%表題 地球流体波動ノート % %履歴 2001/01/27 初版 Hiroshi Taniguchi % 2001/03/22 第二版 Hiroshi Taniguchi % % ------- ドキュメントスタイル --------- \documentstyle[12pt,a4j,dennou,here,eclbkbox,morefloats]{jreport} \setlength{\parindent}{0pt} % -- 数式番号の変更(節.小節.数式番号) -- %\renewcommand{\theequation}{{\rm\arabic{equation}}} \renewcommand{\theequation}{{\rm\thesection .\arabic{equation}}} % -------- ヘッダ・フッタの設定 -------- \Dpath{/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/} \Dauthor[谷口 博]{谷口 博} \Dtitle[地球流体波動ノート]{地球流体波動ノート} \textheight=23.5cm \pagestyle{DAheadings} % ---------- コマンド定義 -------------- %タイトル \newlength{\Mfboxsepsave} \newlength{\Mfboxrulesave} \newcommand{\Ztitle}[1] { \setlength{\Mfboxsepsave}{\fboxsep} \setlength{\fboxsep}{0.5mm} \setlength{\Mfboxrulesave}{\fboxrule} \setlength{\fboxrule}{0.3mm} \framebox[158.4mm][c]{ \framebox[156.4mm][c]{ \makebox[140mm][c]{ \vbox to 24mm { \vfill \begin{center} \Large \bf #1 \end{center} \vfill } } } } \vspace{10mm} \setlength{\fboxsep}{\Mfboxsepsave} 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\pagenumbering{arabic} \setcounter{page}{1} %\chapter*{第1章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−表面重力波} \chapter{重力波の基礎理論} \section{はじめに} 時空間上の2点間(これを, {\bf 系}と呼ぶ)で, その間の媒体の移動なしに情報 を伝えるものを{\bf 波} と呼ぶ. 波の生成には, {\bf 復元力}と{\bf 慣性}の 存在が必要である. 復元力は, 系を元の状態に戻す働きをする. 一方, 慣性とは, 系が元の状態に戻った後もその運動を続けようとする働きのことである. \\ 波の運動形態は, 二つに分類される. 一つは, 復元力が媒体の圧縮性もしくは弾 性によって生じる場合である. この波は, {\bf 圧縮波}({\it compression wave}), {\bf 弾性波}({\it elastic wave}), あるいは, {\bf 圧力波}({\it pressure wave})と呼ばれ, 流体粒子は波が伝播する方向に振動する({\bf 縦波}). この振動の振幅が小さい場合には, {\bf 音波}({\it sound wave})となる. 一方, もう一つの運動形態は, 重力が復元力となる場合である. この波は, {\bf 重力 波}({\it gravity wave})と呼ばれる. 特に, 水面のような自由表面上の重力波 を{\bf 表面重力波}({\it surface gravity waves}), 密度の異なる二つの流体 の間({\bf 界面}: {\it interface})で存在する重力波を{\bf 内部重力波}({\it internal gravity waves})と呼ぶ. 重力波の流体粒子の運動は, 波の伝播の方 向に平行な成分と垂直な成分の両者を併せ持つ({\bf 横波}). \\ 本章では, 重力波の基礎的な性質をまとめる. 以下では, 波の周期は自転周期よ りもはるかに大きいとし, 波の運動は惑星の自転に影響されないものと仮定する. %また, 支配方程式が線形になる場合には, 波の振幅は小さいものと仮定する. \section{表面重力波} 本節では, 一様な深さ $H$ をもつ海上の自由表面における重力波を議論する. \subsection{表面重力波の定式化} 波の波長を $\lambda$, 自由表面の振幅を $a$, 静止状態からの鉛直変位を $\eta(x,t)$ とし, $a/\lambda\ll 1$ (海面の傾斜は小さい)かつ $a/H\ll 1$ (波があっても海の深さは変わらない)とする. また, $x$ 方向にのみ伝播する場 合を扱い, 運動は $x-z$ 平面内の2次元とする.\\ %\Dchapter*{1.2 表面重力波} \begin{figure}[H] \vspace{-5mm} \begin{center} \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.4.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{波動の記述} \end{figure} \subsubsection{● 速度ポテンシャルの導入} 回転の無い運動であるから, はじめに速度ポテンシャル $\phi$ を以下のように 定義する: \begin{equation} u\equiv\frac{\partial\phi}{\partial x}, \qquad w\equiv\frac{\partial\phi}{\partial z} \label{sokudo-potential} \end{equation} \subsubsection{● 連続の式} 速度ポテンシャルをを連続の式 \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \label{renzoku-2d} \end{equation} \medskip に代入して以下のラプラス方程式を得る: \begin{equation} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} = 0 \label{laplace-eq} \end{equation} \subsubsection{● 境界条件} 海底では鉛直流が無いので境界条件は以下のようになる. \begin{equation} w = \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H \label{boundary-1} \end{equation} \medskip 一方, 水面では, 海面の変位の速度が鉛直流に等しいから, 境界条件は以下のよ うになる. \begin{equation} \frac{D\eta}{Dt} = w_{\eta} \qquad \mbox{at}\quad z=\eta \label{boundary-2} \end{equation} \medskip ここで, $D/Dt=\partial/\partial t + u(\partial/\partial x)$, $w_{\eta}$ は, 自由表面での流体の速度の鉛直成分である. これは, 速度ポテンシャルを用 いて以下のように書ける. \begin{equation} \frac{\partial\eta}{\partial t} + u\frac{\partial\eta}{\partial x}\bigg|_{z=\eta} = \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-3} \end{equation} 振幅の小さい波の場合, $u$ と $\partial\eta/\partial x$ は共に小さいから, $u(\partial\eta/\partial x)\ll 1$ は(\ref{boundary-1})中の他の項よりもオー ダが一つ小さくなる. したがって以下を得る. \begin{eqnarray} \vspace{-25mm} \frac{\partial\eta}{\partial t} &=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-4} \\ &=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} +\eta \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}\bigg|_{z=0} +\cdots \simeq \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} \nonumber \\ \frac{\partial\eta}{\partial t} &=& \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \label{boundary-5} \end{eqnarray} さらに, 自由表面下の圧力を以下のように仮定する. \begin{equation} p = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta \end{equation} \medskip ここで運動方程式は, 以下のようになる: \begin{equation} \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t} + ({\Vectm u}\cdot\nabla){\Vectm u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + {\Vectm g} + {\Vectm F} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t} + \nabla\left(\frac{1}{2}|{\Vectm u}|^{2}\right) - {\Vectm u}\times\mbox{rot}{\Vectm u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + {\Vectm g} + {\Vectm F} \end{equation} \medskip 渦無し条件と速度ポテンシャルを用いて以下のように書ける(Bernoulli's equation). \begin{equation} \frac{\partial{\phi}}{\partial t} + \frac{1}{2}(u^{2}+w^{2}) = - \frac{p}{\rho} - gz + F(t) \end{equation} \medskip ここで, $(u^{2}+w^{2})$ の非線形項は, 振幅の小さい波の場合は無視できる. また, $F$ は左辺の $\partial\phi/\partial t$ に含めて新たに $\phi$ を定 義する. また, $p=0$ である. これより以下の関係を得る. \begin{equation} \frac{\partial{\phi}}{\partial t} + g\eta = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta \end{equation} \medskip 先の場合と同様に, $\partial\phi/\partial t$ は $z=0$ でも同様に評価でき るから, 以下の境界条件を得る: \begin{equation} \frac{\partial{\phi}}{\partial t} + g\eta = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=0 \label{boundary-6} \end{equation} \subsubsection{● 表面重力波の解の導出} これまでを要約すると, 解くべき方程式, 境界条件は以下の様になる: $$ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} = 0 \eqno(\ref{laplace-eq}) $$ $$ \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H \eqno(\ref{boundary-1}) $$ $$ \frac{\partial\eta}{\partial t} = \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \eqno(\ref{boundary-5}) $$ $$ \frac{\partial{\phi}}{\partial t} = - g\eta \qquad \mbox{at} \quad z=0 \eqno(\ref{boundary-6}) $$ \medskip ここで, 解 $\eta(x,t)$ の形を以下のように仮定する. \begin{equation} \eta = a\cos(kx-\omega t) \label{eta-solution} \end{equation} \medskip ただし, $k, \omega$ はそれぞれ東西波数, 振動数である. この $\eta$ を用い ると, (\ref{boundary-5}),(\ref{boundary-6})より $\phi$ は, sin 型の関数 になることが分かる. これより, $\phi$ を以下のように仮定することにする: \begin{equation} \phi = f(z)\sin(kx-\omega t) \label{laplace-eq-solution} \end{equation} \medskip (\ref{laplace-eq-solution})を(\ref{laplace-eq})に代入して次式を得る: $$ \frac{d^{2}f}{dz^{2}} - k^{2}f = 0 $$ \medskip この一般解は次のようになる: \begin{equation} f(z) = Ae^{kz} + Be^{-kz} \end{equation} \medskip したがって, 速度ポテンシャルは次のように表される: \begin{equation} \phi = (Ae^{kz} + Be^{-kz})\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-2} \end{equation} \medskip これより(\ref{boundary-1})式から以下の関係式を得る: \begin{equation} B = Ae^{-2kH} \label{A-B-kankei-1} \end{equation} \medskip また, (\ref{sokudo-potential-2})の左辺において $$ \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} = k(Ae^{k\eta}-Be^{-k\eta})\sin(kx-\omega t) $$ \medskip である. ここではじめの仮定(自由表面の傾斜と振幅は小さい)より $k\eta\ll 1$ であるから $e^{k\eta}\simeq e^{-k\eta}\simeq 1$ である. したがって (\ref{eta-solution}),(\ref{sokudo-potential-2})を (\ref{boundary-5})に代入して次の関係を得る: \begin{equation} k(A-B) = a\omega \label{A-B-kankei-2} \end{equation} \medskip よって, (\ref{A-B-kankei-1}),(\ref{A-B-kankei-2})から $A,B$ は次のように なる. \begin{equation} A = \frac{a\omega}{k(1-e^{-2kH})}, \qquad B = \frac{a\omega e^{-2kH}}{k(1-e^{-2kH})} \end{equation} \medskip よって速度ポテンシャルは次のようになる: \begin{eqnarray} \phi &=& \left( \frac{a\omega e^{ kz}}{k(1-e^{-2kH})} +\frac{a\omega e^{-2kH}e^{-kz}}{k(1-e^{-2kH})} \right) \sin(kx-\omega t) \nonumber \\ &=& \frac{a\omega}{k} \frac{e^{kz} + e^{-2kH}e^{-kz}}{1-e^{-2kH}} \sin(kx-\omega t) \nonumber \\ &=& \frac{a\omega}{k} \frac{e^{k(z+H)} + e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}} \sin(kx-\omega t) \nonumber \\ &=& \frac{a\omega}{k} \frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-3} \end{eqnarray} したがって, 速度成分は次のようになる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} u &=& a\omega\displaystyle\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \\[2ex] w &=& a\omega\displaystyle\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \\ \end{array} \label{laplace-eq-solution-2} \end{equation} \subsection{表面重力波の分散関係式} 表面重力波の分散関係式は, (\ref{eta-solution})と (\ref{sokudo-potential-3})を(\ref{boundary-6})に代入して得られる: \begin{equation} \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \label{hyoumen-gw-bunsan} \end{equation} \medskip よって, 位相速度 $c=\omega/k$ は次の様になり, 分散性($c$ の波数依存性)が あることがわかる. \begin{equation} c = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \label{hyoumen-gw-phase-speed} \end{equation} \subsection{表面重力波の圧力成分} 次に圧力成分を考える. 圧力 $p$ は以下の線形化した Bernoulli's equation を満たす: \begin{equation} \frac{\partial\phi}{\partial t} + \frac{p}{\rho} + gz = 0 \label{bernoulli-p} \end{equation} \medskip ただし, 外力は 0 とした. ここで, \begin{equation} p' \equiv p - \underbrace{(-\rho gz)}_{静止場での圧力} = p + \rho gz \end{equation} であるから, この $p$ を(\ref{bernoulli-p})に代入して以下の式を得る: \begin{equation} p' = -\rho\frac{\partial\phi}{\partial t} \end{equation} \medskip よって, 上式に(\ref{sokudo-potential-3})を代入すると, $p'$ は以下のよう になる: \begin{equation} p' = \frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-1} \end{equation} \medskip さらに, (\ref{hyoumen-gw-p-1})に分散関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を代 入すると次式を得る: \begin{equation} p' = \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-2} \end{equation} \subsection{浅水波・深水波近似}\label{shallow-deep-water} $H/\lambda\ll 1$ とする近似を{\bf 浅水波近似}, $H/\lambda\gg 1$ とする場合の近 似を{\bf 深水波近似}と呼ぶ. 本節ではこれらの近似を用いて表面重力波の性質をまと める. \subsubsection{● 深水波近似} $x\rightarrow\infty$ のとき $\tanh x\rightarrow 1$ であるから, 深水波近 似 $H/\lambda \gg 1$ を適用すると表面重力波の位相速度 (\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) は次のようになる: \begin{eqnarray} c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\ &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}} \nonumber\\ &=& \sqrt{\frac{g}{k}} \end{eqnarray} これより, 深い流体上の表面重力波は, 波長が長い波ほどより早く伝播すること が分かる. 一方 $H/\lambda \gg 1$ の場合, (\ref{laplace-eq-solution-2})よ り流体粒子の速度成分は以下のようになることがわかる: \begin{eqnarray} u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}+e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}+\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\ &\simeq& a\omega e^{kz}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex] w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}-e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\ &\simeq& a\omega e^{kz}\sin(kx-\omega t) \end{eqnarray} これより, 速度ベクトルは, $x$ が正の方向に伝播する波の場合, 振動数 $\omega$ で時計回りに回転することが分かる. このとき, 振幅は水深($z=z_{0}$) と振動数で決まり $a\omega e^{kz_{0}}$ の一定値を取り続ける. 一方, 圧力成 分(\ref{hyoumen-gw-p-2})式は, 深水波近似のもとでは以下のようになる: \begin{eqnarray} p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ &=& \rho ga\frac{e^{k(z+H)-e^{-k(z+H)}}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ &=& \rho ga\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ &\simeq& \rho ga e^{kz}\cos(kx-\omega t) \end{eqnarray} これより, 波の運動による圧力の変化は, 深さと共に指数関数的に減衰していく ことがわかる. したがって, 底に達することが出来るのは長波の波のみである. \subsubsection{● 浅水波近似} $x\rightarrow 0$ のとき $\tanh x\rightarrow x$ であるから, 浅水波近 似 $H/\lambda \ll 1$ を適用すると表面重力波の位相速度 (\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) は次のようになる: \begin{eqnarray} c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\ &=& \sqrt{gH} \end{eqnarray} これより, 浅い流体上の表面重力波の速度は, 深さにのみ依存し波長には依存し ないことが分かる. 一方 $H/\lambda \ll 1$ の場合, $$ \cosh k(z+H) \simeq 1, \qquad \sinh k(z+H) \simeq k(z+H), \qquad \sinh kH \simeq kH $$ \medskip であるから, (\ref{laplace-eq-solution-2})より流体粒子の速度成分は以下の ようになることがわかる: \begin{eqnarray} u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& \frac{a\omega}{kH}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex] w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\ &=& a\omega\left(1+\frac{z}{H}\right)\sin(kx-\omega t) \end{eqnarray} これより鉛直速度成分は水平速度成分よりもはるかに小さいことが分かる. 一方, 圧力成分(\ref{hyoumen-gw-p-2})式は, 浅水波近似のもとでは以下のようになる: \begin{eqnarray} p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ &\simeq& \rho ga\cos(kx-\omega t) = \rho g \eta \end{eqnarray} ここで, $\eta$ について(\ref{eta-solution})を用いた. これより, 圧力の変 動は水深に独立であり, 各層の圧力変化は表面変位の変動による圧力の増加に等 しい. それ故, 浅水波では完全な静水圧平衡が成り立っていることが分かる. \subsection{表面重力波の波のエネルギーとフラックス} \subsubsection{● 表面重力波の波のエネルギー} 表面重力波は, 流体の運動による運動エネルギーと自由表面の変位によるポテン シャルエネルギーを持っている. 単位水平面積あたりの運動エネルギー $E_{k}$ は, 以下のように層厚にわたっての積分を施した後, 一波長あたりの平均を取る ことで得られる: \begin{equation} E_{k} = \frac{\rho}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}\frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})dzdx \end{equation} \medskip ここで, 鉛直積分は $z=0$ まで行う. これは, $z=\eta$ まで計算すると高次の 項が生じてしまうためである. 上式に(\ref{laplace-eq-solution-2})を代入す ると以下のようになる: \begin{eqnarray} E_{k} &=& \frac{\rho}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}a^{2}\omega^{2} \left[ \frac{\cosh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\cos^{2}(kx-\omega t) +\frac{\sinh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\sin^{2}(kx-\omega t) \right]dzdx \nonumber \\ &=& \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH} \left[ \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz \right.\nonumber \\ & &\qquad\qquad\qquad \left. +\frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz \right] \end{eqnarray} ここで, $x$ 積分について, 表面変位 $\eta$ を用いると以下のようになる: \begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx \\ &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2}dx = \overline{\eta^{2}} \end{eqnarray*} ここで, $\overline{\eta^{2}}$ は平均自乗変位である. これを用いて $E_{k}$ を書き換えると次のようになる: \begin{eqnarray} E_{k} &=& \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH} \left[ \overline{\eta^{2}} \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz +\overline{\eta^{2}} \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz \right] \nonumber \\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH} \left[ \int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4} dz +\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}-2}{4} dz \right] \nonumber \\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH} \frac{1}{4} \left[ \left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \right. \nonumber \\ & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}-2z\right]_{-H}^{0} \right] \nonumber \\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH} \frac{1}{4} \left[ \left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right] \right. \nonumber \\ & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left. +\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}+2H\right)\right] \right] \nonumber \\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{8\sinh^{2}kH}\cdot\frac{2}{k}\left(\frac{e^{2kH}-e^{-2kH}}{2}\right) \nonumber\\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\sinh 2kH \nonumber\\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \nonumber\\ &=& \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH} \qquad\qquad \leftarrow \mbox{この $\omega$ に分散関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を代入して}\nonumber\\ &=& \frac{\rho\cdot(gk\tanh kH)\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH}\nonumber\\ &=& \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{kinetic-E} \end{eqnarray} 次に, ポテンシャルエネルギーについて考える. ポテンシャルエネルギーは, 水 平の自由平面を持ち上げるときになされる仕事として定義される. これは, 波が 存在し盛り上がった場のポテンシャルエネルギーと波の無い静止場のポテンシャ ルエネルギーの差に等しい. $y$ 方向の単位長さあたりの流体要素のポテンシャ ルエネルギーは $\rho gzdxdz$ であるから, 単位水平面積あたりの波のポテン シャルエネルギー $E_{p}$は, 以下のようになる: \begin{eqnarray} E_{p} &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{\eta}zdzdx -\frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}zdzdx \nonumber \\ &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{0}^{\eta}zdzdx \nonumber \\ &=& \frac{\rho g}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2} dx \qquad \leftarrow\mbox{$\overline{\eta^{2}}$ の定義を用いて} \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{potential-E} \end{eqnarray} \vspace{-12mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.8.ps} \end{center} \caption{流体柱のポテンシャルエネルギーの計算} \end{figure} (\ref{kinetic-E})と(\ref{potential-E})を比較すると, 平均運動エネルギーと ポテンシャルエネルギーは等しいことが分かる. これは{\bf エネルギー等分配 の原理}({\it principle of equipartition of energy})と呼ばれ, 地球の回転 の影響を受けない小振幅の振動において成り立つ. 単位水平面積あたりの流体柱 における波の全エネルギーは以下のようになる. \begin{equation} E = E_{k} + E_{p} = \rho g\overline{\eta^{2}} = \frac{1}{2}\rho g a^{2} \end{equation} ここで, $\eta$ が正弦波の場合, $\cos^{2}x$ の一波長平均は, $1/2$ である から, $\overline{\eta^{2}} = a^{2}$ ($a$ は正弦波の振幅)であることを用い た. \subsubsection{● 表面重力波の波のエネルギーフラックス} 次に, 波数 $k$ の波(正弦波)によるエネルギーの伝達率(エネルギーフラックス) についてまとめる. $x=0$ の鉛直平面を横切るエネルギーフラックスは, $x>0$ の領域の流体が$x<0$ の領域の流体からなされた圧力による仕事に等しい. 波頭 の単位長さあたり時間平均したエネルギーフラックスは, 擾乱場(波のあるとこ ろ)の圧力 $p'$ の和を $p$, 背景場の圧力を $-\rho gz$ として以下のように なる: \begin{equation} F = \biggm\langle \int_{-H}^{0} pudz \biggm\rangle = \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'u dz \biggm\rangle -\rho g\int_{-H}^{0}zdz = \biggm\langle \int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \label{energy-flux-1} \end{equation} ここで, $<~>$ は波の周期にわたる平均を示し, $=0$ であることを用いた. また, $p'$ は(\ref{hyoumen-gw-p-2})で与えられる. したがって, (\ref{energy-flux-1})に(\ref{laplace-eq-solution-2}) の $u$ と (\ref{hyoumen-gw-p-2})を代入すると, 以下のようになる: \begin{eqnarray} F &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \nonumber\\ &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}\left[\frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\times a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\right] dz \biggm\rangle \nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz \nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4}dz \nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right] \nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(\sinh 2kH + 2kH)\nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(2\sinh kH\cosh kH + 2kH)\nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\nonumber\\ &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{2k^{2}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \end{eqnarray} ここで, $\langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle = 1/2$ である. さらに, 分散 関係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})を用いると, 求めるエネルギーフラックスは 以下のようになる. \begin{eqnarray} F &=& \frac{1}{2}\rho a^{2}\frac{1}{2k^{2}}\frac{gk\tanh kH\sqrt{gk\tanh kH}}{\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{\sqrt{gk\tanh kH}}{2k} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \label{energy-flux-2} \end{eqnarray} %\Dchapter*{1.3 群速度とエネルギーフラックス} \section{群速度とエネルギーフラックス} 本節では, 位相速度が波数に依存するような分散性のある波を扱う. 分散性のあ る波の場合, 波のエネルギーは位相速度ではなく群速度で伝播する. 以下では, この群速度とエネルギーフラックスの関係についてまとめる. \subsection{群速度} はじめに, 振幅が等しく波数のわずかに異なる($k_{1},k_{2}$; したがって, 振 動数もわずかに異なる; $\omega_{1},\omega_{2}$)二つの波の重ね合わせを考える. \begin{eqnarray} \eta &=& a \cos(k_{1}x-\omega_{1}t) + a\cos(k_{2}x-\omega_{2}t) \nonumber\\ &=& 2a \cos\left[ \frac{1}{2}(k_{2}-k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1})t \right] \cos\left[ \frac{1}{2}(k_{2}+k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}+\omega_{1})t \right] \end{eqnarray} ここで, $k=(k_{1}+k_{2})/2, \omega=(\omega_{1}+\omega_{2}), dk=k_{2}-k_{1}, d\omega = \omega_{2}-\omega_{1}$ とおくと次式を得る: \begin{equation} \eta = 2a\cos\left( \frac{dk}{2}x -\frac{d\omega}{2}t \right) \cos(kx-\omega t) \end{equation} ここで, $\cos(kx-\omega t)$ は位相速度 $c=\omega/k$ で進行する波である (個々の波). しかし, その振幅 $2a$ は $\cos[dk x/2 - d\omega t/2]$ の関数 によって, ゆっくり変化する(波長 $4\pi/dk$, 周期 $4\pi/d\omega$)(図\ref{group-velocity}). \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[11.5cm]{ps/FM-Fig.7.16.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{二つの正弦波の線形の重ね合わせによる連続した群速度の形成. } \label{group-velocity} \end{figure} この振幅変調が伝播していく速度(波長/周期)は以下のようになる: \begin{equation} c_{g} = \frac{d\omega}{dk} \label{gunsokudo-teigi-1} \end{equation} \medskip 上記のように, 速く変化する正弦波とゆっくり変化する正弦波の積により波群が 繰り返し形成される. この波群の速度 $c_{g}$ を{\bf 群速度}と呼ぶ. $c_{g}$ は, 分散曲線の接線の傾きに対応している(図\ref{k-omega-c-cg}). 群速度を一 次元のみで扱う場合には, $\omega$ は波の伝播方向 $k$ の関数として扱う. 三 次元の場合, $\omega(k,l,m)$ は波数ベクトル ${\Vectm K}=(k,l,m)$ の関数で ある. このとき, 群速度ベクトルは直交座標系のテンソル表記を用いると以下の ようになる: \begin{equation} c_{gi} = \frac{d\omega}{dK_{i}} \label{gunsokudo-teigi-2} \end{equation} \medskip ここで, $K_{i}$ は $\Vectm K$ の成分を表す. 群速度ベクトルは, それ故, 波 数空間における $\omega$ の傾きに等しいことが分かる. \subsubsection{● $c_{g}< c$ の場合} この場合, 波頭({\it wave crest})はどの節点({\it nodal point})でも現れな くなり波群({\it envelope})全体を通して波頭は前に進む. これら波頭は, 次の 節点にやって来ると消失する. \subsubsection{● $c_{g}> c$ の場合} この場合, 個々の波頭は先にある節点で現れ, 後ろの節点で消失する様に見える. これは, 波群全体を通して波頭が波群に相対的に後ろに進んでいるように見える からである. \vspace{-5mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.17.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{分散曲線 $\omega(k)$ と $c, c_{g}$ との対応.} \label{k-omega-c-cg} \end{figure} \subsection{波束と群速度} {\bf 波束}({\it wave packet})は, $\delta k$ の狭い領域内に存在するすべて の波数の波が重なって出来たものである. 波群は, この波束が複数集まって出来 たものである. 波束の中心には波数 $k$ の波が存在する. 波束の振幅は, $1/\delta k$ のオーダの長さで減衰する(図\ref{wave-packet}). \\ 波群の形の初期値を以下のように与える: \begin{equation} \eta = a(x)\cos kx \end{equation} \medskip 上記の波形は, 少し時間がたった後では以下のように変化する: \begin{equation} \eta = a(x-c_{g}t)\cos(kx-\omega t) \end{equation} \medskip ここで $c_{g}=d\omega/dk$ である. これは, 波束の振幅が群速度で移動して行 く様子を表している. このことから, $c_{g}$ は波のエネルギーが伝播する速度 に等しくなければならないことがわかる. なぜなら, 節点自身が $c_{g}$ で移 動し, 波のエネルギーは節点を越えて伝播することが出来ないためである.