����$M$�Ĥ�̤�ο����Ф�������������Ϥ�����. 
%%
\begin{equation}
  \begin{bmatrix}
   L_1 \\ L_2 \\ \vdots \\ L_J \\ \vdots \\ L_{N_n}
  \end{bmatrix}_{N_n \times M}
  \begin{pmatrix}
   D^K_{01} \\ D^K_{02} \\ \vdots \\ D^K_{p_1 p_2} \\ \vdots \\ D^K_{K0}
  \end{pmatrix}_{M \times 1}
  -
  \begin{pmatrix}
  	w_1(\VolAve{q}_1 - \VolAve{q}_I) \\
  	w_2(\VolAve{q}_2 - \VolAve{q}_I) \\
	\vdots \\
  	w_J(\VolAve{q}_J - \VolAve{q}_I) \\
	\vdots \\
	w_{N_n}(\VolAve{q}_{N_n} - \VolAve{q}_I) 	
  \end{pmatrix}_{N_n \times 1}
  = 
  \begin{pmatrix}
   0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \vdots \\ 0
  \end{pmatrix}_{N_n \times 1}
  \label{eq:OverDetermineSys_VecMatForm} 
\end{equation}
%%
������, $N_n$�ϥ��ƥ󥷥���ζ�˵��������ο��Ǥ���. 
�ޤ�, ��˵��������$J(\gamma, \delta, k)$�����������б����뷸������$\mathbb{L}$����$J$���ܤ���$L_J$��, 
%%
\begin{equation}
 L_J = \left( w_J (\widehat{\alpha^0 \beta^1})_{IJ} \;\; w_J( \widehat{\alpha^0 \beta^2})_{IJ} \;\;\; 
              \cdots \;\;\; w_J (\widehat{\alpha^{p_1} \beta^{p_2}})_{IJ} \;\;\; \cdots \;\;\; 
              w_J( \widehat{\alpha^K \beta^0})_{IJ}
       \right)
\end{equation}
%%
�ˤ�ä�Ϳ������. 
$w_J$�Ϥ��줾��θ�������$J$����ͭ�δ���Ū�ʽŤߤǤ���, 
%%
\begin{equation}
 w_J = \dfrac{1}{|\Dvect{x}_J-\Dvect{x}_I|^\theta}
\end{equation}
%%
����������. 
������, $\Dvect{x}_J, \Dvect{x}_I$�Ϥ��줾���˵��������$J$�ȸ�������$I$�ΰ��֥٥��ȥ��ɽ��.
�ޤ�, $\theta=0,1,2$�Ǥ���.  
���δ���Ū�ʽŤߤ�, �ƹ��ۤζɽ�����������뤿���Ƴ�������. 
��������$I$�ȸ�������$J$���Ȥ��Ф���������Ǥη���$(\widehat{\alpha^{p_1} \beta^{p_2}})_{IJ}$��,���η�����ɽ�����. 
%%
\begin{equation}
 (\widehat{\alpha^{p_1} \beta^{p_2}})_{IJ} 
 =  \left( \dfrac{1}{|Z_J|} \int_{Z_J} (\alpha-\alpha_I)^{p_1} (\beta-\beta_I)^{p_2} \; dV \right)
  - \overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I 
   \label{eq:geometricMoment_localNeigh}  
\end{equation} 
%%
���Ƥ�$(\widehat{\alpha^{p_1} \beta^{p_2}})_{IJ}$��, ��ϿB�˼����褦��, 
$\overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}$�Τߤ�ȤäƸ�ΨŪ�˵�ޤ�. 

