
% �쐬 2011/02/02 (Takahashi Yumiko) 
% �C�� 2010/

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4j,  12pt,  openbib,  oneside]{jreport}

% �p�b�P�[�W�̓ǂݍ���
%
\usepackage{Dennou6}		% �d�]�X�^�C�� ver 6
\usepackage{ascmac}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{cases}     % numcases �p
\usepackage{subfigure}
\renewcommand{\bibname}{�Q�l����}
\newcommand*{\sech}{\textrm{sech}} %sech��p
% �y�[�W�X�^�C���̐ݒ�

\title{Korteweg-de Vries �������̃\���g����\\
�Ɋւ���l�@}
\author{���� �R���q\\
        �_�ˑ�w ���w�� �n���f���Ȋw��}
\date{2011�N03��29��}


% �J�E���^�����l

\setcounter{part}{0}
\setcounter{chapter}{0}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{table}{0}
\setcounter{page}{0}
\setcounter{equation}{0}

% �ԍ��\���`��

\def\thechapter{\arabic{chapter}}
\def\thesection{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{*\arabic{footnote}}


%%%%%%%%        Dennou-Style Definition         %%%%%%%%

%% ���i�����̋�s�ݒ�
\Dparskip      % ���i�����Ɉ�s��s������
%\Dnoparskip    % ���i�����Ɉ�s��s�����Ȃ�

%% ���i�����̃C���f���g�ݒ�
\Dparindent    % ���i�����ɃC���f���g����
%\Dnoparindent  % ���i�����ɃC���f���g���Ȃ�


%%%%% �{���X�^�[�g %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\newpage

\begin{abstract}
  ����`�������̉��̈�Ƃ���, �\���g���Ƃ����g�����݂���. �\���g���͗��̌��ۂ��͂���, ���܂��܂ȕ������ۂ̒��ɑ��݂��邱�Ƃ��m���Ă���. ���������ă\���g���𗝉����邱�Ƃ�, �L�͈͂̕������ۂ̗����ɔ��f����邾�낤. �{�_���ł�, ���̃\���g���������� ��\�I�ȕ�����, Korteweg-de Vries ����������͂Ɛ��l�v�Z�̗��ʂ���l�@���邱�Ƃɂ����, ��\�I�ȃ\���g���̐������m�F����. 
\end{abstract}

\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{���_}
\section{�\���g���� K-dV ������}
�\���g���Ƃ͔���`�������̉��Ƃ��Č����Ǘ��g�̈�ł���. �Ǘ��g�Ƃ�, ��Ԓ��ɎR�������͒J���ЂƂ����̃p���X�g�ł���. 
�\���g���̓����I�Ȑ�����, �����̃\���g�����Փ˂̑O��ł��̌���ۂ��Ƃł���. 
���̐����͗��q�I�����ƌĂ΂�, ���̐����������Ƃ�, �Ǘ��g (solitary wave) �ɗ��q���Ӗ����� -on �������\���g���̖��O�̗R���ł���. 

�\���g���͍L�͈͂̎��R�Ȋw����ɂ������. ����䂦��, �\���g���̕����𗝉����邱�Ƃ�, �L�͈͂̎��R���ۂɑ΂��Ă̗�����[�߂邱�ƂɂȂ邾�낤. 

�{�����Ŏ��グ�� Korteweg-de Vries ������(�ȉ�, K-dV �������Ɨ���)��, 1895�N�� D. J. Korteweg �� G. de Vries �ɂ���ē����ꂽ, �󐅌n�̕\�ʂ�`���g�ɑ΂���������ł���, �󐅌n�̗��̈ȊO�ɂ����܂��܂ȕ������ۂ̎x�z�������Ƃ��Č����. K-dV �������͈ȉ��̂悤�Ȍ`�ŏ������Ƃ��ł���. 
\begin{align}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}+\DP[3]{u}{x}=0.  \label{eq:kdvEq_00}
\end{align}
������ $x$ �͈ʒu, $t$ �͎���, $u$ �͐��ʂ̕ψʂ�\��. 
1965 �N��, N. J. Zabusky �� M. D. Kruskal �����l�v�Z��p���� K-dV ������������
 \footnote{
Zabusky and Kruskal (1965) �Ŏ��ۂɎ�舵��ꂽ K-dV ��������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}+u\DP{u}{x}+\delta^2\DP[3]{u}{x}=0
\end{align*}
�ł��邪, ���̕������� (\ref{eq:kdvEq_00}) �͕ϐ��ϊ��ɂ���Ĉ�v��, �{���I�ɂ͓����ł���. 
}, �\���g���𔭌�����. ���̂���, K-dV �������̓\���g���������������̒��ł���\�I�Ȃ��̂Ƃ��Ēm���Ă���. 

�{�����ł̓\���g���𗝉���������Ƃ���, ���� K-dV �����������グ��. 

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�{�_���̍\��}
�ȉ��ɑ����͂ɂ��Ă̍\�����ȒP�ɏq�ׂ�. 
�� 2 �͂ł�, �܂� K-dV ���������̂��͉̂�������, K-dV ���������\������e���̌��ʂ���͉��Ɛ��l�v�Z����l�@��, K-dV �������ŌǗ��g�����������d�g�݂�萫�I�ɋc�_����. 
���̌�, ���ۂɕ������������� 1 �\���g�����𓱏o��, �Ǘ��g���̑��݂��m�F����. 
���ɑ� 3 �͂ł�, K-dV ���������� 2 �\���g�����𓱏o�����̒萫�I�ȋc�_���s��. ���̌�, K-dV �������̕ۑ��ʂ��ӂ܂�, ����͉��ɋ߂����l�v�Z�̕��@���l�@��, ���̕��@��p�������l�v�Z�̌��ʂɂ��čl�@����. �Ō�ɑ� 4 �͂ł܂Ƃ߂��s��. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{K-dV �������̊e���̐���}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{����`���̌���}
\setcounter{equation}{0}

�{�����ōl���� K-dV ��������, 
\begin{align}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}+\DP[3]{u}{x}=0  \label{eq:kdvEq_01}
\end{align}
�Ƃ���. 

���̐߂ł͍��ӑ�񍀖ڂ̌��ʂɂ��čl����. 
�����ʂ̎��ԕω� $\partial u/ \partial t$ �ւ̔���`������̊�^���l���邽�߂�, 
K-dV ������ (\ref{eq:kdvEq_01}) �̍��ӑ�O�����[���Ƃ���������
\begin{align}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}=0  \label{eq:kdvEq_02}
\end{align}
���l����\footnote{(\ref{eq:kdvEq_02} )�͔�S�� Burgers �������ƌĂ΂��}. 

�܂�, (\ref{eq:kdvEq_02}) ����͓I�ɉ���. ��ʓI�Ɉڗ�������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}+c\DP{u}{x}=0 \ \ \ \ c=\textrm{const}.
\end{align*}
�͌`��ς����ɓ`�d����g, 
\begin{align*}
   u=g(x-ct)
\end{align*}
�����Ƃ��Ď����Ƃ��m���Ă���. ������ $g$ �� $x-ct$ �̔C�ӂ̊֐��ł���. (\ref{eq:kdvEq_02}) �͈ڗ��������̓񍀖ڂ� $u$ ���|�����`�ƂȂ��Ă���̂�, �ڗ��������̉��𓥂܂�, (\ref{eq:kdvEq_02}) �̉���
\begin{align}
\begin{split}
   u    &= f(\eta) \\
   \eta &= x+6ut  \label{eq:sol_01}
\end{split}
\end{align}
�Ɛ��肷��. ����� (\ref{eq:kdvEq_02}) �ɑ�������, 
\begin{align}
   \DP{u}{t}-6 u\DP{u}{x}
   =6 t\biggl(\DP{u}{t}-6 u\DP{u}{x}\biggl)f'=0 \label{eq:kdvEq_02'}
\end{align}
�Ə�����. ������, 
\begin{align*}
   f' = \DD{u}{\eta}
\end{align*}
�ł���.  (\ref{eq:kdvEq_02'}) ���, (\ref{eq:sol_01}) �� (\ref{eq:kdvEq_02})
�̉��ł���. ���������� (\ref{eq:sol_01}) ���ǂ̂悤�ȐU�镑�������邩�������, K-dV �������ɂ��������`���̌��ʂ�萫�I�ɍl���邱�Ƃ��ł���. 

