\section{静的安定度}

\subsection{静的安定度の定義}

気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 気塊の密度と周囲の空気の密度差
によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$
と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度  $N^{2}$ と呼ぶ. 

気塊が上昇することによって, 本来は気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響を
受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法と
いう. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる.

気塊とその周囲の大気を考える. 気塊とその周囲の大気には以下のような関係が
成立すると仮定する. 
%
\begin{itemize}
%
 \item 気塊と周囲の大気は理想気体の状態方程式に従う. 
%
\item 空気塊の気圧は常に静水圧平衡した周囲の大気の気圧に等しくなるものと
       する. 
%
 \item 気塊を変位させる前の高度 $z = z_{0}$ において, 
       気塊と周囲の大気の密度 $\rho$ は等しい(\Dfigref{def-stab:parcel}). 
%
\begin{eqnarray}
 \rho|_{z=z_{0}} =  \rho^{*}|_{z=z_{0}}
\Deqlab{rho と rho* の関係}  
\end{eqnarray}
%
 \item 気塊の分子量 $M^{*}$ は変化しない. これは, 雨として凝縮物が気塊から分離
       しないことを意味する.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{M^{*}}{z} = 0.
\Deqlab{M* の性質}  
\end{eqnarray}
%
\end{itemize}
%
%気塊と周囲の大気の密度差は,
%%
%\begin{eqnarray}
%     d \rho = \rho^{*} - \rho   
%\end{eqnarray}
%%
%と書けるので, 
%
鉛直方向の運動方程式, 
%
\begin{eqnarray}
\DD[2]{}{t} \delta z = 
 - \Dinv{\rho^{*}} \DD{p}{z} - g
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
を静水圧平衡の式を用いて変形すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  = \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
   \Deqlab{運動方程式_rho}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $g$ は重力加速度である. \Deqref{運動方程式_rho} 式右辺を, 
理想気体の状態方程式, および空気塊と周囲の大気の圧力は一致するという条件を
用いて変形すると,  
%$\rho, \rho^{*}$ をテーラー展開し, 2 次以上の微小項を無視すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& \frac{RT^{*}}{PM^{*}} 
  \left(
   \frac{PM}{RT} - \frac{PM^{*}}{RT^{*}}
  \right) g \nonumber \\
  &=& \frac{T^{*}}{M^{*}} 
  \left\{
   \left(
    \frac{T}{M} 
   \right)^{-1}
   - \left(
      \frac{T^{*}}{M^{*}}
     \right)^{-1}
  \right\} g \nonumber \\
  &=& 
   \frac{M g}{T} 
   \left\{
    \left(
     \frac{T^{*}}{M^{*}}
    \right)
    - \left(
       \frac{T}{M} 
      \right)
   \right\} 
   \Deqlab{運動方程式_rhoの展開(途中)}
\end{eqnarray}
%
となる. 但し $M$ は大気の分子量である. 
さらに \Deqref{運動方程式_rhoの展開(途中)} 式の右辺はテーラー展開すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
  \left[
  \frac{T^{*}}{M^{*}}|_{z=z_{0}} + \DD{}{z} \left( \frac{T^{*}}{M^{*}} \right) \delta z
  - \left\{
     \frac{T}{M}|_{z=z_{0}} + \DD{}{z} \left( \frac{T}{M} \right) \delta z
    \right\}
  \right]
  \nonumber \\
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
   \left\{
     \DD{}{z} \left( \frac{T^{*}}{M^{*}} \right) - \DD{}{z} \left( \frac{T}{M} \right)
   \right\} \delta z
   \nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. 但し, \Deqref{rho と rho* の関係} 式の関係より 
$\frac{T^{*}}{M^{*}}|_{z=z_{0}} = \frac{T}{M}|_{z=z_{0}} $ とした. 
さらに微分項を展開すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
   \left\{
    \Dinv{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} - \frac{T^{*}}{{M^{*}}^{2}}\DP{M^{*}}{z}
    -  \Dinv{M} \DD{T}{z} + \frac{T}{M^{2}}\DP{M}{z}
   \right\} \delta z
   \nonumber \\
  &=& 
   \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
   \Deqlab{運動方程式_rhoの展開}
%
\end{eqnarray}
%
となる. 但し, 式変形において \Deqref{M* の性質} 式を利用した. 
\Deqref{運動方程式_rhoの展開} 式を \Deqref{運動方程式_rho} 式に代入する
ことで, 
%
\begin{eqnarray}
      \DD[2]{}{t} \delta z
       = 
    \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
\end{eqnarray}  
%
が得られる. 

空気塊の運動を単振動
%
\begin{eqnarray}
 \delta z \propto sin(Nt) \nonumber
\end{eqnarray}
%
で表すと, 静的安定度は振動数(ブラントバイサラ振動数)の自乗 
%
\begin{screen}
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 \equiv
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}}\DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{M/=M*の静的安定度}
\end{eqnarray}
%
\end{screen}
%
で定義される.