�����������(\ref{eq:OverDetermineSys_VecMatForm})�β��, 
QRʬ��ޤ����ð���ʬ��ˤ�äƵ�᤿$\mathbb{L}$�ε��չ���ξ軻�ˤ�ä�������. 
�Ƹ�������, �ƾ����ѿ�(���뤤�ϥץ�ߥƥ����ѿ�), ���νŤ��դ��Ǿ�������꤬�򤫤��. 
����$\mathbb{L}$�ϴ����˴���Ū�ʾ�������˰�¸����Τ�, 
���븡������$(i,j,k)$�ˤ��������ƤκǾ����������Ф���, ���ĤǤ�Ʊ���Ǥ���.   
�������ä�, ����$\mathbb{L}$�εչ��������äƷ׻���ǽ�Ǥ���, �����ѤǤ���. 
�⤷���չ�����ݻ����뤿��Υᥤ��������̤����꤬�ʤ��ʤ��, 
���չ��������Ѥ��뤳�Ȥ������˷׻�®�٤���夵���뤳�Ȥ��Ǥ���. 
���չ���Υ�������, ��¿�༰���($k=2$)��$N_n=8$�ξ���$5\times8$, 
����¿�༰���($k=3$)��$N_n=12$�ξ���$9\times12$�Ǥ���.  
�������ä�, �������Ǥ������٤��ݻ��������ɬ�פʥ����̤ϳƸ���������Ф�, ���줾��320 Byte, 864 Byteɬ�פǤ���. 
�Ϸ���ޤޤʤ����, Ω�����̳ʻҤγƥѥå�, ���ؤ�Ʊ����ʿ���֤ˤ����Ƥ��ε����չ���϶��̤ʤΤ�, 
�㤨��, c90�ο�ʿ������(��ʿ�ʻҴֳ���1�٤��б�)���Ф��Ƶ����չ�����ݻ����뤿���ɬ�פ��������̤�, 
$k=2$����3 MByte, $k=3$����7 MByte�Ǥ���, 
���ߤη׻����Υᥤ��������̤Ǥ�����Ȥʤ�ʤ�. 
�������ä�, �ܸ���ǤϤ��餫���ᵼ�չ����׻����Ƥ���, �����Ѥ���. 

%
CENO ˡ�ˤ�����ñĴ�����ݾڤ�, �����³��ޤ�����Ϣ³��ͽ�ۤ����ή����ΰ�ˤ�����, 
�����¤� k-exact ˡ�ˤ��ƹ��ۤ�$k=1$�������դ������ƹ��ۤޤ���Ȥ����Ȥˤ�äƤʤ����. 
�ƹ��ۤμ�������Ȥ����Ȥ����ñĴ���ΰݻ���, �����ΰ�, ������ΰ�Ȥ������ͤ����٤κƹ��ۤ�⤿�餹. 
������, �򤬤ɤ��Ǥ��餫�Ǥ���¤�, ��餫�ʶ��ͤ�¸�ߤ�����Ǥ���ͤ����٤�ݻ��Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���. 
�򤬷׻�����˲�������Ƥ��뤫��Ƚ�̤��뤿��ˤ�, ������������ smoothness indicator $\mathbb{S}$���Ѥ���. 
%%
\begin{equation}
 \mathbb{S}=\dfrac{\alpha}{\text{max}(1-\alpha,\varepsilon)} \dfrac{N_n-N_D}{N_D-1}. 
\end{equation}
%%
������, $a$��, 
%%
\begin{equation}
 \alpha = 1 - 
         \frac{\sum_{J} \left( q^k_J (\Dvect{X}_J) - q^k_I (\Dvect{X}_J) \right)^2}{\sum_J \left( q^k_J (\Dvect{X}_J) - \overline{q}_I \right)^2}
\end{equation}
%%
�Τ褦�˷��ꤵ���. 
����$\varepsilon$�ϥ����ˤ���������򤹤뤿���Ƴ�������. 
$\varepsilon$��Ŭ�ڤ��ͤ�, $10^{-8}$�Ǥ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���. 
���� smoothness indicator ��ɾ��������, �����ͤϥ��åȥ��դδ��$\mathbb{S}_c$����Ӥ����. 
$\mathbb{S}<\mathbb{S}_c$�ξ��, ��ϲ����³����뤤����Ϣ³�Ǥ����Ƚ�Ǥ���, 
�⼡�� k-exact �ƹ��ۤ������դ��������ƹ��ۤ��ڤ괹������. 
����, $\mathbb{S}>\mathbb{S}_c$�ξ��ˤ�, �����¤ι⼡�ƹ��ۤ�Ŭ�Ѥ����. 
���åȥ���$\mathbb{S}_c$���ͤ�, 1000 ���� 5000 ���ϰϤ����Ф��. 

