%
% Geophysical Fluid Dynamics, 2nd edition.  (Pedlosky, J.)
%
%
% 2009/XX/XX ���� ����  �C��
% 2009/01/15 �k��  ���N �쐬
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Style  Setting             %%%%%%%%
% �t�H���g: 12point (�ő�), �Жʈ��
\documentclass[a4j,12pt,openbib,oneside]{jreport}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Package Include            %%%%%%%%
\usepackage{Dennou6}		% �d�]�X�^�C�� ver 6
\usepackage{ascmac}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsthm,cases}
\usepackage{float}
\usepackage{afterpage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%            PageStyle Setting           %%%%%%%%
\pagestyle{DAmyheadings}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Title and Auther Setting        %%%%%%%%
%%
%%  [ ] �̓w�b�_�ɏ����o�����.
%%  { } �͕\�� (\maketitle) �ɏ����o�����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
\setcounter{chapter}{0}    % �͔ԍ�
\setcounter{section}{0}    % �ߔԍ�
\setcounter{equation}{0}   % ���ԍ�
\setcounter{page}{001}     % �K���J�n�y�[�W�͖��L����
\setcounter{figure}{0}     % �}�ԍ�
\setcounter{table}{0}      % �\�ԍ�
%\setcounter{footnote}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\thechapter{\arabic{chapter}}
\def\thesection{\arabic{chapter}.\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{table}}
\def\thefootnote{*\arabic{footnote}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Dennou-Style Definition         %%%%%%%%

%% ���i�����̋�s�ݒ�
\Dparskip      % ���i�����Ɉ�s��s������
%\Dnoparskip    % ���i�����Ɉ�s��s�����Ȃ�

%% ���i�����̃C���f���g�ݒ�
\Dparindent    % ���i�����ɃC���f���g����
%\Dnoparindent  % ���i�����ɃC���f���g���Ȃ�

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Text Start                 %%%%%%%%
\begin{document}

\Dtitle[]{���E��C���̔��B�Ɋւ��闝�_�I����}

\Dauthor[�k�쑾�N]{�k�� ���N \\
�_�ˑ�w���w���n���f���Ȋw��\\
�n������јf����C�Ȋw������}
\Ddate[2009/02/28]{2009�N2��28��}
\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%�T�v%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setlength{\parskip}{5mm}
\newpage
\begin{abstract}
�{�_���͍���C���̔����E���B�ɂ��ė��̗͊w�I�ɉ𖾂��������̌����ł��� Eady(1949) �̃��r���[���s����. 

�܂�����C���𕽋Ϗꂩ��̂�炬�Ƃ݂Ȃ��Ē莮�����s����. 
���̌�, �n�̐ݒ���ȗ������� Eady(1949) �Ɋ�Â���, ��炬���ǂ̂悤�ȏ󋵂Ŕ��B����̂�, �܂����B�����Ƃ��ɂǂ̂悤�ȋ�ԍ\�������̂�, �Ƃ������Ƃɒ��ڂ��Ē��ׂ�.

\end{abstract}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%�ڎ�%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\setlength{\parskip}{0mm}
\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%�͂��߂�%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{�͂��߂�}    % �͂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����

%\section{�͂��߂�}      % �߂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����

\markright{\arabic{chapter}.�͂��߂�} %  �߂̑薼���������ނ���

�n���̒����ܓx�ł͐��������ɐ��� $\mathrm{km}$�̋K�͂�����, ���Q�`3���ŕω������C���ۂ��x�z�I�ł���.�����͍���C���ɂ���Ă����炳��邱�Ƃ��m���Ă���. 
����C���̔����E���B�ɂ��ė��̗͊w�I�ɉ𖾂��������̌����� Charney(1947) �� Eady(1949) �ɂ���čs��ꂽ. 

�����ł�, �܂��� 2 �͂ō���C���𕽋Ϗꂩ��̂�炬�Ƃ݂Ȃ�, �s������Ƃ��Ē莮�����s����. 
�� 3 �͂ł�, ���̂�炬�̂��G�l���M�[�����炬���������邽�߂̏������l����. 
�� 4 �͂ł�, �����ܓx�ŕs���肪��������\���𕨗��I�ɍl����.
�� 5 �͂ł�, �n�̐ݒ���ȗ������� Eady(1949) �Ɋ�Â���, ��炬���ǂ̂悤�ȏ󋵂Ŕ��B����̂�, �܂����B�����Ƃ��ɂǂ̂悤�ȋ�ԍ\�������̂�, �Ƃ������Ƃɒ��ڂ��Ē��ׂ�.
�� 6 �͂͂܂Ƃ߂ł���.

\chapter{�x�z�������n}    % �͂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����

\setcounter{equation}{0}   % ���ԍ�

\section{�x�z������}      % �߂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�x�z������} %  �߂̑薼���������ނ���

�ŏ���, ����u���Ϗ�v�Ɓu��炬��v�ɕ����čl���邱�Ƃɂ���. �����č��C���E��C����, ���Ϗꂩ��́u��炬�v�Ƃ��đ����邱�Ƃɂ���.
�����֐��ɂ��, ������ $\psi$, ���Ϗ��$\Psi$, ��炬���$\phi$�ƕ\����, �ȉ��̂悤�ɏ������Ƃɂ���.
\begin{align}
\psi(x,y,z,t) = \Psi(y,z) + \phi(x,y,z,t) . \label{��𕪂���}
\end{align}
�܂�, ���̑��̕����ʂɂ��Ă����l�̂��Ƃ��s��.
���������̑��x $u \left(= - {\partial \phi}/{\partial y}\right)$  ��
\begin{align}
u(x,y,z,t) = U_0(y,z) + u'(x,y,z,t) ,
\end{align}
��k�����̑��x $v \left(= {\partial \phi}/{\partial x}\right)$  ��
\begin{align}
v(x,y,z,t) = v'(x,y,z,t) ,
\end{align}
���� $\theta \left(= {\partial \phi}/{\partial z}\right)$  ��
\begin{align}
\theta(x,y,z,t) = \Theta_0(y,z) + \theta'(x,y,z,t) ,
\end{align}
�Ƃ���. ������, $U_0$, $\Theta_0$�͂��ꂼ�ꕽ�Ϗ�̓��������̑��x, ���ʂ�\��. 
$u'$, $v'$, $\theta'$�͂��ꂼ���炬�̓��������̑��x, ��k�����̑��x, ���ʂ�\��.

��]�n��̗��̗͊w�̊�b�������ɑ΂���,  ���ܓx�ł̐��� $\mathrm{km}$ �̃X�P�[����
�������x�ŕϓ������C���ۂ��L�q���邽��, 2 �̋ߎ����l����. 
���n�t���ߎ��ƐÐ����ߎ��ł���. ���n�t���ߎ��Ƃ�,

�E�ڗ��̌��ʂ͖�������. 

�E���C�̌��ʂ���������.

�E���������̋C���X�x�͂ƃR���I���͂��ނ荇���Ă���.

�Ƃ����ߎ��ł���. �Ð����ߎ��Ƃ�,

�E���������̋C���X�x�͂Əd�͂��肠���Ă���.

�E�����X�P�[����, �����X�P�[�����\���傫���Ƃ���.

�Ƃ����ߎ��ł���. �����̋ߎ����s���Ə��n�t���̃|�e���V�����Q�x��������������. 
����͒��ܓx�̏�̏󋵂��悭�\���Ă���̂�, ������x�z�������ƍl����. 
\begin{align}
\left[\frac{\partial}{\partial t} 
+ \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} 
- \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} \right]
\left[\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} 
+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} 
+ \frac{1}{\rho_s} \frac{\partial}{\partial z} 
\left(\frac{\rho_s}{S} \frac{\partial \psi}{\partial z} \right)
+ \beta y \right] \label{qpveq}
= 0 .
\end{align}
������, $\rho_s$�͑�C�̖��x, $S$�͐ÓI����x�Ƃ���. 
���܂� $\beta$ ���ʂōl���Ă���. 
($\ref{��𕪂���}$)�����n�t���̃|�e���V�����Q�x�������̉��Ƃ��đ�������, 
\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) q 
+ \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial q}{\partial y} 
- \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial q}{\partial x}\right) 
+ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \Pi_0}{\partial y} =0  
\label{eq:����`�̃|�e���V�����Q�x������}
\end{align}
�ƂȂ�\footnote{���o�͕t�^ 1 ���Q��.}. 
�����ł͂�炬�̃|�e���V�����Q�x�� 
\begin{align}
q
=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}
+\frac{1}{\rho_s}\frac{\partial}{\partial z}
\left(\frac{\rho_s}{S}\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) ,
\end{align}
���Ϗ�̃|�e���V�����Q�x�� 
\begin{align}
\Pi_0
=\beta y
+\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}
+\frac{1}{\rho_s}\frac{\partial}{\partial z}
\left(\frac{\rho_s}{S}\frac{\partial \Phi}{\partial z}\right)
\end{align}
�Ƃ��Ă���. ������, ����`���ɂ��ċc�_���Ă���. 
(\ref{eq:����`�̃|�e���V�����Q�x������}) �͂��̂܂܂ł͈����ɂ���.
�C�ӂ̐U���ɑ΂��鏉�������̈��萫�𒲂ׂ邱�Ƃ��ł���Ζ]�܂�����, 
(\ref{eq:����`�̃|�e���V�����Q�x������})�͔���`�Ȃ̂�, ���̂܂܂ł͉�͓I��舵�������. 
������, ���Ȃ��Ƃ������ɂ����Ă�炬�̐U����
\begin{align}
\phi \ll 1
\end{align}
�Ə\���������Ƃ����l����. $O(\phi)$ �̍��𖳎����邱�Ƃɂ����`�����s����, 
\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) q 
+ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \Pi_0}{\partial y}=0�@
\label{eq:���`�������|�e���V�����Q�x������}
\end{align}
�ƂȂ�. �Ȍ�, ���̎��������ł̎x�z�������Ƃ���.

