% 表題: 乾燥断熱温度減率, 湿潤断熱温度減率, 静的安定度の近似系
%
% 履歴: 2005-08-19 杉山耕一朗
 


\section{木星の水雲を想定した計算例}

本節では, 木星の水雲を想定した計算例を示す. 
大気の乾燥成分として水素とヘリウムの混合大気(H/He = 0.095), 
湿潤成分として水を想定する. 
そして温度, 相変化のエンタルピーを固定し, 
水のモル比を変化させた場合の断熱温度減率と静的安定度の
変化を調べる. 


計算で用いる物理量について考察する. 
温度を固定した場合, 相変化のエンタルピーはクラウジウス-クラペイロンの式と
飽和蒸気圧の式から得られる. 水の飽和蒸気圧の式として Antoine の式を
利用する場合, その値は以下のように与えられる(化学便覧 改訂第四版). 
%
\begin{eqnarray}
 \ln{e} &=& A - \frac{B}{C + T},  \nonumber \\
ただし  && A = 7.9186968d0 \nonumber \\
  && B = 1636.909d0  \nonumber \\
  && C = 224.92d0    \nonumber 
\end{eqnarray}
%
ただし上記の $e$ の単位は mmHg であり, $T$ の単位は $^{\circ}$C なので, 
SI 単位系に変換すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \ln{e} = \left(
	     A - \frac{B}{C + T - 273.15 } 
	    \right)  \ln{10} + \ln{133.322}
\Deqlab{lapserate:antoine}
\end{eqnarray}
%
\Deqref{lapserate:antoine} 式を  \Deqref{CK} 式に代入すると, 
相変化のエンタルピーは以下のように表現される. 
%
\begin{eqnarray}
\lambda &=& R T^{2} \DD{\ln{e}}{T} \nonumber \\
&=& R T^{2}  \frac{B * \ln{10}}{ ( C + T - 273.15 )^2 }
\end{eqnarray}
%
以上の議論を踏まえた上で計算に利用する物理量とパラメタをまとめると
以下のようになる. 
%
\begin{description}

 \item[定数一覧]~\\

\begin{tabular}{|l|l|l|} \hline
       & 乾燥成分 & 湿潤成分(水) \\ \hline
分子量 (kg/mol)& $18 \times 10^{-3}$ & $2.323 \times 10^{-3}$  \\ 
比熱 (J/K mol) & 33.5 & 27.66 \\ \hline \hline
重力加速度 (m/s$^2$)  & \multicolumn{2}{|l|}{23.2}\\
気体定数        & \multicolumn{2}{|l|}{8.314}  \\ \hline 
\end{tabular}


 \item[実験に用いるパラメタ]~\\

	    \begin{tabular}{|l|r|r|} \hline
	     & 温度 & 相変化のエンタルピー    \\ 
	     &  (K) &  (J/K mol)   \\ \hline
	     ケース 1   & 200  & 54417 \\ \hline
	     ケース 2   & 300  & 44492  \\ \hline
	     ケース 3   & 400  & 40518  \\ \hline
	     ケース 4   & 500  & 38384  \\ \hline
	    \end{tabular}
\end{description}


従来の研究では, 木星大気に含まれる水のモル比は十分小さいものとして
断熱温度減率および静的安定度を近似した式がしばしば用いられてきた. 
まずは木星大気におけるモル比を十分小さいとする近似の条件を求める.  
ついで十分大きいとする近似の条件も求めることとする
%
\footnote{
%
水以外の凝縮成分であるメタンやアンモニアについて同様の議論を行っても, 
凝縮成分の少ない近似と多い近似が成立する条件はほとんど変わらない. 
木星条件での化合物の代表的な数値は以下の通り. 
水, アンモニア, メタンの潜熱(蒸発エンタルピー)と凝縮温度は化学
便覧の第 9.4 節「転移のエンタルピー」より抜粋.  
%
\begin{center}
\begin{tabular}{l|ccc} \hline
物理量       &      水    &      アンモニア     &      メタン    \\ \hline
潜熱 [J/mol] & 
    $40.66 \times 10^{3}$  & 
    $23.35 \times 10^{3}$  &
    $8.180 \times 10^{3}$  \\
凝縮温度 [K] &
    $373.15$ &
    $195.40$ &
    $90.68$ \\ 
\end{tabular}
\end{center}
%
}
.