(\ref{eq:kdvEq_02}) �̉� (\ref{eq:sol_01}) �ɂ��čl����. $\eta=x+6ut$ ���, ���̉��̈ʑ����x�� $-6u$ �ł���. �܂�, ���^�������Ƃ͈قȂ�, �U���̑傫���قǈʑ����x���傫���Ȃ�. �ψ� $u$ �ɂ���Ĉʑ����x���قȂ�̂�, �ŏ��ɗ^�����g�̔g�`�͎��ԂƂƂ��ɕό`���Ă������Ƃ��\�z�����. 

���� (\ref{eq:kdvEq_02}) �̉��̐U�镑����, ���l�v�Z�ɂ���Ċm����, ��蒼���I�ɗ�������. 

���l�v�Z�̊T�v�͈ȉ��̂Ƃ���ł���. 
�x�z��������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}=0  \tag{\ref{eq:kdvEq_02}}
\end{align*}
�Ƃ�, ���E�����͎������E�Ƃ���. 
�v�Z�̈�� 3.0 �Ƃ�, �i�q�_���� 128 , ���ԍ��ݕ��� $1.0\times10^{-5}$ �ł���.
%%%%% ��CFL �����v�Z���Ă���������邢�����Ōv�Z���Ȃ���%%%%%
%%%%% ���ƕ\�ɂ܂Ƃ߂��ق��������H
��ԕ����ɂ͒���������p���ċߎ���, ���Ԑϕ��̓��[�v�t���b�O�@��p����, 32 �X�e�b�v�s����\footnote{
����ȍ~�̐ϕ��͕ψ�$u$�̌X������Ԏ��ɑ΂��Đ����ȏ�ƂȂ�, �v�Z�͉���. }. 
$u$ �����̏ꍇ�ƕ��̏ꍇ�̗����̕ω������邽�߂�, �����g�`�ɂ͗̈�ŐU�� 100.0,  2 �������̐����g��^����. 

���l�v�Z�̌��ʂ�} \ref{fig:hisenkei}.1 �Ɏ���. 
%%%%%%%%% [t]�y�[�W��, [t] �y�[�W��, [h]=here �����ɓ���Ă�
\begin{figure}[b]
  \begin{center}
    \subfigure[�����l]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{6hisen00.eps}}
    \subfigure[16 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{6hisen09.eps}}
    \subfigure[32 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{6hisen18.eps}}
\label{fig:hisenkei}
\end{center}
\caption{\small{(\ref{eq:kdvEq_02})�̐��l�v�Z����. ������ $x$, �c���� $u$ ��\��. }}
\end{figure}
(\ref{eq:kdvEq_02}) �̉�͉�
\begin{align*}
   u = f(x+6ut)
\end{align*}
�Ɣ�r����. 
�܂�, �g���i�ޕ����ɂ��Ă�, �}\ref{fig:hisenkei}.1 �ł͐U�������̂Ƃ����̕�����, ���̂Ƃ����̕����ɐi��ł���, ��͉��ƈ�v���Ă���. 
���ɑ��x�ɂ��Č����, �}\ref{fig:hisenkei}.1 �ł�, �ψʂ̑傫���Ƃ���قǑ����i��ł��邽��, ���Ԃ��o�߂���ɂ�X�����傫���Ȃ��Ă���. 
�܂�ψʂ̌X�������̕����ł͂��X�����}�ɂȂ��Ă���, �t�ɌX�������̕����ł͌X���͊ɂ₩�ɂȂ��Ă���.

�ȏ���, ����`���ɂ���Ĕg�͐U���̑傫�ȂƂ���قǑ����i�ނƂ��������𐔒l�v�Z���ʂł��m�F�ł�, �^�����g�`�����ԂƂƂ��ɕω����邱�Ƃ𒼊ϓI�ɗ������邱�Ƃ��ł���. 

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{���U���̌���}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

���� K-dV ������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}+\DP[3]{u}{x}=0  \tag{\ref{eq:kdvEq_01}}
\end{align*}
�̍��ӑ�O���̌��ʂ��l����. ���̂��߂� (\ref{eq:kdvEq_01}) �̔���`�����[���Ƃ���������
\begin{align}
   \DP{u}{t}+\DP[3]{u}{x}=0 \label{eq:bunsan}
\end{align}
�ɂ���, ���𓱏o����. 

�܂�, (2.2.1) ����͓I�ɉ���. ���������Ƃ��� $t=0$ �� $u=\phi(x)$ �Ƃ���. $\phi(x)$ �͎��� $2l$ �̎����֐��Ƃ���. $\phi(x)$ ������ $2l/n \ (n=1,2,\cdot\cdot\cdot)$ �̎O�p�֐��œW�J�����, 
\begin{align}
   \phi(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\cos{\frac{n\pi x}{l}}
             + \sum_{n=1}^{\infty}\beta_n\sin{\frac{n\pi x}{l}} \label{eq:fourier01}
\end{align}
�Ƃ�����. $\alpha_n, \beta_n$ �̓t�[���G�W���ł���. �g�� $k_n$ �� $k_n=n\pi/l$ �Ƃ�����, (\ref{eq:fourier01}) �� 
\begin{align}
   \phi(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\cos{k_n x}
             + \sum_{n=1}^{\infty}\beta_n\sin{k_n x}
\end{align}
�Ƃ�����. $n$ �Ԗڂ̔g�̐U������$\omega_n$ �Ƃ�, ���̔g�̕ψ� $u_n$ �� $u_n\propto \exp(ik_n x -\omega_n t)$ �Ƃ�����, (\ref{eq:bunsan}) ����, $n$ �Ԗڂ̔g�̐U������
\begin{align}
   \omega_n=-k_n^3 \label{eq:dispertion}
\end{align}
�ł���. $t>0$ �ł͈ʑ� $k_nx - \omega_nt$ �ɏ]���ĕω�����̂�,  $t>0$ �ɂ����� (\ref{eq:bunsan}) �̉���
\begin{align}
   u=\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n \cos{(k_nx-\omega_n t)}+\sum_{n=1}^{\infty}\beta_n \sin{(k_nx-\omega_n t)} , \ \ \ \ n\ge 1 \label{eq:sol02}
\end{align}
�ŗ^������. 
�t�[���G�W����
\begin{align}
\begin{split}
   \alpha_0 &= \frac{1}{2l}\int_{-l}^l\phi(x)dx , \\
   \alpha_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^l\phi(x)\cos{k_n x}\ dx , \ \ \ n\ge 1 \\
   \beta_n &= \frac{1}{l}\int_{-l}^l\phi(x)\sin{k_n x}\ dx , \ \ \ n\ge 1
   \label{eq:fourierkeisu}
\end{split}
\end{align}
�ł���. 