\section{���E����}      % �߂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����
\setcounter{equation}{0}   % ���ԍ�
\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
���E����} %  �߂̑薼���������ނ���

�����ċ��E�������l����. �쑤�Ɩk���� $y$���ɐ����ȍ��̕ǂ����݂�, 
�n�\�ʂƏ㕔���E�ʂɂ� $z$���ɐ����ȍ��̕ǂ����݂���ƍl����. 
���̂���, ���ꂼ��̋��E�ł͈ȉ��̏��������藧�Ƃ���. 
\begin{subequations}
\begin{align}
v = \frac{\partial \phi}{\partial x} = 0 , \ \ \ \ \ y = \pm 1 
\label{��k�����̋��E����}, \\
w = 0 , \ \ \ \ \ z = 0, \; z = 1 
\label{���������̋��E����}.
\end{align}
\end{subequations}
�܂�, ���E�ɂ����Ă͗���̏o����͂Ȃ����̂Ƃ���. 
�܂������ł͍��̕ǂɂ����門�C�͖�������Ƃ��Ęb��i�߂�.
���������ɍL���鋫�E��, �M�͊w������
\begin{align}
\frac{d_0}{dt} \theta + w S = \mathscr{H}
\end{align}
��K�p���čl����. ������$\mathscr{H}$�͔�f�M���M��\����, 
���܂͖������čl���邱�Ƃɂ���. ����ƔM�͊w�������͕ό`, ���`�����邱�Ƃ�, 
\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) 
\frac{\partial \phi}{\partial z} 
- \frac{\partial U_0}{\partial z} \frac{\partial \phi}{\partial x} =0 
\label{���E�ɂ�����M�͊w������1}
\end{align}
�ƂȂ�\footnote{���o�͕t�^ 2 ���Q��.}.


\chapter{�G�l���M�[�_���猩���s�������}    
\section{�G�l���M�[������}
\setcounter{equation}{0}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�G�l���M�[������} 

���̐߂ł�, �G�l���M�[�ɂ��Ē��ڂ��邱�Ƃ�, ��炬���ǂ̂悤�ɐ������邩���l���邱�Ƃɂ���.
��炬��̃G�l���M�[��������, ($\ref{eq:���`�������|�e���V�����Q�x������}$)��$\rho_0 \phi$������, 
���ʂ�ϕ����邱�Ƃœ�����.
$x$ �����̂�炬��̎�������, $y=\pm 1, z=0, 1$ �ł̋��E�������g����, �����ϕ������邱�Ƃ�, 
\begin{align}
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial t} \int^{z_T}_{0} &\int^1_{-1} dy \; dz \; \frac{\rho_s}{S} 
\left[\overline{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 
+ \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 
+ S^{-1}\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2}\right] \\
&= \int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} dy \; dz \; 
\left[\rho_s \overline{\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y}} 
\frac{\partial U_0}{\partial y} 
+ \rho_s S^{-1} \overline{\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial z}} 
\frac{\partial U_0}{\partial z}
\right] 
\label{��炬�G�l���M�[������}
\end{split}
\end{align}
��������
%\footnote{���o�͕t�^  ���Q��.}
.
������, 
\begin{align}
\overline{(\; \; \; )}
=\lim\limits_{X \to \infty} \frac{1}{2X} \int^X_{-X} (\; \; )dx
\end{align}
�Ƃ���.
($\ref{��炬�G�l���M�[������}$)�̍��ӂ̐ϕ��ʂ�, 
��炬��̉^���G�l���M�[�ƃ|�e���V�����G�l���M�[�̍��v�̎��ԕω�����\���Ă���.
���̂�炬�̃G�l���M�[�̐���, �����͉E�ӂ̍��ɂ���ė^������.
�E�ӑ�ꍀ��, 
\begin{align}
\int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} \rho_s \overline{\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial y}} \frac{\partial U_0}{\partial y} dy \; dz \; 
= - \int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} \rho_s \overline{u_0 v_0} \frac{\partial U_0}{\partial y} dy \; dz \; \label{������}
\end{align}
�Ə�����. ����͉E�ӂ��݂ĕ�����悤��
�������̐����V�A�[${\partial U_0}/{\partial y}$��
��炬��̃��C�m���Y���� $-\rho_s \overline{u_0 v_0}$ ��������, 
�q�ߖʂŐϕ��������̂ł���.

�E�ӑ�񍀂�, 
\begin{align}
\int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} 
\rho_s \overline{\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial z}} 
S^{-1} \frac{\partial U_0}{\partial z} dy \; dz \; 
= - \int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} 
\rho_s \overline{\theta_0 v_0} S^{-1} \frac{\partial \Theta_0}{\partial y} dy \; dz \; 
\label{�X����}
\end{align}
�����, ���x���̊֌W��p�����, 
�������x���z $\displaystyle{- \frac{\partial \Theta_0}{\partial y}}$ ��
�k�����M�t���b�N�X $-\rho_s \overline{\theta_0 v_0}$�̐ς�
�q�ߖʂŐϕ��������̂�\���Ă���.

����������, ��炬�G�l���M�[�������錹��, 
($\ref{������}$), ($\ref{�X����}$) �ŕ\����鍀�ł���, 
$U_0$ �̐����V�A�[�Ɖ����V�A�[�Ɉˑ����Ă��邱�Ƃ�������.
������, $E(\phi)$ ����炬�̑S�G�l���M�[�Ƃ���, 
\begin{align}
E(\phi) \equiv \int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} dy \; dz \; \frac{\rho_s}{S} 
\left[\overline{\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 
+ \left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 
+ \frac{1}{S}\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2}
\right]
\end{align}
�ƕ\����, 
\begin{align}
\frac{\partial E(\phi)}{\partial t}
= - \int^{z_T}_0 \int^1_{-1}
dy \; dz \; \rho_s
\left[\overline{v_0 \; u_0} \frac{\partial U_0}{\partial y}
 + \frac{\overline{v_0 \; \theta_0}}{S} \frac{\partial \Theta_0}{\partial y} 
\right] 
\label{��炬�� E �ω�}
\end{align}
�ƂȂ�. �܂����ϗ��̃G�l���M�[�� $\overline{E}$ �Ƃ����, 
\begin{align}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
= &- \int^{z_T}_{0} \int^1_{-1} dy \; dz 
\rho_s \left[\overline{v_0 u_0} 
\frac{\partial \overline{u_0}}{\partial y} 
+ \frac{\overline{v_0 \theta_0}}{S} \frac{\partial \overline{\theta_0}}{\partial y} 
\right] 
\label{���� E �ω�}
\end{align}
�Ə������Ƃ��ł���\footnote{���o�͕t�^ 3 ���Q��.}. 
($\ref{��炬�� E �ω�}$) �� ($\ref{���� E �ω�}$) �Ɣ�r�����, 
����� ���������̊�{��̗���̃G�l���M�[�Ƃ�炬�̃G�l���M�[���ۑ�����Ƃ����؋��ł���.
����䂦, ���ϗ��̌��z(${\partial U_0}/{\partial y}$, ${\partial \Theta_0}/{\partial y}$)�ɉe����^�����炬�̉^���ʃt���b�N�X�ƔM�t���b�N�X��, 
���ϗ��Ƃ�炬�̗���̊ԂŃG�l���M�[��ϊ����郁�J�j�Y����\���Ă���.
����������, ��炬��ɂ���ē�����G�l���M�[�͕s����ߒ���ʂ�, 
���Ϗꂩ�玸��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�.

\section{�����s����}      % �߂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����
\setcounter{equation}{0}   % ���ԍ�

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�����s����} %  �߂̑薼���������ނ���

���ϗ��ɐ����V�A�[�����邱�ƂɈˑ�����s����ߒ��͏����s����ƌĂ΂�Ă���.
����͋ώ����̂ŉ����V�A�[���Ȃ��ꍇ�ɋN���蓾��.
�����s����ߒ��ɂ�����, ��炬�ɃG�l���M�[���A������邽�߂ɂ�, 
($\ref{��炬�G�l���M�[������}$) ����, �q�ߖʂɂ����镽�Ϗ��
\begin{align}
\frac{\partial \overline{\phi}}{\partial x} 
\frac{\partial \overline{\phi}}{\partial y} 
\frac{\partial U_0}{\partial y}
\end{align}
�����łȂ��Ă͂Ȃ�Ȃ�.
\begin{align}
\begin{split}
\frac{\partial \phi}{\partial x} 
\frac{\partial \phi}{\partial y} 
\frac{\partial U_0}{\partial y}
&= \left({\frac{\partial \phi}{\partial x}}/{\frac{\partial \phi}{\partial y}}\right) 
\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 
\frac{\partial U_0}{\partial y} \\
&= - \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{\phi} 
\left(\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2 
\frac{\partial U_0}{\partial y}
\end{split}
\end{align}
�ł��邩��, $\phi$ �̓��l���͖k������쓌�ɌX���Ă��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�.
������, �����s���肪��̃G�l���M�[�𑝑傳����Ȃ��, 
${\partial U_0}/{\partial y} >0$�ł���.
$\phi$ �̓��l�����t�����ɌX���Ă����Ȃ��, 
��炬�͕��ϗ��ɃG�l���M�[��^���邱�ƂɂȂ邾�낤. 
���̃G�l���M�[�̕ϊ����x�͕��ς̐����V�A�[�̑傫���Ɉˑ�����. 
����${\partial U_0}/{\partial y} <0$�Ȃ��, 
���R $\phi$ �Ƃ����G�l���M�[����o���闬���̕����͋t�ɂȂ�.