凝縮成分の少ない近似の成立する条件
$\Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_low}$ 式は以下のように書ける. 
%
\begin{description}
%
\item[$M \approx M_{d}$ の成立条件] 
%
\begin{eqnarray}
  \frac{(M_{v} - M_{d}) X}{M_{d}}
  &=& \frac{(18.0 - 2.323) \times 10^{-3}}{ 2.323 \times 10^{-3} }, 
  \nonumber \\
  &=& 6.7486 X 
  \ll 1. \nonumber \\ 
 X &\ll& 1.5 \times 10^{-1}. 
  \Deqlab{lapserate:app1_low} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$c_{p} \approx {c_{p}}_{d}$ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
  \frac{( {c_{p}}_{v} - {c_{p}}_{d} ) X}{ {c_{p}}_{d}} 
  &=& \frac{23.5 - 27.66}{27.66}X, \nonumber\\
  &=& 0.21 X  \ll 1. 
   \nonumber \\
   X &\ll& 4.76. 
  \Deqlab{lapserate:app2_low} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$\frac{ \lambda X}{R T} \ll 1$ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
 \frac{ \lambda X}{R T} 
  &=& \frac{44492}{8.31 \times 300} X \nonumber \\
  &=& 17.8 X \ll 1. 
  \nonumber \\
  X &\ll& 5.6 \times 10^{-2}. 
  \Deqlab{lapserate:app3_low} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$\frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2} } \ll 1 $ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
  \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2} } 
  &=& \frac{(44492)^{2}}{30 \times 8.31 \times (300)^{2}} X \nonumber \\
  &=& 88 X \ll 1. 
  \nonumber \\
  X &\ll& 1.1 \times 10^{-2}. 
  \Deqlab{lapserate:app4_low}
\end{eqnarray}
%
\end{description}
%
以上より, \Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_low} 式の成立条件を全て満たす
モル比の範囲は $X \ll 1.1 \times 10^{-2}$ である. 


凝縮成分の多い近似の成立する条件
$\Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_high}$ 式は以下のように書ける. 
%
\begin{description}
%
\item[$M \approx M_{v}$ の成立条件] 
%
\begin{eqnarray}
 X \approx 1. 
  \Deqlab{lapserate:app1_high} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$c_{p} \approx {c_{p}}_{v}$ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
 X \approx 1. 
  \Deqlab{lapserate:app2_high} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$\frac{ \lambda X}{R T} \gg 1$ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
 \frac{ \lambda X}{R T} 
  &=& \frac{44492}{8.31 \times 300} X \nonumber \\
  &=& 17.8 X \gg 1. 
  \nonumber \\
  X &\gg& 5.6 \times 10^{-2}. 
  \Deqlab{lapserate:app3_high} 
\end{eqnarray}
%
%
\item[$\frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2} } \gg 1 $ の成立条件]
%
\begin{eqnarray}
  \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2} } 
  &=& \frac{(44492)^{2}}{30 \times 8.31 \times (300)^{2}} X \nonumber \\
  &=& 88 X \gg 1. 
  \nonumber \\
  X &\gg& 1.1 \times 10^{-2}. 
  \Deqlab{lapserate:app4_high}
\end{eqnarray}
%
\end{description}

モル比の範囲は $X \le 1$ なので, 
\Deqref{lapserate:app1_high}--\Deqref{lapserate:app4_high} が
全て成立するモル比の範囲は $X = 1$ のごく近傍のみである. 
しかし木星大気において凝縮成分のモル比が 1 となる状況は
まず考えられないので, 凝縮成分の多い近似が成立することは無い. 





以下では木星大気条件での乾燥断熱温度減率, 湿潤断熱温度減率, 
静的安定度について, 実際にプロットした結果を一覧する. 


\subsection{分子量と比熱}

\Dfigref{PlotMolWtMean}, \Dfigref{PlotCpMean} に分子量と比熱を
モル比の関数としてプロットする. モル比は
1 割程度しか値が変化しないが, 分子量は桁で値が変化する. 
%
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/MolWtMean.ps}
 \end{center}
\caption{分子量}
\Dfiglab{PlotMolWtMean}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/CpMean.ps}
 \end{center}
\caption{比熱}
\Dfiglab{PlotCpMean}
\end{figure}


\subsection{乾燥断熱温度減率}

\Dfigref{PlotLapseRateDry} で乾燥断熱温度減率をモル比の関数として
プロットする. 
モル比が 0.1 を超えたあたりから急激に値が大きくなる. 
乾燥断熱温度減率は凝結温度に依存しないので, 
どの実験設定の時でも値は変化しない. 