(\ref{eq:sol02}) ���, (\ref{eq:bunsan}) �̉��͂��܂��܂Ȕg�������g�̏d�ˍ��킹�ŕ\����邱�Ƃ��킩��. ���, ���U�� (\ref{eq:dispertion}) ���, ���ӂ� $k_n$ �Ŕ��������, �Q���x$v_{\textrm{g}n}$��
\begin{align}
   v_{\textrm{g}n} = -3k_n^2  \label{eq:vg}
\end{align}
�ł���Ƃ킩��. ���Ȃ킿, �g�� $n$ �̔g�̓`�d���x�͂��̔g���� 2 ��ɔ�Ⴗ��. ����������, �����l�Ƃ��ĕ����̔g�������g�`��^�����ꍇ, �g�����ƂɌQ���x���قȂ�̂�, �g�͕��U���Ă���. �܂��g���̑傫���g, �܂�g�����������g�قǑ����`�d����. 

�܂�, ����g���̔g�̐U�� $A_n$ �� Fourier �W����p����
\begin{align*}
   u=
   A_n = \sqrt{\alpha_n^2+\beta_n^2} , \ \ n = 0,1,2�c
\end{align*}
�Ƃ���킹��. ������, �X�̔g���ɑ΂���U��, ���Ȃ킿, �g���X�y�N�g���͎��Ԃɂ���ĕς��Ȃ�.

����, ����`���̍l�@�Ɠ��l��, ���l�v�Z�ɂ���ĕ��U���̐������m�F����. 

���l�v�Z�̊T�v�͈ȉ��̂Ƃ���ł���. 
�x�z�������� (\ref{eq:bunsan}) �Ƃ�, ���E�����͎������E�Ƃ���. 
�v�Z�̈�� 3.0 , �i�q�_���� 128 , ���ԍ��ݕ��� $1.0\times10^{-6}$ �ł���.
%%%%% ��CFL ������ �`2.8 �~10^6 �o�b�`��!
��ԕ����ɂ͒���������p���ċߎ���, ���Ԑϕ��̓��[�v�t���b�O�@��p���� 1000�X�e�b�v�s����. ��͉�����, �g���ɂ���ĕ��U��, �`�d��������͕ψʂ̐����ɂ͈ˑ����Ȃ����Ƃ��킩���Ă���̂�, �����g�`�Ƃ��Ă�
\begin{align*}
    u =  10^3\textrm{sech}^2\biggl(\frac{x-3.0/2.0}{\sqrt{12.0/10^3}}\biggl)
\end{align*}
�Ƃ����ψʂ����̌Ǘ��g��^����\footnote{
���̏����g�`�� K-dV �������̉�͉������z���ė^����. 2.4 �߂� K-dV �������̉�͉��𓱏o����̂�, �����ł��̔g�`���ǂ�Ȕg��\�������l����. 
}. 

�v�Z���ʂ�}\ref{fig:bunsan}.1 �Ɏ���. 
\begin{figure}[b]
  \begin{center}
    \subfigure[�����l]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{diplus00.eps}}
    \subfigure[400 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{diplus20f.eps}}
    \subfigure[800 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=4.5cm]{diplus40f.eps}}
\label{fig:bunsan}
\end{center}
\caption{\small{(\ref{eq:bunsan}) �̐��l�v�Z����. ������ $x$ , �c���� $u$ ��\��. }}
\end{figure}
���l�v�Z���s����, �͂��ߒޏ��^�̔g�`�͎��ԂƂƂ��ɕ��U��, �g���̏������g�قǑ��� $x$ �̕��̕����ɓ`�d����. ����͑O�߂̕��U���̍l�@�Ɉ�v����. �܂��v�Z���ʂ���, �U�����������g�ق�, ��葬���`�d���Ă��邪, �t�[���G�W�� (\ref{eq:fourierkeisu}) ���g�����傫���g�قǐU�����傫��, ��͂��͉��ƈ�v���Ă��邱�Ƃ��킩��.  

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{����`���ƕ��U������� K-dV �������̍l�@}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

�O�߂܂ł̋c�_���ӂ܂�, K-dV ������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}+\DP[3]{u}{x}=0  \tag{\ref{eq:kdvEq_01}}
\end{align*}
�̍l�@���s��. 

\begin{figure}[b]
\begin{center}
   \subfigure[]{\includegraphics[width=6cm]{effect1.eps}}
   \subfigure[]{\includegraphics[width=6cm]{effect2.eps}}
\label{fig:effect}
\end{center}
\caption{\small{����`���ƕ��U���̌��ʂ��肠���T�O�}. ������ $x$ ��, �c���� $u$ �̕ψʂ�\��, $u$ �̕ψʂ͕��ł���. �Ԃ����͔���`���ɂ�鑬�x, �����͕��U���ɂ�鑬�x��\��. }}
\end{figure}
�} \ref{fig:effect}.1 �͔���`���ƕ��U���̌��ʂ�\���T�O�}�ł���. �}�̂悤�ɕ��̕ψʂ����Ǘ��g���l����. 
�܂�, (a)�ł͔���`���̌��ʂɂ���� $u$ �̏������Ƃ���قǐ��̕����ɑ����i��. �����, �g���˂�������(b)�̏�ԂɂȂ�. 
�g���˂��������͕����͋�Ԃ̋����̈�Ŕg���ω����邱�Ƃ��Ӗ�����̂�, �g���̑傫�Ȕg����N���ꂽ�Ɖ��߂��邱�Ƃ��ł���. 
�g�����傫���g�ɑ΂��Ă�, ���U���̌��ʂ����傫���͂��炭����, ���̑��x���傫���Ȃ�, ����`���̌��ʂɂ�鐳�̑��x��ł��������낤. 

���̂悤�ɓ�̍������܂��肠���悤�ȌǗ��g��^�����, ���̌Ǘ��g�͕���邱�ƂȂ��`�d���Ă������Ƃ��\�z�����. 

�܂�, �}�Ƃ͋t�ɐ��̕ψʂ����Ǘ��g��^�����Ƃ����, ����`���̌��ʂɂ����, ���ψʂ̑傫���Ƃ��낪���̌����ɑ����i��. ������, ���U���͕ψʂ̐����ɂ�����炸, �������̑��x��^����̂�, �Ǘ��g���ێ����邱�Ƃ͂ł��Ȃ�. ���������Ĕ���`���ƕ��U��, �ǂ��炩�̍��̌W�����t�ɂȂ��, �ψʂ����̌Ǘ��g���ێ��ł���Ɨ\�z�����. 
���̂悤��, K-dV �������̉��Ƃ��đ��݂ł���Ǘ��g�̕ψʂ̐�����, �������̍��ӑ�񍀖�, ��O���ڂ̐����̑g�ݍ��킹�ɂ���Č��܂邱�Ƃ��킩��. 