\section{�X���s����}
\setcounter{equation}{0}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�X���s����} 

  ������̕s����ߒ��͕��ϗ��ɉ����V�A�[�����邱�ƂɈˑ����Ă���. 
(���x���̊֌W����) �����V�A�[�͐������x���z�����邱�Ƃ��ÂɈӖ����Ă���̂�, 
���̉ߒ����X���s����ƌĂ�ł���.
�������x���z�̑��݂͊�{���ɂ����ă|�e���V�����G�l���M�[�����݂��邱�Ƃ��ÂɈӖ����Ă���. 
�����Ă��ꂪ, �X���s����̃G�l���M�[���ɂȂ��Ă���. 
�X���ϊ��������ł��邽�߂̏�����, ���Ϗ��
\begin{align}
\frac{\partial \phi}{\partial x} 
\frac{\partial \phi}{\partial z} 
\frac{\partial U_0}{\partial z}
= - \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{\phi} 
\left(\frac{\partial \phi}{\partial z}\right)^2 
\frac{\partial U_0}{\partial z} 
>0
\end{align}
�ł���. ���ʂƂ��� ${\partial U_0}/{\partial z}>0$ �ł�, 
�X���ϊ��������ł��邽�߂ɂ� $\phi$ �̓��l���͏�����A�������ɌX���Ă��Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�.
���̂悤�ɂ�炬�ꂪ�G�l���M�[�𓾂邽�߂ɂ�, 
���l���̕��� $\phi$ ���V�A�[���ɂ���ČX����������Ƌt�����ɂȂ�.


\setcounter{equation}{0}

\chapter{�X���s����}

\section{�X���s����̊�{�I�ȍ\��}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�X���s����ɂ�����s����\��}

�O�͂̂�炬�̃G�l���M�[������($\ref{��炬�� E �ω�}$)����, 
���ϗ��ɂ� 2 �̐��ݓI�ȃG�l���M�[�������邱�Ƃ�������. 
$U_0$ �̉����V�A�[�Ɛ����V�A�[�ł���. 
�����V�A�[�Ƃ͂��Ȃ킿�������x���z��\������, 
����͂�炬�ɂ���ă|�e���V�����G�l���M�[���A������邱�Ƃ������Ă���.

  ��C�ɂ����闬��͈�ʂɉ����V�A�[�Ɛ����V�A�[�̗����������Ă��邪, 
�����ł͊ȗ��������ꍇ���l����.
���̐߂ł�, ���̓��������������V�A�[�݂̂����ꍇ(�������x���z�����ꍇ), 
���Ȃ킿�X���s����̏ꍇ�݂̂��l���Ă������Ƃɂ���.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,angle=0,trim= 10 10 0 0,clip]{7_6.eps}
\caption{�X���s����̂Ƃ��̎q�ߖʕ����̍\����}����������(Pedlosky, 1987)}
\label{fig:Pedlosky-1987}
\end{center}
\end{figure}

�����ł͐}4.1 �ŕ`���ꂽ�󋵂��l���邱�Ƃɂ���. 
�n���̒��ܓx�Ő������x���z�����ꍇ�Ƃ����̂�, 
�q�ߖʏ�œ��|�e���V�����ʂ����������ɑ΂��Ċp�x $\alpha$�����X�����󋵂ɂȂ��Ă���. 
����̓R���I���͂Ɠ�$\theta_*$�ʂ̌X�΂���ÂɎ�����Ă��鐅�������̈��͌X�x�͂�
�ނ荇�������t��Ԃɂ��邩��ł���. 
������]�̂Ȃ������ōŏ��ɌX���Ă����ԂȂ��, 
��$\theta_*$�ʂ͂����ɐ����������������ƂɂȂ邾�낤.
  
  �}4.1�Ɏ����悤�ɗ��̗v�f���ʒu$A$ ����ʒu$B$�ɕψʂ��邱�Ƃ��l���邱�Ƃɂ���. 
$y$, $z$�����ւ̗��̗v�f�̗L�����̕ψʂ����ꂼ��$\eta_*$, $\zeta_*$�Ƃ���. 
���̗v�f���ʒu$A$����ʒu$B$�ɓ����Ƃ��̖��x�ω���, 
\begin{align} 
\Delta \rho_{*A} 
= + \frac{1}{\gamma} 
\frac{p_{*0}}{\mathrm{R} \theta_{*A}} 
\left\{\frac{p_{*}}{p_{*0}}\right\}^{1/\gamma}
\left\{
\frac{\partial p_{*}}{\partial z_{*}} 
\frac{1}{p_{*}} \zeta_* 
+ \frac{\partial p_*}{\partial y_*} 
\frac{1}{p_*} \eta_* 
\right\}
\end{align}
�ł���. 
������, $\gamma$�͔�M��, $p_0$�͒n�\�ʂł̈���, $p$�͂����ł̈���, $R$�͋C�̒萔, ����͈��͂����������ɕω����邱�ƂŖ��x���ω����邱�Ƃ������Ă���. 
�����ŕψʂ��Ă���Ԃ͉���
\begin{align}
\theta_* 
= \frac{p_{*0}}{\mathrm{R} \rho_*} 
\left(\frac{p_{*}}{p_{*0}}\right)^{1/\gamma}
\end{align}
�͕ۑ�����Ƃ���. 
�ψʂ������ $A$ �������x��, 
\begin{align}
\rho_{*A} + \Delta \rho_{*A} 
= \rho_{*A} 
+ \frac{1}{\gamma} 
\frac{\rho_{*A}}{p_{*A}} \zeta_* 
\left(\frac{\partial p_*}{\partial z_*}\right)_A 
+ \eta_* \left(\frac{\partial p_*}{\partial y_*}\right)_A 
\end{align}
�ł���. ���, $B$�̂����x�͒P���ȃe�C���[�W�J�ɂ��, 
\begin{align}
\rho_{*B} 
= \rho_{*A} 
+ \left(\frac{\partial \rho_*}{\partial y_*}\right)_A \eta_* 
+ \left(\frac{\partial\rho_*}{\partial z_*}\right)_A \zeta_* 
\end{align}
�Ƃ�����. 
���x�ω��̂Ȃ� $B$ �̖��x�Ɣ�r�����Ƃ��̖��x�̍���,
\begin{align}
\begin{split}
\rho_{*A} + \Delta \rho_{*A} - \rho_{*B}
&= \rho_{*A} 
\left[
\zeta_* \left\{\frac{1}{\gamma p_{*A}} 
\left(\frac{\partial p_{*}}{\partial z_*}\right)_A 
- \frac{1}{\rho_{*A}} 
\left(\frac{\partial \rho_*}{\partial z_*}\right)_A \right\} 
\right. \\
&+ \left. 
\eta_* \left\{\frac{1}{\gamma p_{*A}} 
\left(\frac{\partial p_*}{\partial y_*}\right)_A 
- \frac{1}{\rho_{*A}} 
\left(\frac{\partial \rho_*}{\partial y_*}\right)_A \right\} 
\right] \\ 
&= \rho_{*A} \left[\frac{\zeta_*}{\theta_{*A}} 
\frac{\partial \theta_{*A}}{\partial z_*} 
+ \frac{\eta_*}{\theta_{*A}} 
\frac{\partial \theta_{*A}}{\partial y_*} 
\right] 
\label{���x�̍�}
\end{split}
\end{align}
�ƂȂ�. 
���̂��Ƃ���ψʕ���$AB$�̒P�ʎ��ʂ�����̕����͂͐}�̉������𐳂Ƃ���, 
\begin{align}
E_* 
= \left(\frac{\rho_{*A} + \Delta \rho_{*A} - \rho_{*B}}{\rho_{*A}}\right) g \
 \mathrm{sin}\phi 
\label{E1}
\end{align}
�ƊȒP�ɂ�����. 
������$\phi$�� 
\begin{align*}
\mathrm{tan}\; \phi
=\frac{\zeta_*}{\eta_*}
\end{align*}
�Œ�`�����ψʂ̊p�x�ł���. 
($\ref{���x�̍�}$)�ƍP����
\begin{align*}
\left(\frac{\partial z_*}{\partial y_*}\right)_{\theta_*} 
= - \frac{{\partial \theta_*}/{\partial y_*}}{{\partial \theta_*}/{\partial z_*}} 
\end{align*}
�Ƃ���, ($\ref{E1}$)��
\begin{align}
E_* = \frac{g}{\theta_*} \frac{\partial \theta_*}{\partial z_*} \mathrm{sin}\phi \left[\zeta_* - \eta_* \left(\frac{\partial z_*}{\partial y_*}\right)_{\theta_*}\right] \label{E}
\end{align}
�Ƃ�����. 

  �ψʂ����������Ȃ��(�Ⴆ��$A \to C$�̂Ƃ�), 
$\eta_*=0$, $\mathrm{sin}\phi =1$�ƂȂ�, ($\ref{E}$)��
\begin{align*}
E_* 
= \frac{g}{\theta_*} 
\frac{\partial \theta_*}{\partial z_*} \zeta_*
\end{align*}
�ƂȂ�. 
${\partial \theta_*}/{\partial z_*} >0$�ł������, 
���������̕ψʂł͐��̕����͂𐶂�. 

$E<0$�̂Ƃ�, ���Ȃ킿���̗v�f��
\begin{align}
0 < \mathrm{tan}\phi < \left(\frac{\partial z_*}{\partial y_*} \right)_{\theta_*}
\end{align}
�𖞂����悤�ȋO���ŕω�����Ƃ��ɂ͕��̕����͂�������. 
�܂�, ���̗v�f�������W�I�|�e���V�����ʂƓ����ʖʂɂ���Ăł��鞶�`�̗̈���ŕψʂ���Ȃ��, 
$E_*$�͕��̒l���Ƃ�, ����� �����͂Ƃ��������ނ��땂�͂ƂȂ��ė��̗v�f���ŏ��̈ʒu���������������. ����͌X���s����ɂ͐�Εs���ȍ\���ł��肻�̍\���͓�$\theta_*$�ʂ̌X���ɑ傫���ˑ����Ă���, �񈳏k���̂ɂ����Ă͓����x�ʂ̌X���ɂ��ˑ����Ă���.
 �s����ł��鞶�̈���̋N���ɂ����Ă�, 
�y���C�̂͏㏸��, �d���C�͉̂��~���ĕ��Ϗ�̃|�e���V�����G�l���M�[����o���邱�ƂɂȂ�, 
���̌���, ��炬�̓G�l���M�[�𓾂Đ�������. 
�������ČX���s����͔M�Η��̌`���Ƃ邱�Ƃ�������.