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/LapseRateDry.ps}
 \end{center}
\caption{乾燥断熱温度減率. モル比が 0.1 を超えたあたりから急激に値が大き
 くなる. 
赤線; 近似なし(\Deqref{dtdz-dry2} 式)を用いた場合. 
緑線: 凝縮成分の少ない近似(\Deqref{lapserate:LapseRateDry_low} 式)
 を用いた場合. 
青線: 凝縮成分の多い近似(\Deqref{lapserate:LapseRateDry_high} 式)
 を用いた場合. 
}
\Dfiglab{PlotLapseRateDry}
\end{figure}




\subsection{湿潤断熱温度減率}

\Dfigref{PlotLapseRate} において, case2 ($T = 300$ K)での
湿潤断熱温度減率をモル比の関数としてプロットする. 
凝縮成分のモル比を増加させると
相変化に伴う熱の解放によって湿潤断熱温度減率はしだいに小さくなる. 
しかしモル比が 0.1 を超えたあたりから分子量変化の効果
($M$ が $M_{d} = 2.323 \times 10^{-3}$ から $M_{d} = 18 \times 10^{-3}$
 まで変化)のために値が増加に転じる. 

相変化に伴う熱の解放の効果を見るために, \Deqref{dtdz2}式の右辺の
$(1 + \lambda X/ RT)/ (1 + {\lambda}^{2}X / c_{p} R T^{2})$ をプロットす
る(\Dfigref{PlotEffLatentHeat} 参照). 
モル比を増やしていくと値が小さくなっていくが, 
モル比が 0.1 を超えるあたりからは最大値に漸近するようになる. 

\Deqref{lapserate:app1_high}--\Deqref{lapserate:app4_high} で
示したように, 
木星大気において凝縮成分が多いとする条件
\Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_high} は現実的ではない. 
しかし, モル比が $1.0 \times 10^{-1} \le X \le 1 $ 程度の場合に成立する
近似式を作れないわけではない. その場合は \Deqref{lapserate:app4_high} の
み成立することを考え, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} \approx - \frac{M_{d} g R T^{2} }{\lambda^{2}} 
  \left\{
   \Dinv{X}  
     + \frac{(M_{v} - M_{d})}{M_{d}} 
     +  \frac{ \lambda }{R T}
     + \frac{(M_{v} - M_{d}) \lambda X }{M_{d} R T}
 \right\}
, 
\Deqlab{lapserate:LapseRateApprox}
\end{eqnarray}
%
とすればよい. \Deqref{lapserate:LapseRateApprox} を
\Dfigref{PlotLapseRate2}に示す. 

\Dfigref{PlotLapseRateList} には, case1--case4 の場合として, 
温度 $T$ を変化させた場合の湿潤断熱温度減率を示す. 


\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/LapseRate.ps}
 \end{center}
\caption{$T = 300$ K での湿潤断熱温度減率. 凝縮成分のモル比を増加させると
相変化に伴う熱の解放によって湿潤断熱温度減率はしだいに小さくなる. 
しかしモル比が 0.1 を超えたあたりから分子量変化の効果
($M$ が $M_{d} = 2.323 \times 10^{-3}$ から $M_{d} = 18 \times 10^{-3}$
 まで変化)によって, 値が大きくなる. 
赤線; 近似なし(\Deqref{dtdz2} 式)を用いた場合. 
緑線: 凝縮成分の少ない近似(\Deqref{lapserate:LapseRate_low} 式)
 を用いた場合. 
青線: 凝縮成分の多い近似(\Deqref{lapserate:LapseRate_high} 式)
 を用いた場合. 
}
\Dfiglab{PlotLapseRate}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/EffLatentHeat.ps}
 \end{center}
\caption{
$(1 + \lambda X/ RT)/ (1 + {\lambda}^{2}X / c_{p} R T^{2})$ の
プロット. 
赤線; 近似なしの場合. 
緑線: 凝縮成分の少ない条件(\Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_low} 式)
 が成立する場合. 
青線: 凝縮成分の多い条件(\Deqref{lapserate:Cond_LapseRate_high} 式)
 が成立する場合. 
}
\Dfiglab{PlotEffLatentHeat}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/LapseRate2.ps}
 \end{center}
\caption{$T = 300$ K での湿潤断熱温度減率. 
赤線, 緑線, 青線は \Dfigref{PlotLapseRate} に同じ. 
紫線: \Deqref{lapserate:LapseRateApprox} 式を用いた場合. 
}
\Dfiglab{PlotLapseRate2}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/LapseRateList.ps}
 \end{center}
\caption{
温度 $T$ を変化させた場合の湿潤断熱温度減率. 
緑線は case1 ($T=200$K), 
赤線は case2 ($T=300$K), 
青線は case3 ($T=400$K), 
紫線は case4 ($T=500$K). 
}
\Dfiglab{PlotLapseRateList}
\end{figure}