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{1 �\���g����}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

�O�߂ł̒萫�I�ȋc�_����, K-dV ���������Ǘ��g�����������邱�Ƃ������ł����̂�, ���ۂ� K-dV ������ (\ref{eq:kdvEq_01}) ��������, �Ǘ��g����̃\���g�����ł��� 1 �\���g�����𓱏o����. 
����, ���x $c\ (c>0)$ �Ō`��ς����ɓ`�d����g
\begin{align*}
    u &= f(\eta) , \\
   \eta&=x-ct
\end{align*}
�Ɖ��肷��. ����� (\ref{eq:kdvEq_01}) �ɑ�������, 
K-dV �������͈ȉ��̂悤�ɕό`�ł���. 
\begin{align}
   -c f' -6ff' + f''' = 0 . \label{eq:kdv1sol_01}
\end{align}
������ $f'$ �� $f$ ��$\eta$ �Ɋւ��������\��. 
����� $\eta$ ���������ł��ׂĂ̕����ʂ��[��, ���Ȃ킿 $f = f' = f'' = \cdot\cdot\cdot = 0$ �Ƃ������E������p����, (\ref{eq:kdv1sol_01}) ��ϕ������
\begin{align*}
   f'' =  (c+3f)f
\end{align*}
�ƂȂ�. ����ɗ��ӂ� $f'$ �𗼕ӂɂ����ϕ������, 
\begin{align*}
   (f ')^2 = - (C -f)f^2 . 
\end{align*}
������ $- c/2 = C$ �Ƃ�����. $c>0$ �ł��邩��, $C<0$ �ł���. �܂��㎮���, ���� $>0$ �ł��邽�߂ɂ� $C-f<0$ �łȂ���΂Ȃ�Ȃ�. ������ $g = \sqrt{C-f}$�Ƃ���, �ϕ������
\begin{align*}
   \ln \biggl|\frac{g-i\sqrt{C}}{g+i\sqrt{C}}\biggl|= i\sqrt{C}(\eta-x_0)
\end{align*}
�𓾂�. ������ $i$ �͋����P��, $x_0$ �͐ϕ��萔��, �����ʑ��ł���. ����� $g$ �ɂ��ĉ�����
\begin{align*}
   g = i\sqrt{C}\tanh\{i\sqrt{C/2}(\eta - x_0)\} . 
\end{align*}
$u = f(\eta) = C+g^2$ �ɑ����, $-C=A$ �ƒu��������
\begin{align}
   u = - A \textrm{sech}^2 \biggl\{\sqrt{\frac{A}{2}}(x-2At-x_0)\biggl\}
   \label{eq:sol03}
\end{align}
�𓾂�. ���ꂪ 1 �\���g�����ł���. $C<0$ �ł������̂� $A>0$ �ł��邱�Ƃɒ��ӂ��ꂽ��. 

K-dV �������� 1 �\���g���� (\ref{eq:sol03}) �ɂ��čl�@����. �܂�, $-A>0$ �ł��邩��, 
���̐U���͕��ł��邱�Ƃ��킩��. ����͑O�߂̍Ō�ł̋c�_�ƈ�v����. 
���ɌǗ��g�̈ʑ����x�� $2A$ �ł���, 
�U���̑傫���ɔ�Ⴗ��. ����������, �Ǘ��g�͐U�����傫���قǑ����`�d���邱�Ƃ��킩��. �����, �U�����ő�̓_���� sech �̈����� 1 �ƂȂ�_�܂ł̋������Ǘ��g�̕��ƒ�`�����, ���̕��� $1/\sqrt{A/2}$ �ł���. ����������, �U�����傫�قǌǗ��g�͉s���Ȃ�.

�ȏ���, K-dV �������̌Ǘ��g������͓I�ɓ���, �Ǘ��g���̒�ʓI�ȓ����𓾂邱�Ƃ��ł���. 
�Ƃ���ŌǗ��g��(\ref{eq:sol03})�� 1 �\���g�����ł���Əq�ׂ���, ���ꂪ�{���Ƀ\���g���ƌĂׂ邩�ǂ����͂킩��Ȃ�. �Ȃ��Ȃ�, �����̃\���g�������݂�, ����炪�Փ˂����O��̐����ɂ���ă\���g���Ƃ킩�邩��ł���. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{2 �\���g����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{2 �\���g�����̓��o}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

�� 1 �͂Ń\���g���̓����I�Ȑ����Ƃ���, �����̃\���g�����Փ˂��Ă��Փ˂̑O��ł��ꂼ��̃\���g���̐U���╝, �ʑ����x���ێ�����邱�Ƃ��q�ׂ�. �����̃\���g���̐������l�@���邽�߂�, 2 �\���g���������߂�. �l����������͈������� K-dV ������
\begin{align*}
   \DP{u}{t}-6u\DP{u}{x}+\DP[3]{u}{x}=0 \tag{\ref{eq:kdvEq_01}}
\end{align*}
�ł���. ����ȍ~, �Δ��������t���Y�����Ƃ��ĕ\�����Ƃɂ���. ���Ȃ킿 K-dV ������(\ref{eq:kdvEq_01})��
\begin{align}
   u_t -6uu_x + u_{xxx}=0  \label{eq:kdvEq_03}
\end{align}
�ƕ\��. 

�܂�, �ψ� $u$ ��ϐ� $\varphi$ ��p����
\begin{align}
   u=-2\DP[2]{}{x}\ln{\varphi} \label{eq:henkan}
\end{align}
�ƒu��������. ����ɑS�̂� $x$ �ɂ��Đϕ���, �ϕ��萔���[���Ƃ�����
 (\ref{eq:kdvEq_03}) ��
\begin{align*}
   \frac{\partial^2}{\partial t \partial x}\ln{\varphi}
   + 6\biggl(\DP[2]{}{x}\ln{\varphi}\biggl)^2+\DP[4]{}{x}\ln{\varphi}=0
\end{align*}
�ƂȂ�. ���̔������Z�q�����s�����, �ϐ��ϊ����ꂽ K-dV ������  
\begin{align}
   \varphi_x\varphi_t -\varphi\varphi_{xt}
   = 3(\varphi_{xx})^2-4\varphi_x\varphi_{xxx}+\varphi\varphi_{xxxx}
   \label{eq:kdv_04}
\end{align}
�𓾂�. �����ŏ㎮�̉���
\begin{align}
\begin{split}
   \varphi&=1+e^{2\theta} ,  \\
   \theta &= kx-\omega t
   \label{eq:sol05}
\end{split}
\end{align}
�Ɖ��肷���, (\ref{eq:kdv_04}) ��
\begin{align}
   \omega=4k^3
   \label{eq:disper04}
\end{align}
�ƂȂ�. ������$k,\ \omega$��(\ref{eq:sol05}) �ŗ^������g�̔g���ƐU�����ł���. ���������ĕ��U�֌W (\ref{eq:disper04}) �����藧�Ƃ�, (\ref{eq:sol05}) �� K-dV �������̉��ł���. �܂�, (\ref{eq:sol05}) �� (\ref{eq:henkan}) �ɑ����, �ψ� $u$ �ɂ��ĉ�����, 
\begin{align}
   u=-2k^2\sech^2(kx-\omega t) \label{eq:sol07}
\end{align}
�Ƃ�����.  (\ref{eq:sol07}) ���O�͂ŋ��߂� 1 �\���g�����̌`�ɂȂ��Ă��邱�Ƃ����, (\ref{eq:sol05}) �� K-dV �������̉��ł��邱�Ƃ͖��炩�ł���. 
�܂�, (\ref{eq:sol05}) �̉E�ӂ̎w���֐������ɐ��̒萔 $A$ ��������, 
\begin{align}
   \varphi&=1+Ae^{2\theta}
   \label{eq:sol06}
\end{align}
���܂����ł���, (\ref{eq:henkan}) �ɑ���� $A=e^{-2\delta}$ �Ƃ�����, 
\begin{align*}
u=-2k^2\sech^2(kx-4k^3t-\delta)
\end{align*}
�ƂȂ�, $A$ �������ʑ���\�����Ƃ��킩��. 