\chapter{Eady's Model}

\setcounter{equation}{0}

\section{Eady's Model�Ƃ�}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
Eady's Model�Ƃ�}

�����܂Œ��ܓx��C���l�����Ƃ��̊�b�������̓��o, 
�G�l���M�[�_���猩�Ă�炬�����B����̂͂ǂ̂悤�ȏꍇ��, 
�܂��s�����Ԃ������N�����{�\�����c�_���Ă���. 
���������, ����C���ɂ��ė��̗͊w�I�Ɍ����������̂ŏ����ɂȂ��ꂽ Eady(1949) �Ɋ�Â���, ���ܓx��C�̓����ł��镗�̉����V�A�[�Ɛ������x���z������ȒP�Ȓl�Ŏ���, 
���̑��̏������ȗ����������, �P���Ȍn�ł͂�炬���ǂ̂悤�ȏ󋵂Ő�������̂�, �܂���炬�����B�����Ƃ��̋�ԍ\���ɂ��Ē��ׂ邱�Ƃɂ���. 

Eady' Model �ł͕��̓������������Ɛ������x���z���ȉ��̂悤�ɒ�`����.
\begin{subequations}
\begin{align}
U_0 &= z \\
\frac{\partial \Theta_0}{\partial y} &=-1 .
\end{align}
\end{subequations}
�܂�, ���̑��ǂ̂悤�ȏ�����ݒ肵�������ȉ��ɋL�q����.

�E�񈳏k�E��S�����̂��l����.

�Ef ���ʂŘb��i�ߋ��ʂ̌��ʂ͍l���Ȃ�.

�E���E�ł̖��C�̌��ʂ͖�������.

�E�ÓI����x�͈��Ƃ���.

�E���Ϗ�̃|�e���V�����Q�x�͏�Ɉ��ƂȂ�.

�E�쑤�Ɩk��, �n�\�ʂƏ�w�ɂ͂��ꂼ�ꍄ�̕ǂ�����Ƃ��čl����.


\section{��炬�̌`}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
��炬�̌`}

���̐߂ł͂�炬�͎x�z�������̉��Ƃ���, �ǂ̂悤�Ȍ`�����Ă��邩�����肷��. 
�����ł͂�炬��g�ƍl��, �g�`���Ƃ��Ĉȉ��̂悤�ɗ^����.
\begin{align}
\phi(x,y,z,t) = \mathrm{Re} \Phi(y,z) e^{ik(x-ct)} 
\label{�g�`��}.
\end{align}
������$Re$��$\phi$�̎������Ƃ邱�Ƃ�\���Ă���. 
�����g��$k$��$\phi$������$x$�̒l���琳��$x$�̒l�ɑ΂��ėL���ł���΂悢, 
�܂�$\phi$���o�x�����Ɏ����I�ł���΂悢�̂�, �����Ƃ���. 
����Ɉ�ʐ�������Ȃ��悤��$k$�͐��̒l���Ƃ�Ƃ���. 
���, �U���֐�$\Phi$�ƐU����$kc$�͕��f���ł���. 
����, �ʑ����x$c$�͎����Ƌ����ɂ���ď�����, 
\begin{align}
c = c_r + i c_i
\end{align}
�ł���.
�܂�����, ($\ref{�g�`��}$)��$c_i>0$�̉������݂���Ȃ��, 
\begin{align}
\phi = \mathrm{Re} \Phi e^{ik(x-c_rt)} e^{k c_i t} 
\end{align}
�Ƃ�������. 
�����$\phi$�͎w���֐��I�ɐ�������̂�, 
��炬�̐�������$kc_i$�ƍl���Ă悢. 
���R, $kc_i>0$�̂Ƃ��\�����Ԃ��o�Ă�, 
��炬�͑傫���Ȃ�̂Ő��`�_�ł͖������Ă������`���ʂ��d�v�ɂȂ��Ă���. 
������, ��炬�͏����̒i�K�ł͕��Ϗ�̕s�����Ԃ�\�����Ƃ��ł���.
���ꂼ��̔g���͔C�ӂ̂�炬��\������, 
�t�[���G�ϕ��ɂ���č��v���邱�Ƃ�, 
$x$�̎����I�ȉ��͈�ʐ�������Ȃ�. 


  ����, ���`�������x�z�������Ƌ��E�������l���Ă���̂�, 
�񎩖��ȉ��͂��� 1 �� $c$ �̒l�ɑ΂��đ��݂�, ���̃p�����[�^�̒l�����߂�. 
���������ĕ��f�ʑ����x�� $c$ �͕s������ɂ�����ŗL�l�ł���. 
�ŗL�l�̋����̕������l�����ꍇ�ɂ͂�炬���������邽��, �����͕s����ł���. 
���ꂼ��̕��ϗ�$U_0$�̒l�ɑ΂��ČŗL�l���̉��͐�����$k c_i$������. 
������, $k c_i$���ő�ƂȂ�g��$k$����ł��s����ȂƂ��̓����g�������܂�. 
�ȉ��͂��̕������ɏ]����, �ŗL�l�����������Ƃɂ���.

\section{�ŗL�l���̒莮��}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
�ŗL�l���̒莮��}

�ŏ���, 
2 �͂œ���ꂽ��b������($\ref{eq:���`�������|�e���V�����Q�x������}$)��
���E�ɂ�����M�͊w������($\ref{���E�ɂ�����M�͊w������1}$)�� 
Eady's Model �ɓ��Ă͂߂čl�����, ���ꂼ��
\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) q 
+ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \Pi_0}{\partial y}=0�@
\label{eq:Eady's Model �ł̃|�e���V�����Q�x������} 
\end{align}
\begin{align}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) 
\frac{\partial \phi}{\partial z} 
- \frac{\partial U_0}{\partial z} 
\frac{\partial \phi}{\partial x} =0 
\label{Eady's Model �ł̋��E�ɂ�����M�͊w������1}
\end{align}
�ƂȂ�. 
���肵����($\ref{�g�`��}$)��
($\ref{eq:Eady's Model �ł̃|�e���V�����Q�x������}$)���ɑ����, �ό`�����, 
\begin{align}
(z-c) 
\left[
S^{-1} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} - k^2 \Phi
\right] =0 
\label{�g�`���������� Eady �̃|�e���V�����Q�x������}
\end{align}
�ƂȂ�\footnote{���o�͕t�^ 4 ���Q��}. 
������$\Phi$�ɑ΂��鋫�E������($\ref{��k�����̋��E����}$)���, 
\begin{align}
\Phi = 0, \; y= \pm 1
\end{align} 
�ƂȂ�. 
�܂�, ���肵����($\ref{�g�`��}$)��
($\ref{Eady's Model �ł̋��E�ɂ�����M�͊w������1}$)�ɑ����, 
$z = 0$��$z = 1$�̏ꍇ�ōl�����,
\begin{align}
-c \frac{\partial \Phi}{\partial z} - \Phi =0 ,\ \ \ \ z = 0  \\
(1-c) \frac{\partial \Phi}{\partial z} - \Phi =0 , \ \ \ \ z =1
\end{align}
�ł���. 
($\ref{��k�����̋��E����}$)�𖞂���
($\ref{�g�`���������� Eady �̃|�e���V�����Q�x������}$)�̉���
\begin{align}
\Phi(y,z) = A(z) \mathrm{cos} l_n y
\end{align}
�̌`�ŕ\���Ƃ���. ������$n$�͓�k�����̔g���ł���. ����$n$ ��
\begin{align}
l_n = (n + \frac{1}{2}) \pi , \ \ \ \ \ \ n=0, 1, 2, ... , 
\end{align}
�Ƃ����l���Ƃ邷��. $A(z)$ �͔C�ӂ̔���������
\begin{align}
(z-c)\left[\frac{\partial^2 A}{\partial z^2} - \mu^2 A\right] =0 
\label{eq:z}
\end{align}
�𖞂���. ������, 
\begin{align}
\mu^2 = (k^2+l_n^2)S \label{mu}
\end{align}
�Ƃ���. �܂����E������, 
\begin{subequations}
\begin{align}
+c \frac{\partial A}{\partial z} + A =0 , \ \ \ \ \ \ z=0  \label{���Ea}\\
(1-c) \frac{\partial A}{\partial z} - A =0 , \ \ \ \ \ \ z=1 \label{���Eb}
\end{align}
\end{subequations}
�ƂȂ�.