\subsection{静的安定度}

\Dfigref{PlotStab} において, case2($T = 300$K)での静的安定度を
プロットする. 凝縮成分のモル比を増加させると, 
乾燥断熱温度減率はほぼ一定にも関わらず湿潤断熱温度減率は
緩やかに減少するので, 静的安定度の値はゆっくりと増加する. 
しかしモル比が 0.1 を超えたあたりから分子量変化の効果
($M$ が $M_{d} = 2.323 \times 10^{-3}$ から $M_{d} = 18 \times 10^{-3}$
 まで変化)によって, その値が急激に増加する. 

\Dfigref{StabList} には, case1--case4 の場合として, 
温度 $T$ を変化させた場合の静的安定度を示す. 



\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/Stab.ps}
 \end{center}
\caption{
$T = 300$ K での静的安定度. 凝縮成分のモル比を増加させると, 
乾燥断熱温度減率はほぼ一定にも関わらず湿潤断熱温度減率は
緩やかに減少するので, 静的安定度の値はゆっくりと増加する. 
しかしモル比が 0.1 を超えたあたりから分子量変化の効果
($M$ が $M_{d} = 2.323 \times 10^{-3}$ から $M_{d} = 18 \times 10^{-3}$
 まで変化)によって, その値が急激に増加する. 
赤線; 近似なし(\Deqref{stab2} 式)を用いた場合. 
緑線: 凝縮成分の少ない近似(\Deqref{lapserate:Stab_low} 式)
 を用いた場合. 
青線: 凝縮成分の多い近似(\Deqref{lapserate:Stab_high} 式)
 を用いた場合. 
紫線: 分子量の増加する効果を調べるために, 
近似なしの式 \Deqref{stab2} において, 
分子量と比熱を定数と見なした場合. 
}
\Dfiglab{PlotStab}
\end{figure}


\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/StabList.ps}
 \end{center}
\caption{
温度 $T$ を変化させた場合の静的安定度. 静的安定度は温度の逆数に
比例するので, 温度が高くなるほど静的安定度の値は小さくなる. 
緑線は case1 ($T=200$K), 
赤線は case2 ($T=300$K), 
青線は case3 ($T=400$K), 
紫線は case4 ($T=500$K). 
}
\Dfiglab{StabList}
\end{figure}





\subsection{多数の凝縮成分を考慮した場合の木星大気の静的安定度}

\Dtabref{spc} に示された化学種を含む仮想的な木星大気の静的安定度
を計算し, 水雲下部における静的安定度の最大値と水のモル比との関係を
\Dfigref{PlotJupiter} に示す. 
乾燥成分である H と He の存在度は太陽系元素存在度
(Anders and Grevesse, 1989) に等しいとし, 
凝縮成分である C, N, O, S の存在度は太陽系元素存在度の 
1, 5, 10, 30, 50 倍として計算する. 
%断熱線は観測値, $6.0 \times 10^{4}$ Pa において 150 K 
%(Eshleman {\it et al}., 1979), を通るように引かれている. 
\Dfigref{PlotJupiter} から, 
1) 静的安定度は水の存在度に比例しないこと, 
2) 静的安定度が増加しない理由は静的安定度は温度の逆数に比例するためであ
ることが示される. 