(\ref{eq:sol06}) ���, ��̌Ǘ��g������킷��̉���, ���ꂼ��̐U����g��, �U������Y���� i ��p����, 
\begin{align*}
   \varphi &= 1+A_i e^{2\theta_i} , \\
   \theta_i &= k_ix-\omega_i t , \\
   i &= 1, 2
\end{align*}
�Ə����Ƃ���. ���̓�̉����d�ˍ��킹�����͂������ K-dV �������̉��ł͂Ȃ�. ������, ��̉��̏d�ˍ��킹��, �W�������̒萔 $A_3$ �̔���`���ݍ�p��\������������
\begin{align}
   \varphi =1+A_1e^{2\theta_1}+A_2e^{2\theta_2}+A_3e^{2(\theta_1+\theta_2)}
   \label{eq:2solisol}
\end{align}
��, 
\begin{align}
   \omega_i = 4 k_i^4 \ ,\ \ i=1,2 \label{eq:disper06} \\
   A_3 = \biggl(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\biggl)^2A_1A_2 \label{eq:A3}
\end{align}
�𖞂����Ƃ�, K-dV �������̉��ł���\footnote{(\ref{eq:2solisol}) �� K-dV ������
 (\ref{eq:kdv_04}) �ɑ����, $e^{2\theta_i}, e^{2(\theta_1+\theta_2)}, e^{4\theta_1+2\theta_2}, e^{2\theta_2+4\theta_2}$ ���܂ލ����Ƃɐ�����, �����̎w���֐��Ɋւ���P�����Ƃ݂Ȃ���, ���ꂼ��̍��̌W���� 0 �ɂȂ�Ƃ����� (\ref{eq:disper06}), (\ref{eq:A3}) �𓾂�. 
}. 
(\ref{eq:2solisol}) �� (\ref{eq:henkan}) �ɑ�������, K-dV �������� 2 �\���g�����𓾂邪, ���̉��͕��G�ōl�@�����. ������, ���߂ł� $\varphi$ �ɑ΂�����̌` (\ref{eq:2solisol}) �̂܂܂�, 2 �\���g�����̐U�镑�����l�@����. 

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{2 �\���g�����̉�͓I�l�@}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
�O�߂��, $\varphi$ �ɑ΂��� 2 �\���g������
\begin{align*}
   \varphi =1+A_1e^{2\theta_1}+A_2e^{2\theta_2}+A_3e^{2(\theta_1+\theta_2)}
   \tag{\ref{eq:2solisol}}
\end{align*}
�ł���. ����ɂ��čl�@���s��. ������, 
\begin{align*}
   \theta_i &= k_ix-\omega_i t \\
   \omega_i &= 4 k_i^4 \ ,\ \ i=1,2 \tag{\ref{eq:disper06}} \\
   A_3 &= \biggl(\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}\biggl)^2A_1A_2 \tag{\ref{eq:A3}}
\end{align*}
�ł���. 

�܂�, �萔�ɒ��ڂ���. (\ref{eq:disper06}), (\ref{eq:A3}) ����,  $A_1,\ A_2
,\ k_1,\ k_2$ ��^����Ε������͕���. �܂�, (\ref{eq:sol07}) ����, $k_i$ �͐U��������,  (\ref{eq:sol06}) �� (\ref{eq:henkan}) �ɑ�����邱�Ƃ�  $A_i$ �͌Ǘ��g�̏����ʑ������߂邱�Ƃ��킩��. 

����, $t\to \pm\infty$ �ɂ����� $u$ �̑Q�ߌ`�ɒ��ڂ���\footnote{��̌Ǘ��g���Փ˂��鎞�����[���Ƃ��Ă���.}. 
�܂�, $\varphi$ �̑Q�ߌ`���l����. 
�ŏ��ɓY������ 1 �̌Ǘ��g�̈ʑ��� 0 �̋ߖT, �܂� $k_1 x - \omega_1 t \sim 0$ ���l����. ���̋ߖT�ł̓Y������ 2 �̌Ǘ��g�̈ʑ� $\theta_2$ �̑傫�������ς��邽��, $\theta_2$ �� $\theta_1$ �ł���킷��, 
\begin{align}
   \theta_2 = k_2x-\omega_2t &= \frac{k_2}{k_1}(\theta_1)
              + \frac{k_2}{k_1}\biggl(1-\frac{\omega_2}{\omega_1}
              \frac{k_1}{k_2}\biggl)\omega_1t  \notag \\
            &= \frac{k_2}{k_1}(\theta_1)
              + \frac{k_2}{k_1}\biggl(1-\frac{k_2^2}{k_1^2}\biggl)\omega_1t
\label{eq:theta2}
\end{align}
�ƂȂ�. ������ $k_1>k_2>0$ �Ƃ���. �l���Ă���������͓Y���� 1, 2 �̕ϐ��Ɋւ��đΏ̂Ȃ̂�, ����ɂ���Ĉ�ʐ��͎���Ȃ�. 

$t\to -\infty$ �̂Ƃ�, $\theta_2\sim 0,\ k_1>k_2$ �� (\ref{eq:theta2}) ���
\begin{align*}
  \theta_2 \sim \frac{k_2}{k_1}\biggl(1-\frac{k_2^2}{k_1^2}
           \biggl)\omega_1t \xrightarrow[t \to -\infty]{}-\infty
\end{align*}
�ƂȂ�. ���Ȃ킿, $e^{2\theta_2}\to 0$ �ƂȂ�̂�, $\varphi$ �̑Q�ߌ`��
\begin{align}
   \varphi = 1+A_1e^{2\theta_2}
\end{align}
�ƂȂ�. ������ $A_1=\exp\{-2\delta_1^{(-)}\}$ �Ƃ���, (\ref{eq:henkan}) �� $u$ �̌`�ɖ߂���, 
\begin{align}
   u= -2k_1^2\sech^2\{k_1x-\omega_1 t-\delta_1^{(-)}\} \label{eq:uminus}
\end{align}
�𓾂�. ���ꂪ, $t\to -\infty$ �ɂ�����ʑ� $\theta_1=0$ �ߖT�ł̑Q�ߌ`�ł���. (\ref{eq:uminus}) ����, �U����$-k_1^2$�̌Ǘ��g�ł��邱�Ƃ��킩��. 

���, $t\to +\infty$ �̂Ƃ�, 
\begin{align*}
  \theta_2 \sim \frac{k_2}{k_1}\biggl(1-\frac{k_2^2}{k_1^2}
           \biggl)\omega_1t \xrightarrow[t \to +\infty]{}+\infty
\end{align*}
�ł��邩��, $e^{2\theta_2}$ ���܂ލ��� $e^{2\theta_1}$ �����̍����傫���Ȃ�. 
���������� $\varphi$ �̑Q�ߌ`��, 
\begin{align}
   \varphi= A_2\biggl(1+\frac{A_3}{A_2}e^{2\theta_1}\biggl)e^{2\theta_2}
\end{align}
�ł���. $t\to -\infty$ �Ɠ��l��, ����� $u$ �̌`�ɖ߂���, 
\begin{align}
      u= -2k_1^2\sech^2\{k_1x-\omega_1 t-\delta_1^{(+)}\}
\end{align}
�𓾂�. ������, 
\begin{align*}
   \delta_1^{(+)}=-\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{A_3}{A_2}\biggl)
\end{align*}
�Ƃ�����. 