  �����ł� ($\ref{eq:z}$)�̔񎩖���, �܂�
\begin{align}
\frac{\partial^2 A}{\partial z^2} - \mu^2 A =0 \label{eq:����}
\end{align}
�̉���, ���f��$c$�𖞑�������̂��l���悤. 
($\ref{eq:����}$)�̈�ʉ��� $a �� b$��C�ӂ̒萔�Ƃ���
\begin{align}
A(z) 
= a \; \mathrm{cosh} \ \mu z 
+ b \; \mathrm{sin} \ \mu z 
\label{a(z)}
\end{align}
�Ƃ�����. 
�����($\ref{���Eb}$), ($\ref{���Eb}$)�ɑ�������, 
$a, b$�ɂ��Ă� 2 �̐��`������
\begin{subequations}
\begin{align}
a &+ \mu cb =0  \label{�s��a} \\
a [(c-1) \mu \; \mathrm{sinh} \ \mu 
+ \mathrm{cosh} \ \mu] 
&+ b [(c-1) \mu \; \mathrm{cosh} \ \mu 
+ \mathrm{sinh} \ \mu] =0 
\label{�s��b}
\end{align}
\end{subequations}
���������. 
$a, b$�̔񎩖��ȉ���, 
($\ref{�s��a}$), ($\ref{�s��b}$)��$a, b$�̌W���̍s�񎮂� $0$�̂Ƃ��̂ݕ�����. 
���̏�������, ($\ref{eq:����}$)�̉��̏����Ƃ���, 
$c$�� 2 ���������𓾂�\footnote{���o�͕t�^ 5���Q��.}. 
\begin{align}
c^2 - c + \mu^{-1} \; \mathrm{coth} \; \mu - \mu^{-2} =0 . 
\end{align}
�����������, 
\begin{align}
c 
= \frac{1}{2} 
\pm \left\{
\frac{1}{4} + \mu^{-2} - \mu^{-1} \; \mathrm{coth} \; \mu 
\right\}^{1/2} 
\label{c �̎�1}
\end{align}
�ł���. �P����
\begin{align}
\mathrm{coth} \; \mu 
= \frac{1}{2} 
\left[
\mathrm{tanh} \; \frac{\mu}{2} + \mathrm{coth} \; \frac{\mu}{2}
\right]
\end{align}
�ɂ��, ($\ref{c �̎�1}$)��
\begin{align}
c 
= \frac{1}{2} 
\pm \frac{1}{\mu} 
\left[ 
\left(\frac{\mu}{2} - \mathrm{coth} \frac{\mu}{2}\right) 
\left(\frac{\mu}{2} - \mathrm{tanh}\frac{\mu}{2}\right) 
\right] 
\label{c �̎�2}
\end{align}
�Ə�����������.
����, ���ׂĂ�$\mu$�ɑ΂���, 
$\frac{\mu}{2} \geq \mathrm{tanh}\frac{\mu}{2}$ �ł���. 
����������, $\frac{\mu}{2} \geq \mathrm{coth}\frac{\mu}{2}$�̂Ƃ�, 
($\ref{c �̎�2}$)�̕������̒��̕����͐��Ȃ̂�, $c$ ��2 �̉��͂�����������ł���. 
���, $\frac{\mu}{2} \leq \mathrm{coth}\frac{\mu}{2}$�̂Ƃ�, 
�������̒��̕����͕��Ȃ̂�, $c$�͕��f���ƂȂ�. 
����䂦 $\mu$ �̗ՊE�l��
\begin{align}
\frac{\mu_c}{2} = \mathrm{coth} \frac{\mu_c}{2}
\end{align}
�ŗ^�����, ���̒l��, 
\begin{align}
\mu_c = 2.3994 ...
\end{align}
�ł���. 
$\mu > \mu_c$ �̂Ƃ�, ���ꂼ���$k$��$n$�ɑ΂������, 
($\ref{c �̎�2}$)�ŗ^������ 2 �̒����g����Ȃ�. 

  ���, $\mu < \mu_c$�̂Ƃ�, 
($\ref{c �̎�2}$)����$c$�̕������͋��𕡑f���ƂȂ�. 
���̂Ƃ��ʑ����x�̎���$c_r$��
���ϗ��̕��ϑ��x$c_r = 0.5$�ŗ^������. 
($\ref{mu}$)����, $k$�������̂Ƃ��ɕs���肪�N���邽�߂ɂ�, $S$��
\begin{align}
S = \frac{\mu^2}{(k^2 + l_n^2)} < \frac{{\mu_c}^2}{{l_n}^2} 
= 4 \frac{{\mu_c}^2}{\pi^2 (2n+1)^2} = \frac{2.333}{(2n+1)^2} 
\label{S �̎�}
\end{align}
�̏����𖞂����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�. 
���̕s���������, $n=0$�̂Ƃ� 1 �ԊȒP�ɖ�������邱�Ƃ͊ȒP�ɕ�����. 
�܂�, $y$�����ɔg���̑傫���g���s����ł���. 

\section{���������ő�ƂȂ�Ƃ��̔g��}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
���������ő�ƂȂ�Ƃ��̔g��}

�s���胂�[�h�̐�������, 
\begin{align} 
k c_i = \frac{k}{\mu} 
\left[ 
\left(\mathrm{coth}\frac{\mu}{2} - \frac{\mu}{2}\right) 
\left(\frac{\mu}{2}-\mathrm{tanh}\frac{\mu}{2}\right) 
\right]
^{1/2} 
\label{k ci}
\end{align}
�ł���. 
$\mu$��$l_n$��$S$�ɂ���ė^������$k$�̊֐��Ȃ̂�, 
($\ref{mu}$)�ɂ�������($\ref{k ci}$)�͔g���֐��Ƃ��Đ������̐U�镑�������肷��. 
���������, �p�����[�^�ɋ�̓I�Ȓl������, 
�ǂ̒��x�̃X�P�[��������炬��������, 
�ǂ̒��x�̃X�P�[���̔g���ł���������̂�, 
�܂�����ȏꍇ�Ɣ�r���Ȃ���ł����������Ƃ��̋�ԍ\���͂ǂ̂悤�ɂȂ��Ă��邩, 
���l���邱�Ƃɂ���. 

  �܂�, ��قǂ̍l�@�ɂ��, �ł��s����Ȋ�{�U���ł���$n=0$�̏ꍇ���l����. 
�ÓI����x�� S=1�Ƃ���
\footnote{�ÓI����x $S$���v�Z����. $S$��
\begin{align*}
S = \frac{N_s^2 D^2}{f_0^2 L^2}
\end{align*}
�ƒ�`�����. 
������$N_s$�͗��̗��q�̉��������̐U�����Ńu�����g�E�o�C�T���U����, 
$D$�͑�C�̌���, 
$f_0$�̓R���I���p�����[�^
��\���Ă���.
�l�͂��ꂼ�ꌻ���ƑΉ������Ĉȉ��ōl����. 
\begin{align*}
N_s 
&= \left(\frac{g}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z}\right)^{1/2} \\
&= \left(\frac{10}{300} \frac{6}{1000}\right)^{1/2} \\
&= 1.4 \times 10^{-2} [s^{-1}], \\
D &= 10^4 [m], \\
f_0 
&= 2 \Omega \mathrm{sin} \alpha \\
&= 2 \times \frac{2 \pi}{{10}^5} = 1.3 \times 10^{-4} [s^{-1}],
\end{align*}
������, $g$�͏d�͉����x��\��. 
$\alpha$�͈ܓx��\��, $\mathrm{sin} \alpha = \mathrm{O}(1)$�Ƃ���.
�����$S$�̎��ɑ�������
\begin{align*}
S 
= \frac{(1.4)^2 \times 10^{-4} 10^8}{(1.3)^2 \times 10^{-8} 10^{12}}
\sim 1
\end{align*}
�ƂȂ蓾����.}.
$c(i)$�͔g�����ƂĂ������Ƃ���ԑ傫�Ȓl���Ƃ邯��ǂ�, 
�}�̂悤�� $k \to 0$�̂Ƃ������� $k c_i =0$�ƂȂ�
%\footnote{
%�������� $k \to 0$ �� �������� 0 �Ɍ��������ƂƂ����̂�....�ōl�@�����͕̂t�^���Q��...�����(7524)���番����}
. 
$\mu < \mu_c$�ł�, $k$���\���傫���Ɛ������� 0 �ɂȂ�. 
�����}���������̂��ȉ��̃O���t�ł���.

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,angle=0,trim= 10 10 0 0,clip]{graf.eps}
\caption{��炬�̐�������g���̊֐��Ƃ��ĕ\�����O���t}
\label{fig:Pedlosky-1987}
\end{center}
\end{figure}
�}5.1���番����悤��, 
�g���� $k = 1.81$ ��菬�����g��������������, ���̂Ƃ���炬�͔��B����. 
�����L�����������g���ōl�����, 
�����悻$3,000 \mathrm{km}$�����傫�Ȑ����X�P�[�������g����������. 
�܂�, ��炬���ł���������̂�, 
�O���t���疾�炩�Ȃ悤�ɐ��������ő�ƂȂ�$k_m = 1.25$�̂Ƃ��ł���
\footnote{�L�������̌v�Z�ɂ��Ă͕t�^ 6 ���Q��.}
. 
�����̂�炬�͑S�Ă̔g���̔g�𓝍��������̂ō\������Ă���Ƃ����, 
�g��$k_m$�̔g�͍ł��s����Ȕg�ł���̂ň�ԑ�������, ��炬��̍\�����x�z����Ɨ\�z�����. 
����䂦�ł��s����Ȕg��, �s����ȍ\���ōł���z������炬�ƌ��т���̂��Ó��ł���. 
�g��$k$�͗L�����g���ƑΉ���, 
�ł���������̂�, �����悻$5,000 \mathrm{km}$�̐����X�P�[�������Ƃ��ł���
\footnote{�L�������̌v�Z�ɂ��Ă͕t�^ 6 ���Q��.}
.