\\ 表面重力波の場合, 分散関係式は $$ \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \eqno(\mbox{\ref{hyoumen-gw-bunsan}}) $$ \medskip であるから, 群速度は以下のようになる: \begin{equation} c_{g} = \frac{c}{2}\left[ 1+\frac{2kH}{\sinh 2kH}\right] \label{gw-gunsokudo} \end{equation} \medskip ここで, 深水波近似($H/\lambda \gg 1$), 浅水波近似($H/\lambda \ll 1$)のも とではそれぞれ $\sinh 2kH\rightarrow \infty, \sinh 2kH\rightarrow 2kH$ となるから, 群速度はそれぞれ以下のようになる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} c_{g} &=& \displaystyle\frac{1}{2}c \qquad \mbox{(deep water)}\\ [1ex] c_{g} &=& c \qquad \mbox{(shallow water)} \end{array} \end{equation} \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[12cm]{ps/FM-Fig.7.18.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{$\delta k$ の狭い波数帯の波束の様子. } \label{wave-packet} \end{figure} 線形の非分散の系においては, どんな波束もその形は保存される. それは, 上記 の shallow water の結果に見るように, どんな波長の波も同じ位相速度で進む ためである. 一方, deep water のような分散系においては, 以下の図に見られ るように, 各々の波長で位相速度が異なる. したがって群速度も異なる(長波長 の波ほど群速度は大きい)ので, 初期に与えた擾乱は各々の波長の波に分離(分散) していく様子が見られる. \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.19.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{水面に石を投じた場合の水面のプロファイルを3つの時間にわけて書 いたもの.} \end{figure} \subsection{群速度とエネルギーフラックス} 重力波のエネルギーの伝達率は, (\ref{energy-flux-2})で与えられる: $$ F = \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] = E\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \eqno(\mbox{\ref{energy-flux-2} }) $$ \medskip ここで, $E=\frac{1}{2}\rho ga^{2}$ は, 単位水平面積あたりの流体柱の平均 エネルギーである. (\ref{gw-gunsokudo})を用いると, 次式を得る: \begin{equation} F = Ec_{g} \end{equation} \medskip これは, 正弦波の波成分のエネルギーの伝達率は, (波のエネルギー) $\times$ (群 速度)で表されること, つまり, {\bf 波のエネルギーは群速度で伝播する}ことを 示している. %\Dchapter*{1.4 波線理論} \section{波線理論}\label{hasen-riron} \subsection{深さ $H$ が一定の場合} 深さ $H$ がどこでも一定の流体の場合, {\bf $c_{g}$ の速度で移動する観測者 からみると波数 $k$ は変化しない}. 本節ではこのことを示すため, 波長が徐々 に変化するような波列を考えることにする. このような波列では, 連続した波頭 の間の距離は, 時間, 空間でゆっくり変化する. ここでは, 局所的に以下のよう な形で自由表面の変位が記述できるものとする: \begin{equation} \eta = a(x,t)\cos[\theta(x,t)] \end{equation} \medskip ここで, $a(x,t)$ はゆっくり変化する振幅, $\theta$ はその場所の位相である. また, 波数 $k$, 振動数 $\omega$ の場合の位相角は, $\theta=kx-\omega t$ である. 徐々に変化する波列の場合, 時空間における位相の変化率として, 局所 波数 $k(x,t)$, 局所振動数 $\omega(x,t)$ を定義することができる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} k &=& \displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial x} \\ [2ex] \omega &=& -\displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial t} \end{array} \end{equation} \medskip 交互に微分を施すと次式を得る: \begin{equation} \frac{\partial k}{\partial t} + \frac{\partial \omega}{\partial x} = 0 \label{k-omega-eq} \end{equation} \medskip ここで, $H$ は一定であるから, $\omega$ は $k$ のみの関数 $\omega = \omega(k)$ であると仮定する. このとき, \begin{equation} \frac{\partial\omega}{\partial x} = \frac{d\omega}{dk}\frac{\partial k}{\partial x} \end{equation} となるから, (\ref{k-omega-eq})式は次の様になる: %\Dchapter*{1.4 波線理論} \begin{equation} \frac{\partial k}{\partial t} + c_{g}\frac{\partial k}{\partial x} = 0 \label{k-equation} \end{equation} \medskip ここで, $c_{g}=d\omega/dk$ である. (\ref{k-equation})の左辺は, ラグラン ジュ微分と同様の形をしており, 速度 $c_{g}$ で動く観測者から見たときの $k$ の変化の割合を与えることがわかる. この変化の割合が 0 であることから, そのような観測者から波を観測すると, いつも同じ波長の波が観測される. それ 故, 群速度は波数 $k$ が移流する速度であることがわかる(図 \ref{k-omega-const-line}). 図\ref{k-omega-const-line} において, 波頭は $dx/dt=c$ となる線に沿っている. 一方, 波長は $dx/dt=c_{g}$ となる線に沿っ て保存(同じ値を取る)している. 擾乱が与えられた領域の幅は, 図 \ref{k-omega-const-line} の最初の太線と最後の太線に囲まれた領域の幅に対 応している. この幅は, 時間と共に増加するものの, 波頭は波群の後ろから現れ 波群の前で消えて行く様子が見られる. \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.20.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{一様な流体中を波群が伝播する様子を $x-t$ 平面で表したもの. 細 線は波頭のとる線, 太線は $k$ と $\omega$ が等しくなるところを結んだ線で ある.} \label{k-omega-const-line} \end{figure} \subsection{深さ $H$ が変化する場合} $c_{g}$ の速度で動く観測者から見ると, どこでも一様な性質を持つ流体中では 同じ波長の波しか観測されない, という前節での結果は, 深さ $H$ が場所によっ て変化するような本節の場合成り立たない. 本節では, 波動がいつも底を感じる ように浅水波を仮定する. このような場合, {\bf 波のエネルギーの伝播の経路 に沿って保存する(同じ値を取る)のは, 波長ではなく振動数である}. 以下では, このことを示すことにする. \\ $H(x)$ は徐々に(波長のスケールで)変化する場合を考える. このとき, 分散関 係式(\ref{hyoumen-gw-bunsan})は次のようになる: \begin{equation} \omega = \sqrt{gk\tanh kH(x)} \end{equation} \medskip これより $\omega$ は $k,x$ の関数になることがわかる: \begin{equation} \omega=\omega(k,x) \end{equation} \medskip この場合, 群速度は一点で局所的に求めることが出来る. \begin{equation} c_{g}(k,x) = \frac{\partial\omega(k,x)}{\partial k} \end{equation} \medskip 両辺右から $\partial k/\partial t$ を掛けると次のようになる: \begin{equation} c_{g}\frac{\partial k}{\partial t} = \frac{\partial\omega}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial t} = \frac{\partial\omega}{\partial t} \end{equation} \medskip (\ref{k-omega-eq})に $c_{g}$ を掛けて上式の結果を用いると次式を得る: \begin{equation} \frac{\partial\omega}{\partial t} + c_{g}\frac{\partial\omega}{\partial x} = 0 \end{equation} \medskip 3次元の系では以下のようになる: \begin{equation} \frac{\partial\omega}{\partial t} + {\Vectm c_{g}}\cdot{\Vectm \nabla}\omega = 0 \end{equation} \medskip 上式から, 深さ $H$ が変化するような非一様流体中では, 群速度で動く観測者 からみたときに保存する(同じ値を取る)物理量は, 振動数であることが分かる. \\ 以上, 二つの小節の結果をまとめると次のようになる. 深さ $H$ が一定の流体 の場合, $c_{g}$ の速度で動く観測者から見て保存するのは, $k, \omega(k), c, c_{g}$ である. その結果, $x-t$ 平面では群速度を表す波線({\it ray path})は直線になる(図\ref{k-omega-const-line}). 一方, 深さ $H$ が変化す る流体の場合, $c_{g}$ の速度で動く観測者から見て($dx/dt=c_{g}$ の線上で) 保存するのは, $\omega$ のみである. この場合 $k,c,c_{g}$ は変化する. その 結果, $x-t$ 平面の波線は直線にはならない(図\ref{k-omega-const-line-2}). \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.21.ps} \end{center} \vspace{-5mm} \caption{非一様な流体中を波群が伝播する様子を $x-t$ 平面で表したもの. $\omega$ が一定となる波線のみを書いている.} \label{k-omega-const-line-2} \end{figure} %\setcounter{chapter}{2} %\setcounter{section}{0} %\Dtitle[第2章 重力波(非回転系)−浅水重力波]{} %\Dchapter*{2.1 浅水重力波} %\chapter*{第2章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−浅水重力波} \chapter{非回転系重力波 1 − 浅水重力波} \section{浅水重力波(Shallow-Water Gravity Waves)} 表面重力波のうち, 浅水波近似したものを浅水重力波と呼ぶ. 本節では, 浅水重 力波の特徴についてまとめることにする. \subsection{浅水重力波の定性的な特徴} \begin{itemize} \item 浅水重力波は, 自由表面(free surface)をもつ非圧縮流体, もしくは, 非圧縮な流体内部で密度の不連続がある場合に存在する波で, 等密度面 中を伝播する. \item 浅水重力波の復元力は, 自由表面もしくは, 界面にはたらく圧力(重力) であり, 鉛直方向を向いている. この復元力は, 波の伝播の方向と垂直 である(横波)\footnote{これに対し, 圧縮性流体に存在する音波は, 復 元力の方向と波の伝播の方向が平行であり縦波である.}. \end{itemize} \subsection{浅水重力波の定性的な伝播メカニズム} 浅水重力波の伝播メカニズムについて考察するため, 図\ref{hyoumen-gw-pic} のような $x$ 軸方向に広がった水路を考える. 図\ref{hyoumen-gw-pic} のよう に, 表面もしくは, 密度不連続面の界面(interface)が上下に振動すると, 水平 方向の圧力傾度力が変化するため水平方向に正負の加速度が発生し, 流体中に収 束域と発散域が作られる. 収束域, 発散域はそれぞれ高圧部, 低圧部を形成す るから, 元々存在する高圧部, 低圧部は時間が立つと新たに形成された高圧部, 低圧部へと位相伝播する(図\ref{hyoumen-gw-pic}). \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[11cm]{ps/Fig7.6.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$x$ 軸右向きに伝播する浅水重力波(表面重力波).} \label{hyoumen-gw-pic} \end{figure} \subsection{浅水重力波の定式化} 本節では, 浅水重力波を定式化する. 図\ref{hyoumen-gw-pic-2} のように, 密 度の異なる二つの一様な非圧縮流体\footnote{非圧縮の仮定により, 音波を除去 する.}を考える. ここで, 下層の密度 $\rho_{1}$ (定数)は, 上層の密度 $\rho_{2}$ (定数)よりも大きいとし(安定成層した状態を考える), 静水圧した 系を考える. このとき, それぞれの層の水平圧力傾度力は, 高度に依存しない定 数となる. $$ \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right) = - \frac{\partial \rho}{\partial x}g = 0 $$ \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[10cm]{ps/Fig7.7.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$x$ 軸右向きに伝播する浅水重力波(2層モデル).} \label{hyoumen-gw-pic-2} \end{figure} 簡単のため, 上層の水平圧力傾度力は 0 とする. 図\ref{hyoumen-gw-pic-2} に おいて, 点Aと点Bに於ける圧力はそれぞれ次のようになる: $$ p + \delta p_{1} = p + \rho_{1}g\delta z = p + \rho_{1}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x, $$ $$ p + \delta p_{2} = p + \rho_{2}g\delta z = p + \rho_{2}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x. $$ \medskip ここで $\partial h / \partial x$ は, 界面の傾斜を表す. $\delta x\rightarrow 0$ とすると, 下層の圧力傾度力が得られる: $$ \lim_{\delta x \rightarrow 0}\left[\frac{(p + \delta p_{1}) - (p + \delta p_{2})}{\delta x}\right] = g\delta\rho\frac{\partial h}{\partial x} $$ \medskip ここで, $\delta\rho = \rho_{1}-\rho_{2}$ である. 運動は $x-z$ 平面に限ら れ2次元的であると仮定すると, 下層の $x$ 方向の運動方程式は次のようになる. \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z} = - \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h}{\partial x} \label{x-eq} \end{equation} \medskip 一方, 連続の式は, \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0. \end{equation} \medskip (\ref{x-eq})の圧力傾度力は $z$ に独立であるから, 初期に $u\not=u(z)$ を 仮定すると, $u$ は $z$ に独立な関数である. このとき(\ref{x-eq})を下層境 界 $z=0$ から界面の高さ $z=h$ まで鉛直方向に積分すると以下のようになる: $$ w(h) - w(0) = -h\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) $$ \medskip 一方, $w(h)$ は界面の高さの時間変化の割合に等しいから, $$ w(h) = \frac{Dh}{Dt} = \frac{\partial h}{\partial t} + u\frac{\partial h}{\partial x} $$ \medskip また, $w(0) = 0$ (下端境界条件)である. ゆえに, 連続の式を鉛直方向に積分 して, \begin{equation} \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(hu) = 0. \label{renzoku-2d-h} \end{equation} \medskip さらに, $u,h$ を以下のように摂動展開する: $$ u = \overline{u} + u', \qquad h = H + h' $$ \medskip ここで, $\overline{u}$ は基本場の東西流を表し定数である. また, $H$ は下 層の平均深さをあらわす. (\ref{x-eq})と(\ref{renzoku-2d-h})を摂動展開すると, \begin{equation} \frac{\partial u'}{\partial t} + \overline{u} \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h'}{\partial x} = 0 \label{setudou-u-eq} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial h'}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial h'}{\partial x} + H \frac{\partial u'}{\partial x} = 0 \label{setudou-h-eq} \end{equation} \medskip ここで, $H \gg |h'|$ と仮定し, 摂動の2次以上の項は消去した. (\ref{setudou-u-eq})と(\ref{setudou-h-eq})から $u'$ を消去すると, 次式を 得る. \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right)^{2} h' - \frac{gH\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial^{2}h'}{\partial x^{2}} = 0 \label{setudou-u-eq2} \end{equation} \medskip 以下のような波型の解 $$ h' = A\exp[ik(x-ct)] $$ \medskip を仮定し(\ref{setudou-u-eq2})に代入すると, 位相速度 $c$ は以下のように なる: \begin{equation} c = \overline{u} \pm \sqrt{\frac{gh\delta\rho}{\rho_{1}}} \end{equation} \medskip 上層が大気, 下層が水面の様な場合には, $\delta\rho \approx \rho_{1}$ とな るから, 位相速度は以下のようになる: $$ c = \overline{u} \pm \sqrt{gH} $$ \medskip $\sqrt{gH}$ は浅水波の速度と呼ばれ, 流体の厚さよりも波長がはるかに長いよ うな波の場合には妥当な速度である. %\setcounter{chapter}{3} %\setcounter{section}{0} %\Dtitle[第3章 重力波(非回転系)−内部重力波]{} %\Dchapter*{3.1 内部重力波} %\chapter*{第3章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(非回転系)−内部重力波} \chapter{非回転系重力波 2 − 内部重力波} \section{内部重力波(Internal Gravity (Buoyancy) Waves)} 本節では, 大気中を伝播する重力波(大気重力波)について考察する. はじめに, 純粋な内部重力波についてその特徴をまとめ, 定式化を行う. 続けて, 地形性の 重力波についてまとめることにする. \subsection{大気重力波の定性的な特徴} \begin{itemize} \item 大気重力波は, 大気が安定成層している場合にのみ存在し, 密度の不連 続な流体中を伝播する波である. \item 大気重力波の復元力は, 鉛直方向に変位した流体パーセルに働く浮力で ある. \item 水平だけでなく鉛直伝播も可能である\footnote{海洋は上下に境界があ りそこで反射を受けるため, 障害無く伝播できるのは水平方向に伝播す る波のみ.}. 鉛直伝播する波を特に{\bf 内部波(内部重力波)}と 呼ぶ. \item 流体の回転は考えない. \end{itemize} \subsection{純粋な内部重力波(パーセル法による解釈)} 簡単のため, $x,z$ 平面を伝播する2次元の内部重力波を扱う. 流体の回転はな い. 内部重力波は重力波の特徴である横波の性質をもつから, パーセルの振動は, 図\ref{naibu-gw-pic-percel} のように, 等位相線に対して平行である. \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[12cm]{ps/Fig7.8.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{鉛直方向に対して $\alpha$ の角度の等位相線をもつ重力波のパーセルの振動の模式図.} \label{naibu-gw-pic-percel} \end{figure} 図\ref{naibu-gw-pic-percel} で示すように, 鉛直方向に対して $\alpha$ の角 度の等位相線にそって, 距離 $\delta s$ だけ変位したパーセルを考える. この とき鉛直方向の変位$\delta z = \delta s \cos\alpha$ であるから, このパー セルに働く単位質量あたりの浮力は, $-N^{2}\delta z$ である($N$ は浮力振動 数\footnote{$N^{2}=g\frac{d\ln\theta_{0}}{dz}$}). したがって, 図 \ref{naibu-gw-pic-percel} のように傾いた等位相線に沿って振動するパーセル に働く浮力は以下のようになる: $$ -N^{2}\delta z = -N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha = -(N\cos\alpha)^{2}\delta s $$ \medskip よって, 等位相線に沿って振動するパーセルの運動方程式は次のようになる: \begin{equation} \frac{d^{2}(\delta s)}{dt^{2}} = - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \label{naibu-gw-eq} \end{equation} \medskip 上式より $$ \delta s = exp[\pm i(N\cos\alpha)t] $$ \medskip を得る. これより, パーセルは振動数 $\nu = N\cos\alpha$ で振動することが 分かる. \subsection{純粋な内部重力波の定式化} 純粋な内部重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である. \begin{itemize} \item 運動は2次元($x,z$ 平面) \item 流体の回転はなし \item ブジネスク近似(浮力項中の重力を除き密度一定(ゆえに, 非圧縮流体) として扱う\footnote {これは, 鉛直スケールが大気のスケールハイト ($H \approx$ 8km)より小さい場合には妥当な近似である.}) \item 基本場は東西平均流のみ \item 静水圧平衡 \end{itemize} 上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる: \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + w\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} = 0 \label{naibu-gw-eq1} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + w\frac{\partial w}{\partial z} + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} + g = 0 \label{naibu-gw-eq2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 \label{naibu-gw-eq3} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \theta}{\partial t} + u\frac{\partial \theta}{\partial x} + w\frac{\partial \theta}{\partial z} = 0 \label{naibu-gw-eq4} \end{equation} \medskip ここで, 温位 $\theta$ は \begin{equation} \theta = \frac{p}{RT}\left(\frac{p_{s}}{p}\right)^{\kappa} \label{oni-eq} \end{equation} \medskip である. 次に, (\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{naibu-gw-eq4})を以下のように線 形化する. \begin{eqnarray} \rho &=& \rho_{0} + \rho', \qquad u = \overline{u} + u'\nonumber \\ p &=& \overline{p}(z) + p', \qquad w = w'\\ \label{setudou-tenkai1} \theta &=& \overline{\theta}(z) + \theta' \nonumber \end{eqnarray} ここで, 基本場の東西流 $\overline{u}, \rho_{0}$ は共に定数である. また, 静水圧平衡より \begin{equation} \frac{d\overline{p}}{dz} = -\rho_{0}g \end{equation} 基本場の温位は, (\ref{oni-eq})を満たすから, \begin{eqnarray} \ln \overline{\theta} &=& \ln \left\{ \frac{\overline{p}}{\rho_{0}R}\left(\frac{p_{s}}{\overline{p}}\right)^{\frac{R}{c_{p}}} \right\} \nonumber \\ &=& \ln \overline{p}^{\left(1-\frac{R}{c_{p}}\right)} -\ln \rho_{0} +\ln \frac{p_{s}^{\frac{R}{c_{p}}}}{R} \nonumber \\ &=& \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p} -\ln \rho_{0} +\mbox{const.} \label{ln-oni-eq} \end{eqnarray} ただし, $\gamma = c_{p}/c_{v}$ である. (\ref{setudou-tenkai1})を (\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{oni-eq})に代入して線形化を行うと, (\ref{naibu-gw-eq2})左辺の残り二つの項は以下のように近似できる: \begin{eqnarray} \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + g &=& \frac{1}{\rho_{0}+\rho'}\left(\frac{d\overline{p}}{dz}+\frac{\partial p'}{\partial z}\right) + g \nonumber \\ &\approx& \underbrace{\frac{1}{\rho_{0}}\frac{d\overline{p}}{dz}}_{=-g}\left(1-\frac{\rho'}{\rho_{0}}\right) +\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} +g = \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} +\frac{\rho'}{\rho}g \label{seisuiatu-setudou} \end{eqnarray} また, (\ref{oni-eq})の摂動展開は以下のようにして得られる. \begin{eqnarray} \ln \left[ \overline{\theta}\left( 1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}} \right) \right] &=& \frac{1}{\gamma}\ln\left[ \overline{p}\left( 1 + \frac{p'}{\overline{p}} \right) \right] -\ln \left[ \rho_{0}\left( 1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}} \right) \right] +\mbox{const.} \\ \ln \overline{\theta} +\ln \left( 1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}} \right) &=& \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p} + \frac{1}{\gamma}\ln \left( 1 + \frac{p'}{\overline{p}} \right) -\ln \rho_{0} -\ln \left( 1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}} \right) +\mbox{const.} \nonumber \\ \ln \frac{\theta'}{\overline{\theta}} &=& \frac{1}{\gamma} \ln \frac{p'}{\overline{p}} -\ln \frac{\rho'}{\rho_{0}} \nonumber \end{eqnarray} ただし, ここで $\ln(1+\varepsilon)\approx \varepsilon$ (for $\varepsilon \ll 1$), (\ref{ln-oni-eq})を用いた. 以上より, $$ \frac{\theta'}{\overline{\theta}} = \frac{1}{\gamma} \frac{p'}{\overline{p}} -\frac{\rho'}{\rho_{0}} $$ \medskip $\rho'$ について解くと, \begin{equation} \rho' \approx - \rho_{0}\frac{\theta'}{\overline{\theta}} + \frac{p'}{c_{s}^{2}} \end{equation} \medskip ここで, $c_{s}\equiv\overline{p}\gamma / \rho_{0}$ は音波の速度の2乗であ る. 内部重力波の場合, 圧力変化による密度変化は, 温度変化による密度変化と 比べて小さい($|\rho_{0}\theta'/\overline{\theta}| \gg |p'/c_{s}^{2}|$)か ら, 故に以下の関係式を得る: \begin{equation} \frac{\theta'}{\overline{\theta}} = -\frac{\rho'}{\rho_{0}} \label{oni-setudou} \end{equation} (\ref{seisuiatu-setudou})と(\ref{oni-setudou})を用いて, (\ref{naibu-gw-eq1})〜(\ref{naibu-gw-eq4})は次のように線形化される: \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right)u' + \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x} = 0, \label{naibu-gw-setudou-eq1} \end{equation} \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right)w' + \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g = 0, \label{naibu-gw-setudou-eq2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial w'}{\partial z} = 0, \label{naibu-gw-setudou-eq3} \end{equation} \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right)\theta' + w'\frac{d\overline{\theta}}{dz} = 0. \label{naibu-gw-setudou-eq4} \end{equation} \medskip $\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq2})$/\partial z -$ $\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq1})$/\partial x$ より, $p'$ を消去し て, 渦度方程式の $y$ 成分を得る: \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right) \left( \frac{\partial w'}{\partial x} - \frac{\partial u'}{\partial z} \right) - \frac{g}{\overline{\theta}}\frac{\partial\theta'}{\partial x} = 0 \label{naibu-gw-setudou-uzudo1} \end{equation} \medskip (\ref{naibu-gw-setudou-eq3}), (\ref{naibu-gw-setudou-eq4})を用いて, (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo1})は次のようになる: \begin{equation} \left( \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x} \right)^{2} \left( \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}} \right) + N^{2}\frac{\partial^{2}w'}{\partial x^{2}} = 0 \label{naibu-gw-setudou-uzudo2} \end{equation} \medskip ここで, $N^{2}\equiv gd\ln\overline{\theta}/dz$ は浮力振動数の2乗(定数と 仮定)である. \subsection{内部重力波の分散関係} 内部重力波の分散関係を得るため, (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})に対して 以下のように波型の解を仮定する: \begin{equation} w' = \mbox{Re}[\hat{w}\exp(i\phi)] = w_{r}\cos\phi - w_{i}\sin\phi \label{w-modetenkai} \end{equation} \medskip ただし, $\hat{w}$ は複素振幅 $\hat{w}=w_{r}+iw_{i}$ ($w_{r}$ は実部, $w_{i}$ は虚部)であり, $\phi$ は位相 $\phi=kx+mz-\nu t$ を表す. 解は $x$ 方向には常に三角関数型であるから, 東西波数 $k$ は実数, 鉛直波数 $m$ は複 素数 $m=m_{r}+m_{i}$ ($m_{r}$ は $z$ 方向に三角関数型で変位するときの波 数を表し, $m_{i}$ はその符号が正か負であるかによって $z$ 方向で指数関数 的に増加するか減衰するかを表す.)\\ $m$ が実数の場合, 全波数 {\boldmath $k$}$\equiv (k,m)$ となる. {\boldmath $k$}は, {\bf 等位相線に垂直な方向を向いていて}, $k=2\pi/L_{x}, m=2\pi/L_{z}$ である. (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})を (\ref{w-modetenkai})に代入して以下の分散関係式を得る: $$ (\nu-\overline{u}k)^{2}(k^{2}+m^{2})-N^{2}k^{2}=0 $$ \medskip したがって, \begin{equation} \hat{\nu} \equiv \nu - \overline{u}k = \pm \frac{Nk}{\sqrt{k^{2}+m^{2}}} = \pm \frac{Nk}{|\mbox{\boldmath $k$}|} \label{naibu-gw-bunsan} \end{equation} \medskip ここで, $\hat{\nu}$ は {\it intrinsic frequency} と呼ばれ, 平均流に相対 的な振動数を表す($\nu$ が正(負)の場合には, 平均流に対して相対的に西風(東 風)である). \subsection{内部重力波の構造と伝搬メカニズム} 図\ref{naibu-gw-pic-phase} のように $k>0, m<0$ の場合, 等位相線は, 東に 傾いていることが分かる\footnote{等位相線は $\phi = kx + mz$ 一定の線であ るから, $k>0, m<0$ の場合, $x$ が増加のとき $z$ も増加する.}. (\ref{naibu-gw-bunsan})の正の方を選択すると, 水平, 鉛直位相速度はそれぞ れ $c_{x}=\hat{\nu}/k, c_{z}=\hat{\nu}/m$ で与えられるから, これは東向き かつ下向きの位相伝搬に対応する. \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[11cm]{ps/Fig7.9.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{内部重力波に於ける圧力, 温度, 速度場の位相の理想的な経度高度断面図. 細い矢印は, 速度場を表し, 太い矢印は, 位相速度を表す. 影を付けた領域は, 運動が上向きの領域を表す.} \label{naibu-gw-pic-phase} \end{figure} 一方, 群速度 $c_{gx}, c_{gz}$ は, 次式で与えられる: \begin{equation} c_{gx} = \frac{\partial \nu}{\partial k} = \overline{u} \pm \frac{Nm^{2}}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}, \label{naibu-gw-gunsokudo-x} \end{equation} \begin{equation} c_{gz} = \frac{\partial \nu}{\partial m} = \pm \frac{-Nkm}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}. \label{naibu-gw-gunsokudo-z} \end{equation} \medskip $\pm$ の符号は, (\ref{naibu-gw-bunsan})と同じように取る. これより, 以下 のことが分かる. \begin{itemize} \item {\bf 群速度の鉛直成分は, 平均流に対して相対的な鉛直位相速度の符号と逆符号を取る}(下向きに位相伝搬する場合は, エネルギーは上方伝播されることを意味する). \item {\bf 群速度ベクトルは等位相線に平行\footnote{{\boldmath $k$}との 内積が 0}}(∴群速度は位相速度と垂直) \end{itemize} 大気中の内部重力波は, 主に対流圏での積雲対流や地形上の流れによって励起さ れるので, 個々の流体パーセルの振動が鉛直方向数km以内に限られていたとして も, エネルギーは上向きに伝播し成層圏にまで及び得ることが分かる. \\ 図\ref{naibu-gw-pic-phase} 中の等位相線の鉛直方向に対する傾きを以下のよ うに取れば, $$ \cos\alpha = L_{z}/\sqrt{L_{x}^{2}+L_{z}^{2}}=\pm k/\sqrt{k^{2}+m^{2}}=\pm k/\mbox{\boldmath $k$} $$ \medskip (\ref{naibu-gw-bunsan})より, $\hat{\nu} = \pm N\cos\alpha$ となり, (\ref{naibu-gw-eq})で得られた結果と一致することが分 かる. \subsection{地形性の内部重力波} 静的安定な状況のもと, 速度 $\overline{u}$ の流れが三角関数型の地形を越え る場合を考える. このとき個々の流体パーセルは, 平衡状態にある高度から上下 の変位を強いられるため, 浮力振動をする. このような地形による強制を受けて 上下に振動しながら浮力を復元力として進行する波を{\bf 地形性内部重力波}と いう. 