���l��, $\theta_2\sim 0$ �̋ߖT�ɂ����� $t\to \pm \infty$ �ł� $u$ �Q�ߌ`�����߂��, $t\to -\infty$ �ł�, 
\begin{align}
      u&= -2k_2^2\sech^2\{k_2x-\omega_2 t-\delta_2^{(-)}\} , \\
      \delta_2^{(-)}&=-\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{A_3}{A_1}\biggl) ,  \notag
\end{align}
$t\to +\infty$ �ł�
\begin{align}
      u&= -2k_2^2\sech^2\{k_2x-\omega_2 t-\delta_2^{(+)}\} , \\
      \delta_2^{(+)}&=-\frac{1}{2}\ln{A_2}   \notag
\end{align}
�𓾂�. 

�ȏ�̌��ʂ��܂Ƃ߂��, $t\to -\infty$ �̂Ƃ�
\begin{align}
      u&= \sum_{i=1}^2\biggl[-2k_i^2\sech^2\{k_ix-k_i^3 t-\delta_i^{(-)}\}\biggl] , 
\label{eq:infty-} \\
      \delta_1^{(-)}&=-\frac{1}{2}\ln{A_1} ,  \notag \\
      \delta_2^{(-)}&=-\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{A_3}{A_1}\biggl) , \notag
\end{align}
$t\to +\infty$ �̂Ƃ�
\begin{align}
      u&= \sum_{i=1}^2\biggl[-2k_i^2\sech^2\{k_ix-k_i^3 t-\delta_i^{(+)}\}\biggl] , 
      \label{eq:infty+} \\
      \delta_1^{(+)}&=-\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{A_3}{A_2}\biggl) , \notag \\
      \delta_2^{(+)}&=-\frac{1}{2}\ln{A_2} \notag
\end{align}
�ł���. (\ref{eq:infty-}) �� (\ref{eq:infty+}) �̈ʑ��ɒ��ڂ����, �����ʑ� $\delta^{(\pm)}_i$ �𖳎������, $t\to \pm \infty$ �ł� $i$ �Ԗڂ̃\���g���̈ʒu $x_i$ ��, 
\begin{align*}
   x_i\sim 4k_i^2t\ ,\ \  i=1, 2
\end{align*}
�Ə�����. ������ $t\to -\infty$ �̂Ƃ�$x_1 < x_2$ �ł���, 
$t\to +\infty$ �ł�, $x_1>x_2$ �ł���. �܂莞�Ԃ� $-\infty$ ���� $+\infty$ �܂Ōo�Ԃ�, �U���̑傫���\���g�����������\���g����ǂ��z���Ă��邱�Ƃ��킩��. �܂�, �ǂ��z�����O��� 2 �̃\���g�����ꂼ��̐U�� $-2k_1^2,\ -2k_2^2$ �͕ς���Ă��Ȃ�. 

���, $t\to -\infty$ �� $t\to +\infty$ �ɂ�����ʑ��̍����Ƃ�Ƌ����[�����Ƃ��킩��. 
�܂�, �U�� $-2k^2_1$ �̑傫���\���g���̈ʑ��� $\Delta_1$ ���Ƃ��, 
\begin{align*}
   \Delta_1 &=\frac{1}{k_1}(\delta_1^{(+)}-\delta_1^{(-)}) , \\
            &= \frac{1}{2k_1}\ln{\frac{A_1A_2}{A_3}} .
\end{align*}
���l��, �U�� $-2k_2^2$ �̏������\���g���̈ʑ����� $\Delta_2$ ��
\begin{align*}
   \Delta_2 &= \frac{1}{2k_2}\ln{\frac{A_3}{A_1A_2}}
\end{align*}
�ł���. (\ref{eq:A3}) �� $k_1>k_2$ ���, 
\begin{align*}
   \frac{A_1A_2}{A_3}=\biggl(\frac{k_1+k_2}{k_1-k_2}\biggl)^2>1
\end{align*}
�Ȃ̂�, �ʑ��͏ՓˑO���, $\Delta_1<0,\ \Delta_2>0$ �̂悤�ɂ���邱�Ƃ��킩��. 
�܂�, 
\begin{align*}
   \Delta_1<|\Delta_2|
\end{align*}
���, �������\���g���̕����ʑ������傫�����Ƃ��킩��. 


\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{K-dV �������̕ۑ���}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{equation}{0}
�O�߂� 2 �\���g�����̒萫�I�ȍl�@���s�����̂�, ����܂łƓ��l, ���l�v�Z�ɂ����
2 �\���g�����̒��ϓI�ӂ�܂����m���߂邪, ���̑O��, ����͉��ɋ߂����l�v�Z���s�����߂�, �����ł� K-dV �������̕ۑ��ʂɂ��ďq�ׂĂ���. 
%%%���l�v�Z�̌��ʂ��l�@���邽�߂̏����Ƃ���, �����ł� K-dV �������̕ۑ��ʂɂ��ďq�ׂĂ���. 
K-dV ������
\begin{align*}
   u_t -6uu_x + u_{xxx}=0  \tag{\ref{eq:kdvEq_03}}
\end{align*}
��
\begin{align}
   \DP{u}{t} = \DP{}{x}(3u^2 - u_{xx}) \label{eq:kdv05}
\end{align}
�Ƃ�������. $|x|\to\infty$ �� $u,\ u_x,\ u_{xx}, \cdot\cdot\cdot$ �����ׂ� 0 �ɂȂ�Ƃ�, (\ref{eq:kdv05}) �� $x$ �ɂ��� $-\infty$ ���� $+\infty$ �܂Őϕ������, 
\begin{align*}
   \DD{}{t}\int_{-\infty}^{+\infty}udx =0
\end{align*}
�ƂȂ�, �ۑ���
\begin{align}
   I_1=\int_{-\infty}^{+\infty}udx  \label{eq:I1} 
\end{align}
�𓾂�. 

���� (\ref{eq:kdvEq_03}) �̗��ӂ� $u$ ���|����
\begin{align*}
   uu_t=6u^2u_x -uu_{xxx}
\end{align*}
��
\begin{align*}
   \DP{}{t}\biggl(\frac{u^2}{2}\biggl)
   = \DP{}{x}\biggl(2u^3-uu_{xx}+\frac{(u_x)^2}{2}\biggl)
\end{align*}
�Ƃ�����. ����� $x$ �ɂ��� $-\infty$ ���� $+\infty$ �܂Őϕ���, ��قǂƓ��l�̋��E������p�����, ��ڂ̕ۑ���
\begin{align}
   I_2=\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl(\frac{1}{2}u^2\biggl)dx  \label{eq:I2} 
\end{align}
�𓾂�. 

�ȉ����l��, (\ref{eq:kdvEq_03}) �� $u^2,\ u^3,\ u^4,\ \cdot\cdot\cdot$ ���|����Ƃ���ɍ����̕ۑ��ʂ𓾂邱�Ƃ��ł���. K-dV �������ɂ͂��̂悤�� $u,\ ,u_x,\ u_{xx}, \cdot\cdot\cdot $ �̑������ŕ\�����ۑ��ʂ��������݂��邱�Ƃ��m���Ă���. 

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{2 �\���g�����̐��l�v�Z}
\setcounter{figure}{0}
\setcounter{equation}{0}

2 �\���g�����̐��l�v�Z�Ƃ��̍l�@���s��. �����ōl����K-dV ��������
\begin{align}
   u_t - uu_x + u_{xxx}=0  \label{eq:kdvEq07}
\end{align}
�Ƃ���. 