\section{��炬�̋�ԍ\��}

\markright{\arabic{chapter}.\arabic{section}
��炬�̋�ԍ\��} %  �߂̑薼���������ނ���


  ����, ��炬�̋�ԍ\�����l����. 
$c$�͕������Ă���̂�, ($\ref{�s��a}$)��($\ref{�s��a}$)��p����,  
\begin{align}
A(z) = \mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{\mathrm{sinh} \; \mu z}{\mu c} 
\label{A(z)} 
\end{align}
�C�ӂ̒萔�������ē�����. 
$\mu < \mu_c$�ł�
\begin{align}
\phi 
= \mathrm{Re} \ e^{k c_i t} e^{ik(x-0.5t)} 
\times \left[
\left(\mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{0.5}{\mu |c|^2} \mathrm{sinh} \; \mu z\right) 
+ \frac{i c_i \mathrm{sinh} \; \mu z}{\mu |c|^2} 
\right] 
\mathrm{cos} l_n y
\end{align}
�܂�, ��炬�����B����Ƃ��̉��x��ɂ��Ă��l���Ă݂�. 
$\theta = {\partial \phi}/{\partial z}$�ł��邩��, ($\ref{A(z)}$)���, 
\begin{align}
\theta 
= \mathrm{Re} \ e^{k c_i t} e^{ik(x-0.5t)} 
\times \left[
\left(\mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{0.5}{\mu |c|^2} \mathrm{cosh} \; \mu z\right) 
+ \frac{i c_i \mathrm{sinh} \; \mu z}{\mu |c|^2} 
\right] 
\mathrm{cos} l_n y 
\end{align}
�ƂȂ�. ����$t=0$�̂Ƃ��Řb��i�߂邱�Ƃɂ���. 
$\phi$��$\theta$�̎���, 
\begin{align}
\phi 
&= \mathrm{cos} l_n y 
\left[
\mathrm{cos}kx 
\left(\mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{0.5}{\mu |c|^2}\mathrm{sinh} \; \mu z\right) 
- \mathrm{sin}kx 
\frac{c_i}{\mu |c|^2} \mathrm{sinh} \; \mu z \right] 
\label{phi} \\
\theta 
&= \mathrm{cos} l_n y 
\left[
\left(\mu \mathrm{sinh} \; \mu z - \frac{0.5}{|c|^2} \mathrm{cosh} \; \mu z\right)\mathrm{cos}kx 
- \left(\frac{c_i}{|c|^2} \mathrm{cosh} \; \mu z \right) \mathrm{sin}kx 
\right] 
\label{theta}
\end{align}
���̎��� $y=0$������, ����-�����f�ʂŐ؂����Ƃ��̋C����Ɖ��x����l����.
\begin{align}
\phi 
&= \mathrm{cos}kx 
\left(\mathrm{cos} \; \mu z - \frac{0.5}{\mu |c|^2}\mathrm{sinh} \; \mu z\right) 
- \mathrm{sin}kx \frac{c_i}{\mu |c|^2} \mathrm{sinh} \; \mu z \label{phi}\\
\theta 
&= \left(\mu \mathrm{sinh} \; \mu z - \frac{0.5}{|c|^2} \mathrm{cosh} \; \mu z\right)\mathrm{cos}kx 
- \left(\frac{c_i}{|c|^2} \mathrm{cosh} \; \mu z \right) \mathrm{sin}kx  
\label{theta}
\end{align}
������, ($\ref{phi}$), ($\ref{theta}$)��$z=0$��������, �����f�ʂł̋C����Ɖ��x����l�����, 
\begin{align}
\phi &= \mathrm{cos}kx \ \mathrm{cos} l_n y \\
\theta 
&= \left(- \frac{0.5}{|c|^2} \; \mathrm{cos}kx - \frac{c_i}{|c|^2} \mathrm{sin} kx \right) 
\mathrm{cos} l_n y
\end{align}

���, ��炬������ȏ���l����. 
�g����$k=2.5$�Ƃ���. $\phi$��($\ref{�g�`��}$), ($\ref{a(z)}$)���, 
\begin{align}
\begin{split}
\phi 
&= Re \Phi e^{ik(x-ct)} \\
&= \left(\mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{\mathrm{sihh} \; \mu z}{\mu c} \right) 
\mathrm{cos} l_n y \mathrm{cos} k (x-ct) 
\label{phista}
\end{split}
\end{align}

�ƂȂ�. �܂������ $z$�ŕΔ������邱�Ƃɂ��, 
\begin{align}
\begin{split}
\theta 
&= \frac{\partial \phi}{\partial z} \\
&= \left( \mu \mathrm{sinh} \; \mu z - \frac{1}{c} \mathrm{cosh} \; \mu z \right) 
\mathrm{cos} \; l_n y 
\mathrm{cos} \; k(x-ct) 
\label{thetasta}
\end{split}
\end{align}
�Ƃ�������. 
�����ł�$t=0$�̂Ƃ��Řb��i�߂邱�Ƃɂ���. 
���̎��� $y=0$������, ����-�����f�ʂŐ؂����Ƃ��̋C����Ɖ��x����l�����, 
\begin{align}
\phi &= \left(\mathrm{cosh} \; \mu z - \frac{\mathrm{sihh} \; \mu z}{\mu c} \right) \mathrm{cos} kx \\
\theta &= \left( \mu \mathrm{sinh} \; \mu z - \frac{1}{c} \mathrm{cosh} \; \mu z \right) \mathrm{cos} \; kx 
\end{align}
�ƂȂ�. 
�����($\ref{phista}$), ($\ref{thetasta}$)��$z=0$���������, 
�����f�ʂł̋C����Ɖ��x����l����.
\begin{align}
\phi &= \mathrm{cos} kx \mathrm{cos} l_n y \\
\theta &= - \frac{1}{c} \mathrm{cos} \; kx \mathrm{cos} \; l_n y
\end{align}
�ƂȂ�. 
��炬���ł����B����ꍇ�̂�炬��̍\���ɂ��ċc�_����. 
�܂�, �C����E���x��̓����|�����f�ʂ�}${\ref{�}2}}$�Ɏ���. \\
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,angle=0,trim= 10 10 0 0,clip]{xza.eps}
\caption{$y$ = 0 �ɂ����铌���|�����f�ʂ̋C����Ɖ��x��. 
���l�����C���������, �����͍�������, �_�����ሳ����\���Ă���.
�F�̕��z�͉��x�������, �g�F�n��������, ���F�n���ቷ���\���Ă���. 
(a) �� $k$ = 1.6 �ł�炬���ł���������ꍇ, 
(b) ��$k$ = 2.5 �ł�炬���������Ȃ��ꍇ�ł���.}
\label{�}2}
\end{center}
\end{figure}
\afterpage{\clearpage}
�}${\ref{�}2}}$ ����킩��悤��, 
����C�������B����ꍇ, �C���̕�� �C���̒J�͏��֍s���ƂƂ��ɐ������ɌX���Ă���.
�܂�, ���x��͋t�ɏ��֍s���ƂƂ��ɓ������ɌX���Ă��邪, 
��炬���������Ȃ��ꍇ��, �C����E���x��Ƃ����������ɂ͌X���Ă��Ȃ�.

����, �C����E���x��̐����f�ʂ�}${\ref{�}3}}$�Ɏ���.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm,angle=0,trim= 10 10 0 0,clip]{eaxyb.eps}
\caption{ $z$ = 0 �ɂ����铌���|�����f�ʂ̋C����Ɖ��x��. 
���l�����C���������, �����͍�������, �_�����ሳ����\���Ă���. 
�F�̕��z�͉��x�������, �g�F�n��������, ���F�n���ቷ���\���Ă���. 
(a) �� $k$ = 1.6 �ł�炬���ł���������ꍇ, 
(b) ��$k$ = 2.5 �ł�炬���������Ȃ��ꍇ�ł���.}
\label{�}3}
\end{center}
\end{figure}
�n��ł̋C����Ɖ��x��̊֌W�ɂ��čl���Ă݂�. 
�����ł͒�C���ɒ��ڂ���. 
�}${\ref{�}3}}$ ����킩��悤��, 
��C�������B����ꍇ��, �C����Ɖ��x��̈ʑ�������Ă��邽��, 
�C���̒J�̓����ɍ����悪���݂�, �����ɒቷ�悪���݂���. 
�܂��n�t���̊֌W����, �C���̒J�̓����ł͖k�����̕�������, �����ł͓�����̕��������Ă���. 
�܂�, ��C�������B����Ƃ�, 
��C���̓����ł͓삩�獂���̋�C�򂪈ڗ�����, �����ł͖k����ቷ�̋�C�򂪈ڗ�����, 
��k�̉��x������������悤�ɔM�̗��ꂪ�N�����Ă���. 
��炬�����B���Ȃ��ꍇ,�C����Ɖ��x��̈ʑ��͓����ł���.

\clearpage

\chapter{�܂Ƃ�}    % �͂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����

\markright{\arabic{chapter}.�܂Ƃ�} %  �߂̑薼���������ނ���


����C������炬�Ƃ݂Ȃ��Ďx�z�����������炬�̃G�l���M�[�̎��𗧂�, 
����ɂ��, ����C���̔����E���B�ɂ��Ă̏���������ꂽ. 
�܂�, ���̗v�f�̕ψʂ��l���邱�Ƃ�,  ���ܓx��C�ł̕s���肪���������{�\������������. ����ɏ���ȗ������č���C���𗬑̗͊w�I�ɉ𖾂��� Eady(1949) �̌����ɂ��ďЉ��. 
Eady's Model �ɂ���, ������C�ɑ�������p�����[�^�̂��Ƃł�
�����X�P�[������3,000 km ���傫���Ƃ��ɍ���C�������B��, 
�����X�P�[������5,000 km �̂Ƃ��ɐ��������ő�ƂȂ邱�Ƃ��m���߂�ꂽ.  $\\$
����C�������B����ꍇ�̉��������E���������̈ʑ��\���͂��ꂼ������I�ł���, 
���������k�����̉��x������������悤�ɂȂ��Ă���. $\\$


%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{�ӎ�}    % �͂̎n�߂���̏ꍇ�͂��̃R�}���h���g�p����
\addcontentsline{toc}{chapter}{�ӎ�}
\markright{�ӎ�} %  �߂̑薼���������ނ���

�{�_���̍쐬�ɂ������Ă͂�������̕��X�Ɍ�w���ƌ䋦�͂𒸂��܂���.