以下では, このような地形性内部重力波の特徴についてまとめる. \subsection{地形性内部重力波の定式化} 地形性内部重力波では, 地上の地形に対して相対的に定在となる解が存在する. この解は時間がたっても波の位相が変化することは無い((\ref{w-modetenkai}) に於いて $\nu=0$). したがって(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})より, 次式を 得る: \begin{equation} \left( \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}} \right) + \frac{N^{2}}{\overline{u}}w' = 0 \label{naibu-gw-setudou-uzudo3} \end{equation} \subsection{地形性内部重力波の分散関係式} \medskip (\ref{w-modetenkai})を(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})に代入して以下の分 散関係式を得る: \begin{equation} m^{2} = \frac{N^{2}}{\overline{u}^{2}} - k^{2} \label{tikei-naibu-gw-bunsan} \end{equation} \subsection{地形性内部重力波の鉛直構造と鉛直伝播可能性} (\ref{tikei-naibu-gw-bunsan})より, $N,k,\overline{u}$ が与えられれば, 地 形性内部重力波の鉛直構造を求めることが出来る. \begin{description} \item[\underline{1) $|\overline{u}0$ の場合)}] ~\\ この場合, $m$ は実数となる. したがって, 鉛直上向きに伝播する 解(群速度 $c_{gz}>0$, 位相速度 $c_{z}<0$)が存在する: $$ w' = \hat{w}\exp[i(kx+mz)] $$ ここで(\ref{naibu-gw-bunsan})より, $k>0$ の時, \begin{description} \item[\underline{$\overline{u}>0$ の場合:}] ~\\ $\hat{\nu}<0$ となる(地形性内部重力波では $\nu=0$)ので, $c_{z}<0$ であるためには $m>0$ で なければならない. このとき, (\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) の符号は, $c_{gz}>0$ となるように, 下側の符号が選ばれる. \\ \item[\underline{$\overline{u}<0$ の場合:}] ~\\ $\hat{\nu}<0$ となる(地形性内部重力波では $\nu=0$)ので, $c_{z}<0$ であるためには $m<0$ で なければならない. このとき, (\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) の符号は, $c_{gz}>0$ となるように, 上側の符号が選ばれる. \end{description} \item[\underline{2) $|\overline{u}>N/k|$ の場合($m^{2}<0$ の場合)}] ~\\ この場合, $m$ は虚数となり $m=im_{i}$ となる. (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})は, 鉛直方向に減衰する(鉛直方 向に捕捉された)解をもつ: $$ w' = \hat{w}\exp(ikx)\exp(-im_{i}z) $$ \end{description} 以上の結果から, 地形性内部重力波が鉛直伝播可能($m$が実数)になるのは, 平 均流に対して相対的な振動数の大きさ $|\hat{\nu}|=|\nu(=0) - \overline{u}k| = |\overline{u}k|$ が, 浮力振動数($N$)よりも小さい場合に 限られることが分かる\footnote{例えば, 安定成層をしていて($N$ が大きい), 地形の山の幅が広く($k$ が小さい), 相対的に基本場の東西流($\overline{u}$) が小さい場合に, このような条件が満たされる}. これらの波の励起源は地上に あるので, 波のエネルギーは上向きに輸送される\footnote{位相速度は下向きと なるので, 等位相線は高度と共に西に傾く.}. \\ 最後に, 地上の地形が与えられた場合の解を示しておく. ここでは, 以下のよう な地形のプロファイルを考える: $$ h(x) = h_{M}\cos kx $$ \medskip ここで, $h_{M}$ は地形の振幅である. 下端の境界に於ける流れは境界に平行で なければならないから, 境界における鉛直速度は, 運動にしたがって変化する境 界の高度変化で与えられる: $$ w'(x,0) = \left(\frac{Dh}{Dt}\right)_{z=0} \approx \overline{u}\frac{\partial h}{\partial x} = -\overline{u}kh_{M}\sin kx $$ \medskip この条件を満たす(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})の解は, 以下のようになる: \begin{equation} w(x,z) = \left\{ \begin{array}{ll} -\overline{u}h_{M}ke^{-m_{i}z}\sin kx, & (\overline{u}k >N ) \\ -\overline{u}h_{M}k \sin(kx+mz). & (\overline{u}k f$ (ただし $\omega \sim f$)の場合} この場合, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の3番目の項は無視で きないが, $\beta$ 効果(4番目の項)は無視できる. したがって, この場合の重 力波はコリオリ力によって影響を受ける. しかし, 運動のタイムスケールは依然 として非常に短いので, $\beta$ 効果によって影響を受けることは無い. \subsection{$\omega \ll f$ (低周波)の場合} この場合には, $\beta$ 効果が非常に重要になる. このとき, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の第一項は無視できる. 例えば, 1番目の項と4番目の項を比べると以下のようになる: \begin{equation} \frac{\omega^{3}}{c^{2}\beta k} \ll 1 \end{equation} %\Dchapter*{2.4 回転系の重力波} \medskip 海洋の典型的な値を用いると, 順圧モードの場合 $c\sim 200$m/s, 傾圧モード の場合 $c\sim 2$m/s となり, $\beta = 2\times 10^{-11}$m$^{-1}$s$^{-1}$, $2\pi/k\sim 100$km, $\omega\sim 10^{-5}$s$^{-1}$ である. これらの値から 上の比は, 順圧モードの場合, 約 $0.2\times 10^{-4}$, 傾圧モードの場合 0.2 となる. それ故, $\omega \ll f$ の場合には (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})の第一項は無視できることがわかる. \\ (\ref{shallow-water-eq-only-v3})は, 大気, 海洋の種々の波動を支配する方程 式系である. 本節での議論により, 限定された状況のもとで, これらの方程式の どの項を無視して良いかについて明らかにした. 以下の節では, 個々の限定され た状況について, その波動の性質をまとめることにする. \section{回転系の重力波} 本節では, 振動数 $\omega$ が $\omega > f$ の範囲の重力波についてまとめる. 前節の結果よりこの範囲では, $\beta$ 効果は無視することが出来る. したがっ て, $f=f_{0}$(const.) とする. ここで, 以下のように波動解を仮定する. \begin{equation} (u,v,\eta) = (\hat{u},\hat{v},\hat{\eta})e^{i(kx+ly-\omega t)} \end{equation} \medskip ここで, $\hat{u},\hat{v},\hat{\eta}$ は複素振幅である. 上式を (\ref{shallow-water-eq})に代入すると次のようになる: \begin{equation} -i\omega\hat{u} -f\hat{v} = -ikg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-u} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{v} +f\hat{u} = -ilg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-v} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\eta} + iH(k\hat{u}+l\hat{v}) = 0. \label{inertio-gw-eta} \end{equation} \medskip (\ref{inertio-gw-u})と(\ref{inertio-gw-v})より $\hat{u},\hat{v}$ につい て解くと以下を得る: \begin{equation} \hat{u} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega k + ifl), \end{equation} \begin{equation} \hat{v} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega l - ifk). \end{equation} \medskip これらを(\ref{inertio-gw-eta})に代入して次の分散関係式を得る: \begin{eqnarray} \omega^{2} - f^{2} &=& gH(k^{2}+l^{2}) \nonumber\\ \omega^{2} &=& f^{2} + gHK^{2} \end{eqnarray} \medskip ここで, $K^{2}=\sqrt{k^{2}+l^{2}}$ である. 上の分散関係式から, この波は 水平面内であらゆる方向に伝播し, $\omega > f$ であることがわかる. このよ うに, コリオリ力によって影響を受けた重力波を{\bf ポアンカレ波}({\it Poincar\'{e} wave}), スベルドラップ波({\it Sverdrup waves}), {\bf 慣 性重力波}({\it inertio gravity waves})等と呼ぶ. 次節では, この慣性重力波 の特徴について更に詳しくまとめることにする. %\Dtitle[第5章 重力波(回転系)−慣性重力波]{} %\setcounter{chapter}{5} %\setcounter{section}{0} %\chapter*{第5章 \\ \vspace{0.7cm}重力波(回転系)−慣性重力波} \chapter{慣性重力波} %\Dchapter*{5.1 慣性重力波} \section{慣性重力波(Inertio-Gravity Waves)} 数 km 以上の水平スケールをもち, 数時間以上の周期をもつ重力波は, コリオリ 力の影響を受ける(ロスビー数が小さい場合にあたる). このように, 回転の影響 を受けた重力波を{\bf 慣性重力波} という. 本節では慣性重力波の特徴をまと めることにする. \subsection{慣性重力波の定性的な特徴} \begin{itemize} \item 慣性重力波は, 数 km 以上の水平スケールと数時間以上の周期を もち, 回転の影響を受けた重力波である. \item 慣性重力波の復元力は, 浮力とコリオリ力である. \item 水平だけでなく鉛直伝播も可能である. 特に, 子午面方向のパーセルの 振動が慣性重力波には重要である\footnote{コリオリ力の変化が復元力 となるため}. \end{itemize} \subsection{パーセル法による慣性重力波の解釈} 図5のように, $y,z$ 平面において斜めの経路を伝わるパーセルの振動を考える. 鉛直変位を $\delta z$ とすると, パーセルの振動方向に平行な浮力成分は, $-N^{2}\delta z\cos\alpha$ である. 一方, パーセルの振動方向に平行なコリ オリ力の成分は, 慣性振動を考えると得られる. \\ \medskip \begin{breakbox} \vspace{5mm} \small {\bf 慣性振動} \bigskip 基本場は東西流のみであるとし, $u_{g}(y)$ とおく. パーセルの変位により圧 力場は変化しな\\ \hspace*{7mm}いものと仮定すると, パーセルの運動方程式は以下のようになる: $$ \frac{Du}{Dt} = fv = f\frac{Dy}{Dt} \eqno(\mbox{A.1})~~~~~ $$ $$ \frac{Dv}{Dt} = -f(u-u_{g}) \eqno(\mbox{A.2})~~~~~ $$ \medskip $y=y_{0}$ でパーセルは地衝流平衡にあるものとすると, $\delta y$ だけ変位 したパーセルの東西速\\ \hspace*{7mm}度は(A.1)を積分して以下のように得られる: $$ u(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + f\delta y \eqno(\mbox{A.3})~~~~~ $$ \medskip 一方, $y_{0}+\delta y$ における地衝風は, $y_{0}$ のまわりで $u_{g}$ をテ イラー展開することにより次の\\ \hspace*{7mm}ように表すことができる. $$ u_{g}(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + \frac{\partial u_{g}}{\partial y}\delta y \eqno(\mbox{A.4})~~~~~ $$ \medskip (A.3)と(A.4)を用いて, (A.2)を評価すると $y_{0}+\delta y$ の場所における 南北方向の運動方\\ \hspace*{7mm}程式は次のようになる: $$ \frac{Dv}{Dt} = \frac{D^{2}\delta y}{Dt^{2}} = -f\left(f-\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\right)\delta y \eqno(\mbox{A.5})~~~~~ $$ \vspace{4mm} \end{breakbox} \vspace{5mm} 慣性振動の考察により, 基本場が $y$ 方向に一定の場合($u_{g}=const.$)の南 北方向のコリオリ力は(A.5)より $-f^{2}\delta y$ である. したがって, パー セルの振動方向に平行なコリオリ力の成分は $-f^{2}\delta y\sin\alpha$ とな る. 以上より, パーセルの運動方程式(\ref{naibu-gw-eq})は次のようになる: \begin{eqnarray} \frac{D^{2}\delta s}{Dt^{2}} &=& - f^{2}\delta y\sin\alpha - N^{2}\delta z\cos\alpha \nonumber \\ &=& - f^{2}(\delta s\sin\alpha)\sin\alpha - N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha \nonumber \\ &=& - (f\sin\alpha)^{2}\delta s - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \nonumber \\ &=& - (N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha)\delta s \end{eqnarray} ここで, $\delta s$ はパーセルの変位である(図5). したがって分散関係式は次 のようになる: \begin{eqnarray} \nu^{2} &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha \label{inertio-gw-bunsan} \\ &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}(1-\cos^{2}\alpha) \nonumber \\ &=& (N^{2}-f^{2})\cos^{2}\alpha + f^{2} \nonumber \end{eqnarray} ここで $N^{2}>f^{2}$ であるから, (\ref{inertio-gw-bunsan})より慣性重力波 の振動数 $\nu$ は, $f \le |\nu| \le N$ にあることが分かる\footnote{パー セルの軌跡の傾斜が鉛直方向に近付くにつれて $\nu$ は $N$ に近くなる. 一方, パーセルの軌跡の傾斜が水平方向に近付くにつれて $\nu$ は $f$ に近くなる. 中緯度の対流圏で $\nu$ の範囲は, およそ12分〜15時間である.}. \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/Fig7.11.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{慣性重力波における子午面内でのパーセルの振動の模式図.} \label{inertio-gw-pic-percel} \end{figure} \subsection{慣性重力波の定式化} 慣性重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である. \begin{itemize} \item 運動は3次元($x,y,z$ 平面) \item 流体の回転を含む \item ブジネスク近似(浮力項中の重力を除き密度一定(ゆえに, 非圧縮流体) として扱う) \item 基本場の流れは無し \item 静水圧平衡 \end{itemize} 上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる: \begin{equation} \frac{\partial u'}{\partial t} - fv' + \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x} = 0, \label{inertio-gw-eq1} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial v'}{\partial t} + fu' + \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial y} = 0, \label{inertio-gw-eq2} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} - \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g = 0, \label{inertio-gw-eq3} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial u'}{\partial x} + \frac{\partial v'}{\partial y} + \frac{\partial w'}{\partial z} = 0, \label{inertio-gw-eq4} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \theta'}{\partial t} + w'\frac{\partial \overline{\theta}}{\partial z} = 0. \label{inertio-gw-eq5} \end{equation} \medskip ここで(\ref{inertio-gw-eq3})より, $$ \theta' = \frac{1}{\rho_{0}} \frac{\overline{\theta}}{g}\frac{\partial p'}{\partial z} $$ \medskip であるから, これを(\ref{inertio-gw-eq5})に代入して $\theta'$ を消去すると 次式を得る: \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}\right) + N^{2}w' = 0 \label{inertio-gw-setudou} \end{equation} \subsection{慣性重力波の分散関係} 慣性重力波の分散関係を得るため, (\ref{inertio-gw-setudou})に対して以下の ように波型の解を仮定する: $$ (u',v',w',p'/\rho_{0}) = \mbox{Re}[(\hat{u'},\hat{v'},\hat{w'},\hat{p'})\exp i(kx+ly+mz-\nu t)] $$ \medskip 上式を (\ref{inertio-gw-eq1}),(\ref{inertio-gw-eq2}),(\ref{inertio-gw-setudou}) に代入すると, 次式を得る: \begin{equation} \hat{u} = \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu k + ilf)\hat{p},\label{inertio-gw-uhat} \end{equation} \begin{equation} \hat{v} = \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu l - ikf)\hat{p},\label{inertio-gw-vhat} \end{equation} \begin{equation} \hat{w} = -\frac{\nu m}{N^{2}}\hat{p}.\label{inertio-gw-what} \end{equation} \medskip ここで(\ref{inertio-gw-eq4})を用いると, 慣性重力波の分散関係式は以下のよ うになる: \begin{equation} \nu^{2} = f^{2} + \frac{N^{2}(k^{2}+l^{2})}{m^{2}} \label{inertio-gw-bunsan2} \end{equation} \medskip 静水圧平衡の状況のもとでは, 運動の水平スケール $\gg$ 運動の鉛直スケール であるから, $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ である. したがって, $m$ が実数と なるような鉛直伝播可能な波動の場合, (\ref{inertio-gw-bunsan2})より慣性重 力波の振動数 $\nu$ は $|f|<|\nu|\ll N$ の範囲でなければならないことがわ かる. (\ref{inertio-gw-bunsan2})は, 以下のような変換を施すと (\ref{inertio-gw-bunsan})と同等であることが分かる\footnote{この変換は, 場が静水圧平衡にある場合の条件 $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ と同等である.}. $$ \sin^{2}\alpha \rightarrow 1, \qquad \cos^{2}\alpha =\frac{k^{2}+l^{2}}{m^{2}} $$ \subsection{慣性重力波の構造と伝搬メカニズム} $l=0$ の場合, (\ref{inertio-gw-uhat})$\times if +$ (\ref{inertio-gw-vhat})$\times \nu$ より, $\hat{v}=-\frac{if\hat{u}}{\nu}$ を得る. これより, $\hat{u}$ が実数の場 合, 慣性重力波の水平成分は以下のようになる: \begin{equation} u' = \hat{u}\cos(kx+mz-\nu t), \qquad v' = \hat{u}(f/\nu)\sin(kx+mz-\nu t) \end{equation} \medskip 上の結果から, 慣性重力波について以下の性質があることがわかる(図 \ref{inertio-gw-pic-phase}参照)\footnote{こ れらの性質は, 観測データで内部重力波と慣性重力波を区別するのに役立つ.}: \begin{itemize} \item 速度ベクトルの水平成分は, 時間と共に高気圧性循環(北半球では時計周 り)をする. \item パーセルの軌跡は, 波数ベクトルに垂直な面内で楕円を描く. \item 上向きにエネルギーを伝播する波($c_{gz}>0$)の場合($m<0, \nu >0 \rightarrow c_{z}<0$ の場合), 速度ベクトルの水平成分は, 高度上昇 と共に時計周りで回転する. \end{itemize} \vspace{-8mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[9.5cm]{ps/Fig7.12.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{上向きに伝播する慣性重力波 ($m<0,\nu >0, f>0$ :北半球)の速度, ジオポテンシャル, 温度擾乱の位相を波数ベクトル {\protect\boldmath $k$} を含む鉛直断面で示したもの. 傾いた細い線は, 波数ベクトルに垂直な等位相面を表す. 太い矢印は, 位相伝搬の方向を示す. 細い矢印は, 慣性重力波の東西, 鉛直速度場を表す. 子午面の風は, ページ内に向かう向きを北向き, ページから出る向きを南向きとして表している. この図より速度ベクトルは高度とともに, 時計周りをしている様子が分かる.} \label{inertio-gw-pic-phase} \end{figure} %\Dchapter*{2.6 ケルビン波} \chapter{ケルビン波} \section{ケルビン波} 本節では, 壁に平行に伝播する重力波を考える. このうち, 壁に捕捉された重力 波を特に, {\bf ケルビン波}と呼ぶ. %この場合, 壁から離れるにつれ %て減衰する圧力傾度力 $\partial\eta/\partial y$ が存在する. したがって このとき, $v=0$ であるから $fu$ は $-g(\partial\eta/\partial y)$ と地衝 流バランスした状態にある($f$ は一定): \begin{equation} fu = -g\frac{\partial\eta}{\partial y} \end{equation} \medskip 波頭の下部の左側では下降流, トラフの左側では上昇流があることから, 圧力傾 度力の方向に対して右向きに流れが存在することになる. このことから, ケルビ ン波では, 北(南)半球の場合, 壁を右(左)にみる方向に流れが存在する. \\ ポアンカレ波(慣性重力波)とケルビン波との違いは, 南北方向の方程式から明ら かである: \begin{equation} \frac{\partial v}{\partial t} + fu = -g\frac{\partial\eta}{\partial y} \end{equation} \medskip ポアンカレ波の場合, 波頭が水平になり南北の圧力傾度力が存在しないときには, $\partial v/\partial t$ はコリオリ力とバランスし, 粒子の軌跡は楕円軌道を 描く. 一方, ケルビン波の場合には, 地衝流バランス $fu = -g(\partial\eta/\partial y)$ のために南北流速が存在しない. \subsection{ケルビン波の定式化} (\ref{shallow-water-eq})より, $x$ 方向の壁に沿って伝播するケルビン波の運 動方程式は次のようになる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial t} + H\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} &=& 0, \\ [2ex] \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x},\\ [2ex] fu &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y}. \end{array} \label{shallow-kelvin-eq} \end{equation} \subsection{ケルビン波の分散関係} ここで解を以下のように仮定する: \begin{equation} [u,\eta] = [\hat{u}(y),\hat{\eta}(y)]e^{i(kx-\omega t)} \end{equation} \medskip (\ref{shallow-kelvin-eq})に代入すると次のようになる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} -i\omega\hat{\eta} + iHk\hat{u} &=& 0, \\ [1.5ex] -i\omega\hat{u} &=& -igk\hat{\eta}, \\ [1.5ex] f\hat{u} = -g\displaystyle\frac{d\hat{\eta}}{dy}. \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-eq} \end{equation} \medskip 上式の最初の二つの式から $\hat{u}$ を消去すると次のようになる: \begin{equation} \hat{\eta}[\omega^{2}-gHk^{2}] = 0 \end{equation} \medskip よって, 任意の $\eta$ について次の分散関係式を得る: \begin{equation} \omega = \pm k\sqrt{gH} \end{equation} \medskip ゆえに, 位相速度は非分散となり次の様になる: \begin{equation} c = \sqrt{gH} \end{equation} \medskip 上記の結果より, {\bf ケルビン波の伝播する速度は非回転系の重力波の位相速 度と同じになる.} 慣性重力波(ポアンカレ波)とケルビン波の分散曲線をまとめ ると図\ref{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan} の様になる: \vspace{-5mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[8cm]{ps/FM-Fig.13.15.ps} \end{center} \vspace{-8mm} \caption{ポアンカレ波とケルビン波の分散曲線} \label{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan} \end{figure} \subsection{ケルビン波の構造} 東西の構造($x$ 方向)を調べるため, (\ref{shallow-kelvin-mode-eq})の1番目 と3番目の方程式から $\hat{u}$ を消去すると次の様になる: \begin{equation} \frac{d\hat{\eta}}{dy} \pm \frac{f}{c}\hat{\eta} = 0 \end{equation} \medskip このうち, 岸から離れると減衰する解は以下の様になる: \begin{equation} \hat{\eta} = \eta_{0}e^{-fy/c} \end{equation} \medskip ここで, $\eta_{0}$ は岸における振幅である. これより, ケルビン波の場合の 表面変位と速度場は以下の様になる: \begin{equation} \begin{array}{rcl} \eta &=& \eta_{0}e^{-fy/c}\cos k(x-ct) \\ [2ex] u &=& \eta_{0}\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{g}{H}}e^{-fy/c}\cos k(x-ct) \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-solution} \end{equation} %\Dchapter*{2.7 ロスビー波} ここで, 解は実部のものを選んだ. また, $u$ の解を得るのに, (\ref{shallow-kelvin-mode-eq})を用い た. (\ref{shallow-kelvin-mode-solution})より, ケルビン波の南北の減衰スケー ルは以下の様に与えられる: \begin{equation} \Lambda \equiv \frac{c}{f} \end{equation} \medskip これは, ロスビーの変形半径({\it Rossby radius of deformation})と呼ばれる. $H=5$km, $f=10^{-4}$s$^{-1}$(中緯度)の場合, $c=\sqrt{gH}=220$m/s, $\Lambda = c/f=2200$km である. \chapter{ロスビー波} \section{ロスビー波} これまでは, $f$ を一定とする波動を考えてきた. これらの波動の振動数は, $f$ と比べてはるかに大きい値であった. 本節では, $f$ が緯度変化することに より存在する波動を考える. これらは{\bf ロスビー波}と呼ばれ, 大気中におけ る波動の場合, その空間スケールは非常に大きい. これが{\bf 惑星波}と呼ばれ る由縁である. 一方, 海洋の場合, その波長はわずか100km程度である. ロスビー 波の周波数は, $\omega\ll f$ の場合に対応する. 振動数が $f$ と比べてはる かに小さいために, 時間微分項はコリオリ力や圧力傾度力とくらべて小さいオー ダを持つ. このような地衝流に近い運動のことを, {\bf 準地衝流運動}と呼んで いる. \subsection{準地衝流渦度方程式} ロスビー波の定式化のため, 本節では準地衝流渦度方程式を導出する. 簡単のた め, $\beta$ 平面近似は $\beta y\ll f_{0}$ の場合に妥当であるとする(これ は, 大気の全球規模のロスビー波の場合には適当ではない). 以下では, 平均流 を 0 とした場合の定式化を行い, 最後に一様な平均流を重ね合わせることにす る. また, 速度場は, 最も低次のオーダでは地衝流平衡にあるとする. \\ 浅水波の場合のポテンシャル渦度方程式から出発する: \begin{equation} \frac{D}{Dt}\left(\frac{f+\zeta}{h}\right) = 0 \label{shallow-potential-q-eq} \end{equation} \medskip 上式を展開して \begin{equation} h\frac{D}{Dt}(f+\zeta) - (f+\zeta)\frac{Dh}{Dt} = 0 \end{equation} \medskip $h=H+\eta$ (ただし, $H$ は擾乱の無い基本場の層厚, $\eta$ は表面変位)とす ると, \begin{equation} (H+\eta)\left( \frac{\partial\zeta}{\partial t} +u\frac{\partial\zeta}{\partial x} +v\frac{\partial\zeta}{\partial y} -\beta v \right) -(f_{0}+\zeta)\left( \frac{\partial\eta}{\partial t} +u\frac{\partial\eta}{\partial x} +v\frac{\partial\eta}{\partial y} \right) = 0 \label{shallow-potential-q-eq-perturbation} \end{equation} \medskip ここで, $Df/Dt = v(df/dy)=\beta v$ である. また, $\beta$ 平面近似では $df/dy$ を含む項を除いて $f$ の緯度変化は考えないので, $f$ を含む項は $f_{0}$ とした. 小さな擾乱成分の場合(擾乱成分はロスビー数のオーダである から), (\ref{shallow-potential-q-eq-perturbation})において2次の非線形項 は無視することが出来る. したがって, 線形化を施すと次式を得る: \begin{equation} H\frac{\partial\zeta}{\partial t} + H\beta v - f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t} = 0 \label{shallow-potential-q-eq-linearized} \end{equation} \medskip これは, 線形化したポテンシャル渦度方程式である. ここで, 初めの仮定より最 低次の速度場はほぼ地衝流平衡 \begin{equation} \begin{array}{rcl} u &\simeq& -\displaystyle\frac{g}{f} \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y} \\[2ex] v &\simeq& \displaystyle\frac{g}{f} \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x} \end{array} \label{geostrophic-velo} \end{equation} \medskip にあるから\footnote{地衝流平衡にある速度場では, 水平発散は厳密に 0 であ り, $\partial\eta/\partial t = 0$ となるが, (\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})では $\partial\eta\partial t=0$ とはしない. これは, 地衝流平衡からのずれが流れの時間発展を記述するからで あり, 時間微分項を残しておく必要があるためである.}, (\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})式より準地衝流渦度方程式を得る ことができる. (\ref{geostrophic-velo})を用いて渦度表記を行うと次式を得る: \begin{equation} \zeta = \frac{f}{f_{0}}\left( \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} \right) \end{equation} \medskip 上式を(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})に代入して次式を得る: \begin{equation} \frac{gH}{f_{0}} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} \right) +\frac{gH\beta}{f_{0}}\frac{\partial\eta}{\partial x} -f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t} = 0 \end{equation} \medskip $c=\sqrt{gH}$ を用いて書き換えると, \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} -\frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}\eta \right) +\beta\frac{\partial\eta}{\partial x} = 0 \label{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized} \end{equation} \medskip これが, 線形化した準地衝流渦度方程式である. $c/f_{0}$ はロスビーの変形半 径である. \subsection{ロスビー波の分散関係式} (\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})の解を次のよ うに仮定する: \begin{equation} \eta = \hat{\eta}e^{i(kx+ly-\omega t)} \end{equation} \medskip ここで, $\omega$ は正の値として扱い, $k, l$ の符号は位相伝播の方向を決め るものとする. この $\eta$ を (\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})に代入して以 下の関係式を得る: \begin{equation} \omega = -\frac{\beta k}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}} \label{rossby-wave-bunsan} \end{equation} \medskip これは, ロスビー波の分散関係式である. この分散関係の波数 $k$ と $l$ に関 する非対称性は, ロスビー波の運動が水平方向に等方性を持たないことを意味し ている(これは $\beta$ 効果によるものである). (\ref{rossby-wave-bunsan}) は, 一層の一様流体について求めたものであるが, 成層のある流体の場合には $c=\sqrt{g'H}$ (reduced gravity model), あるいは, $c=NH/n\pi$ (連続成層 モデルの第 $n$ モード)とすれば良い(ただし, $g'=g(\rho_{2}-\rho_{1})/\rho_{2}$). 順圧モードの場合, $c$ は非常に大きい ので $f_{0}^{2}/c^{2}$ は 0 として良い. \\ $k, l$ を水平軸にとり, $\omega$ を鉛直軸にとると, (\ref{rossby-wave-bunsan})の $\omega$ を分散曲線として描くことが出来る (図\ref{rossby-wave-pic-bunsan}). 分散関係式(\ref{rossby-wave-bunsan})よ り, \begin{equation} \left( k + \frac{\beta}{2\omega} \right)^{2} + l^{2} = \left( \frac{\beta}{2\omega} \right)^{2} - \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}} \end{equation} \medskip となるから, $\omega$ 一定のコンターは円を描く. \vspace{-5mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[8.5cm]{ps/FM-Fig.13.29.ps} \end{center} \vspace{-8mm} \caption{ロスビー波の分散曲線 $\omega(k,l)$. 上の図は $l=0$ とした場合の $k$ と $\omega$ の関係を示している. 下の図は $k-l$ 平面から見た場合の $\omega$ のコンターを示している. 3つの円は, $\omega f_{0}/\beta c$ が, 0.2, 0.3, 0.4 の場合を示している. $\omega$ のコンターに垂直な矢印は, 群 速度ベクトル {\protect\boldmath $c_{g}$}の方向を示している.} \label{rossby-wave-pic-bunsan} \end{figure} 群速度の定義 \begin{equation} \mbox{\boldmath $c_{g}$} = \mbox{\boldmath $i$}\frac{\partial\omega}{\partial k} +\mbox{\boldmath $j$}\frac{\partial\omega}{\partial l} \end{equation} \medskip より, {\boldmath $c_{g}$}の方向は $\omega$ のコンターに垂直であることが 分かる. 図\ref{rossby-wave-pic-bunsan} より $l=0$ の場合, 振動数が最大に なるのは, $kc/f_{0}=-1$ の場合であることが分かる. これより, 振動数が最大 になる場合でもその大きさはコリオリ周期よりもはるかに小さいことが分かる. \\ (\ref{rossby-wave-bunsan})より, 東西方向の位相速度は以下のようになる: \begin{equation} c_{x} = \frac{\omega}{k} = -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}} \end{equation} \medskip このように $c_{x}$ が常に負の値を取ることから, 位相の伝播はいつも西向き であることがわかる. 