�܂�, �O�߂ŋ��߂� 1 ���� 2 ���̕ۑ��ʂ���, �v�Z�X�L�[���ɂ��ċc�_���s��. 
�� 2 �͂܂ł̐��l�v�Z�ł�, ��Ԃ̍������ɒ�������, ���Ԃ̍������Ƀ��[�v�t���b�O�@��p���Ă���. 
������ (\ref{eq:kdvEq07}) �ɂ��K�p���Ă݂�. ���ԍ��ݕ��� $\Delta t$ , ��Ԃ̊i�q�_�Ԃ̋����� $\Delta x$ , ���Ԃ̃C���f�b�N�X�� $j$, ��Ԃ̃C���f�b�N�X�� $i$ �Ƃ����, ���U�����ꂽ K-dV ������
\begin{align}
   \frac{u^{j+1}_i - u_i^{j-1}}{2\Delta t} =  
                u^{j}_i\frac{u^{j}_{i+1}-u^{j}_{i-1}}{2\Delta x} 
              - \frac{u^{j}_{i+2} - 2u^{j}_{i+1} + 2u^{j}_{i-1} - u^{j}_{i-2}}
                {2(\Delta x)^3}  \label{eq:kdvleap}
\end{align}
�𓾂�. �����őO�߂̋c�_���, $u$ �͕ۑ��ʂȂ̂�, ���̗��ӂ� $x$ �ɂ��� $-\infty$ ���� $+\infty$ �܂Őϕ�����ƉE�ӂ� 0 �ƂȂ�͂��ł���. ������, $u$ ���ۑ����Ă��邩�𗣎U���������ł��m�F����. (\ref{eq:kdvleap}) �̉E�ӂ����ׂĂ̊i�q�_��ő������킹���, �������E�Ȃ̂�, ���ꂼ��̊i�q�_�̈�ׂ�̗ʂ��ł�����������, ���ǃ[���ɂȂ邱�Ƃ��킩��. 
�܂� (\ref{eq:kdvleap}) �� $u$ ��ۑ�����. 

����, �ۑ��� $u^2$ �ɂ��čl����. 
�ۑ���$u$�Ɠ��l��, ���U���������ł� $u^2$ ���ۑ����邩���m�F����.
�O�߂��, $u^2$ ���ۑ����Ă���Ȃ�, (\ref{eq:kdvleap}) �̗��ӂ� $u$ ���|���� $x$ �ɂ��Đϕ�����, �܂肷�ׂĂ̊i�q�_��ő������킹��ƉE�ӂ̓[���ƂȂ�͂��ł���.  K-dV ������ (\ref{eq:kdvEq07}) �̗��ӂ� $u$ ��������, �E�ӂ𒆉������ŗ��U������� 
\begin{align}
   \DP{}{t}\biggl(\frac{u^2}{2}\biggl)
    \sim (u^{j}_2)^2\frac{u^{j}_{i+1}-u^{j}_{i-1}}{2\Delta x} 
         - u_i^j\frac{u^{j}_{i+2} - 2u^{j}_{i+1} + 2u^{j}_{i-1} - u^{j}_{i-2}}
                {2(\Delta x)^3}
\end{align}
�ƂȂ�, $u$ �̂Ƃ��Ɠ��l��, ���ׂĂ̊i�q�_�ő������킹��ƉE�ӑ�񍀂� 0 �ƂȂ�. ������, ����`���𗣎U�������E�ӑ�ꍀ�� 0 �ɂȂ邩�ǂ����킩��Ȃ�. 

���������Đ��l��������͉��ɋ߂Â��邽�߂ɂ�, (\ref{eq:kdvEq07}) ����`�����񎟂̕ۑ��� $u^2$ ��ۑ�����悤�ɗ��U�����s���΂悢. 
���̂��߂� (\ref{eq:kdvEq07}) �̔���`����
\begin{align}
\begin{split}
      uu_x&=\alpha uu_x + \beta \DP{}{x}\biggl(\frac{1}{2}u^2\biggl), \\ 
          &\alpha + \beta =1  \label{eq:risanka}
\end{split}
\end{align}
�Ə������Ƃɂ���. ���������ɂ���ĉE�ӂ𗣎U�������, 
\begin{align}
     uu_x \sim \alpha u_i\frac{u_{i-1}-u_{i+1}}{2\Delta x}
     +\beta\frac{\frac{1}{2}u^2_{i+1}-\frac{1}{2}u^2_{i-1}}{2\Delta x}
\label{eq:AIrisan}
\end{align}
�ƂȂ�. 
(\ref{eq:AIrisan}) �̉E�ӂ����ׂĂ̋�Ԑ����ɑ΂��������킹��ƃ[���ƂȂ邱�Ƃ���, �ۑ��� $u$ �ɂ��Ă� $\alpha$, $\beta$ �Ɋ֌W�Ȃ��ۑ�����. 
���� $u^2$ �ɂ��čl����. (\ref{eq:AIrisan}) ���ӂ� $u$ ��, �E�ӂ� $u$ �ɑ������� $u_i$ ������, ���������, 
\begin{align*}
    \frac{1}{3}\DP{}{x}(u^3) \sim u_iu_{i+1}\biggl(\alpha u_i + \frac{\beta}{2}u_{i+1}\biggl)
      -u_iu_{i-1}\biggl(\alpha u_i + \frac{\beta}{2}u_{i-1}\biggl) .
\end{align*}
���ӂ� $x$ �ɂ��Đϕ������, ���R�[���ƂȂ�. ���, �E�ӂ����ׂĂ̊i�q�_��ő������킹���,  
\begin{align}
   \alpha=\frac{1}{3},\ \ \beta=\frac{2}{3} \label{eq:alphabeta}
\end{align}
�̂Ƃ�, �ׂ�̊i�q�_���m�őł���������, �[���ƂȂ�. ����������, (\ref{eq:alphabeta}) �������� (\ref{eq:AIrisan}) �Ŕ���`���𗣎U�������, (\ref{eq:kdvleap}) ��p���������͉��ɋ߂����l����������͂��ł���. 

�ȏ�ŋ��߂�, �񎟂̕ۑ��ʂ܂ł��l�������X�L�[��
\begin{align*}
  \frac{u^{j+1}_i - u_i^{j-1}}{2\Delta t} = 
                u^j_i\frac{(u^j_{i+1}-u^j_{i-1})}{6\Delta x} \
               + \frac{(u^j_{i+1})^2 - (u^j_{i-1})^2}{6\Delta x} \
               - \frac{u^{j}_{i+2} - 2u^{j}_{i+1} + 2u^{j}_{i-1} - u^{j}_{i-2}}
               {2(\Delta x)^3}
\end{align*}
�Ő��l�v�Z���s����. 