�w�������ł���яˉ���ɂ͌����̕��j�𒸂��܂���. ��R�����y����, �����F�K�����ɂ�, �r�����T�����ۂȂ�, ���Ƃ��閈�ɑ��k�����Ē����܂���. ���V���甎�m�ɂ͉����̍ۂɃ\�t�g�̎g�����Ȃǂ𕪂���₷�������Ē����܂���. 
����^�炳��Ɣ[���N�j����ɂ�, �_�����C������ۂɑ�ϒ��J�Ɍ��Ē���, �����𒸂��܂���.
�������̊F�l�ɂ�, �l�X�ȂƂ���Ō䋦�͒����L��������܂���. �[�����ӂ��Ă���܂�. 


%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{�Q�l����}
\addcontentsline{toc}{chapter}{�Q�l����}

\markright{�Q�l����} %  �߂̑薼���������ނ���

�EEady, E. T. 1949: Long waves and cyclone waves. Tellus 1, 33-52

�E�ؑ�����, 1998: �n�����̗͊w����, �������o��, 247pp

�EPedlosky, J., 1987: Geophysical Fluid Dynamics, Springer-Verlag, 703pp

�E���M�o, 2000: �C�ی����m�[�g��198�� �u���ђ�C���̗͊w�v, �C�ۊw��, 154pp


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter*{�t�^}
\addcontentsline{toc}{chapter}{�t�^} 

\markright{�t�^} %  �߂̑薼���������ނ���

%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{35-\arabic{page}}
%\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 1 (2.1.6) �̓��o}
($\ref{��𕪂���}$)��($\ref{qpveq}$)�ɑ�������, 
\begin{align*}
\left[\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial(\Phi + \phi)}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial(\Phi + \phi)}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} \right] 
\left[\left\{\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{1}{\rho_s}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{\rho_s}{S} \frac{\partial}{\partial z}\right) \right\} (\Phi + \phi) +\beta y\right]=0
\end{align*}
�����ό`��, $q$��$\Pi_0$��{�����̂悤�ɒu����, 
\begin{align*}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) (q + \Pi_0) + \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial y} - \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\right) (q + \Pi_0) =0
\end{align*}
$\Pi_0 = \Pi_0(y, z)$ ���, 
\begin{align*}
\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) q + \left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial q}{\partial y} - \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial q}{\partial x}\right) + \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \Pi_0}{\partial y} =0
\end{align*}

%\newpage
%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{35-\arabic{page}}
\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 2 ($\ref{���E�ɂ�����M�͊w������1}$) �̓��o}
�M�͊w������
\begin{align*}
\frac{d_0}{dt} \theta + w S = \mathscr{H}
\end{align*}
��, 
\begin{align*}
w = 0 , \ \ \ \ \ z = 0, \; z = 1 \label{���������̋��E����}.
\end{align*}
��������. ��f�M���M$\mathscr{H}$�� 0 �Ȃ̂�, 
\begin{align*}
\frac{d_0}{dt} \theta = 0 \\
\frac{d_0}{dt} \frac{\partial \psi}{\partial z} =0 .
\end{align*}
����� ($\ref{��𕪂���}$)������, �ό`, ���`�����s����, 
\begin{align*}
&\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x} + u' \frac{\partial}{\partial x} + v' \frac{\partial}{\partial y}\right) \frac{\partial}{\partial z}(\Psi + \phi) =0 \\
&\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \phi}{\partial z} + U_0 \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial z} + \left( - \frac{\partial \phi}{\partial x}\right) \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \phi}{\partial z} + v' \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z}(\Psi + \phi) =0 \\
&\left( \frac{\partial}{\partial t} + U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) \frac{\partial \phi}{\partial z} - \frac{\partial U_0}{\partial z} \frac{\partial \phi}{\partial x} + \left\{ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial^2 \phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial z}\right\} =0
\end{align*}
�ƂȂ�, ($\ref{���E�ɂ�����M�͊w������1}$)��������.

%\newpage
%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{35-\arabic{page}}
\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 3 (3.1.7) �̓��o}
���Ϗ�̂��G�l���M�[ $E(\phi)$���ȉ��̂悤�ɒ�`����:
\begin{align*}
\overline{E}
= \int^1_{-1} dy \int^1_{0} dz \rho_s \left\{\frac{\left(\overline{u}\right)^2 + \left(\overline{\theta}\right)^2/S}{2} \right\} \; .
\end{align*}
����𗼕� $t$�Ŕ�������.
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
&= \int^1_{-1} dy \int^1_{0} dz \rho_s \left\{\frac{\partial }{\partial t} \left( \frac{1}{2} \left(\overline{u}\right)^2 \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{2} \frac{\left(\overline{\theta}\right)^2}{S}\right) \right\} \\
&= \int^1_{-1} dy \int^{1}_{0} dz \rho_s \left( \overline{u} \frac{\partial \overline{u}}{\partial t} + \overline{\theta} \frac{1}{S}\frac{\partial \overline{\theta}}{\partial t} \right)
\end{align*}�܂�, �����œ��������̉^��������
\begin{align*}
\begin{split}
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} - v_1 - v \left(\frac{L}{r \varepsilon}\right) y \mathrm{cot} \theta \\
= - \frac{\partial p}{\partial x} - \frac{L y}{\varepsilon r} \mathrm{tan} \theta \frac{\partial p}{\partial x}  
\end{split}
\end{align*}
�� $x$ �ɂ��� $-\infty ���� \infty$ �̋�ԂŐϕ�������
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{u}}{\partial t}
=\overline{v}
-\frac{\partial}{\partial y} \overline{v u}
\end{align*}
�ɑ�������, 
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
&= \int^1_{-1} dy \int^{1}_{0} dz \rho_s \left\{\overline{u}\left(\overline{v} - \frac{\partial}{\partial y}(\overline{v u})\right) 
+ \overline{\theta}\left(- \overline{w} - \frac{\partial}{\partial y}\frac{(\overline{v \theta})}{S}\right) \right\} \\
&= - \int^1_{-1} dy \int^{1}_{0} dz \rho_s [\overline{w} \overline{\theta} - \overline{v} \overline{u}] 
- \int^1_{-1} dy \int^{1}_{0} dz \rho_s \left[\overline{u} \frac{\partial }{\partial y} \overline{v}\overline{u} - \overline{\theta} \frac{\partial }{\partial y} \frac{\overline{v}\overline{\theta}}{S} \right]
\end{align*}
�ƂȂ�. �����
\begin{align*}
\overline{\theta} = \frac{\partial \overline{\psi}}{\partial z} \;, \ \ \ \overline{u} = \frac{\partial \overline{\psi}}{\partial y}
\end{align*}
���������, 
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
&= - \int^1_{-1} \int^1_{0} dy dz \rho_s \left[\overline{u} \frac{\partial}{\partial y}(\overline{v u}) 
+ \overline{\theta} \frac{\partial}{\partial y} \frac{(\overline{v \theta})}{S} \right] \\
&- \int^1_{-1} dy \int^1_{0} dz \rho_s \left[\overline{w}\frac{\partial \overline{\psi}}{\partial z} - \overline{v}\left(- \frac{\partial \overline{\psi}}{\partial y}\right)\right]  \tag{a}
\end{align*}
�E�ӑ� 3 ���ɂ��ĉ�����
\begin{align*}
\int^1_{-1} dy \int^1_{0} \rho_s \overline{w} dz \frac{\partial \overline{\psi}}{\partial z} 
= \int^1_{-1} dy [\rho_s(1) \overline{w} \overline{\psi}(1) -  \rho_s(0) \overline{w} \overline{\psi}(0)]�@\\
- \int^1_{-1} dy \int^1_{0} \rho_s \frac{\partial \overline{w}}{\partial z} \overline{\psi} dz
\end{align*}
�ƂȂ�, �E�ӑ� 4 ���ɂ��ĉ�����
\begin{align*}
\int^1_{-1} dy \int^1_{0} \rho_s \overline{v} dz \frac{\partial \overline{\psi}}{\partial y} 
= \int^1_{0} dz [\rho_s v \overline{\psi}]
- \int^1_{0} dz \int^1_{-1} \rho_s \frac{\partial \overline{v}}{\partial y} \overline{\psi} dy
\end{align*}
�ƂȂ�. ����������, �E�ӑ� 3 ���Ƒ� 4 �����܂Ƃ߂��, 
\begin{align*}
\int^1_{-1} dy [\rho_s(1) \overline{w} \overline{\psi}(1) -  \rho_s(0) \overline{w} \overline{\psi}(0)]
- \int^1_{-1} dy \int^{z_T}_{0} dz \rho_s \overline{\psi} \left(\frac{\partial \overline{v}}{\partial y} + \frac{\partial \overline{w}}{\partial z}\right) \tag{b}
\end{align*}
�Ƃ܂Ƃ܂�. ������, �A���̎�����, 
\begin{align*}
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} =0 \; .
\end{align*}
����𕽋ω������, 
\begin{align*}
\lim\limits_{L \to \infty} \frac{1}{L} \left\{\int^L_{0} \frac{\partial u}{\partial x} dx + \int^L_{0} \frac{\partial v}{\partial y} dx + \int^L_{0} \frac{\partial w_1}{\partial z} dx \right\} =0 \\
\frac{\partial \overline{v}}{\partial y} + \frac{\partial \overline{w}}{\partial z} =0
\end{align*}
�ƂȂ�. �����$(b)$���ɓK�p��, ����ɂ����$(a)$���ɑ�������, 
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
&= - \int^1_{-1} \int^1_{0} dy dz \rho_s \left[\overline{u} \frac{\partial}{\partial y}(\overline{v u}) 
+ \overline{\theta} \frac{\partial}{\partial y} \frac{(\overline{v \theta})}{S} \right] \\
&-\int^1_{-1} dy [\rho_s(1) \overline{w} \overline{\psi}(1) -  \rho_s(0) \overline{w} \overline{\psi}(0)] \tag{c}
\end{align*}
�ƂȂ�. ���C���l�����Ȃ��Ƃ���, $(c)$���̌��� 2 ���͏����ł���̂�, 
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
= - \int^1_{-1} \int^1_{0} dy dz \rho_s \left[\overline{u} \frac{\partial \overline{v} }{\partial y}
+ \overline{\theta_0} \frac{\partial}{\partial y} \frac{(\overline{v \theta_0})}{S} \right] 
\end{align*}
�ł���. ����𕔕��ϕ������, 
\begin{align*}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
= - \int^1_{0} dz [\rho_s \overline{u} (\overline{v u})]^1_{-1}  
+ \int^2_{0} dz \int^1_{-1} (\overline{v u}) \frac{\partial u}{\partial y} dy \\
- \int^3_{0} dz [\rho_s \overline{\theta} \frac{(\overline{v \theta})}{S}]^1_{-1}  
+ \int^4_{0} dz \int^1_{-1} \frac{(\overline{v \theta_0})}{S} \frac{\partial \theta}{\partial y} dy \\
= \int^5_{0} \int^1_{-1} dy dz \rho_s \left[ \overline{v u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{(\overline{v \theta})}{S} \frac{\partial \theta}{\partial y}\right]
\end{align*}
�ƂȂ�. �Ō��
\begin{align*}
\overline{v \, u} \frac{\partial \overline{u}}{\partial y}
= \overline{v \, u} \frac{\partial U_0}{\partial y} \\
\overline{v \, \theta} \frac{\partial \overline{\theta}}{\partial y}
= \overline{v \, \theta} \frac{\partial \Theta_0 }{\partial y}
\end{align*}
�Ƃ��đ�������, 
\begin{align}
\frac{\partial \overline{E}}{\partial t} 
= &- \int^1_{0} \int^1_{-1} dy \; dz \rho_s \left[\overline{v u} \frac{\partial \overline{u}}{\partial y} + \frac{\overline{v \theta}}{S} \frac{\partial \overline{\theta}}{\partial y} \right] 
\end{align}
��������.