位相速度が最大になるのは $k^{2}+l^{2}\rightarrow 0$ の場合であり, これは図\ref{rossby-wave-pic-bunsan} の原点付近の領域によっ て示された非常に大きな波長帯に対応している. この領域では, 波はほぼ非分散 であり, 次式で与えられる: \begin{equation} c_{x} = -\frac{\beta c^{2}}{f_{0}^{2}} \end{equation} \medskip ロスビー波はしばしば, ジェット気流の様な強い東向きの平均流と重ね合わせら れる. $U$ を東向きの平均流の速度とすると, 観測される東向きの位相速度は以 下の様になる: \begin{equation} c_{x} = U -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}} \end{equation} \medskip それ故, 定在ロスビー波($c_{x}=0$)は, 東向きの基本流の流速と西向きの位相 速度が相殺したときに形成される. \\ 最後に, (\ref{rossby-wave-bunsan})を浅水系一般の分散関係式 (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}): \begin{equation} \omega^{3} - c^{2}\omega (k^{2}+l^{2}) - f_{0}^{2}\omega - c^{2}\beta k = 0 \label{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2} \end{equation} \medskip から導出することを試みる. ここで, $\omega \ll f$ の場合, 第一項は第三項 と比べて無視できるから, したがって (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2})より, (\ref{rossby-wave-bunsan})を得る. %\Dchapter*{2.8 赤道波} \chapter{赤道波} 本節では, 浅水系において赤道に特有の波である{\bf 赤道波}を扱う. \section{浅水系の赤道波の定式化と無次元化} \subsection{定式化} 簡単化のため, 流体の厚さ $H$ は一定であるとし, 運動の無い基本場を考え る. ここでは, 赤道 $\beta$ 平面近似を用い, コリオリパラメータは以下のよ うに表す: \begin{equation} f \approx \beta y. \end{equation} \medskip ここで, $\beta = 2\Omega / a$ ($a$ は惑星半径, $\Omega$ は惑星の自転角速 度)である. このとき浅水方程式(\ref{shallow-water-eq})を線形化すると, 以 下のようになる: \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t} - \beta y v = -\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \label{equator-shallow-water-eq-u} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial v}{\partial t} + \beta y u = -\frac{\partial\Phi}{\partial y},\label{equator-shallow-water-eq-v} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \Phi}{\partial t} + gH\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) = 0. \label{equator-shallow-water-eq-phi} \end{equation} \medskip ここで, $\Phi = gH$ はジオポテンシャルである. \subsection{無次元化} 次のようなスケールを導入する. \begin{eqnarray} \mbox{水平速度} &\equiv& U \equiv \sqrt{gH} \\ \mbox{長さ} &\equiv& L \equiv \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}} \\ \mbox{時間} &\equiv& T \equiv \frac{L}{U} = \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} \\ \mbox{深さ} &\equiv& H \end{eqnarray} これらを用いて, 変数を無次元化する. \begin{eqnarray} (x,y) &=& L(x_{*},y_{*}), \\ t &=& Tt_{*}, \\ (u,v) &=& U(u_{*},v_{*}), \\ \Phi &=& gH\Phi_{*}. \end{eqnarray} ただし, $*$ の付いた量はそれぞれの量の無次元量を表す. これらを, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}) に代入すると \begin{equation} \frac{U}{T}\frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} - \beta L U y_{*} v_{*} = -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u} \end{equation} \begin{equation} \frac{U}{T}\frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} + \beta LU y_{*} u_{*} = -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v} \end{equation} \begin{equation} gH\frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} + \frac{gHU}{L}\left( \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}} + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}} \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi} \end{equation} \medskip すなわち \begin{equation} \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} - \beta L T y_{*} v_{*} = -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} + \beta L T y_{*} u_{*} = -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} + \frac{TU}{L}\left( \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}} + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}} \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi2} \end{equation} \medskip ところが, \begin{eqnarray} \beta LT &=& \beta \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} \nonumber \\ &=& 1 \\ \frac{gHT}{LU} &=& gH \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} \cdot \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{gH}} \nonumber \\ &=& 1 \\ \frac{TU}{L} &=& T\cdot \frac{1}{T} \nonumber \\ &=& 1 \end{eqnarray} である. ゆえに, \begin{equation} \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} - y_{*} v_{*} = -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u3} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} + y_{*} u_{*} = -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v3} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} +\frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}} +\frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3} \end{equation} \medskip となる. 以下, 簡単のため添字の $*$ は省略する. 以降では, 無次元化した方 程式系を主に扱い, 必要に応じて有次元系に戻ることにする(有次元系での式の 扱いは場合によって付録に移動する). \section{\protect $v$ の式と境界条件} %\section{赤道波の固有関数と固有値方程式}\label{eq-bunsan-sec} %\section{赤道波の分散関係式}\label{eq-bunsan-sec} \subsection{\protect $v$ の式の導出} (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}) より \begin{equation} \frac{\partial\Phi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = y v, \label{equator-shallow-water-eq-u2} \end{equation} \begin{equation} \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = - \frac{\partial v}{\partial y}. \label{equator-shallow-water-eq-phi2} \end{equation} \medskip これを $u,\Phi$ について解くと, \begin{equation} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right)\Phi = \left( y\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t} \right)v, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v} \end{equation} \begin{equation} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right)u = \left( -y\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \right)v. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v} \end{equation} \medskip 一方, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3})に $\displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$ を作用させると \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right) v + y\left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right) u + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right)\Phi =0. \end{equation} \medskip 上式に (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v}),(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v})を代入して \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \right) v + y\left( -y\frac{\partial}{\partial t} - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \right)v + \frac{\partial}{\partial y} \left( y\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t} \right)v =0, \end{equation} \medskip すなわち, \begin{equation} \left( \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t} -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}} \right)v =0, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v} \end{equation} \medskip を得る. \subsection{境界条件} 赤道波を扱う本章では, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-eq-phi}), もしくは, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の解のうち, 赤道($y=0$)に捕 捉された解を考える. 赤道に捕捉された解を考える根拠は, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})において $u,\Phi$ を消去した $v$ についての式(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})を考えること で得られる. $$ \left( \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t} -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}} \right)v =0. \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v}}) $$ \medskip 東西方向には, 地球や惑星の様な緯度円を一周する状況を考え, 周期境界条件 \begin{equation} \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x} = \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x+L_{x}} \qquad (n=0,1,2,\cdots,N) \label{boundary-condition-x} \end{equation} を課すことにする. 一方, 南北方向には ``赤道に捕捉されている'' 波だけを考 え, 境界条件として \begin{equation} (u,v,\Phi) \rightarrow 0 \quad \mbox{as}\quad y \rightarrow \pm\infty \label{boundary-condition-y} \end{equation} \medskip の条件を持つものとする. なぜなら, $x,t$ に依存しない様な特殊な場合を考え, $y$ に依存する項のみを取り出すと, %領域 $y\gg 1$ での解の振舞いに注目することにして, $y$ に依存する項のみを %取り出すと, \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - y^{2} \right)v =0. \end{equation} \medskip したがって \begin{equation} v(y) \sim A\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right), \end{equation} %\begin{equation} % v \sim C(x,t)\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + D(x,t)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right), %\end{equation} \medskip となる(ただし, $A,B$ は任意定数). これにより (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})には $y\rightarrow\pm\infty$ で 発散する解が含まれているから, $y\rightarrow\pm\infty$ で $v(y)$ が発散し ないという条件を課しておかなければならない. 今の場合は $A=0$ の場合に対 応する: \begin{equation} v(y) \sim B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right). \end{equation} \medskip よって, $y\rightarrow\pm\infty$ で $v(y)\rightarrow 0$ となる. 以上のこ とから, もっと一般的な場合でも $y\rightarrow\pm\infty$ で $v(y)\rightarrow 0$ となるような境界条件を課すことにする. \newpage \section{赤道波の固有値問題とその解}\label{eq-bunsan-sec} \subsection{固有値問題の定式化} $u,v,\Phi$ を以下の様に水平方向に離散化する: \begin{equation} \left(\begin{array}{c} u \\ v \\ \Phi \end{array} \right) = \sum_{k}\sum_{m}\left[ \begin{array}{c} a_{k,m} \hat{u}_{k,m}(y) \\ a_{k,m} \hat{v}_{k,m}(y) \\ a_{k,m} \hat{\Phi}_{k,m}(y) \end{array} \right]\exp[i(kx-\omega_{k,m} t)]. \label{spector-ex} \end{equation} \medskip ただし, $a_{k,m}$ は任意の定数, $k$ は東西波数, $\omega$ は振動数, $m$ は $\omega$ を位相速度の大きい順に並べた時のモードの番号であ る. (\ref{spector-ex})を(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})に代入し, $\exp i(kx-\omega t)$ の直交性を用いて各々の $k$ についての成分を取り出すと以下を得る(以降, 添字 $k,m$ は省略): \begin{equation} -i\omega \hat{u} - y \hat{v} = -ik\hat{\Phi}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u} \end{equation} \begin{equation} -i\omega \hat{v} + y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\Phi} +ik\hat{u} +\frac{\partial\hat{v}}{\partial y} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi} \end{equation} \medskip 上式は $k$ をパラメータとする固有値 $\omega=\omega(k)$ の固有値問題とな る. \subsection{固有値, 固有関数}\label{sec-eigen} 次に, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})から $\hat{u},\hat{\Phi}$ を消去した式を導出する. これは, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})に(\ref{spector-ex})を代入す る($\partial /\partial x \rightarrow ik, \partial /\partial t \rightarrow -i\omega$ と置き換える)ことにより得られる: $$ -i\left( \omega\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - k^{2} \omega - \omega y^{2} - k + \omega^{3} \right)\hat{v} = 0. $$ \medskip 両辺を $-i$ で割って整理すると \begin{equation} \left( \omega\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - k^{2} \omega - k + \omega^{3} - \omega y^{2} \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v} \end{equation} \medskip $\hat{v}$ は, 上式と, 境界条件(赤道に捕捉される条件), $$ v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty), $$ \medskip を満たす $k$ の関数として決められる. (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})は $\hat{v}=0$ となる自 明な解を持っている. 以下で詳述するように $\hat{v}=0$ の場合でも, $\hat{u}\not=0, \hat{\Phi}\not=0$ となるような物理的に意味のある解が存在 するから, 以下では $\hat{v}=0,\hat{v}\not=0$ の両者について場合分けを行 い, 固有値, 固有関数を議論することにする. \subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.1 $\hat{v}\not=0$ の場合}} はじめに, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})において $\omega=0$ の場合を考える. $\omega = 0$ の場合, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})より, \begin{equation} k\hat{v} = 0 \end{equation} \medskip となるから, $\hat{v}\not=0$ より $k=0$ を得る. このとき, $\hat{v}$ の固 有関数形を(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})より求めるこ とが出来ない. そこで, 元の方程式系 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})に戻って, $\omega=k=0$ とすると, $\hat{v}=0$ を得る. これは $\hat{v}\not=0$ とした始めの仮定に不 適であるから, したがって, $\omega\not=0$ が得られる. よって (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})の両辺を $\omega$ で割ることが出来て, \begin{equation} \left( \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - k^{2} - \frac{k}{\omega} + \omega^{2} - y^{2} \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'} \end{equation} 上式は, 以下の微分方程式 \begin{equation} \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2} \end{equation} %\begin{equation} % \left( % \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + 2n + 1 - y^{2} % \right)\hat{v} = 0,\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2} %\end{equation} \medskip (一次元調和振動子に対するシュレーディンガー方程式\footnote{質量 $m$ の質点の $x$ 方向の速度 $u$, 全エネルギー $E$, 質点の振動数 $\omega$ とすると, 次の関係が成り立つ(シュレーディンガー方程式): $$ \frac{d^{2}u}{dx^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}u = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}u, \quad \rightarrow \quad \frac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left(\frac{2mE}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}\right)u = 0. $$ \medskip ここで, $\xi = \alpha x, \alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}, \lambda = 2E/\hbar\omega$ と変数変換を行うと次式を得る: $$ \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0. $$ \medskip ただし, $\hbar = h/2\pi$, $h$ はプランク定数である. このとき, {\bf 固有値} $\lambda$, {\bf 固有関数} $u$ はエルミート({\it Hermite})多項式 $H_{n}$ を用いて次のように与えられる: $$ \lambda = 2n + 1, \qquad u_{n}(\xi) = A_{n}e^{-\xi^{2}/2}H_{n}(\xi), \qquad H_{n}(\xi) = (-1)^{n}e^{\xi^{2}}\frac{d^{n}e^{-\xi^{2}}}{d\xi^{n}}, \qquad (n\ge0). $$ \medskip ここで $A_{n}$ は $\int_{-\infty}^{\infty}|u_{n}(\xi)|^{2}d\xi = 1$ とな るように選ばれる規格化定数である(原島 鮮著, 初等量子力学 p54〜p69). また エルミート多項式によって定義される次の関数を放物柱関数という: $$ D_{n}(\xi) = e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}H_{n}(\xi) = (-1)^{n}e^{\frac{\xi^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{d\xi^{n}}e^{-\xi^{2}},\qquad (n\ge0). $$ \medskip 一方, エルミート多項式には次の関係(エルミート方程式) $$ \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}H_{n} - 2\xi\frac{d}{d\xi}H_{n} + 2nH_{n} = 0, $$ \medskip があり, $n$ 次 $(n\ge 0)$ の放物柱関数 $D_{n}$ の満たすべき式は上の関係 式に $D_{n}$ の表現を代入して $$ \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}D_{n} + (2n + 1 - \xi^{2})D_{n} = 0. $$ \medskip したがって, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})の形式の微 分方程式は, 固有値 $2n+1$, 固有関数 $D_{n}$ を取り得ることが分かる. }, もしくは, 放物柱関数を与える微分方程式)と同じ形をしている. したがって, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'})と比較して以下の分散関係式 \begin{equation} \omega^{3} - k^{2} \omega - k = (2n+1)\omega, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3} \end{equation} \medskip を得る. また, 固有関数 $\hat{v}$ は (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})よりエルミート多項式 $H_{n}(y)$: \begin{eqnarray} H_{n}(y) &=& (-1)^{n}e^{y^{2}}\frac{d^{n}}{dy^{n}}e^{-y^{2}} \qquad (n\ge0),\label{hermet-eq} \\ H_{0}(y) &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2y, \quad H_{2}(y) = 4y^{2}-2, \quad \cdots \nonumber %\\[2ex] % D_{n}(y)~~(\mbox{放物柱関数})~ &=& H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \qquad (n\ge0), \end{eqnarray} を用いて以下のように表される: \begin{equation} \hat{v}_{n}(y) = A_{n}D_{n}(y), \qquad (n\ge0)\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2} \end{equation} \begin{equation} D_{n}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \qquad (n\ge0). \end{equation} \medskip ただし, $A_{n}$ は任意の定数であり, 以降簡単化のため $A_{n}=1$ とする \footnote{本来 $A_{n}$ は, 固有関数 $\hat{u}_{n},\hat{v}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ が以下の規格化条件 $$ \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}dxdy(u_{\omega'}^{*}u_{\omega}+v_{\omega'}^{*}v_{\omega}+\Phi_{\omega'}^{*}\Phi_{\omega}) = \delta_{\omega\omega'}. $$ \medskip を満たすように決める. ここでは簡単化のため $A_{n}=1$ とした.}. また, この $\hat{v}_{n}(y)$ を使って求められる $\hat{u}(y),\hat{\Phi}(y)$ を以降 $\hat{u}_{n}(y),\hat{\Phi}_{n}(y)$ と表すことにする. 以下では, 得られた 固有値(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3}), $\hat{v}_{n}$ の固有関数(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})を用いて, 元の 方程式系(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})から $n$ の値 に応じた固有関数 $\hat{u}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ を導出することにする. \begin{description} \item[\underline{\bf (1) $n=0$ の場合}] ~\\ (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})より, \begin{equation} \omega^{3} - k^{2} \omega - k = \omega, \quad \rightarrow \quad (\omega+k)(\omega^{2} - k\omega - 1) =0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3_n=0} \end{equation} \medskip ゆえに, $n=0$ の場合に得られる $\omega$ は \begin{equation} \omega = -k \quad\mbox{もしくは}\quad \omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2, \label{eigen-value-n=0} \end{equation} \medskip である. 一方, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})より固有関 数 $\hat{v}_0$ は次の様になる: \begin{eqnarray} \hat{v}_{0}(y) &=& H_{0}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \nonumber \\ &=& \exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right). \label{vhat_n=0} \end{eqnarray} 以下では, (\ref{eigen-value-n=0})の $\omega$ により場合分けを行い, 固有関数 (\ref{vhat_n=0})を用いて $\hat{u}_{0}, \hat{\Phi}_{0}$ を求める. \begin{description} \item[\underline{a) $\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ の場合}] ~\\ (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})より, \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{0} = i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u2} \end{equation} \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{0} = i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi2} \end{equation} \medskip であるから, $\omega\not=\pm k$ より, \begin{equation} \hat{u}_{0} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}} \left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u3} \end{equation} \begin{equation} \hat{\Phi}_{0} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}} \left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi3} \end{equation} \medskip ゆえに, (\ref{vhat_n=0})を代入して $\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ の場合の固有関数をま とめると次の様になる: \begin{eqnarray} \hat{u}_{0} &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}} \left(\omega y + ky\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) = \frac{i}{\omega-k}y D_{0}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u4}\\ \hat{v}_{0} &=& D_{0}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v4}\\ \hat{\Phi}_{0} &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}} \left(ky + \omega y\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) = \frac{i}{\omega-k}y D_{0}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi4} \end{eqnarray} 節 \ref{sec-struct} で詳述するが, これらの波は東進, 西進 する慣性ロスビー重力波である.\\ \item[\underline{b) $\omega = -k ~(\not=0)$ の場合}] ~\\ (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi}) で $\omega = -k$ とし, (\ref{vhat_n=0}) 式を代入すると次式を得る: \begin{equation} ik\hat{u}_{0} - y e^{-\frac{1}{2}y^{2}} = -ik\hat{\Phi}_{0}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2} \end{equation} \begin{equation} ik e^{-\frac{1}{2}y^{2}}+y\hat{u}_{0}= -\frac{\partial\hat{\Phi}_{0}}{\partial y}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2} \end{equation} \begin{equation} ik\hat{\Phi}_{0} +ik\hat{u}_{0} -y e^{-\frac{1}{2}y^{2}} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2} \end{equation} \medskip ここで, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2})と (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2})は同じ式と なるから, 次の関係を得る(∵ $k\not=0$): \begin{equation} \hat{\Phi}_{0} = -\hat{u}_{0} + \frac{1}{ik}y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \end{equation} \medskip これより(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2})から 次式を得る: \begin{equation} \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y} - y\hat{u}_{0} = \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3} \end{equation} \medskip 左辺 $= 0$ として得られる同次線形微分方程式の解 ($e^{\frac{1}{2}y^{2}}$)を用いて, $\hat{u}_{0}=C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}$ と表されるから, $$ \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y} = \frac{\partial C(y)}{\partial y}e^{\frac{1}{2}y^{2}} + y C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}, $$ \medskip より, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})に代入 して次式を得る: \begin{eqnarray} \frac{\partial C(y)}{\partial y} &=& \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-y^{2}} \nonumber \\ C(y) &=& \int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}}dy'. \end{eqnarray} ゆえに, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})の解は以下の ようになる: \begin{eqnarray} \hat{u}_{0} &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}} dy' \nonumber \\ &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}} + \left(\frac{1}{2} - y'^{2}\right)e^{-y'^{2}} \right\} dy' \nonumber \\ &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + e^{\frac{1}{2}y^{2}}\left[\frac{1}{2ik}y'e^{-y'^{2}}\right]_{\infty}^{y} \nonumber \\ &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + \frac{1}{2ik}ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \end{eqnarray} 上の変形では, 積分定数を $y=\infty$ にて $\hat{u}_{0}=0$ となる ように与えたが, 右辺第1項は $y\rightarrow -\infty$ で発散す ることが分かる. したがって, $\omega = -k \not= 0$ の場合, 境 界条件を満たす解は存在しない($n=0$ の時には $\omega = -k \not=0$ は固有値では無いことになり, 自由度が 1 足らなくなっ た(固有値は3つあるから1つ減った)). \end{description} \item[\underline{\bf (2) $n\ge 1$ の場合}] ~\\ (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})より, \begin{equation} \omega_{i}^{3} - k^{2} \omega_{i} - k = (2n+1)\omega_{i}. \qquad i = 1,2,3 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v4} \end{equation} \medskip 上式より, 固有値 $\omega$ は, 3つ存在することが知られている. この $\omega$ の導出は, \ref{sec-struct} 節で行う. 一方, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})より固有関数 $\hat{v}_{n}$ は次の様になる: \begin{equation} \hat{v}_{n}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \label{vhat_n=n} \end{equation} \medskip 以下では, 固有関数(\ref{vhat_n=n})を用いて $\hat{u}_{n}, \hat{\Phi}_{n}$ を求める. \\ (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})より, \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{n} = i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5} \end{equation} \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{n} = i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5} \end{equation} \medskip これで $\hat{v}_{n}$ の微分を実行すれば $\hat{u}_{n}, \hat{\Phi}_{n}$ は求まるが, ここではやらない. $\hat{v}_{n}$ の微分を実行する代わりに, エルミート多項式についての漸化式を 用いることにする. そこで, 以下ではさらに変形を続ける. (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5})の辺々の加 減を行うと, \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) = - i(k+\omega)\left( \frac{\partial}{\partial y} - y \right)\hat{v}_{n}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u6} \end{equation} \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) = i(k-\omega)\left( \frac{\partial}{\partial y} + y \right)\hat{v}_{n}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi6} \end{equation} \medskip ここで $n\ge 1$ の場合, エルミート多項式, 放物柱関数はそれ ぞれ以下の関係 \begin{equation} H_{n+1}(y) - 2yH_{n}(y) + 2nH_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1), \end{equation} \begin{equation} D_{n+1}(y) - 2yD_{n}(y) + 2nD_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1). \end{equation} \medskip を満たすから, 放物柱関数についての漸化式 \begin{eqnarray} \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)D_{n} &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp \left( -\frac{y^{2}}{2} \right) + D_{n}(-y) - yD_{n} \nonumber \\ &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp \left( -\frac{y^{2}}{2} \right) - 2yD_{n} \nonumber \\ &=& -D_{n+1} \qquad (n\ge0),\\[2ex] \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)D_{n} &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp \left( -\frac{y^{2}}{2} \right) + D_{n}(-y) + yD_{n} \nonumber \\ &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp \left( -\frac{y^{2}}{2} \right) \nonumber \\ &=& 2yD_{n}(y) - D_{n+1}(y) \qquad (n\ge 0) \nonumber \\ &=& 2nD_{n-1}(y) \qquad (n\ge 1), \end{eqnarray} を使うと, \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) = i(k+\omega)D_{n+1}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7} \end{equation} \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) = i(k-\omega)2nD_{n-1}. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7} \end{equation} \medskip ただし, $n=1,2,3,\cdots.$ である. ここで, $D_{n}\not\equiv0 \quad (n\ge 0)$ であるから\footnote{$D_{n}=0$ となるのは, $n$ が奇数の場合に $y=0$ となる点(線)上のみである. なぜなら, $H_{n}$ は一般に \begin{eqnarray*} H_{n}(y) &=& (2y)^{n} - \frac{n(n-1)}{1!}(2y)^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2y)^{n-4} + \cdots \\ & &\quad\quad\quad\quad\quad\quad +\left\{ \begin{array}{l} (-1)^{n/2}\displaystyle\frac{n!}{ \left( \displaystyle\frac{1}{2}n \right)! }, \quad \mbox($n$ ~偶数), \\ (-1)^{(n-1)/2}\displaystyle\frac{n!}{ \left( \displaystyle\frac{1}{2}(n-1) \right)!}2y, \quad \mbox($n$ ~奇数), \\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} と表され, $n$ が奇数の場合には $H_{n}(y)$ の各項には必ず $y$ の因子が含まれるためである. よって全領域で $D_{n}=0$ となる ことはない($D_{n}\not\equiv0$). }, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7})より $\omega\not=k$, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})より $\omega\not=-k$ を得る. ゆえに, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})の両辺を $(\omega^{2}-k^{2})$ で割ることが出来て, $n\ge 1$ の場合の固 有関数は次の様になる: \begin{eqnarray} \hat{u}_{n} &=& \frac{i}{2} \left( \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}+\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1} \right), \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u8} \\ \hat{v}_{n} &=& D_{n}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v8} \\ \hat{\Phi}_{n} &=& \frac{i}{2} \left( \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}-\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1} \right). \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi8} \end{eqnarray} 節 \ref{sec-struct} で詳述するが, これらの波は東進, 西進 する慣性重力波とロスビー波である. \end{description} \subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.2 $\hat{v}=0$ の場合}} $\hat{v}=0$ は, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})の自明解 である. $\hat{u},\hat{\Phi}$ の固有関数を考えるには, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})の方程式系に戻って考察す る必要がある. (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})に $\hat{v}=0$ を代入し て次式を得る: \begin{equation} -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi} \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u} \end{equation} \begin{equation} y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y} \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\Phi} + \left( ik\hat{u} \right) = 0 \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi} \end{equation} \medskip (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})から \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{u} = 0, \end{equation} \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi} = 0. \end{equation} \medskip したがって, 非自明解を持つ条件として以下の関係を得る: \begin{equation} \omega = \pm k. \end{equation} \medskip 以下では, 得られた条件 $\omega=\pm k$ と $\hat{v}=0$ を用いて, 方程式 系(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})から固有関数 $\hat{u},\hat{\Phi}$ を導出することにする. \begin{description} \item[\underline{a) $\omega = -k (\not=0)$ の場合}] ~\\ この場合, (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})は同じ式となるから, \begin{equation} ik(\hat{u} + \hat{\Phi}) = 0, \end{equation} ゆえに, \begin{equation} \hat{\Phi} = -\hat{u} \end{equation} これを(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})に代入して \begin{equation} \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)\hat{u} = 0. \label{solution-w=k} \end{equation} ゆえに, (\ref{solution-w=k})の一般解は \begin{equation} \hat{u} = Ae^{\frac{1}{2}y^{2}}, \end{equation} %\begin{equation} % \hat{v} = 0, %\end{equation} %\begin{equation} % \hat{\Phi} = -e^{\frac{1}{2}y^{2}}. %\end{equation} \medskip ($A$ は任意定数)となる. 境界条件(\ref{boundary-condition-y}) を満たすような $A(\not=0)$ は存在しないから, よって $\omega=-k$ の場合には解は存在しない. \item[\underline{b) $\omega = k$ の場合}] ~\\ この場合も(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})は同じ式となるから, $$ ik(\hat{u} - \hat{\Phi}) = 0, $$ すなわち \begin{equation} \hat{u} = \hat{\Phi} \end{equation} これを(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})に代入して \begin{equation} \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)\hat{u} = 0. \end{equation} ゆえに, \begin{equation} \hat{u} = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \label{kelvin-eq-nondim-u} \end{equation} \begin{equation} \hat{v} = 0, \label{kelvin-eq-nondim-v} \end{equation} \begin{equation} \hat{\Phi} = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \label{kelvin-eq-nondim-phi} \end{equation} \medskip となり, これらは境界条件(\ref{boundary-condition-y})を満たす 解である. これが $\hat{v}\not=0$ かつ $n=0$ の場合に欠けてい た解である. 節 \ref{sec-struct} で詳述するが, この波はケルビ ン波である. \end{description} \subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.3 固有値, 固有関数のまとめ}} \ref{sec-eigen}.1 の結果より $\hat{v}\not=0$ の場合には, $n=0$ のとき解 は2つ, $n\ge 1$ のときには解は3つ得られた. $n=0$ の場合の解の個数が1つ少 なくなっているが, \ref{sec-eigen}.2 の結果より $\hat{v}=0$ とした場合に 解が1つ得られたので, 解の数は3つそろった. 以上, \ref{sec-eigen}.1 節, \ref{sec-eigen}.2 節の結果(固有値, 固有関数)をまとめると以下の様になる:\\ %自由度(固有値 $\omega$ の数)は 3つ確保できた. これまでは $n\ge 0$ と考え %てきたが, \ref{sec-eigen}.2 節で得られた固有値 $\omega=k$ は, %(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})において $n=-1$ とすれ %ば形式的に得られる. よって $D_{-1}=D_{-2}=0$ することで, %\ref{sec-eigen}.1 節, \ref{sec-eigen}.2 節の結果は, 統一的に表される. つ %まり, $n=0, k=-\omega$ の代わりに得られた固有関数 %(\ref{kelvin-eq-nondim-u})〜 (\ref{kelvin-eq-nondim-phi})は, $n=-1$ とし %た場合に対応する. 以上, $x,t$ の依存性も含めて \ref{sec-eigen}.1 節, %\ref{sec-eigen}.2 節の結果(固有値, 固有関数\footnote{有次元系での %$u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ の形式は次の様になる: %\begin{eqnarray*} % u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}} % \left( % \omega y H_{n}(y) \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) \right. \nonumber\\ % && \left. % ~- k \left[ % \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) % - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) % \right] % \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\ % v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\ % \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}} % \left( % k y H_{n}(y) \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) \right. \nonumber\\ % && \left. % ~- \omega \left[ % \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) % -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp % \left( % -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} % \right) % \right] % \right) e^{i(kx-\omega t)} %\end{eqnarray*} %})をまとめると以下の様になる: $\hat{v}\not=0$ の解: \\ \begin{equation} ~~~~~~~~n=0~~~\left\{ \begin{array}{l} \omega_{i} = \displaystyle\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2}, \qquad (i=1,2) \\[2ex] \hat{u}(y) = \displaystyle\frac{i}{\omega_{i}-k}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[3ex] \hat{v}(y) = H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[2ex] \hat{\Phi}(y) = \displaystyle\frac{i}{\omega_{i}-k}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{array} \right. \label{solution_vnot=0_n=0} \end{equation} \medskip \begin{equation} ~~~n\ge 1~~~\left\{ \begin{array}{l} \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad (i = 1,2,3)\\[2ex] \hat{u}(y) = \displaystyle\frac{i}{2} \left( \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}-k}H_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}2n H_{n-1} \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[3ex] \hat{v}(y) = H_{n}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[2ex] \hat{\Phi}(y) = \displaystyle\frac{i}{2} \left( \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}-k}H_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}2n H_{n-1} \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \end{array} \right. \label{solution_vnot=0_n=1} \end{equation} \medskip $\hat{v}=0$ の解: \\ \begin{equation} ~~~~~~~~~~~~~~~~\left\{ \begin{array}{l} \omega = k, \\[2ex] \hat{u}(y) = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[2ex] \hat{v}(y) = 0, \\[2ex] \hat{\Phi}(y) = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{array} \right. \label{solution_v=0} \end{equation} %\begin{equation} % u(x,y,t) = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}+\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, % \label{eq-wave-struct-nondim2-eq1} %\end{equation} %\begin{equation} % v(x,y,t) = (\omega_{i}-k)D_{n}(y)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, % \label{eq-wave-struct-nondim2-eq2} %\end{equation} %\begin{equation} % \Phi(x,y,t) = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}-\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}. % \label{eq-wave-struct-nondim2-eq3} %\end{equation} \bigskip ここで $\hat{v}=0$ の固有値 $\omega = k$ は, $n\ge 1$ の場合の固有値方程 式において$n=-1$ とすれば得られる. 一方, $\hat{v}=0$ の場合の固有関数は, $n\ge 1$ の場合の固有関数を表す式において $n=-1$ を代入し $H_{-1}=H_{-2}=0$ と定義すれば, $(i/2)H_{0}/(\omega_{i}-k)\sim 1$ と考え ることで $\hat{v}=0$ の場合と同様の式が得られる. よって, $\hat{v}=0$ の 解を形式的に $n=-1$ の場合と定義することにする.\\ (\ref{solution_vnot=0_n=0}), (\ref{solution_vnot=0_n=1})より, $\hat{u}$ と $\hat{\Phi}$ は同位相の関係にある. また, $n=-1$ でない場合には, $\hat{v}$ と $\hat{u}, \hat{\Phi}$ は $\pi/2$ だけ位相が異なっていること が分かる\footnote{ケルビン波に対応する $n=-1$ の場合には, $\hat{v}$ は常 に 0 であるから, $\hat{v}$ と $\hat{u}, \hat{\Phi}$ の間の位相関係を考え ること自体意味が無い.}. %$n$の範囲と固有値 $\omega_{i}$($i=1,2,3$) を与える分散関係は以下の通りである: % %\begin{equation} % \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan} %\end{equation} % %\medskip %ただし, % %\begin{equation} %\left\{ % \begin{array}{l} % n= -1 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = k, ~(i=1) \\[2ex] % n= 0 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2, ~(i=2,3) \\[2ex] % n\ge 1 ~~\mbox{:}~~ \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1). ~(i = 1,2,3) % \end{array} %\right. \label{equatorial-wave-nondim-bunsan} %\end{equation} \newpage \section{赤道波の分散関係式と水平構造}\label{sec-struct} 本節では前節の結果に基づいて赤道波の分類を行い, 固有関数 (\ref{solution_v=0})〜(\ref{solution_vnot=0_n=1})で 与えられる水平構造から各モードの定義を行う. %$$ % \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \eqno(\mbox{\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan}}) %$$ \subsection{$n=-1$ の場合} この場合(\ref{solution_v=0})より, 分散関係式は \begin{equation} \omega = k \label{equator-kelvin-bunsan-nondim} \end{equation} \medskip である. この振動数を用いて固有関数(\ref{solution_v=0})を図示すると次の様 になる: \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[6.3cm]{ps/nk1_kelvin-w-rc.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{赤道ケルビン波の圧力場と速度場の分布($k=1,\omega=1$).} \label{kelvin-pic} \end{figure} \medskip この波は赤道に壁を対応させた場合に, 壁に沿って伝播するケルビン波と同じ構 造をしており, {\bf 赤道ケルビン波}と呼ばれる. \subsection{$n=0$ の場合}\label{sec-n=0} この場合(\ref{solution_vnot=0_n=0})より, 分散関係式は \begin{equation} \omega = \frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2}. \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0} \end{equation} \medskip したがって, この場合東進する波と西進する波が存在することがわかる. この振 動数を用いると, それぞれの波の固有関数(\ref{solution_vnot=0_n=0})は図 \ref{inertio-gw-pic-n=0}, \ref{mixed-rossby-pic}の様になる. \begin{figure}[H] \begin{center} \vspace*{-4mm} \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-rc.ps} \end{center} \vspace{-7mm} \caption{$n=0$ の東進する波の圧力場と速度場の分布 ($k=0.5, \omega=2.56$).} \label{inertio-gw-pic-n=0} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \vspace*{-4mm} \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-rc.ps} \end{center} \vspace{-7mm} \caption{$n=0$ の西進する波の圧力場と速度場の分布 ($k=0.5, \omega=-1.56$).} \label{mixed-rossby-pic} \end{figure} 東進する波の方は, 速度場の収束発散により位相伝播する構造をしており (\ref{sec-denpa}節参照), {\bf 慣性重力波}と呼ばれている. 一方, 西進する %波の速度場は, 東進する波と同様, 速度場の収束発散により位相伝搬する構造を %している一方, 高緯度では地衝流的であり, 赤道付近では非地衡風的な流れを示 %す. このため, 速度場の収束発散だけでなく, 高緯度では特に惑星渦度の南北経 %度に応じた相対渦度の変化によって, 圧力分布が決まっている. このように, 西 %進する 波には \ref{sec-denpa} 節で詳述するように重力波的な性質とロスビー波的な 性質が存在する. このような特徴から, 西進する波の方は{\bf 混合ロスビー重 力波}と呼ばれている. したがって, $n=0$ のモードはまとめて {\bf 混合ロス ビー重力波のモード}と呼ばれている. \subsection{$n\ge 1$ の場合} この場合(\ref{solution_vnot=0_n=1})より, 分散関係式は以下の様になる: \begin{equation} \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan} \end{equation} \medskip (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})は, 変数 $n$ を含んだ一般的な 3次 方程式であり厳密解として固有値 $\omega$ は 3つ存在するが, 以下では $\omega$ の大小によってこれら 3つの固有値を近似的に取り出す方法を示す \footnote{厳密解は, \ref{eigen-value-genmitsu-solution}節で導出する}. \subsubsection{● 大きな \protect $\omega$ (高周波の波動)を取り出す場合} 十分大きな $\omega$ を取れば, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})にお いて, 左辺第三項が無視できる. したがって以下の分散関係式を得る: $$ \omega^{2} \simeq k^{2} + 2n+1, $$ \begin{equation} \omega \simeq \pm \sqrt{k^{2}+2n+1}. \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim} \end{equation} \medskip これは, $f$ 平面にて導出した(\ref{inertio-gw-bunsan2})と同様の形をしてお り, 赤道域での慣性重力波の振動数である. この振動数を用いると, 固有関数 (\ref{solution_vnot=0_n=1})は図\ref{inertio-gw-pic}(左図: 東進, 右図: 西 進)の様になる. \subsubsection{● 小さな \protect $\omega$ (低周波の波動)を取り出す場合} この場合は, 重力波の振動数よりも小さい振動数を持つ低周波の波動に対応する \footnote{無次元化の際に重力波の周期を 1 としていることに注意.}. 十分小 さな $\omega$ を取れば, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})において, 左辺第一項が無視できる. したがって以下の分散関係式を得る: \begin{equation} \omega = \frac{-k}{k^{2}+2n+1}. \label{eq-rossby-bunsan-nondim} \end{equation} \medskip これは, $f$ 平面にて導出した(\ref{rossby-wave-bunsan})と同様の形をしてお り, 赤道域でのロスビー波({\bf 赤道ロスビー波})の振動数である. この振動数 を用いると, 固有関数(\ref{solution_vnot=0_n=1})は図\ref{rossby-pic} の様 になる. \begin{figure}[H] \begin{center} % \vspace*{-6mm} \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps} \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps} \end{center} \vspace{-7mm} \caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). 左図: $n=1, \omega=-0.25$, 右図: $n=2, \omega=-0.17$.} \label{rossby-pic} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \vspace*{3cm} \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-rc.ps} \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-rc.ps} \end{center} \begin{center} \vspace*{-3mm} \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-rc.ps} \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-rc.ps} \end{center} \vspace{-7mm} \caption{圧力場と速度場の分布($k=0.5$). 左図: 東進慣性重力波, 右図: 西進慣性重力波. 上段から $n=1$ (左図 $\omega=1.80$, 右図 $\omega=-1.80$), $n=2$ (左図 $\omega=2.29$, 右図 $\omega=-2.29$).} \label{inertio-gw-pic} \end{figure} %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[10cm]{ps/n0_k1_ro-w-rc.ps} % \end{center} % \begin{center} % \Depsf[10cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). 上段から $n=0, 1$ のモード.} \label{rossby-pic} %\end{figure} % %\vspace{-5mm} %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \hspace*{-0.5cm}\Depsf[8.5cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布($k=1$). $n=2$ のモード.} \label{rossby-pic2} %\end{figure} 以上, これまでの分散関係, 位相速度をまとめると, 図\ref{eq-bunsan-line}, \ref{eq-phase-line}の様になる. \vspace*{-30mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-bunsan-mergincut.ps} % \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps} \end{center} \vspace{-20mm} \caption{赤道波の分散曲線の理論解(\protect$-1\le n \le 3$). ラベル無し実 線は赤道ケルビン波(\protect\ref{equator-kelvin-bunsan-nondim})式, ラベ ル有り実線は東進, 西進慣性重力波 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})式, 破線は東進慣性重力波 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})式, 点線は赤道ロスビー波 (\protect\ref{eq-rossby-bunsan-nondim})式, 一点鎖線は混合ロスビー重力波 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})式の分散曲線を表す. 特に $n=0$ の曲線は, まとめて混合ロスビー重力波のモードと呼ばれている.} \label{eq-bunsan-line} \end{figure} \vspace*{-10mm} \begin{figure}[H] \begin{center} \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-phase-mergincut.ps} % \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps} \end{center} \vspace{-20mm} \caption{赤道波の位相速度の理論解. 曲線と波の対応は図\protect\ref{eq-bunsan-line}と同様. ラベル無し実線は(\protect\ref{eq-kelvin-phase})式, ラベル有り実線 は(\protect\ref{eq-inertio-gw-phase})式の $n\not=0$ の場合, 破線は (\protect\ref{eq-inertio-gw-phase})式の $n=0$ の場合, 点線は (\protect\ref{eq-rossby-phase})式, 一点鎖線は (\protect\ref{eq-mixed-rossby-gw-phase})式の位相速度を表す. }\label{eq-phase-line} \end{figure} \subsection{\protect$n\ge 1$ の場合の分散関係式の厳密解(付録)\protect\footnote{この結果と前節までの近似解との整合性はまだとれていない. 今はとりあえずこの状態でノートにとどめてお く(2001/06/08).}}\label{eigen-value-genmitsu-solution} 本節では3次方程式の解法−カルダノ・タルタリアの解法を用いて, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})の厳密解を導出する. $$ \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1) $$ \medskip より, $$ \omega_{i}^{3} - (k^{2}+2n+1)\omega_{i} - k = 0. \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1) \eqno(\mbox{A.1}) $$ \medskip ここで $\omega = \alpha + \beta$ とおくと, $\omega^{3}$ の計算結果から 次式を得る: $$ \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0 \eqno(\mbox{A.2}) $$ \medskip (A.1)と(A.2)を比較して $$ 3\alpha\beta = k^{2} + 2n + 1 \quad \rightarrow \quad \alpha^{3}\beta^{3} = \frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27}, $$ $$ \alpha^{3}+\beta^{3} = k. $$ \medskip これより $\alpha^{3}, \beta^{3}$ は次の2次方程式の解である: \begin{equation} A^{2} - kA + \frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27} = 0 \end{equation} \medskip ゆえに, \begin{eqnarray} A &=& \frac{k \pm \sqrt{k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}}}{2}. \nonumber \end{eqnarray} ここで, 根号 $\sqrt{~~~}$ の中は, \begin{equation} k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} = -\frac{4}{27}k^{6} -\frac{12}{27}k^{4}(2n+1) -\frac{4}{27}k^{2} \underbrace{ \left\{ (2n)^{2} + 4n -\frac{5}{4} \right\} }_{n\ge 1 の場合必ず正の値} -\frac{12}{27}(2n+1)^{3} < 0 \end{equation} \medskip となり, $n\ge 1$ の場合には必ず負となる. よって, \begin{eqnarray} A &=& \frac{k \pm i\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}, \nonumber \\ &=& ae^{\pm i\theta}. \qquad \mbox{($a$:実数)とおく.} \label{equation-of-A} \end{eqnarray} \medskip よって, $$ \alpha^{3} = ae^{i\theta}, $$ $$ \beta^{3} = ae^{-i\theta}. $$ ここで, 一般に $$ x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0, \qquad \mbox{より} \qquad x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3} $$ \medskip であるから, \begin{eqnarray} \alpha &=& a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta} \nonumber \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}). \end{array} \right. \nonumber \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{ -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +i\left( -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} \right) \right\}, \\[2ex] \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{ -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +i\left( -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} \right) \right\}. \end{array} \right. \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \beta &=& a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} \nonumber \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}). \end{array} \right. \nonumber \\ &=& \left\{ \begin{array}{l} a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex] \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{ -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +i\left( \sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} \right) \right\}, \\[2ex] \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{ -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} +i\left( \sin\displaystyle\frac{\theta}{3} -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} \right) \right\}. \end{array} \right. \end{eqnarray} となる. $\omega = \alpha + \beta$ であるから, $\alpha + \beta$ が実数と なる組合せ\footnote{固有モード(中立波)を求めるのだから, 固有値の虚部は 0 である.