���l�v�Z�̐ݒ�͈ȉ��̂Ƃ���ł���. 
�v�Z�̈�� 3.0 , �i�q�_���� 256 , ���Ԃ����ݕ��� $2.0\times10^{-7}$ �ł���.
��ԂƎ��Ԃ̍����͏�L�̕��@��p��, ���Ԑϕ��� 25000�X�e�b�v�s����. 
�����g�`��
\begin{align*}
    u =  -U1\sech^2\biggl(\frac{x-X1}{\sqrt{2\alpha/U1}}\biggl)
         -U2\sech^2\biggl(\frac{x-X2}{\sqrt{2\alpha/U2}}\biggl)
\end{align*}
��^����. �e�p�����[�^�͈ȉ��̂悤�ɗ^����. 
\begin{align*}
   \alpha&=6.0 ,\\
   U1&=1440.0 ,\\
   U2&=720.0 , \\
   X1&=3.0/4.0 , \\
   X2&=3.0/2.0 .
\end{align*}

�܂� $xu$ ���ʂŕ`�悵���v�Z���ʂ�}\ref{fig:2soliton}.1 �Ɏ���. 
\begin{figure}[t]
  \begin{center}
    \subfigure[�����g�`]{
      \includegraphics[width=6cm]{AIkdv00.eps}}
    \subfigure[6000 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=6cm]{AIkdv60f.eps}}
    \subfigure[12000 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=6cm]{AIkdv120f.eps}}
    \subfigure[24000 �X�e�b�v]{
      \includegraphics[width=6cm]{AIkdv240f.eps}}
\label{fig:2soliton}
\end{center}
\caption{\small{K-dV �������� 2 �\���g�����̐��l�v�Z����. }}
\end{figure}
(a) �ŗ^�����Ă��� 2 �̃\���g����, (b) �ł� $x$ �̐��̕����ɓ`�d���Ă���. 
3.2 �߂ōl�@�����悤�Ƀ\���g�����m������Ă���Ƃ�, �U�� $A$ �̃\���g���̈ʑ����x�� $-2A$ �ł�����. $u$ �̕ψʂ͕��Ȃ̂�, �`�d��������͉�͉��ƈ�v����. �܂�, �ψʂ̑傫���\���g���̕��������i��ł��邱�Ƃɂ���v����. 
(c) �̓\���g�����m���ڋ߂�, ����`���ݍ�p�������Ă���. �Փ˂̑O��ł͑傫�ȃ\���g���͐U����������, �����ȃ\���g���͐U�����傫���Ȃ��Ă��邱�Ƃ��킩��. �܂�, ���^�g�̏ꍇ�ɂ�, ��̔g���Փ˂���Ƃ�, ���鎞�Ԃň�̃s�[�N�����g�������邪, ���̐��l�v�Z�ł͏Փ˂̊Ԃɔg�`�̃s�[�N����ɂȂ邱�Ƃ͂Ȃ�����. ����͌�̐}�Ŋm���߂邱�Ƃ��ł���. �Ō��(d)�͏Փ˂�����ł���. ��̃\���g���̐U�������ꂼ�ꏉ���g�`�ŗ^�����U�����x�܂Ŗ߂��Ă��邱�Ƃ��킩��. 
�܂�, 3.2 �߂őQ�ߌ`�����߂��c�_�Ɠ����悤��, �Փ˂̑O��Ń\���g���̐U��, ���������ĕ���ʑ����x�Ȃǂ̌����ω����Ă��Ȃ����Ƃ��m�F�ł���. 
\begin{figure}[t]
  \begin{center}
    \subfigure[]{
      \includegraphics[width=7cm]{kdv3d.eps}}
    \subfigure[]{
      \includegraphics[width=5cm]{traject.eps}}
\label{fig:3d}
\end{center}
\caption{\small{a: $xtu$ ��Ԃ̌v�Z����. $z$ ������ $u$ �̐�Βl�̑傫����\��. ��O�������l�ł���, ���ɐi�ނقǎ��Ԃ��o�߂��Ă���. ���[�̕ψʂ͎������E�ɂ���Ĉ���������̂ł���. b: $xt$ ���ʂł�$u$�̋ɏ��l��^���� $x$ �̋O��. }}
\end{figure}

����, ���ԕω���A���ɕ`�悵�����ʂ�}\ref{fig:3d}.2 �Ɏ���. (a) �͎��Ԏ����������O������Ԃŕ`�悵���}�ł���. ��̃\���g�����Փ˂��� $x\sim 2.0,\ t\sim 2.5$ �ɒ��ڂ����, ���^�g�̂悤�Ƀs�[�N����ɂȂ��Ă��Ȃ����Ƃ��킩��. �܂����l�̂��Ƃ� $xt$ ��Ԃŋɏ��l���v���b�g�����}\ref{fig:3d}.2(b) ������킩��. ����� (b) �����, ��̃\���g�����ߕt�����Ƃ�, �O�����Ȃ����Ă���, ���Ȃ킿�ʑ�������Ă��邱�Ƃ��킩��. �܂�, �ՓˑO�̒����O���ƏՓˌ�̒����O��������Ă��邱�Ƃ��킩��. �ȏ�̂悤�ɑO�߂ŋc�_����, $t\to -\infty$ �� $t\to +\infty$ �ł̈ʑ��̂���𐔒l�v�Z�ɂ����Ă��m�F���邱�Ƃ��ł���. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{�܂Ƃ�}
�{�����ł� K-dV �������̃\���g�����ɑ΂���l�@����͓I�Ȏ�@�Ɛ��l�v�Z�ɂ���čs����. 
K-dV �������͔���`���ƕ��U���̌��ʂ��e�X�l�@���邱�Ƃɂ����, ��̌��ʂ��荇���Ƃ�, K-dV ���������Ǘ��g�����������邱�Ƃ�������, ��͓I�ɂ��Ǘ��g���������Ƃ��m�F����. 

����� 2 �\���g�����𓱏o��, �\���g���̓����I�����ł���Փ˂̑O��Ń\���g���̐U���Ȃǂ̌����ω����Ȃ�����, �Փ˂̍ۂɂ͔���`���ݍ�p�ɂ���ĐU���͐��^�g�̂悤�ɒP���ȏd�ˍ��킹�ɂ͂Ȃ��Ă��Ȃ����Ƃ��m�F����.�@

\chapter*{�ӎ�}
\addcontentsline{toc}{chapter}{�ӎ�}
�{�����ɂ�����, �w�������ł���яˉ���ɂ͔��\������v�Z���ʂɑ΂��đ���������w�j�����������܂���. ��R�����y�����ɂ�, ���_����v�Z��@�̍L���͈͂ɂ킽���Ă��w�����������܂���. ���V���珕���ɂ͖{�����ɂƂ肭�ނ���������^���Ă��������܂���. ����Ɉ�J�D�Ԏ�, ���c���I�����͂��߂Ƃ����C�m�ے��̊F�l�ɂ͘_���̍\���̂��w����ׂ��ȏ��������������܂���. �܂�, ���w�N�ł���͍��C�����ɂ͐��l�v�Z�Ɋւ��đ����̋M�d�Ȉӌ������������܂���. �n������јf����C�Ȋw�������̊F�l�ɂ�, �����f���������������Ƃ����l�т�, �����ĐS���炨��\���グ�܂�. 

�v�Z���ʂ̕`��Ɋւ���, �n�����̓d�]��y���ɂ���ĊJ�����ꂽ DCL ���g�p�����Ă��������܂���. 
\clearpage

\addcontentsline{toc}{chapter}{�Q�l����}
\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{T1995}
�˓c���a, 1995:  �����w 30 �u�V���[�Y  3 �g���Ɣ���`��� 30 �u, ���q���X, 219pp.

\bibitem{TW1984}
�˓c���a, �n�ӐT��, 1984: ���������w�u�� 6  ����`�͊w, �����o�Ŋ������, 183pp.

\bibitem{W1985}
�n�ӐT��, 1985: �\���g����������, �|����, 249pp.

\bibitem{Y2007}
�R���B��, 2007: �\���g���̐��� - �t�U���@�ɂ�� KdV �������̉�@ -, �k�C����w���Ƙ_��

\bibitem{ZK1965}
Zabusky, J. N. and Kruskal, M. D., 1965: Interatction of �gsolitons�h in a collisionless plasma and the recurrence of initial states,  $Phys. Rev. Lett., \bf{15}$, 240-243.




\end{thebibliography}



\end{document}