\section{静的安定度}

\subsection{静的安定度の定義}

気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 気塊の密度と周囲の空気の密度差
によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$
と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度  $N^{2}$ と呼ぶ. 

気塊が上昇することによって, 本来は気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響を
受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法と
いう. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる.

気塊とその周囲の大気を考える. 気塊とその周囲の大気には以下のような関係が
成立すると仮定する. 
%
\begin{itemize}
%
 \item 気塊と周囲の大気は理想気体の状態方程式に従う. 
%
\item 空気塊の気圧は常に静水圧平衡した周囲の大気の気圧に等しくなるものと
       する. 
%
 \item 気塊を変位させる前の高度 $z = z_{0}$ において, 
       気塊と周囲の大気の密度 $\rho$ は等しい(\Dfigref{def-stab:parcel}). 
%
\begin{eqnarray}
 \rho|_{z=z_{0}} =  \rho^{*}|_{z=z_{0}}
\Deqlab{rho と rho* の関係}  
\end{eqnarray}
%
 \item 気塊中では凝結が生じない. そのため気塊の分子量 $M^{*}$ は変化しない. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{M^{*}}{z} = 0.
\Deqlab{M* の性質}  
\end{eqnarray}
%
\end{itemize}
%
%気塊と周囲の大気の密度差は,
%%
%\begin{eqnarray}
%     d \rho = \rho^{*} - \rho   
%\end{eqnarray}
%%
%と書けるので, 
%
鉛直方向の運動方程式, 
%
\begin{eqnarray}
\DD[2]{}{t} \delta z = 
 - \Dinv{\rho^{*}} \DD{p}{z} - g
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
を静水圧平衡の式を用いて変形すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  = \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
   \Deqlab{運動方程式_rho}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $g$ は重力加速度である. \Deqref{運動方程式_rho} 式右辺を, 
理想気体の状態方程式, および空気塊と周囲の大気の圧力は一致するという条件を
用いて変形すると,  
%$\rho, \rho^{*}$ をテーラー展開し, 2 次以上の微小項を無視すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& \frac{RT^{*}}{PM^{*}} 
  \left(
   \frac{PM}{RT} - \frac{PM^{*}}{RT^{*}}
  \right) g \nonumber \\
  &=& \frac{T^{*}}{M^{*}} 
  \left\{
   \left(
    \frac{T}{M} 
   \right)^{-1}
   - \left(
      \frac{T^{*}}{M^{*}}
     \right)^{-1}
  \right\} g \nonumber \\
  &=& 
   \frac{M g}{T} 
   \left\{
    \left(
     \frac{T^{*}}{M^{*}}
    \right)
    - \left(
       \frac{T}{M} 
      \right)
   \right\} 
   \Deqlab{運動方程式_rhoの展開(途中)}
\end{eqnarray}
%
となる. 但し $M$ は大気の分子量である. 
さらに \Deqref{運動方程式_rhoの展開(途中)} 式の右辺はテーラー展開すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
  \left[
  \frac{T^{*}}{M^{*}}|_{z=z_{0}} + \DD{}{z} \left( \frac{T^{*}}{M^{*}} \right) \delta z
  - \left\{
     \frac{T}{M}|_{z=z_{0}} + \DD{}{z} \left( \frac{T}{M} \right) \delta z
    \right\}
  \right]
  \nonumber \\
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
   \left\{
     \DD{}{z} \left( \frac{T^{*}}{M^{*}} \right) - \DD{}{z} \left( \frac{T}{M} \right)
   \right\} \delta z
   \nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. 但し, \Deqref{rho と rho* の関係} 式の関係より 
$\frac{T^{*}}{M^{*}}|_{z=z_{0}} = \frac{T}{M}|_{z=z_{0}} $ とした. 
さらに微分項を展開すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& 
  \frac{M g}{T} 
   \left\{
    \Dinv{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} - \frac{T^{*}}{{M^{*}}^{2}}\DD{M^{*}}{z}
    -  \Dinv{M} \DD{T}{z} + \frac{T}{M^{2}}\DD{M}{z}
   \right\} \delta z
   \nonumber \\
  &=& 
   \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
   \Deqlab{運動方程式_rhoの展開}
%
\end{eqnarray}
%
となる. 但し, 式変形において \Deqref{M* の性質} 式を利用した. 
\Deqref{運動方程式_rhoの展開} 式を \Deqref{運動方程式_rho} 式に代入する
ことで, 
%
\begin{eqnarray}
      \DD[2]{}{t} \delta z
       = 
    \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
\end{eqnarray}  
%
が得られる. 

空気塊の運動を単振動
%
\begin{eqnarray}
 \delta z \propto sin(Nt) \nonumber
\end{eqnarray}
%
で表すと, 静的安定度は振動数(ブラントバイサラ振動数)の自乗は
%
\begin{screen}
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 \equiv
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}}\DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{M/=M*の静的安定度}
\end{eqnarray}
%
\end{screen}
%
で定義される.