\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[80mm]{ps/parcel.eps}
 \end{center}
\caption{パーセル法による静的安定度の見積もりの概要. 
 気塊の周囲の大気の温度 $T$ と 分子量 $M$, 
 気塊の温度 $T^{*}$ と分子量 $M^{*}$ とする. 
 $z = z_0$ において気塊と周囲の大気の密度が等しく, 理想気体の状態方程式
 が成立するならば, $(M/T)|_{z=z_{0}} = (M^{*}/T^{*})|_{z=_{z_0}}$ となる. 
 また気塊を上昇・下降させた際, 気塊の温度は変化するが
 気塊から凝縮物が離脱しないと仮定したので, 
 $z+dz$ における気塊の分子量は $M^{*}$ のまま維持される. 
  }
\Dfiglab{def-stab:parcel}
\end{figure}

\clearpage


\subsection{惑星大気の静的安定度の計算}

前節の議論より, 静的安定度を与えるためには, 
1) 気塊の分子量と大気の分子量との関係, 
2) 大気の平均的な温度分布, 
3) 大気の平均的な分子量分布, 4) 気塊の温度変化, の情報が
必要である. 本節では, その 3 つの与え方を考察する. 


1) の気塊と大気の分子量の関係であるが, 
理想気体の条件が成立し, 
かつ $z = z_{0}$ において気塊と周囲の大気温度が等しいと仮定するならば, 
%
\begin{eqnarray}
 M = M^{*}
\Deqlab{rho と rho* の関係(2)}  
\end{eqnarray}
%
が成立する. その時, 静的安定度 \Deqref{M/=M*の静的安定度}は, 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 \equiv
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}}\DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 
\end{eqnarray}
%
と与えられる. 


2) の大気の平均的な温度分布は, 大気の湿潤断熱温度減率から与える. 
\Dfigref{地球の模式図} は地球大気の平均的な温度構造の決まり方の
模式図であるが, 地球のように活発な対流を生じる大気での温度構造は
湿潤断熱的な構造となっている. 他の惑星大気においても, 活発な対流活動が
存在すれば, 温度構造は湿潤断熱的な構造になっている可能性がある. 

3) の大気の平均的な分子量分布は, 大気の湿潤断熱的に決まる分子量減率を
そのまま用いる. 
\Dfigref{地球の模式図} に示したように, 地球大気の平均分子量は
ほぼ乾燥成分の分子量である. 他の惑星大気においても
平均的な分子量分布は湿潤断熱的に決まる分子量分布からずれている可能性が高
い. しかし本節では分子量の効果を最大限に見積もるために, 
あえて上記の設定を用いる. 

4) の気塊の温度変化は断熱温度減率によって与える. 
気塊内で凝縮が生じるか否かで, 
湿潤断熱温度減率または乾燥断熱減率が選ばれる. 

多数の凝縮成分の存在する系において,大気の平均的な温度分布と分子量分布の
具体的な定式化を与えるのは困難である. そこで本節では 3) の
気塊の温度変化 $\DD{T^{*}}{z}$ の具体的な形式を与えるにとどめる. 
凝縮成分と乾燥成分の 2 成分から成る大気の大気の平均的な温度分布と分子量
分布は簡単に与えることができるが, その定式化は次章で行うこととする. 






\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[140mm]{ps/cloud.eps}
 \end{center}
\caption{地球大気での平均的な温度・分子量の決まりかたの模式図.  地球大気
 の対流構造は, 狭い上昇流域と広い下降流域, によって特徴づけられる. 平均
 的な温度は雲の中の湿潤断熱減率で決まり, 平均的な分子量は下降域の乾燥成
 分のみの分子量で決まる. } 
\Dfiglab{地球の模式図}
\end{figure}


\subsubsection{気塊内で凝縮が生じない場合}
%
気塊内で凝縮が生じない場合, 気塊の温度変化 
$dT^{*}/dz$ は以下のように表すことができる. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{M g}{c_{p}}. 
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
上式を \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} に代入することで, 
静的安定度は以下のように表現される. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z}
   + \frac{M g}{c_{p}}
  \right)
  - 
  g \left(
   \frac{1}{M} \DD{M}{z}
  \right) . 
\Deqlab{M*=M,dry での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
気塊は飽和しているので, 上昇させると必ず凝縮が生じるはずである. 
\Deqref{M*=M,dry での静的安定度} で見積もられる静的安定度は, 
飽和した気塊を凝縮が生じないよう下向きに変位させた時の値と
みなすことができる. 


\subsubsection{気塊内で凝縮が生じる場合}
%
気塊内で凝縮が生じる場合には, 
気塊の断熱温度減率は湿潤断熱温度減率に等しくなる. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = \DD{T}{z}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
上式を \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} に代入することで, 
静的安定度は以下のように表現される. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =  -  \frac{ g}{M} \DD{M}{z}
\Deqlab{M*=M,r=1,湿潤,での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
すなわち静的安定度は分子量効果によって決まる. 
%


\subsubsection{気塊の分子量が変化しない場合}

従来の研究では, 大気中の可凝縮成分は十分に少ないと仮定し, 
大気の平均分子量と平均比熱は乾燥成分のそれに等しいと見なす
ことがままある. そこでそのような場合についても式を求めておく. 
この場合, \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式の
右辺第 2 項の分子量効果が無視できるので, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
\Deqlab{M*=M,dry,r=0での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. 但し凝縮成分が十分に少ないので, 気塊内で凝縮は生じず, 
気塊の分子量と比熱は乾燥成分の値に近似した. 
すなわち静的安定度は湿潤断熱減率と乾燥断熱減率との差から見積も
ることができる. 