} ~$(\alpha + \beta)_{1} = \omega_{1}$, $(\alpha + \beta)_{2} = \omega_{2}$, $(\alpha + \beta)_{3} = \omega_{3}$ を求めると厳密解が得ら れる: \begin{eqnarray} \omega_{1} &=& (\alpha + \beta)_{1} = a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta} + a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} \nonumber\\ &=& 2a^{\frac{1}{3}}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}, \label{riron-omega1}\\ \omega_{2} &=& (\alpha + \beta)_{2} = \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta} + \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} \nonumber\\ &=& a^{\frac{1}{3}}\left( -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} \right), \label{riron-omega2}\\ \omega_{3} &=& (\alpha + \beta)_{3} = \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta} + \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} \nonumber\\ &=& a^{\frac{1}{3}}\left( -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3} +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3} \right),\label{riron-omega3} \end{eqnarray} ただし, $a,\theta$ は(\ref{equation-of-A})より次式を満たす: \begin{equation} a\cos\theta = \frac{k}{2}, \end{equation} \begin{equation} a\sin\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}. \end{equation} \medskip よって, \begin{equation} a^{2} = \left( \frac{k}{2} \right)^{2} + \frac{1}{4}\left( \frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} - k^{2} \right) = \frac{1}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}, \end{equation} \begin{equation} \tan\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}. \end{equation} \medskip ゆえに, \begin{equation} a^{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2}+2n+1)}, \end{equation} \begin{equation} \frac{\theta}{3} = \frac{1}{3}\left( \tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k} + l\pi \right) \end{equation} \medskip (ただし, $l$ は任意の定数). この $a^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{\theta}{3}$ を(\ref{riron-omega1})〜(\ref{riron-omega3})に代入すれば良い. \newpage \section{赤道波の水平伝播のメカニズム}\label{sec-denpa} 本節では, 前節までの結果をもとに赤道波の水平伝播のメカニズムをまとめる. \subsection{慣性重力波の水平伝播のメカニズム} \ref{eq-bunsan-sec} 節の結果より慣性重力波の振動数 $\omega$, 位相速度 $c$ をまとめると次の様になる:\footnote{有次元系で表記すると, 慣性重力 波の振動数, 位相速度は次の様になる: $$ \qquad~~~~~~~\omega =\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{2}\left( k\sqrt{gH} + \displaystyle\sqrt{ k^{2}gH + 4\beta\sqrt{gH} } \right) \qquad(\mbox{for} ~n=0) \\[2ex] \pm \sqrt{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)} \qquad\qquad ~~(\mbox{for} ~n\not=0) \end{array} \right. $$ $$ \qquad\qquad c = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{2}\left( \sqrt{gH} + \displaystyle\sqrt{ gH + \displaystyle\frac{4\beta\sqrt{gH}}{k^{2}} } \right) \qquad ~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \\[3ex] \pm \sqrt{gH+\displaystyle\frac{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}{k^{2}}}\qquad\qquad ~~~~~~(\mbox{for} ~n\not=0) \end{array} \right. $$ } $$ \qquad\qquad\qquad~~~~~~~~~~~~\omega =\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2}\qquad\qquad\qquad~~(\mbox{for} ~n=0)\qquad\qquad\qquad~~(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}}) \\[2ex] \pm \sqrt{k^{2}+2n+1} \qquad\qquad ~~~~~(\mbox{for} ~n\ge 1) \qquad\qquad\qquad~~(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}}) \end{array} \right. $$ \begin{equation} \qquad\qquad c = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1}{2}\left( 1 + \displaystyle\sqrt{ 1 + \displaystyle\frac{4}{k^{2}} } \right) \qquad ~~~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \\[3ex] \pm \sqrt{1+\displaystyle\frac{2n+1}{k^{2}}}\qquad\qquad ~~~~~~(\mbox{for} ~n\ge 1) \end{array} \right. \label{eq-inertio-gw-phase} \end{equation} \medskip (\ref{eq-inertio-gw-phase})より, 慣性重力波は東進するものと西進するもの が存在する($n=0$ では東進するもののみ\footnote{$n=0$ のモードは一般に混 合ロスビー重力波のモードと分類されているが, ここでは, $\omega >0$ の方を 東進慣性重力波のモード, $\omega <0$ の方を混合ロスビー重力波のモードと分 類してメカニズムの記述を行う.}). 以下では, $u,v,\Phi$ の位相伝搬のメカニズムを明らかにするため, 元の方程 式系(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}) $$ \frac{\partial u}{\partial t} = y v -\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}}) $$ $$ \frac{\partial v}{\partial t} = - y u -\frac{\partial\Phi}{\partial y}, \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}}) $$ $$ \frac{\partial \Phi}{\partial t} = - \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right), \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}}) $$ \medskip に戻って, 各項の位相関係を明らかにする. 以下ではそれぞれの項をモード展開 したもの\footnote{(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項のモード展開は \ref{mode-expansion} 節にまとめた.}を用いて考察する. \subsubsection{● \protect $n=0$ の東進慣性重力波} はじめに $n=0$ の場合の慣性重力波の(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})のそれぞれの項の水平分布を以 下に示す. 図は以下の構成のもと作成した: \medskip {\tiny \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{(1) \protect $k=0$ の場合}] ~\\ $k=0$ の場合は, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})より $\omega=1=\beta$ となるから, このモードは慣性振動である. こ の慣性振動の特徴をとらえるため, 以下では回転する速度ベクトル の向きによって場合分けを行い, その特徴をまとめる. \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↑から→のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北 半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合 の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東 西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. この大きさは時間と共に{\bf 減少}し, 東西風の速度 が最大となる時に{\bf 0} となる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北 半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合 の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力( $-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力 傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり, 赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発 生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時 間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時 に{\bf 最大値}を取る. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北 半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合 の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で 逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期 して時間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が 0 (東 西風が最大)となる時に{\bf 0} となる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.0, t=0.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが→から↓のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北 半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合 の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東 西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. この大きさは時間と共に{\bf 増加}し, 東西風の速度 が 0 となる時に{\bf 最大値}を取る. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北 半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合 の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力( $-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力 傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり, 赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発 生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時 間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が最小となる時 に{\bf 0}を取る. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北 半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合 の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で 逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期 して時間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が最小 (東西風が 0)となる時に{\bf 最大値}を取る. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.0, t=2.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↓から←のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北 半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合 の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東 西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. この大きさは時間と共に{\bf 減少}し, 東西風の速度 が最小となる時に {\bf 0} となる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北 半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合 の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力( $-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力 傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり, 赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発 生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時 間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時 に{\bf 最大値}を取る. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北 半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合 の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で 逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期 して時間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が 0 (東 西風が最小)となる時に{\bf 0} となる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=3.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.0, t=3.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが←から↑のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北 半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合 の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東 西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. この大きさは時間と共に{\bf 増加}し, 東西風の速度 が 0 となる時に{\bf 最大値}をとる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北 半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合 の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力( $-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力 傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり, 赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発 生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時 間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が最大となる時 に{\bf 0} となる. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北 半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合 の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で 逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期 して時間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が最大 (東西風が 0)となる時に{\bf 最大値}をとる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=5.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.0, t=5.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 0.7$ (低波数)の場合}] ~\\ 低波数($0 < k \le 0.7$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} より, 低波数の場 合の東進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力($yv$)の 大きさでほとんど決まっており, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさは小さいこと がわかる. したがって, コリオリ力( $yv$ )により生 成された東西風は, わずかな圧力傾度力により加速さ れている. コリオリ力に対する圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり, $k=0.7$ で 同程度になる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 低波数の場合の東進慣性重力波の南北風の時間変化 ($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力 ($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力の大きさは, コリオリ力と逆符号をとり, その最大振幅の緯度がコ リオリ力の振幅最大の緯度よりわずかに北にあるため, 高緯度での南北風の生成を抑制している. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} より低波数の場合 の東進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 南北風の 収束発散($-\partial v/\partial y$)の大きさでほと んど決まっている. 東西風の収束発散成分は, この南 北風の収束発散成分と同じ符号をとるが, 値は小さい. よって, 南北風が収束すれば, その位置における次の 瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構造をしている). 南北風の収束発散成分に対する東西風の収束発散成分 の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて増加し, $k=0.7$ で同程度になる(東西風と南北風の収束発散 により, 高圧, 低圧の分布が決まる). \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k0.5_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n0_k0.5_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \item[\underline{(3) \protect $k > 0.7$ (高波数)の場合}] ~\\ 高波数($k > 0.7$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} より, 高波数の場 合の東進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさでほとんど 決まっており, コリオリ力($yv$)の大きさは相対的に 小さいことがわかる. 圧力傾度力に対するコリオリ力 の大きさは, 東西波数が増大するにつれて次第に減少 する. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 高波数の場合の東進慣性重力波の南北風の時間変化 ($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ 力($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 圧力傾 度力($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決ま り, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって 支配されている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力は, コリオリ力と逆センスの傾向にあり, その最大振幅の 緯度がコリオリ力の振幅最大の緯度よりわずかに北に あるため, 高緯度での南北風の生成を抑制している. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} より高波数の場合 の東進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 東西風の 収束発散($-\partial u/\partial x$)の大きさでほと んど決まっている. 南北風の収束発散成分は, この東 西風の収束発散成分と同じセンスであるが, 値は小さ い. よって, 東西風が収束すれば, その位置における 次の瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構造をして いる). 東西風の収束発散成分に対する南北風の収束 発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて 次第に減少する. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k1.4_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=1.4$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n0_k1.4_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \end{description} \subsubsection{● \protect $n=1$ の東進慣性重力波} 次に, $n\ge 1$ の場合の東進慣性重力波として, $n=1$ の場合の特徴をまとめ る. $n=2$ の場合については図(\ref{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}〜\ref{n2_k3.0_ig-w-east-term})のみ掲載する. \begin{description} \item[\underline{(1) \protect $k=0$ の場合}] ~\\ $k=0, n=1$ の場合は, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})より $\omega=\pm\sqrt{3}$ となるから, このモードは慣性振動の周期 の $\sqrt{3}$ 倍で振動する. このモードの特徴を図 \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} に示し, 以下に各項の特徴 をまとめる. \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↑から→のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球 の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に 依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振 幅は, 南北両半球でともに同符号(＋)であり大きさは 同じである($n=0, k=0$ の場合には南北両半球で逆符 号を取っていた). したがって, 東西風の時間変化は 南北両半球で同符号で変化する. この大きさは時間と 共に{\bf 減少}し, 東西風の速度が最大となる時に {\bf 0} となる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球 の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度 が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取 る. コリオリ力( $-yu$ ) と圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$) の最大最小値は, 同符号で変化し, 赤道から離れた緯度に位置する. ま た, 圧力傾度力は, 最大最小振幅を取る緯度のさらに高 緯度側では, コリオリ力と逆符号を取るが値は小さい. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時に北半球(南半 球)で{\bf 最小(最大)}を取る. この極値の大きさは $n=0$ の場合と比べて 2倍の値となっている.\\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球 の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合の慣 性重力波のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤 道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道 域では南北風の発散域で高度場が下がり, 高緯度側の 収束域で高度場が上がる構造をしている(重力波的な 構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 減少} し, 南北風の速度が 0 (東西風が最大)となる時に {\bf 0} となる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.0, t=0.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが→から↓のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球 の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に 依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振 幅は, 南北両半球でともに同符号(−)であり大きさは 同じである($n=0, k=0$ の場合には南北両半球で逆符 号を取っていた). したがって, 東西風の時間変化は 南北両半球で同符号で変化する. この大きさは時間と 共に{\bf 増加}し, 東西風の速度が 0 となる時に {\bf 最小値} を取る. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球 の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度 が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取 る. コリオリ力( $-yu$ ) と圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$) の最大最小値は, 同符号で変化し, 赤道から離れた緯度に位置する. ま た, 圧力傾度力は, 最大最小振幅を取る緯度のさらに 高緯度側では, コリオリ力と逆符号を取るが値は小さ い. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と共 に{\bf 減少}し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最 小(最大)となる時に両半球で{\bf 0} となる. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球 の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合の慣 性重力波のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤 道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道 域では南北風の収束域で高度場が上がり, 高緯度側の 発散域で高度場が下がる構造をしている(重力波的な 構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 増加} し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最小(最大)とな る時に{\bf 赤道域で最大値}, {\bf 高緯度で最小値} をとる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.0, t=1.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↓から←のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球 の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に 依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振 幅は, 南北両半球でともに同符号(−)であり大きさは 同じである($n=0, k=0$ の場合には南北両半球で逆符 号を取っていた). したがって, 東西風の時間変化は 南北両半球で同符号で変化する. この大きさは時間と 共に{\bf 減少}し, 東西風の速度が最小となる時に {\bf 0} となる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球 の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度 が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取 る. コリオリ力( $-yu$ ) と圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$) の最大最小値は, 同符号で変化し, 赤道から離れた緯度に位置する. ま た, 圧力傾度力は, 最大最小振幅を取る緯度のさらに 高緯度側では, コリオリ力と逆符号を取るが値は小さ い. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と共 に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時に北半 球(南半球)で{\bf 最大値(最小値)}を取る. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球 の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合の慣 性重力波のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤 道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道 域では南北風の収束域で高度場が上がり, 高緯度側の 発散域で高度場が下がる構造をしている(重力波的な 構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 減少} し, 南北風の速度が 0 となる時に{\bf 0} となる. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.0, t=2.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{description} \item[\underline{北半球の速度ベクトルが←から↑のとき}] ~\\ \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球 の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大 きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に 依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振 幅は, 南北両半球でともに同符号(＋)であり大きさは 同じである($n=0, k=0$ の場合には南北両半球で逆符 号を取っていた). したがって, 東西風の時間変化は 南北両半球で同符号で変化する. この大きさは時間と 共に{\bf 増加}し, 東西風の速度が 0 となる時に {\bf 最大値} を取る. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球 の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合の慣 性重力波の南北風の時間変化( $\partial v /\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度 が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取 る. コリオリ力( $-yu$ ) と圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$) の最大最小値は, 同符号で変化し, 赤道から離れた緯度に位置する. ま た, 圧力傾度力は, 最大最小振幅を取る緯度のさらに 高緯度側では, コリオリ力と逆符号を取るが値は小さ い. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と共 に{\bf 減少}し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最 大(最小)値を取る時に{\bf 0}となる. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球 の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合の慣 性重力波のジオポテンシャルの時間変化( $\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の 収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決 まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤 道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道 域では南北風の発散域で高度場が下がり, 高緯度側の 収束域で高度場が上がる構造をしている(重力波的な 構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 増加} し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最大(最小)値を 取る時に{\bf 赤道域で最小値}, {\bf 高緯度で最大 値}を取る. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.0, t=3.0$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 1.2$ (低波数)の場合}] ~\\ 低波数($0 < k \le 1.2$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} より, 低波数の場 合の東進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力($yv$)の大 きさでほとんど決まっており, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさは小さいこ とがわかる. したがって, コリオリ力( $yv$ )により 生成された東西風は, わずかな圧力傾度力により加速 されている. 圧力傾度力は低緯度で正の符号, 高緯度 負の符号を取るため, $\partial u /\partial t$ の 分布は赤道域と高緯度で逆符号を取る. コリオリ力に 対する圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するに つれて大きくなり, $k=1.2$ で同程度になる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} より, 低波数の場 合の東進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力は, コリオ リ力と逆符号を取り, 高緯度での南北風の生成を抑制 している. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} より, 低波数の場 合の東進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 南北風の 収束発散($-\partial v/\partial y$)の大きさでほと んど決まっている. 東西風の収束発散成分は, この南 北風の収束発散成分と同じ符号をとるが, 値は小さい. よって, 南北風が収束すれば, その位置における次の 瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構造をしている). 南北風の収束発散成分は低緯度と高緯度で逆符号を取 るため, $\partial\Phi /\partial t$ の分布は赤道 域と高緯度で逆符号を取る. 南北風の収束発散成分に 対する東西風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が 大きくなるにつれて増加し, $k=1.2$ で同程度になる (東西風と南北風の収束発散により, 高圧, 低圧の分 布が決まる). \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k0.6_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.6$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n1_k0.6_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \item[\underline{(3) \protect $k > 1.2$ (高波数)の場合}] ~\\ 高波数($k > 1.2$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} より, 高波数の場 合の東進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさでほとんど 決まっており, コリオリ力($yv$)の大きさは相対的に 小さいことがわかる. 圧力傾度力に対するコリオリ力 の大きさは, 東西波数が増大するにつれて次第に減少 する. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} より, 高波数の場 合の東進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力は, コリオ リ力と逆符号を取り, 高緯度での南北風の生成を抑制 している. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} より高波数の場合 の東進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 東西風の 収束発散($-\partial u/\partial x$)の大きさでほと んど決まっている. 南北風の収束発散成分は, この東 西風の収束発散成分と同じ符号を取るが, 値は小さい. よって, 東西風が収束すれば, その位置における次の 瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構造をしている). 東西風, 南北風の収束発散成分は共に低緯度と高緯度 で逆符号を取るため, $\partial\Phi /\partial t$ の分布は赤道域と高緯度で逆符号を取る. 東西風の収 束発散成分に対する南北風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて次第に減少する. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k2.0_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=2.0$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n1_k2.0_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.0, t=0.