\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[80mm]{ps/parcel.eps}
 \end{center}
\caption{パーセル法による静的安定度の見積もりの概要. 
 気塊の周囲の大気の温度 $T$ と 分子量 $M$, 
 気塊の温度 $T^{*}$ と分子量 $M^{*}$ とする. 
 $z = z_0$ において気塊と周囲の大気の密度が等しく, 理想気体の状態方程式
 が成立するならば, $(M/T)|_{z=z_{0}} = (M^{*}/T^{*})|_{z=_{z_0}}$ となる. 
 気塊中で凝結は生じないと仮定したので, 
 $z+dz$ における気塊の分子量は $M^{*}$ のまま維持される. 
  }
\Dfiglab{def-stab:parcel}
\end{figure}

\clearpage


\subsection{惑星大気の静的安定度の計算}


惑星大気中において, 上昇する前の気塊の温度と分子量は周囲の大気のそれに馴
染んでいると考えることができる. そこで $z = z_{0}$ において $\rho =
\rho^{*}$ だけでなく, $T = T^{*}$ と $M = M^{*}$ も満たすと仮定しなおす
ことにする. 
%
$z = z_{0}$ における大気と気塊の温度と分子量をそれぞれ $T_{0}$, $M_{0}$ 
とすると, 温度に関しては,
%
\begin{eqnarray}
&& T = T_{0} + \DD{T}{z} \delta z \nonumber \\
&& T^{*} = T_{0} + \DD{T^{*}}{z} \delta z \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. 分子量に関しては \Deqref{M* の性質} 式を用いることで, 
%
\begin{eqnarray}
&& M = M_{0} + \DD{M}{z} \delta z \nonumber \\
&& M^{*} = M_{0} \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. 上の式を \Deqref{運動方程式_rhoの展開} 式に代入し, $\delta z$ に
関する 2 次の項を無視しすると,
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  = 
  \left\{
   \frac{g} {T_{0} } 
   \left(
    - \DD{T}{z} 
    + \DD{T^{*}}{z} 
   \right)
   + g
   \left(
    \Dinv{M_{0}} \DD{M}{z}
   \right)
  \right\} \delta z  \nonumber
\end{eqnarray}  
%
となるので, 安定度は以下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 \equiv
  \frac{g}{T_{0}}
  \left(
   \DD{T}{z} - \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M_{0}} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{温度と組成を使って書き下した静的安定度}
\end{eqnarray}
%
	    
\Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式中の大気の温度減率
$dT/dz$ は, 湿潤断熱温度減率で与える. 地球大気の平均的な温度減率は湿潤断
熱温度減率で与えられるからである (\Dfigref{地球の模式図}). 他の惑星大気
においても, 活発な対流活動が存在すれば, 大気の温度減率は湿潤断熱温度減率
で与えられると予想される.
%
\Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式中の大気の平均的な分子
量減率 $dM/dz$ は, 大気の湿潤断熱的に決まる分子量減率をそのまま用い
る. \Dfigref {地球の模式図} に示したように, 地球大気の平均分子量はほぼ乾
燥成分の分子量である. 他の惑星大気においても平均的な分子量分布は湿潤断熱
的に決まる分子量分布からずれている可能性が高い. しかし本節では分子量の効
果を最大限に見積もるために, あえて上記の設定を用いる.
%

\Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式中の気塊の温度減率
$dT^{*}/dz$ は乾燥断熱温度減率によって与える. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{M_{0} g}{c_{p}}. 
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
上式を \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} に代入することで, 
静的安定度は以下のように表現される. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
 \frac{g}{T_{0}}
 \left(
  \DD{T}{z}
  + \frac{M_{0} g}{c_{p}}
 \right)
 - 
 g \left(
    \frac{1}{M_{0}} \DD{M}{z}
   \right) . 
 \Deqlab{M*=M,dry での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
%気塊は飽和しているので, 上昇させると必ず凝縮が生じるはずである. 
%\Deqref{M*=M,dry での静的安定度} で見積もられる静的安定度は, 
%飽和した気塊を凝縮が生じないよう下向きに変位させた時の値と
%みなすことができる. 
%
但し, $dT/dz$ と $dM/dz$ は湿潤断熱的な温度減率と分子量減率を意味する. 
多数の凝縮成分の存在する系において, 湿潤断熱的な温度減率と分子量減率を書
き下すことは困難であるために, このような表記とした. 大気が凝縮成分と乾燥
成分の 2 成分から成る場合には $dT/dz$ と $dM/dz$ を簡単に書き下すことが
できるが, そのような場合については次章で示す.

従来の研究では, 大気中の平均的な可凝縮成分気体の存在量は十分に少ないと仮
定し, 気塊と大気の平均分子量と平均比熱は乾燥成分のそれに等しいと見なすこ
とが良くある. そこでそのような場合についても式を求めておく. この場合には 
\Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式の右辺第 2 項の分子量
効果が無視できるので,
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
\Deqlab{M*=M,dry,r=0での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書け, 静的安定度は湿潤断熱減率と乾燥断熱減率との差から見積もることがで
きる. 但し $M_{d}$ と ${c_{p}}_{d}$ はそれぞれ乾燥成分の分子量と比熱であ
る. 


\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[140mm]{ps/cloud.eps}
 \end{center}
\caption{地球大気での平均的な温度・分子量の決まりかたの模式図.  地球大気
 の対流構造は, 狭い上昇流域と広い下降流域, によって特徴づけられる. 平均
 的な温度は雲の中の湿潤断熱減率で決まり, 平均的な分子量は下降域の乾燥成
 分のみの分子量で決まる. } 
\Dfiglab{地球の模式図}
\end{figure}



\clearpage