\Dfigref{PlotJupiter2} は, Achterberg and Ingersoll (1989) の指摘した
静的安定度と水のモル比の比例関係(\Deqref{lapserate:Stab_low} 式)と, 
我々の計算で得られた静的安定度の最大値, さらに \Deqref{stab2}
式をプロットしたものである. 
\Deqref{lapserate:Stab_low}, \Deqref{stab2} 式を用いる際には凝縮成分は
水のみ考慮した. \Dfigref{PlotJupiter2} から明らかなように, 
Achterberg and Ingersoll (1989) の指摘した比例関係は, 水の存在度を
太陽系元素存在度の数倍以上増加させた場合には成立しない. 


\Dfigref{vstab_jup} は木星大気の凝縮成分の存在度を, 
太陽系元素存在度の 1, 5, 10 倍した時の静的安定度を示す. 
木星では H$_2$O(s), NH$_4$SH(s), NH$_3$(s) が凝縮し, 
太陽系元素存在度の 5 倍, 10 倍とした場合には 
NH$_3$-H$_2$S-H$_2$O(liq) も凝縮する. 
静的安定度はそれぞれの凝縮成分の凝結高度に対応したピークを持つ. 
木星大気において最も安定な成層は H$_2$O によって形成される. 


\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{lll}\hline
gas (g) & liquid (l) & solid (s)\\ \hline
H$_2$, He, H$_2$O, 
& H$_2$O, NH$_3$, 
& H$_2$O, NH$_3$, H$_2$S,  \\
CH$_4$, NH$_3$, H$_2$S 
& H$_2$S,  CH$_4$,  
& CH$_4$, NH$_4$SH   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{
%
モデル中で考慮する大気成分. (g) は気相, (l) は液相, (s) は固相を表す.
%
}
\Dtablab{spc}
\end{table}




\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/Jupiter.ps}
 \end{center}
\caption{
木星大気に太陽組成の 1, 5, 10, 30, 50 倍の水が存在すると場合に, 
水雲下端において得られた静的安定度の最大値. 静的安定度は温度の逆数に
比例するので, 温度が高くなるほど静的安定度の値は小さくなる. 
星印は水雲下端において得られた静的安定度の最大値, 
実線は水雲下端の温度を用いて \Deqref{stab2} 式より求めた
静的安定度. 
緑線は $T = 271.9$ K, 
赤線は $T = 304.5$ K, 
青線は $T = 324.5$ K, 
紫線は $T = 376.6$ K, 
藍色線は $T = 422.6$ K である. 
ただし \Deqref{stab2} 式を利用する際には大気の凝縮成分は水のみとした. 
}
\Dfiglab{PlotJupiter}
\end{figure}



\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[120mm]{ps/Jupiter2.ps}
 \end{center}
\caption{
静的安定度の最大値と Acterberg and Ingersoll (1989) の指摘した
静的安定度の近似式. 
Achterberg and Ingersoll (1989) の指摘した比例関係は, 水の存在度を
太陽系元素存在度の数倍以上増加させた場合には成立しない. 
星印は水雲下端において得られた静的安定度の最大値, 
緑線はAchterberg and Ingersoll (1989) の指摘した比例の式
\Deqref{lapserate:Stab_low} より求めた静的安定度. 
赤線は \Deqref{stab2} 式より求めた
静的安定度($T = 271.9K$). 
ただし \Deqref{lapserate:Stab_low}, \Deqref{stab2} 式を
利用する際には大気の凝縮成分は水のみとした. 
}
\Dfiglab{PlotJupiter2}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\begin{center}
% \Depsf[100mm]{ps/jupiter-stab_x1_x5_x10.eps}
 \Depsf[120mm]{ps/jupiter.ps}
\end{center}
\caption{
%
木星での静的安定度. 静的安定度のピークは凝縮に起因し, 
下から順に, H$_2$O 水溶液(5 $\times$ solar, 10 $\times$ solar のみ), 
氷, 硫化アンモニウム, アンモニア氷に起因する. 
 赤線: 1 $\times$ solar, 緑線: 5 $\times$ solar, 青線: 10 $\times$ solar. 
H$_2$O の凝縮による安定成層が最も大きい. 
}
\Dfiglab{vstab_jup}
\end{figure}
