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\section{方程式の離散化}

鉛直温度構造を数値的に求める方法を以下にまとめる. 

まず \Deqlab{dtdz} 式を離散化する. 格子点を $i$ で表現し, 現在の位置 $z$ 
の添字を $i$, $dz$ だけ離れた点の添字を $i + 1$ とする. $dz$ は十分小さ
いと見なせれば, $i + 1$ の場所での温度減率を $i$ の位置での温度と圧力を
用いて評価することができる. 
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\begin{eqnarray}
 \frac{\Delta T^{i+1}}{ \Delta z} = - \frac{g}{\bar{c_{p}}} 
\frac{ 1 +  \frac{ \lambda_{k} X_{k}^{i}}{R T^{i}}} 
{ 1 + \frac{ \lambda^{2}_{k} X_{k}^{i}}
 { \bar{c_{p}} R_{v} {T^{i}}^{2}}}. 
\Deqlab{dtdz2}
\end{eqnarray} 
%
また凝結成分が少ないものとして近似した温度減率の式は, 同様に以下のように
評価することができる. 
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\begin{eqnarray}
 \frac{\Delta T^{i+1}}{\Delta z}
  = - \frac{ g}{\bar{c_{p}}} 
  \left\{  1 -  \frac{\lambda_{k} X_{k}^{i}}{\bar{c_{p}} T^{i}} 
   \left( \frac{ \lambda_{k}}{ R_{v} T^{i}} 
    - \frac{\bar{c_{p}}}{R} \right) \right\}. 
\Deqlab{dtdz2_approx}
\end{eqnarray}

鉛直温度構造を求めるために以下の手順をとる. 
%
\begin{description}
 \item[1)]凝結の生じない大気深部での温度と圧力を与える

 \item[2)]当該温度において凝結成分の飽和蒸気圧 $p^{*}(T)$と分圧
	    $p_{k}$ を計算する. 

 \item[2-1)]分圧が飽和蒸気圧よりも小さい場合は \Deqref{dtdz-dry} 式より
	    乾燥断熱減率を計算する. 


 \item[2-2)]分圧が飽和蒸気圧よりも大きくなった場合には凝結が生
	    じるものとみなし, 凝結成分のモル数を計算する.

	    凝結成分のモル数は以下のように評価する. 
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	    \begin{eqnarray}
	     n_{k}^{i} = \frac{(n^{i-1} - n_{k}^{i-1}) p^{*}}{p^{i} - p^{*}}
	    \end{eqnarray}
%
	    ここで $n_{k}$ は凝結成分のモル数, $n$ は気相の全モル数であ
	    る. 

	    飽和蒸気圧から得られたモル数を用いて \Deqref{dtdz2}, 
	    \Deqref{dtdz2_approx} から断熱減率を計算する. 



 \item[3)]次のステップでの温度を求める. 鉛直方向として圧力座標をとると, 
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	    \begin{eqnarray}
	     T^{i+1} 
	      = T^{i} 
	      - \frac{ g}{\bar{c_{p}}} 
	      \left\{  1 -  \frac{\lambda_{k} X_{k}^{i}}{\bar{c_{p}} T^{i}} 
	       \left( \frac{ \lambda_{k}}{ R_{v} T^{i}} 
		- \frac{\bar{c_{p}}}{R} \right) \right\}
	      \left\{ 
	       \frac{R T^{i}}{p^{i}}
	      \right\}
	      \Delta p 
	    \end{eqnarray}
%
である. また \Deqref{dtdz_approx} 式に対しては, 
%
	    \begin{eqnarray}
	     T^{i+1} 
	      = T^{i} 
	      - \frac{ g}{\bar{c_{p}}} 
	      \left\{  1 -  \frac{\lambda_{k} X_{k}^{i}}{\bar{c_{p}} T^{i}} 
	       \left( \frac{ \lambda_{k}}{ R_{v} T^{i}} 
		- \frac{\bar{c_{p}}}{R} \right) \right\}
	      \left\{ 
	       \frac{R T^{i}}{p^{i}}
	      \right\}
	      \Delta p 
	    \end{eqnarray}
%
となる. 

 \item[4)] 2)--3) を対流圈上部まで繰り返す. 


\end{description}



