基礎方程式

モデルの力学部分は渦度, 発散, 静水圧平衡, 湿度, 熱力学の式からなり 下の方程式となっている.

$$\frac{d \zeta}{d t} = \frac{1}{a \cos \varphi} \frac{\partial}{\p... ...- \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} - \frac{RT'}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \}$$

$$\qquad - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} [ \{ (\zeta + f)... ...{\sigma} - \frac{RT'}{a} \DP{\pi}{\varphi} \} \cos \varphi] - F^{diff}_{\zeta},$$ (1)

$$\DD{D}{t} = \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} \{ (\zeta + f) v - \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} - x\frac{RT'}{a} \DP{\pi}{\varphi} \}$$

$$\qquad + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} [ \{ (\zeta + f)... ... \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} - \frac{RT'}{a} \DP{\pi}{\varphi} \} \cos \varphi]$$

$$\qquad - \nabla^2 (\Phi + R \overline{T} \pi + E ) - F^{diff}_{D},$$ (2)

$$\DD{\pi}{t} = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} - \frac{... ...P{}{\varphi} ( v \cos \varphi) - \frac{\partial \dot{\sigma}}{\partial \sigma},$$ (3)

$$\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} = - \frac{RT}{\sigma},$$ (4)

$$\DD{q}{t} = \frac{g}{p_s} \DP{F^{vdf}_q}{\sigma} + F^{diff}_q + S^{cond}_q,$$ (5)

$$\DD{T}{t} = \frac{R T}{c_p} \left\{ \DP{\pi}{t} + \frac{u}{a \cos... ...\lambda} + \frac{v}{a} \DP{\pi}{\varphi} + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}$$

$$\qquad \qquad \mbox{} + \frac{1}{c_p} \left( \frac{g}{p_s} \DP{F^... ...+ \frac{g}{p_s} \DP{F^{rad}_{T}}{\sigma} \right) + F^{diff}_{T} + L S^{cond}_q.$$ (6)

これらの方程式の中で,

$$\DD{}{t} \equiv \DP{}{t} + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} + \frac{v}{a} \DP{}{\varphi} + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma},$$ (7)

$$\zeta \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (u \cos \varphi),$$ (8)

$$D \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi),$$ (9)

$$\Phi \equiv gz,$$ (10)

$$\pi \equiv \ln p_s,$$ (11)

ここで, $(\lambda, \varphi)$ 緯度と経度とを表す座標; $\sigma$ 鉛直座標; $u$, $v$ 水平風成分; $\dot{\sigma}$ は $\sigma$ 座標系における鉛直速度; $T$ 温度; $q$ 比湿; $p_s$ 地表面気圧; $T_g$ 地表面温度; $\Phi$ ジオポテンシャル; $f$ コリオリパラメータ; $a$ 地球半径; $g$ 重力加速度; $R$ 乾燥空気の気体定数; $c_p$ 大気の定圧比熱; $L$ 水の潜熱; $F^{diff}_{\zeta}$, $F^{diff}_{D}$, $F^{diff}_{T}$ $F^{diff}_{q}$ 水平拡散項; $F^{vdf}_u$, $F^{vdf}_v$, $F^{vdf}_T$, $F^{vdf}_q$ 鉛直拡散項; $S^{cond}_q$ is 比湿の凝結源である.

水平拡散項は 超粘性タイプ(hyper-viscosity type)の公式で次のように与えられる,

$$F^{diff} = - (-1)^n K \nabla^{2n}$$ (12)

ここでは $n=8$ としている. $K$ の値は波数 42 の成分の減衰時間が 4 時間となるように決めている.