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.0, t=1.0$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.0, t=1.9$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.0, t=2.5$ の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k0.5_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.5$ (低波数)の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n2_k0.5_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k3.0_ig-w-east-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=3.0$ (高波数)の東進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n2_k3.0_ig-w-east-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \end{description} \subsubsection{● \protect $n=1$ の西進慣性重力波} 次に, $n\ge 1$ の場合の西進慣性重力波として, $n=1$ の場合の特徴をまとめ る. $n=2$ の場合については図(\ref{n2_k0.0_ig-w-west-term-t=0.5}〜\ref{n2_k3.0_ig-w-west-term})のみ掲載する. \begin{description} \item[\underline{(1) \protect $k=0$ の場合}] ~\\ $k=0, n=1$ の場合は, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})より $\omega=-\sqrt{3}$ となるから, このモードは慣性振動の周期の $-\sqrt{3}$ 倍で振動する. このモードの水平構造は以下の理由に より, $k=0, n=1$ の場合の東進慣性重力波(慣性振動, $\omega >0$)の構造と同じになる. したがって, モードの構造とそのメカニ ズムについては図 \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}〜 \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0}を参照されたい(ここでは示 さない). \\ $k=0, n=1$ の場合 $\hat{u},\hat{v},\hat{\Phi}$ の成分は, そ れぞれの実部成分 $u_{r}(y), v_{r}(y), \Phi_{r}(y)$, 虚部成分 $u_{i}(y), v_{i}(y), \Phi_{i}(y)$ を用いると (\ref{solution_vnot=0_n=1})より以下のように表される: \begin{eqnarray} u_{r} &=& 0, \\ u_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2} \left( \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}H_{2}+\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}2 H_{0} \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}},\\ v_{r} &=& H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\ v_{i} &=& 0,\\ \Phi_{r} &=& 0, \\ \Phi_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2} \left( \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}H_{2}-\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}2 H_{0} \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \end{eqnarray} ここで, $\omega \rightarrow -\omega$ とすると, \begin{eqnarray} u_{r} &=& 0, \\ u_{i} &\rightarrow& -u_{i}, \label{u_i} \\ v_{r} &=& v_{r}, \label{v_r} \\ v_{i} &\rightarrow& 0, \\ \Phi_{r} &=& 0, \\ \Phi_{i} &\rightarrow& -\Phi_{i}, \label{phi_i} \end{eqnarray} となる. 一方, $k=0, n=1$ の場合 $u(x,y,t), v(x,y,t), \Phi(x,y,t)$ は $u_{r},v_{r},\Phi_{r},u_{i},v_{i},\Phi_{i}$ を用いて次のように表される: \begin{eqnarray} u(x,y,t) &=& \underbrace{u_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-u_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\ &=& -u_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\ &=& u_{i}(y)\sin(\omega t), \label{u_xyt} \\ v(x,y,t) &=& v_{r}(y)\cos(kx-\omega t)-\underbrace{v_{i}(y)}_{=0}\sin(kx-\omega t), \nonumber \\ &=& v_{r}(y)\cos(-\omega t), \nonumber \\ &=& v_{r}(y)\cos(\omega t), \label{v_xyt} \\ \Phi(x,y,t)&=& \underbrace{\Phi_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-\Phi_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\ &=& -\Phi_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\ &=& \Phi_{i}(y)\sin(\omega t). \label{phi_xyt} \end{eqnarray} ここで, (\ref{u_xyt})〜(\ref{phi_xyt})において $\omega \rightarrow -\omega$ とすると, (\ref{u_i})〜(\ref{phi_i})よ り次の関係を得る: \begin{equation} u(x,y,t) \rightarrow u(x,y,t), \end{equation} \begin{equation} v(x,y,t) \rightarrow v(x,y,t), \end{equation} \begin{equation} \Phi(x,y,t) \rightarrow \Phi(x,y,t). \end{equation} \medskip 上の関係は $n$ の値によらずすべての場合について成り立つ. し たがって $k=0$ のモードの水平構造は, 振動数の絶対値が等しい 場合には振動数の違いに依らず同じ構造を取ることが分かる. 以上 のことから, $k=0, n=1$ の西進慣性重力波の構造とそのメカニズ ムは, $k=0, n=1$ の東進慣性重力波の構造, メカニズムと同じで あることが分かる. \newpage \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 1.1$ (低波数)の場合}] ~\\ 低波数($0 < k \le 1.1$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ力($yv$)の大 きさでほとんど決まっており, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさは小さいこ とがわかる. したがって, コリオリ力( $yv$ )により 生成された東西風は, わずかな圧力傾度力により加速 されている. 圧力傾度力は赤道に最大振幅をもつ構造 をしており, 南北方向のスケールは東西波数が増大す るにつれて大きくなる. コリオリ力に対する圧力傾度 力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくな り, $k=1.1$ で同程度になる. このため, 低波数でみ られる東西風の赤道を挟んだ南北方向の節は東西波数 の増大とともに結合して一つになる(〜東西波数が1.2 程度で結合)様子が見られる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力は, コリオ リ力と逆符号を取り, 高緯度での南北風の生成を抑制 している. この圧力傾度力の南北スケールも東西方向 の圧力傾度力と同様, 東西波数が増大するにつれて大 きくなる. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 赤道上に 最大振幅をもつ南北風の収束発散($-\partial v/\partial y$)の大きさでほとんど決まっている. 東 西風の収束発散成分は, 低緯度側ではこの南北風の収 束発散成分と同じ符号をとるが, 値は小さい. よっ て, 南北風が収束すれば, その位置における次の瞬間 の圧力が高圧になる(重力波的な構造をしている). 南 北風の収束発散成分は低緯度と高緯度で逆符号を取る ため, $\partial\Phi /\partial t$ の分布は赤道域 と高緯度で逆符号を取る. 南北風の収束発散成分に対 する東西風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大 きくなるにつれて増加し, $k=1.6$ で同程度になる (東西風と南北風の収束発散により, 高圧, 低圧の分 布が決まる). \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k0.6_ig-w-west-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=0.6$ の西進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n1_k0.6_ig-w-west-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \item[\underline{(3) \protect $k > 1.1$ (高波数)の場合}] ~\\ 高波数($k > 1.1$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より, 高波数の場 合の西進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, 圧力傾度力 ($\partial\Phi / \partial x$)の大きさでほとんど 決まっており, コリオリ力($yv$)の大きさは相対的に 小さいことがわかる. 圧力傾度力に対するコリオリ力 の大きさは, 東西波数が増大するにつれて次第に減少 する. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より, 高波数の場 合の西進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. また, 圧力傾度力とコリオリ力は同符号を取 り, 共に南北風を強める効果をしている. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より高波数の場合 の西進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化 ($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 東西風の 収束発散($-\partial u/\partial x$)の大きさでほと んど決まっている. 南北風の収束発散成分は, この東 西風の収束発散成分と同じ符号を取るが, 値は小さい. よって, 東西風が収束すれば, その位置における次の 瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構造をしている). 東西風, 南北風の収束発散成分は共に低緯度と高緯度 で逆符号を取るため, $\partial\Phi /\partial t$ の分布は赤道域と高緯度で逆符号を取る. 東西風の収 束発散成分に対する南北風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて次第に減少する. \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k2.5_ig-w-west-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=2.5$ の西進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n1_k2.5_ig-w-west-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k0.5_ig-w-west-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=0.5$ (低波数)の西進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n2_k0.5_ig-w-west-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k3.0_ig-w-west-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=3.0$ (高波数)の西進慣性重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n2_k3.0_ig-w-west-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \end{description} %\newpage % %\bigskip %始めに, 東進する慣性重力波の伝搬メカニズムを考察する. 図 %\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}より, $u,\Phi$ は同位相の関係にあり, $v$ は %$u,\Phi$ と比べて $\pi/2$ だけ位相がずれていることが分かる. また, %$\partial u/\partial t, \partial v/\partial t, \partial \Phi/\partial t$ %の分布は, $u,v,\Phi$ の分布と比べてそれぞれ $\pi/2$ だけ位相が先行してい %る. このことから, $u,v,\Phi$ のそれぞれの分布は時間とともに東に伝播する %ことがわかる. 次に $\partial u/\partial t, \partial v/\partial t, %\partial \Phi/\partial t$ の分布がどのようなメカニズムで決まっているかを %考察する. はじめに, $\partial \Phi/\partial t$ の分布について考える. %図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}より, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は %同位相で変化する $\partial u/\partial x$ (東西風の東西方向の水平発散)と %$\partial v/\partial y$ (南北風の南北方向の水平発散)の足し合わせで決まっ %ている. 南北風の水平発散の大きさのほうがやや大きいものの. これらの大きさ %はほぼ同程度である. この水平風の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, %やはり同位相で変化する $yv$ (南北風に働くコリオリ力)と %$-\partial\Phi/\partial x$ (東西方向の圧力傾度力)の足し合わせで決まって %いる. $\partial u/\partial t$ の場合, コリオリ力の大きさが圧力傾度力と比 %べてやや大きく, コリオリ力の効果が効いている. 一方, $\partial v/\partial %t$ の分布は, 高緯度では $-yu$ (東西風に働くコリオリ力) の効果, 赤 %道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向の圧力傾度力)の %効果が効いていて緯度による違いがあるものの, その和は全領域で正の値を取る %という特徴をもつ. 以上, 伝搬メカニズムを模式図で示すと図 %\ref{eq-inertio-gw-denpa}の様になる(ただし, 図中では$\Phi\rightarrow p$ %とした).\\ % %西進する慣性重力波の伝搬メカニズムも次図\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}の各 %項の水平分布から同様に理解できる. 図\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}より, %$\partial \Phi/\partial t$ の分布は東進する慣性重力波と異なり, $\partial %u/\partial x$ (東西風の東西方向の水平発散)と $\partial v/\partial y$ (南 %北風の南北方向の水平発散)の位相は, 赤道域で同位相, 高緯度で $\pi/2$ だけ %ずれている. よって, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は, 赤道域では %$\partial v/\partial y$ (南北風の水平発散), 高緯度では $\partial %u/\partial x$ (東西風の水平発散)の効果で決まっている. この水平風の %分布のうち $\partial u/\partial t$ の % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=0, k=0.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} \label{n0_k0.5_ig-w-east-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % %\newpage % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[12cm]{ps/eq-inertio-gw.ps} % \end{center} %\caption{$n=0$ の東進する慣性重力波の伝播メカニズム.} \label{eq-inertio-gw-denpa} %\end{figure} % %分布は, 高緯度では $yv$ (南北風に働くコリオリ力)の効果, 低緯度では %圧力傾度力 $\partial\Phi/\partial x$ の効果で決まっている. $\partial %v/\partial t$ の分布も同様に, 高緯度では $-yu$ (東西風に働くコリオ %リ力)の効果, 赤道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向 %の圧力傾度力)の効果が効いている. % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=1, k=0.5$ の東進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項水平分布.} %\label{n1_k0.5_ig-w-east-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=1, k=0.5$ の西進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} %\label{n1_k0.5_ig-w-west-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=2, k=0.5$ の東進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} %\label{n2_k0.5_ig-w-east-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $yv$ & $yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=2, k=0.5$ の西進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} %\label{n2_k0.5_ig-w-west-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % \newpage \subsection{混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム} 本節では, \ref{sec-struct} で定義した $n=0$ のモードのうち, $\omega <0$ の西進するモードを混合ロスビー重力波として扱う. \ref{sec-n=0} 節の結果よ り混合ロスビー重力波の振動数 $\omega$, 位相速度 $c$ をまとめると次の様に なる:\footnote{有次元系で表記すると, 混合ロスビー重力波の振動数, 位相速 度は次の様になる: $$ \qquad~~~~~~~\omega = \displaystyle\frac{1}{2}\left( k\sqrt{gH} - \displaystyle\sqrt{ k^{2}gH + 4\beta\sqrt{gH} } \right) \qquad(\mbox{for} ~n=0) $$ $$ \qquad\qquad c = \displaystyle\frac{1}{2}\left( \sqrt{gH} - \displaystyle\sqrt{ gH + \displaystyle\frac{4\beta\sqrt{gH}}{k^{2}} } \right) \qquad ~~~~~(\mbox{for} ~n=0) $$ } $$ ~~~~~~~~~~~\omega = \displaystyle\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2} \qquad ~~~~~~~~~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \eqno(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}}) $$ \begin{equation} \qquad\qquad c = \displaystyle\frac{1}{2}\left( 1 + \displaystyle\sqrt{ 1 + \displaystyle\frac{4}{k^{2}} } \right) \qquad ~~~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \label{eq-mixed-rossby-gw-phase} \end{equation} \medskip 西進する混合ロスビー重力波の伝搬メカニズムも図 \ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}の各項の水平分布を用いて同様に考察する. \begin{description} \item[\underline{(1) \protect $k=0$ の場合}] ~\\ $k=0, n=0$ の場合は, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}) より$\omega=1$ となるから, このモードは慣性振動である. この モードの特徴は, $k=0, n=0$ の東進慣性重力波の部分で記述した. \item[\underline{(2) \protect $0< k \le 2.5$ (低波数)の場合}] ~\\ 低波数($0 < k \le 2.5$)の場合のモードの特徴を図 \ref{n0_k0.6_ig-w-west-term} に示し, 以下に各項の特徴をまと める. \begin{description} \item[● 東西風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進する混合ロスビー重力波の東西風の時間変化 ( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ 力($yv$)の大きさでほとんど決まっており, 圧力傾度 力($\partial\Phi / \partial x$)の大きさは小さい ことがわかる. したがって, コリオリ力( $yv$ )によ り生成された東西風は, わずかな圧力傾度力により加 速されている. 圧力傾度力はコリオリ力による東西風 生成の効果を弱める働きをしている. この効果は高緯 度ほど大きく, 高緯度域ではコリオリ力と圧力傾度力 がバランスした地衝流的な速度分布をしている. この ため, 低緯度では重力波的, 高緯度ではロスビー波的 な構造をしている. コリオリ力に対する圧力傾度力の 大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり, $k=2.5$ で同程度になる. \\ \item[● 南北風の時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進する混合ロスビー重力波の時間変化 ($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力 ($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 ($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され ている. 赤道から離れた領域の圧力傾度力は, コリオ リ力と逆符号を取り, 高緯度での南北風の生成を抑制 している. この効果は高緯度ほど大きく, 東西風の特 徴と同様に高緯度域ではコリオリ力と圧力傾度力がバ ランスした地衝流的な速度分布をしている. \\ \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\ \vspace{-2mm} 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場 合の西進する混合ロスビー重力波のジオポテンシャル の時間変化($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 赤道上に節をもつ南北風の収束発散($-\partial v/\partial y$)の大きさでほとんど決まっている. 東 西風の収束発散成分は, この南北風の収束発散成分と 逆符号をとるが, 値は小さい. よって, 南北風が収 束すれば, その位置における次の瞬間の圧力が高圧に なる(重力波的な構造をしている). 南北風の収束発散 成分に対する東西風の収束発散成分の大きさは, 東西 波数が大きくなるにつれて増加し, $k=3.0$ で同程度 になる(東西風と南北風の収束発散により, 高圧, 低 圧の分布が決まる). \end{description} \begin{figure}[H] \vspace*{-5mm} \begin{center} \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-west-term/n0_k0.6_ig-w-west-term-s.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=0, k=0.6$ の西進混合ロスビー重力波の場合の (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じになるよう描いている.} \label{n0_k0.6_ig-w-west-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \end{description} %図\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}より, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は %東進する慣性重力波と異なり, $\partial u/\partial x$ (東西風の東西方向の %水平発散)と $\partial v/\partial y$ (南北風の南北方向の水平発散)の位相は %$\pi/2$ だけずれている. このうち, $\partial \Phi/\partial t$ に効くのは %$\partial v/\partial y$ (南北風の水平発散)の方で, $\partial u/\partial %x$ の項はこれとは逆センスであり, これらの項の足し合わせで決まってい %る. この水平風の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, $ yv$ (南北風に働 %くコリオリ力)の効果が効いている. 一方 $-\partial\Phi/\partial x$ (東西 %方向の圧力傾度力)の項は逆センスで, オーダーは一桁小さい. また, $\partial %v/\partial t$ の分布は, 高緯度では$- yu$ (東西風に働くコリオリ力)の効果, %赤道を挟んだ低緯度では$-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向の圧力傾度力) %の効果が効いていて緯度による違いがあるものの, その和は全領域で負の値を取 %るという特徴がある. これは東進する $n=0$ の慣性重力波の特徴と逆であ %る. \\ % %西進する混合ロスビー重力波の速度場は, 高緯度では地衝流的であり, 赤道付近 %では非地衡風的な流れを示している. このため, $\partial\Phi/\partial %t~(\partial p/\partial t)$ の効果だけでなく, 惑星渦度の南北経度に応じた %相対渦度の時間変化 $d\zeta/dt$ の効果によって, 次の瞬間の圧力分布が決まっ %ている. このように, 混合ロスビー重力波は, ロスビー波的な性質と重力波的な %性質の両方で位相伝播している(図\ref{eq-mixed-rossby-denpa}). % %\begin{figure}[H] % \vspace{-5mm} % \begin{center} % \Depsf[9.cm]{ps/mixed-rossby-gw.ps} %% \Depsf[10cm]{ps/eq-rossby.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{混合ロスビー重力波の伝播メカニズム.} \label{eq-mixed-rossby-denpa} %\end{figure} % %\begin{figure}[H] % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{$n=0, k=0.5$ の混合ロスビー重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} %\label{n0_k0.5_ig-w-west-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} % %\begin{figure}[H] % \vspace{-6mm} % \begin{center} % \Depsf[15cm]{ps/n0_k1_ro-w-term.ps} % \end{center} % \vspace{-6mm} %\caption{ロスビー波の振動数を用いて描かせた $n=0, k=1$ の場合の % (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜 % (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布. 図 % \protect\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}と比較するためのもの.} %\label{n0_k1_ro-w-term} %\end{figure} % %{\footnotesize %\renewcommand{\arraystretch}{1.8} %\begin{table}[H] %\centering %\tabcolsep=5mm %\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline % $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline % $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & % $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline % $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline % $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline %\end{tabular} %\end{table} %} \newpage \subsection{赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム} \ref{eq-bunsan-sec} 節の結果よりロスビー波の振動数 $\omega$, 位相速度 $c$ をまとめると次の様になる:\footnote{有次元系で表記すると, ロスビー 波の振動数, 位相速度は次の様になる: $$ \omega = \frac{-k\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)} $$ $$ c = \frac{-\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)} $$ } $$ \omega = \frac{-k}{k^{2}+2n+1}, \qquad (n\ge 1) \eqno(\mbox{\ref{eq-rossby-bunsan-nondim}}) $$ \begin{equation} c = \frac{-1}{k^{2}+2n+1}. \qquad (n\ge 1) \label{eq-rossby-phase} \end{equation} \medskip (\ref{eq-rossby-phase})より, 位相速度は常に $c<0$ であるから赤道ロスビー 波は西進する. 慣性重力波の場合と同様に, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}) の各項の水平分布を図示すると図\ref{n1_k1_ro-w-term} の様になる. $\partial \Phi/\partial t$ の分布は低緯度では $\partial u/\partial x$ の効果, 高緯度では $\partial v/\partial y$ の効果が効いており, これらの 項の足し合わせで決まっている. この水平風の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, 高緯度では $ yv$ (コリオリ力)の効果, 低緯度では $\partial\Phi/\partial x$ (圧力傾度力)が効いている. 一方, $\partial v/\partial t$ の分布は, 高緯度では $- yu$ (コリオリ力) の効果, 赤道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (圧力傾度力)の 効果が効いていることがわかる. このことから $\partial u/\partial t, \partial v/\partial t$ 共に, 高緯度ではコリオリ力の効果で速度分布が決ま り, 低緯度のようなコリオリ力の効かない領域では圧力傾度力によって速度分布 が決まっているといえる. この特徴は $n=0$ の混合ロスビー重力波の特徴と同 じであり, 高緯度で地衝流的, 低緯度で非地衝流的な流れとなる速度場のパター ンと整合的である(図\ref{eq-rossby-denpa-1}). 一方, 圧力分布は, 惑星渦度 の南北経度に応じた相対渦度の時間変化$d\zeta/dt$ の効果を考えると理解しや すい. 地衝流的な速度場になる高緯度において赤道向きの流れがあると, コリオ リ力は緯度と共に減衰するからポテンシャル渦度の保存により $d\zeta/dt > 0$ とならなければならない. したがって低圧部($\zeta > 0$ の領域)の西側に $d\zeta/dt > 0$ の領域が作られ, 低圧の領域は西に伝播する. 高圧部の場合 も以上の議論を逆に辿れば良い(図\ref{eq-rossby-denpa-1}). \begin{figure}[H] \vspace{-5mm} \begin{center} \Depsf[9cm]{ps/eq-rossby-n=1.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1$ のロスビー波の伝播メカニズム.} \label{eq-rossby-denpa-1} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[15.2cm]{ps/n1_k1_ro-w-term.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=1, k=1$ のロスビー波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} \label{n1_k1_ro-w-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[15.2cm]{ps/n2_k1_ro-w-term.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$n=2, k=1$ のロスビー波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} \label{n2_k1_ro-w-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \subsection{赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム} \ref{eq-bunsan-sec} 節の結果よりケルビン波の振動数 $\omega$, 位相速度 $c$ をまとめると次のようになる:\footnote{有次元系で表記すると, ケルビン 波の振動数, 位相速度は次の様になる: $$ \omega = k\sqrt{gH} $$ $$ \qquad\qquad c = \sqrt{gH}\qquad\qquad $$ } $$ \omega = k \eqno(\mbox{\ref{equator-kelvin-bunsan-nondim}}) $$ \begin{equation} \qquad\qquad c = 1 \qquad\qquad\label{eq-kelvin-phase} \end{equation} \medskip (\ref{eq-kelvin-phase})より, ケルビン波は東進する. 慣性重力波, ロスビー 波の場合と同様に, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布を図示すると図 \ref{nk1_kelvin-w-term}のようになる. $v=0$ であることを除いて慣性重力波, ロスビー波の場合と同様, ($u,v,\Phi$), ($\partial u/\partial t, \partial v/\partial t, \partial\Phi/\partial/t$) の位相関係はそれぞれ, ケルビン波 の場合でも変わらない. $\partial \Phi/\partial t$ の分布は, $\partial u/\partial x$ (東西風の収束発散)の効果だけで決まる(図 \ref{eq-kelvin-denpa}). この水平風の分布のうち南北風に働くコリオリ力が存 在しないので, $\partial u/\partial t$ は, $\partial\Phi/\partial x$ (圧 力傾度力)だけで決まる. 一方, $\partial v/\partial t$ の分布は, $v$ が常 に 0 のため存在しない. 図\ref{nk1_kelvin-w-term} からもわかるように, こ の場合 $- yu$ (コリオリ力) と $-\partial\Phi/\partial y$ (圧力傾度 力)がバランスしている(相殺している). \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[13cm]{ps/eq-kelvin.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{ケルビン波の伝播メカニズム.} \label{eq-kelvin-denpa} \end{figure} \begin{figure}[H] \begin{center} \Depsf[15.2cm]{ps/nk1_kelvin-w-term.ps} \end{center} \vspace{-6mm} \caption{$k=1$ のケルビン波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} \label{nk1_kelvin-w-term} \end{figure} {\footnotesize \renewcommand{\arraystretch}{1.8} \begin{table}[H] \centering \tabcolsep=5mm \begin{tabular}{|c||c||c|}\hline $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$) \\ [1ex]\hline\hline $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ & $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline \end{tabular} \end{table} } \Dchapter*{参考文献} \chapter*{参考文献} \begin{itemize} \item[1)] Kundu, P. K., 1990: Fluid Mechanics, 638pp. \item[2)] Holton, J. R., 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology, 511pp. \item[3)] Matsuno, T., 1966: Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial Area. {\it J. Meteor. Soc. Japan}, {\bf 44}, 25-43. \item[4)] 小野寺 嘉孝, 1993: 物理のための応用数学. 裳華房, 225pp. \item[5)] 寺沢 寛一, 1992: 自然科学者のための数学概論. 岩波書店, 711pp. \item[6)] 林 祥介, 1989: 赤道波. GFD ノート. \item[7)] 原島 鮮, 1992: 初等量子力学. 裳華房, 323pp. \end{itemize} \appendix \chapter{付録} \section{固有値問題の定式化と固有値・固有関数(有次元系)} (\ref{spector-ex})を(\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-eq-phi})に代入して以下を得る: \begin{equation} -i\omega \hat{u} - \beta y \hat{v} = -ik\hat{\Phi}, \label{equator-shallow-water-eq-mode-u} \end{equation} \begin{equation} -i\omega \hat{v} + \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}, \label{equator-shallow-water-eq-mode-v} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\Phi} + gH\left( ik\hat{u} + \frac{\partial\hat{v}}{\partial y} \right) = 0. \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi} \end{equation} \medskip 上式で $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ としたものが, 無次元化した場合の結果である. さらに, 上式から $\hat{u},\hat{\Phi}$ を消去した式を導出する. \subsubsection{● $v\not=0$ の場合} \medskip (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})より \begin{equation} \hat{u} = -\frac{1}{i\omega}(\beta y\hat{v}-ik\hat{\Phi}). \label{equator-shallow-water-eq-mode-u'} \end{equation} \medskip (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})を (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v})に代入して \begin{equation} (\beta^{2}y^{2}-\omega^{2})\hat{v} = ik\beta y\hat{\Phi} + i\omega\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}. \label{equator-shallow-water-eq-mode-v'} \end{equation} \medskip (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})を (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})に代入して \begin{equation} (\omega^{2}-k^{2}gH)\hat{\Phi} + i\omega gH\left( \frac{\partial\hat{v}}{\partial y} -\frac{k}{\omega} \beta y \hat{v} \right) = 0, \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi'} \end{equation} \medskip を得る. (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v'})と (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi'})から $\Phi$ を消去すると, 次の $v$ についての二階常微分方程式を得る: \begin{equation} \frac{\partial^{2}\hat{v}}{\partial y^{2}} + \left[ \left( \frac{\omega^{2}}{gH} -k^{2} -\frac{k}{\omega}\beta \right) -\frac{\beta^{2}y^{2}}{gH} \right]\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-eq-mode-only-v} \end{equation} \medskip 赤道から十分離れたところで減衰するような条件(赤道に捕捉される条件), $$ v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty), $$ \medskip を満たす(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})の解は次の条件を満た す(shr\"{o}dinger equation の固有値問題): \begin{equation} \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left( -\frac{k}{\omega}\beta -k^{2} +\frac{\omega^{2}}{gH} \right) = 2n+1 \qquad (n=0,1,2,\cdots). \label{equatorial-wave-bunsan} \end{equation} \medskip 上式は, 赤道に捕捉された東西波数 $k$, 南北のモード数 $n$ の振動解を求め る式(赤道波の分散関係式)である. 