\underline{ECCM  1 湿潤断熱減率の計算  1}

1 湿潤断熱減率の計算

Weidenschilling and Lewis (1973) の湿潤断熱減率の定式化をフォローする．熱力学の第 1 法則は,

dU = δQ + δW + δZ,  (1)

である. ここで dU は内部エネルギー， δQ は系に加えられる熱量， δW は系に加える仕事， δZ は化学エネルギーである．考えている系において気体は理想気体として取り扱うことができ，その変化は断熱的にであるとすると， (3) 式の各項は以下のように書ける．

dU = c̄_{v}dT.  (2)
δQ = 0.  (3)
δW = −pdV,
= −d(pV) + V dp,
= −RdT + V dp,
= −RdT + V (\frac{−M̄pg}{RT} ) dz, (∵静水圧平衡の式)
= −RdT − M̄gdz.  (4)
δZ = − ∑ λ_{k}dX_{k}.  (5)

ここで c̄_{v} は大気の定積モル比熱の平均値， T は温度, p は圧力, V は気体分子の 1 モル当たりの体積， R は気体定数, M̄ は平均分子量, g は重力加速度, λ_{k} は k 番目の凝縮成分気体のモル当たりの凝縮のエンタルピー， dX_{k} は気体 k のモル比の変化である. (1) 式に (2) – (5) 式を代入することで,

c̄_{v}dT + RdT + M̄gdz + ∑ λ_{k}dX_{k} = 0,
c̄_{p}dT + M̄gdz + ∑ λ_{k}dX_{k} = 0,  (6)

となる．但し c̄_{p} は大気の定圧モル比熱の平均値で，理想気体の場合 c̄_{p} = c̄_{v} + R である．

1.1 乾燥断熱温度減率

(6) 式の潜熱による項を無視することで乾燥断熱温度減率が求まる．

c̄_{p}dT + M̄gdz = 0,
\frac{dT}{dz} = −\frac{M̄g}{c̄_{p}} .  (7)

\underline{ECCM  1 湿潤断熱減率の計算  2}

1.2 湿潤断熱温度減率

(6) 式中の dX_{k} をモル分率と分圧の関係

dX_{k} = \frac{1}{p}dp_{k} − (\frac{p_{k}}{p^{2}} ) dp.  (8)

とクラウジウス・クラペイロンの式

dp_{k} = \frac{p_{k}λ_{k}dT}{RT^{2}} ,  (9)

を用いて変形すると,

dX_{k} = \frac{1}{p}dp_{k} − \frac{p_{k}}{p^{2}} dp,
= \frac{1}{p} (\frac{p_{k}λ_{k}dT}{RT^{2}} ) − \frac{p_{k}}{p^{2}} (−\frac{M̄pg}{RT} dz) ,
= \frac{p_{k}}{p} \frac{λ_{k}}{R_{v}T^{2}} dT + \frac{p_{k}}{p} \frac{M̄g}{RT} dz,
= \frac{λ_{k}X_{k}}{RT^{2}} dT + \frac{M̄gX_{k}}{RT} dz.  (10)

である.

(6) 式に (10) 式を代入することで湿潤断熱温度減率が求まる． c̄_{p}dT + M̄gdz + ∑ λ_{k}dX_{k} = 0,

c̄_{p}dT + M̄gdz + ∑ λ_{k} (\frac{λ_{k}X_{k}}{RT^{2}} dT + \frac{M̄gX_{k}}{RT} dz) = 0,

c̄_{p} (1 + \frac{∑ λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}} ) dT + M̄g (1 + \frac{∑ λ_{k}X_{k}}{RT} ) dz = 0,

\frac{dT}{dz} = −\frac{M̄g}{c̄_{p}} (\frac{1 + \frac{λ_{k}X_{k}}{RT}}{1 + \frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}}} ) .  (11)

但し和の規約を用いている.

(11) において十分に凝縮性成分の少ない場合, つまり λ_{k}^{2}X_{k}/c̄_{p}RT^{2} ≪ 1 の場合には,

\frac{dT}{dz} ≈ −\frac{M̄g}{c̄_{p}} (1 + \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} ) (1 − \frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}} ) ,
≈ −\frac{M̄g}{c̄_{p}} \{1 − \frac{λ_{k}X_{k}}{c̄_{p}T} (\frac{λ_{k}}{RT} − \frac{c̄_{p}}{R} )\} .  (12)

\overline{main.tex 2004/11/06(杉山耕一朗)}

\underline{ECCM  2 仮温度減率の計算  3}

と近似できる. 但しλ_{k}/c̄_{p}T ≈ 10 なので, λ_{k}^{2}X_{k}/c̄_{p}RT^{2} ≪ 1 ならば必ずλ_{k}X_{k}/RT ≪ 1 となる. 変形において 2 次の微小量は十分に小さいものとみなし無視した.

(11) において十分に凝縮性成分の多い場合, すなわち λ_{k}X_{k}/RT ≫ 1 の場合には,

\frac{dT}{dz} ≈ −\frac{M̄g}{c̄_{p}} \frac{\frac{λ_{k}X_{k}}{RT}}{\frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}}} ,
≈ −\frac{M̄gT}{λ_{k}}  (13)

と近似できる. 但しλ_{k}/c̄_{p}T ≈ 10 なので, λ_{k}X_{k}/RT ≫ 1 ならば必ずλ_{k}^{2}X_{k}/c̄_{p}RT^{2} ≫ 1 となる.