�̾�, ��Ҥ���ñĴ�����ݾڤ����ˡ��, ̩���ѿ��䰵���ѿ����Ф�Ŭ�Ѥ����. 
������, ʪ��(�����, ����ʪ���ʤ�)��͢���ʤɤ����, 
�絤���絬�Ϥ�ή����Ф�ñĴ�����ݾڤ�ɬ�פǤʤ���礬¿��.  
�ä�, ����������ϳإ������꼰���Ǥ�, ̩�٤䰵�Ϥ��Ф���ƹ��ۤ��ſ尵��ʬ����Τ�����Ф��Ԥ�����,
̩�٤䰵�Ϥ��⼡�ƹ��ۤˤ����Ȥʤ�����������ʤ��ȹͤ���.   
�ޤ��׻���Ψ�δ��������, �ǽ�Ū���ܸ���Ǥ�ñĴ�����ݾڤϹ�θ���ʤ����Ȥˤ���. 

\subsection{��ľ�����κƹ���}
��ľ������, 2 ��¿�༰�ˤ��ƹ��ۤ�Ԥ�. 
���ʤ��, ��������$I=(Z_{i,j,k})$��α�ľ�������Ѳ���,  
%%
\begin{equation}
 q_I(z) = \sum_{p=0}^2 D_p (z-z_I)^p
 \label{eq:vreconst_polyFunc}
\end{equation}
%%
�Ƕ�������. 
������, $z_I=z_k$�Ǥ���. 
����$D_p$��, $q_I(z)$�򸡺�����$I$����Ӷ��ܤ��븡������$Z_{i,j,k \pm \frac{1}{2}}$�ˤ���������ʿ���ͤ�ñ�˰��פ����뤳�Ȥˤ����ꤹ��.  
%��, ��ľ�����ˤ϶��� 2 �����٤ޤǤ����׵ᤷ�ʤ��Τ�, $q_I(z)$������ʿ���ͤ�$\VolAve{q}$��Ƹ����뤳�Ȥϲݤ��ʤ����ɤ�. 
���η��, ����$D_p$�ϼ��Τ褦�˷��ꤵ���. 
%%
\begin{equation}
\begin{split}
 D_0 &= q_k,  \\
 D_1 &= - \dfrac{\delta_{+}}{\delta_{-} (\delta_{-} + \delta_{+}) } \; q_{k-1}
 		+ \dfrac{\delta_{+} - \delta_{-}}{\delta_{-} \delta_{+}} \; q_{k}
 		+ \dfrac{\delta_{-}}{\delta_{+} (\delta_{-} + \delta_{+}) } \; q_{k+1}, \\
 D_2 &=   \dfrac{1}{\delta_{-} (\delta_{-} + \delta_{+}) } \; q_{k-1}
 		- \dfrac{1}{\delta_{-} \delta_{+}} \; q_{k}
 		+ \dfrac{1}{\delta_{+} (\delta_{-} + \delta_{+}) } \; q_{k+1}. 
\end{split}
\end{equation}
%
������, $\delta_{+}=z_{k+1}-z_k, \; \delta_{-}=z_k-z_{k-1}$�Ǥ���. 

������, �����ˡ�ˤ�����, ������ü����Ӿ�ü���ܤ��븡��������Ф��Ƥϥ��ƥ󥷥�ΰ������ΰ賰�ˤϤ߽Ф��Ƥ��ޤ�. 
�ܸ���Ǥ�, �����θ���������Ф��Ƥ�Ʊ�ͤκƹ��ۤ�Ŭ�ѤǤ���褦��, �������ȥ����Ƴ������. 
�������ȥ���$Z_{i,j,0}, Z_{i,j,N_r+1}$�ξ����ѿ����ͤ�, ����ü�ˤ����ƶ�����郎���������褦�����Ф��. 
�������ȥ����Ƴ�����뤳�Ȥ�, ������˵�Ǻƹ��ۤ������ˤʤ뤳�Ȥ����Ǥ�, �ޤ��������������ɤ���갷����. 

 
 