%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{35-\arabic{page}}
\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 4 ($\ref{�g�`���������� Eady �̃|�e���V�����Q�x������}$) �̓��o}

���肵����($\ref{�g�`��}$)��($\ref{eq:���`�������|�e���V�����Q�x������}$)���ɑ����, �ό`�����, 
\begin{align*}
&\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right)
\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}
+\frac{1}{\rho_S}\frac{\partial}{\partial z} \frac{\rho_s}{S}\frac{\partial \phi}{\partial z} \right)
+\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial \Pi_0}{\partial y}
=0 \\
&\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) [-k^2 \Phi(y, z) \mathrm{cos} k(x-ct)] 
+ \left(\frac{\partial}{\partial t}+U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right) \left[\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}\mathrm{cos}k(x-ct)\right] \\
&+ \frac{1}{\rho_S}\frac{\partial}{\partial z} \frac{\rho_s}{S} \left(\frac{\partial}{\partial t}+U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right)  \left[\frac{\partial \Phi}{\partial z} \mathrm{cos}k(x-ct) \right]
+ (-k \Phi \mathrm{sin}k(x-ct)) \frac{\partial \Pi_0}{\partial y} 
=0 \\
&\left(\frac{\partial}{\partial t}+U_0 \frac{\partial}{\partial x}\right)(\mathrm{cos} k(x-ct))
\left[\frac{1}{\rho_S}\frac{\partial}{\partial z} \frac{\rho_s}{S} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + -k^2 \Phi(y, z) \right]
+ (-k \Phi \mathrm{sin}k(x-ct)) \frac{\partial \Pi_0}{\partial y} 
=0 \\
&(U_0 -c) \left[\frac{1}{\rho_S}\frac{\partial}{\partial z} \frac{\rho_s}{S} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + -k^2 \Phi(y, z) \right] + \Phi \frac{\partial \Pi_0}{\partial y} =0
\end{align*}
����, 
\begin{align*}
\frac{\partial \Pi_0}{\partial y} =0
\end{align*}
�ł��邩��, 
\begin{align*}
(U_0 -c) \left[\frac{1}{\rho_S}\frac{\partial}{\partial z} \frac{\rho_s}{S} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + -k^2 \Phi(y, z) \right] =0
\end{align*}
�ƂȂ�.

%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{-\arabic{page}}
\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 5 (5.3.19)�̓��o}
($\ref{a(z)}$)��($\ref{���Ea}$)�ɑ������.
\begin{align*}
&c \frac{d}{dz} \left\{a \mathrm{cosh}\mu z + b \mathrm{sinh}\mu z \right\} + \left\{a \mathrm{cosh}\mu z + b \mathrm{sin}\mu z \right\}=0 \\
&(a + \mu cb) \mathrm{cosh}\mu z + (b - \mu ac) \mathrm{sinh}\mu z =0
\end{align*}
$z=0$���
\begin{align*}
a + \mu cb =0 \;, \ \ \   
\end{align*}
���x��, ($\ref{a(z)}$)��($\ref{���Eb}$)�ɑ������.
\begin{align*}
&(c-1) \frac{d}{dz} \left\{a \mathrm{cosh}\mu z + b \mathrm{sinh}\mu z \right\} + \left\{a \mathrm{cosh}\mu z + b \mathrm{sinh}\mu z \right\} =0 \\
&a[-(c-1) \mu \mathrm{sinh}\mu z + \mathrm{cosh}\mu z] + b[(c-1)\mu \mathrm{cosh}\mu z + \mathrm{sinh}\mu z]=0
\end{align*}
$z=1$���, 
\begin{align*}
a[-(c-1) \mu \mathrm{sinh}\mu + \mathrm{cosh}\mu] + b[(c-1)\mu \mathrm{cosh}\mu + \mathrm{sinh}\mu] =0    
\end{align*}
$a,b$�̔񎩖��ȉ��� $a,b$�̍s�񎮂� 0 �̂Ƃ��̂ݕ�����. ���Ȃ킿, 
\begin{align*}
\begin{array}{|cc|}
1 & \mu c  \\
-(c-1)\mu \mathrm{sinh}\mu + \mathrm{cosh}\mu & (c-1)\mu \mathrm{cosh}\mu + \mathrm{sinh}\mu  \\
\end{array}
=0
\end{align*}
�ł���. �����������,
\begin{align*}
(c-1)\mu \mathrm{cosh}\mu + \mathrm{sinh}\mu - \mu c {(c-1)\mu \mathrm{sinh}\mu + \mathrm{cosh}\mu} =0 \\
\end{align*}
�ƂȂ�. ���� $1/(\mu^2 \mathrm{sinh}\mu)$�{�����, 
\begin{align*}
c^2 - c + {\mu}^{-1} \mathrm{coth}\mu - \mu^2 =0
\end{align*}
�ƂȂ� (5.3.19)��������.


%\setcounter{page}{1}
%\renewcommand{\thepage}{-\arabic{page}}
\setcounter{equation}{0}
%\renewcommand{\theequation}{A\arabic{equation}}
%\renewcommand{\theequation}
\subsection*{�t�^ 6 �����X�P�[���ɂ��Ă̗L������}
�����ł�, ��炬����������ՊE�_�ł̔g����, ��炬���ł����B����Ƃ��̔g�����������Ă���̂�, �����L���������邱�Ƃł��̐����X�P�[�������ς���.
��炬�̔g����, �ȉ��̂悤�ɂ��ėL�����������. 
\begin{align*}
\lambda_* = \frac{2 \pi L}{k_m}  = \frac{2 \pi L}{k_m} \frac{N_s D}{f_0 L}
\end{align*}
�ł���. $N_s$�͗��̗��q�̉��������̐U�����Ńu�����g�E�o�C�T���U����, $D$�͑�C�̌���, $f_0$�̓R���I���p�����[�^��\���Ă���. ������, �����̒l���v�Z����.
\begin{align*}
N_s 
&= \left(\frac{g}{\theta} \frac{\partial \theta}{\partial z}\right)^{1/2} \\
&= \left(\frac{10}{300} \frac{6}{1000}\right)^{1/2} \\
&= 1.4 \times 10^{-2} \\
&\sim 10^{-2} [s^{-1}], \\
D &= 10^4 [m], \\
f_0 
&= 2 \Omega \mathrm{sin} \alpha \\
&= 2 \times \frac{2 \pi}{{10}^5} \\
&= 1.3 \times 10^{-4} \\
&=10^{-4} [s^{-1}],
\end{align*}
������, $g$�͏d�͉����x��\��. $\alpha$�͈ܓx��\��, $\mathrm{sin} \alpha = \mathrm{O}(1)$�Ƃ���.
��炬�������������Ƃ�, ���Ȃ킿�g���� $k = 1.81$�̂Ƃ�, 
\begin{align*}
\lambda_* = \frac{2 \pi L}{1.81}  = \frac{2 \times 3.14 \times 10^6}{1.81} \frac{10^{-2} 10^4}{10^{-4} 10^6} = 3469. ... \sim 3,000 \mathrm{km}
\end{align*}
�ł���, ��炬�̐��������ő�ɂȂ�Ƃ�, ���Ȃ킿�g���� $k = 1.81$�̂Ƃ�, 
\begin{align*}
\lambda_* = \frac{2 \pi L}{1.81}  = \frac{2 \times 3.14 \times 10^6}{1.81} \frac{10^{-2} 10^4}{10^{-4} 10^6} = 5024. ... \sim 5,000 \mathrm{km}
\end{align*}
�ƂȂ�L���������ꂽ. 

% �����Ŗ{�������܂�
\end{document}