2 仮温度減率の計算

断熱温度減率から仮温度減率を計算する.

\frac{dT_{v}}{dz} = \frac{d}{dz} (\frac{M_{d}}{M̄} T )
= \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}T}{M̄^{2}} \frac{dM̄}{dz}
= \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}T}{M̄^{2}} \frac{d}{dz} (M_{d}(1 − X) + M_{v}X)
= \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}T}{M̄^{2}} \frac{d}{dz} \{(M_{v} − M_{d})X\}
= \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})T}{M̄^{2}} \frac{dX}{dz}

ただし, M_{d} は乾燥気塊の分子量, M_{v} は凝縮成分の分子量, T_{v} = M_{d}T/M̄ は仮温度である. ここで (10) 式を代入すると,

\frac{dT_{v}}{dz} = \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})T}{M̄^{2}} \{\frac{λ_{k}X_{k}}{RT^{2}} \frac{dT}{dz} + \frac{M̄gX_{k}}{RT} \}
= \frac{M_{d}}{M̄} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄^{2}} \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{gX_{k}}{R}
= \frac{M_{d}}{M̄} (1 − \frac{(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} ) \frac{dT}{dz} − \frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{gX_{k}}{R}  (14)

さらに (11) 式を代入すると,

\frac{dT_{v}}{dz} = −\frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{gX_{k}}{R} − \frac{M_{d}g}{c̄_{p}} (1 − \frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} ) \frac{1 + \frac{λ_{k}X_{k}}{RT}}{1 + \frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}}}  (15)

\overline{main.tex 2004/11/06(杉山耕一朗)}

\underline{ECCM  4 参考文献  4}

ここで凝縮成分が十分に少ないと仮定すると, λ_{k}^{2}X_{k}/c̄_{p}RT^{2} ≪ 1 かつ λ_{k}X_{k}/RT ≪ 1 なので,

\frac{dT_{v}}{dz} = −\frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{gX_{k}}{R} − \frac{M_{d}g}{c̄_{p}} (1 + \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} − \frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c̄_{p}RT^{2}} − \frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} )(16)

と近似できる.

3 静的安定度の計算

(15) 式を用いると, 静的安定度 N^{2} は,

N^{2} = \frac{g}{T_{v}} (\frac{dT_{v}}{dz} + \frac{M_{d}g}{c_{p}} )  (17)

となる. ここで c_{p} は乾燥気塊の比熱である. この式を凝結物が少ないものとして近似すると,

N^{2} = \frac{M̄g}{M_{d}T} (\frac{dT_{v}}{dz} + \frac{M_{d}g}{c_{p}} )
= \frac{M̄g}{M_{d}T} \{−\frac{M_{d}(M_{v} − M_{d})}{M̄} \frac{gX_{k}}{R} − \frac{M_{d}g}{c_{p}} (\frac{λ_{k}X_{k}}{RT} − \frac{λ_{k}^{2}X_{k}}{c_{p}RT^{2}} − \frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} \frac{λ_{k}X_{k}}{RT} )\}
= \frac{M̄g^{2}}{c_{p}T} \{−\frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} \frac{c_{p}}{R} − \frac{λ_{k}}{RT} + \frac{λ_{k}^{2}}{c_{p}RT^{2}} + \frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} \frac{λ_{k}}{RT} \} X_{k}
= \frac{M̄g^{2}}{c_{p}T} \{\frac{M_{v} − M_{d}}{M̄} (\frac{λ_{k}}{RT} − \frac{c_{p}}{R} ) + \frac{λ_{k}}{c_{p}T} (\frac{λ_{k}}{RT} − \frac{c_{p}}{R} )\} X_{k}
= \frac{M_{d}g^{2}}{c_{p}T} \{(\frac{λ_{k}}{RT} − \frac{c_{p}}{R} ) (\frac{λ_{k}}{c_{p}T} + \frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} )\} X_{k}  (18)

ただし, 凝縮物の量が少ないとして c̄_{p} = c_{p}, M̄ = M_{d} とみなしている.

4 参考文献

Atreya, S. K., Romani, P. N., 1985 : Photochemistry and clouds of Jupiter, Saturn and Uranus. in Recent advances in planetary meteorology, edited by Hunt, G. E., Cambridge University Press, 17-68.

久保亮吾編, 1961 : 大学演習熱学・統計力学修正版. 裳華房.

Lewis, J. S., 1969a : The clouds of Jupiter and the NH_{3}–H_{2}O and NH_{3}–H_{2}S systems. Icarus, 10, 365.

\underline{ECCM  4 参考文献  5}

化学工学協会編, 1988 : 化学工学便覧改訂第 5 版. 丸善株式会社小倉義光著， 1984 : 一般気象学. 東京大学出版会 Weidenschilling, S. J., Lewis, J. S., 1973 : Atmospheric and Cloud Structures of

the Jovian Planets. Icarus, 20, 465-476.