上式より $v\not=0$ の場合の固有値方程式 は以下のようになる: \begin{equation} \omega^{3} - \{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0. \label{equatorial-wave-bunsan2} \end{equation} \medskip これは浅水波の分散関係式(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})に於いて $c=\sqrt{gH},f=\sqrt{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}$ とした場合に対応している. \\ \subsubsection{● $v=0$ の場合} (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})で $v=0$ として次式を得る: \begin{equation} -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi}, \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-u} \end{equation} \begin{equation} \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}, \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-v} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\Phi} + gH\left( ik\hat{u} \right) = 0. \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi} \end{equation} \medskip (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})と (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi})から $\Phi$ を消去すると次式を得る: \begin{equation} \omega^{2} = k^{2}gH. \label{equator-kelvin-bunsan} \end{equation} \medskip これが, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})に於いて, $v=0$ とした場合の固 有値方程式にあたる. \subsection{固有関数} \subsubsection{● $v\not=0$ の場合} 簡単化のため, $y$ を次のように置換する: \begin{equation} \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y \end{equation} \medskip このとき, \begin{equation} y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, \qquad \partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi \end{equation} \medskip であるから, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})より次式を得る: \begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}} + \left[ \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left( -\frac{k}{\omega}\beta -k^{2} +\frac{\omega{2}}{gH} \right) - \xi^{2} \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\ \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}} + \left[ (2n+1)-\xi^{2} \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq} \end{eqnarray} \medskip 上式は二次のシュレーディンガー方程式であるから, 解はエルミート多項式を用 いて次の様に表される: \begin{equation} \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v3} \end{equation} \begin{equation} \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v4} \end{equation} \medskip ここで, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ は $n$ 次のエルミート多項式である: \begin{equation} \left. \begin{array}{rcl} H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex] H_{0}(y) &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots \end{array} \right\} \end{equation} \medskip また, $n$ は $|y|<\infty$ の領域において南北方向の速度プロファイルの節の 数に対応する. この $\hat{v}$ を用いて, $\hat{u}, \hat{\phi}$ は, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}), (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})より, 以下の様に表される: \begin{equation} \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v} \label{equator-shallow-water-eq-mode-u4} \end{equation} \begin{equation} \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v} \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi4} \end{equation} \medskip ここで, \ref{sec-eigen} 節の結果より, $\hat{v}\not=0$ の条件のもとでは $\omega^{2}-k^{2}\not=0$ が成り立つことを用いた. 以上 (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v4}), (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u4}), (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi4})が $v\not=0$ の場合の固有関数 である. \subsubsection{● $v=0$ の場合} (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})と(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-v})から $\hat{\Phi}$ を消去すると次式を得る: \begin{equation} \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}. \end{equation} \medskip ただし, $c=\omega/k$ である. したがって, $\hat{u}$ は以下の様になる: \begin{equation} \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat} \end{equation} \medskip ただし $u_{0}$ は赤道での東西速度を表す. %ここで(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})において, %$y\rightarrow\pm\infty$ で減衰する解が存在するためには, $c>0$ でなければ %ならない. ゆえに, % %\begin{equation} % c = \sqrt{gH}. \label{equator-kelvin-bunsan2} %\end{equation} % \medskip よって, (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u}) より $\hat{\phi}$ は以下の様に なる: \begin{equation} \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-phat} \end{equation} \medskip 以上(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat}), (\ref{equator-kelvin-eq-mode-phat})が $v=0$ の場合の固有関数である. 本節 の結果より, $y\rightarrow\pm\infty$ のとき $(u,v,\Phi)\rightarrow 0$ (境 界条件)を満たすのは, $c>0$ の場合であることが分かる. これより, $\omega > 0$ であるから, ゆえに分散関係は \begin{equation} \omega = k\sqrt{gH}, \end{equation} \medskip が選ばれる. \section{赤道波の水平構造(有次元系)} \subsection{$\hat{v}\not=0$ の場合} 簡単化のため, $y$ を次のように置換する: \begin{equation} \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y \end{equation} \medskip このとき, \begin{equation} y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, \qquad \partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi \end{equation} \medskip であるから, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})より次式を得る: \begin{eqnarray} \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}} + \left[ \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left( -\frac{k}{\omega}\beta -k^{2} +\frac{\omega{2}}{gH} \right) - \xi^{2} \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\ \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}} + \left[ (2n+1)-\xi^{2} \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq} \end{eqnarray} \medskip 上式は二次のシュレーディンガー方程式であるから, 解はエルミート多項式を用 いて次の様に表される: \begin{equation} \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v5} \end{equation} \begin{equation} \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v6} \end{equation} \medskip ここで, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ は $n$ 次のエルミート多項式である: \begin{equation} \left. \begin{array}{rcl} H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex] H_{0}(y) &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots \end{array} \right\} \end{equation} \medskip また, $n$ は $|y|<\infty$ の領域において南北方向の速度プロファイルの節の 数に対応する. この $\hat{v}$ を用いて, $\hat{u}, \hat{\phi}$ は, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}), (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})より, 以下の様に表される: \begin{equation} \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v} \label{equator-shallow-water-eq-mode-u2} \end{equation} \begin{equation} \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v} \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi2} \end{equation} \medskip これより, $u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ は次のようになる. \begin{eqnarray} u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}} \left( \omega y H_{n}(y) \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) \right. \nonumber\\ && \left. ~- k \left[ \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) \right] \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\ v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\ \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}} \left( k y H_{n}(y) \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) \right. \nonumber\\ && \left. ~- \omega \left[ \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp \left( -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2} \right) \right] \right) e^{i(kx-\omega t)}\nonumber \\ \label{eq-wave-struct-eq} \end{eqnarray} 以上の水平構造を図示するとの図\ref{inertio-gw-pic}, \ref{rossby-pic}, \ref{rossby-pic} の様になる(ただし, $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ とした). % \begin{center} % \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6a.ps} % \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6b.ps} % \Depsf[8cm]{ps/Matsuno1966-Fig7.ps} % \end{center} %\begin{figure}[H] % \begin{center} %\vspace{-1cm} % \Depsf[8.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig4-5.ps} % \end{center} % \vspace{-7mm} %\caption{圧力場と速度場の分布. 左図a: 東進慣性重力波($n=1$), 左図b: 西進 % 慣性重力波($n=1$), 左図c: ロスビー波($n=1$), 右図a,b,c: 左図の $n=2$ モー % ドに対応した図.} \label{Matsuno1966-Fig4-5} %\end{figure} \subsection{$\hat{v}=0$ の場合}\label{for_vnot=0} %\section{赤道ケルビン波} % %\subsection{赤道ケルビン波の定式化} % (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})で $v=0$ として次式を得る: \begin{equation} -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi} \label{equator-kelvin-eq-mode-u2} \end{equation} \begin{equation} \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y} \label{equator-kelvin-eq-mode-v2} \end{equation} \begin{equation} -i\omega\hat{\Phi} + gH\left( ik\hat{u} \right) = 0 \label{equator-kelvin-eq-mode-phi2} \end{equation} % %\subsection{赤道ケルビン波の分散関係式と水平構造} % %(\ref{equator-kelvin-eq-mode-u})と(\ref{equator-kelvin-eq-mode-phi})から %$\hat{\Phi}$ を消去すると次の様になる: % %\begin{equation} % \omega^{2} = k^{2}gH \label{equator-kelvin-bunsan} %\end{equation} % %\medskip %したがって, 位相速度 $c$ は $\pm\sqrt{gH}$ となる. \medskip (\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2})と(\ref{equator-kelvin-eq-mode-v2})から $\hat{\Phi}$ を消去すると次式を得る: \begin{equation} \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y} \end{equation} \medskip ただし, $c=\omega/k$ である. したがって, $\hat{u}$ は以下の様になる: \begin{equation} \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat} \end{equation} \medskip ただし $u_{0}$ は赤道での東西速度を表す. ここで (\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})において, $y\rightarrow\infty$ で減衰 する解が存在するためには, $c>0$ でなければならない. ゆえに, 赤道ケルビン 波の位相速度は次の様になる: \begin{equation} c = \sqrt{gH} \label{equator-kelvin-bunsan2} \end{equation} \medskip よって, (\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2}) より $\hat{\phi}$ は以下の様に なる: \begin{equation} \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-phat} \end{equation} \medskip 以上の水平構造を図示すると図\ref{kelvin-pic}の様になる(ただし, $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ とした). %\begin{figure}[H] % \begin{center} %\vspace{-5mm} % \Depsf[5.3cm]{ps/Matsuno1966-Fig8.ps} % \end{center} % \vspace{-9mm} %\caption{赤道ケルビン波の圧力場と速度場の分布} \label{Matsuno1966-Fig8} %\end{figure} \newpage \section{振動数の厳密解(付録)\protect\footnote{この結果と前節までの近似解と の整合性はまだとれていない. 今はとりあえずこの状態でノートにとどめてお く(2001/04/18).}} 本節では3次方程式の解法−カルダノ・タルタリアの解法を用いて, (\ref{equatorial-wave-bunsan})の厳密解を導出する. $$ \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left( -\frac{k}{\omega}\beta -k^{2} +\frac{\omega^{2}}{gH} \right) = 2n+1 $$ \medskip より, $$ \omega^{3}-\{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0 \eqno(\mbox{A.1}) $$ \medskip ここで $\omega = \alpha + \beta$ とおくと, $\omega^{3}$ の計算結果から 次式を得る: $$ \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0 \eqno(\mbox{A.2}) $$ \medskip (A.1)と(A.2)を比較して $$ 3\alpha\beta = k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1) \quad \rightarrow \quad \alpha^{3}\beta^{3} = \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}, $$ $$ \alpha^{3}+\beta^{3} = kgH\beta. $$ \medskip これより $\alpha^{3}, \beta^{3}$ は次の2次方程式の解である: $$ A^{2} - kgH\beta A + \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27} = 0 $$ \medskip ゆえに, $$ A = \frac{kgH\beta \pm \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2} $$ \medskip よって, $$ \alpha^{3} = \frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}, $$ $$ \beta^{3} = \frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}. $$ \medskip ここで, 一般に $$ x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0, \qquad \mbox{より} \qquad x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3} $$ \medskip であるから, \begin{eqnarray*} \alpha &=& \sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ && \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ && \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \beta &=& \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ && \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ && \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. \end{eqnarray*} となる. したがって, 求める $\omega=\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ は $\omega = \alpha + \beta$ より次の様になる: \begin{eqnarray*} \omega_{1} &=& \sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ && \qquad + \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ \omega_{2} &=& \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ && \qquad + \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ \omega_{3} &=& \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ && \qquad + \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \end{eqnarray*} \newpage \section{赤道波方程式の各項のモード展開}\label{mode-expansion} 本節では, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜 (\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項をモード展開した結果を まとめる. 無次元の方程式系(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜 (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})をモード展開した結果は, 以下のそれぞれの式において $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ とすれば得られる. \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} &=& -i\omega u \nonumber \\ &=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(u_{r} + iu_{i}) e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -i\{ (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) + i(\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\ &=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})-i(\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) \} \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\ \frac{\partial u}{\partial t}\Bigg|_{実部} &=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dudt}\\[2ex] \beta y v &=& \beta y (v_{r} + iv_{i}) e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& \beta y (v_{r} + iv_{i}) e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\ &=& \beta y (v_{r} + iv_{i}) \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\ \beta y v \Bigg|_{実部} &=& \beta y \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-betayv} \\[2ex] -\frac{\partial\Phi}{\partial x} &=& -ik\Phi \nonumber \\ &=& -ik(\Phi_{r} + i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\ &=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ -\frac{\partial\Phi}{\partial x}\bigg|_{実部} &=& k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdx}\\[2ex] \frac{\partial v}{\partial t} &=& -i\omega v \nonumber \\ &=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(v_{r} + iv_{i}) e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -i\{ (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) + i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\ &=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})-i(\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) \} \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\ \frac{\partial v}{\partial t}\Bigg|_{実部} &=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dvdt}\\[2ex] -\beta y u &=& -\beta y (u_{r} + iu_{i}) e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -\beta y (u_{r} + iu_{i}) e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\ &=& -\beta y (u_{r} + iu_{i}) \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\ -\beta y u \Bigg|_{実部} &=& -\beta y \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-betayu}\\[2ex] -\frac{\partial\Phi}{\partial y} &=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\ &=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \nonumber \\ -\frac{\partial\Phi}{\partial y} \Bigg|_{実部} &=& -\left\{ \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t) \right\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdy} \\[2ex] \frac{\partial \Phi}{\partial t} &=& -i\omega \Phi \nonumber \\ &=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(\Phi_{r} + i\Phi_{i}) e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -i\{ (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) + i(\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\ &=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})-i(\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) \} \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\ \frac{\partial \Phi}{\partial t}\Bigg|_{実部} &=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdt} \\[1ex] -gH\frac{\partial u}{\partial x} &=& -gH \cdot iku \nonumber \\ &=& -ikgH(u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& kgH(u_{i} - iu_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\ &=& kgH(u_{i} - iu_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ -gH\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{実部} &=& kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-ghdudx}\\[2ex] -gH\frac{\partial v}{\partial y} &=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\ &=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\ &=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \nonumber \\ -gH\frac{\partial v}{\partial y} \Bigg|_{実部} &=& -gH\left\{ \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t) \right\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-ghdvdy} \end{eqnarray} \medskip (\ref{mode-dudt})〜(\ref{mode-dpdx})より (\ref{equator-shallow-water-eq-u})をモード展開して取り出した実部は次のよ うになる: \begin{eqnarray} && \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad = \beta y \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \end{eqnarray} (\ref{mode-dvdt})〜(\ref{mode-dpdy})より (\ref{equator-shallow-water-eq-v})をモード展開して取り出した実部は次のよ うになる: \begin{eqnarray} && \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad = -\beta y \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad\qquad -\left\{ \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t) \right\}e^{\omega_{i}t}~~~~ \end{eqnarray} (\ref{mode-dpdt})〜(\ref{mode-ghdvdy})より (\ref{equator-shallow-water-eq-phi})をモード展開して取り出した実部は次のよ うになる: \begin{eqnarray} && \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad = kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ && \qquad\qquad\qquad\qquad -gH\left\{ \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t) \right\}e^{\omega_{i}t}~~~~ \end{eqnarray} %\section*{付録 波動方程式} % %振幅の小さい非分散の波は, 次の波動方程式に従う: % %\begin{equation} % \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} = c^{2}\nabla^{2}\eta \label{hadou-1} %\end{equation} % %\medskip %ここで, $\eta$ は擾乱の種々の物理量を表し, 表面変位, 密度変化, 伸長の幅 %等と置き換えられる. $x$ 方向に伝播する波の場合には, 以下のようになる: % %\begin{equation} % \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} % = c^{2}\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} \label{hadou-x} %\end{equation} % %\medskip %この波動方程式は, 次の一般解を持つ({\it d'Alembert's solution}): % %\begin{equation} % \eta = f(x-ct) + g(x+ct) \label{hadou-x-solution} %\end{equation} % %\medskip %ここで, $f, g$ は任意の関数である. $f(x-ct)$ は $x$ 方向に $c$ で進む波 %を表し, $g(x+ct)$ は $x$ 方向に $-c$ で進む波を表している %\footnote{$f(x-ct)$ の場合, $x-ct=$const となる点(線)は $t$ の増加と共に %$x$ 軸方向に速度 $c$ で移動していく. このため, $f(x-ct)$ の波は始めの形 %$f(x)$ を保ちながら移動していく.}. \\ % %例として以下のような初期値を持つ波を考える: % %\begin{equation} % \eta(x,0) = F(x) % \qquad\mbox{and}\qquad % \frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0) = G(x) \label{hadou-x-initial} %\end{equation} % %\medskip %このとき(\ref{hadou-x-solution})は, 次のようになる. % %\begin{equation} % f(x) + g(x) = F(x) \label{hadou-x-initial-1} %\end{equation} %\begin{eqnarray*} %\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0) % &=& %G(x) \\ %\frac{\partial}{\partial t} % \left(f(\underbrace{x-ct}_{a})+g(\underbrace{x+ct}_{b})\right) % &=& %\frac{\partial}{\partial t}\left(f(a)+g(b)\right) \\ % &=& % \frac{df}{da}\frac{\partial a}{\partial t} % +\frac{dg}{db}\frac{\partial b}{\partial t} \\ % &=& % -c\frac{df}{da} % +c\frac{dg}{db} \\ %\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0) % &=& % -c\frac{df}{da}\bigg|_{a=x} % +c\frac{dg}{db}\bigg|_{b=x} \\ % &=& % -c\frac{df}{dx} % +c\frac{dg}{dx} %\end{eqnarray*} %ゆえに, %\begin{equation} % -\frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} = \frac{1}{c}G(x) \label{hadou-x-initial-2} %\end{equation} % %(\ref{hadou-x-initial-2})を積分した後, (\ref{hadou-x-initial-1})と連立させ %ると, 以下を得る: % %\begin{equation} % f(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)-\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right] %\qquad % g(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)+\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right] %\end{equation} % %\medskip %これより, 初期速度 $G(x)$ が 0 の場合には $f(x)=g(x)=F(x)/2$ となり, %(\ref{hadou-x-solution})は次のようになる: % %\begin{equation} % \eta = \frac{1}{2}F(x-ct)+\frac{1}{2}F(x+ct) %\end{equation} % %\medskip %この解から, 初期速度 $G(x)=0$ の波は, 初期の振幅の半分は $x$軸左向きに速 %度 $-c$ で進み, 残りの半分は, $x$軸右向きに速度 $c$ で進む波に分割される %ことが分かる(図\ref{wave-profile-pic}). % %\vspace{-5mm} %\begin{figure}[H] %% \begin{center} %% \Depsf[9.5cm]{ps/FM-Fig.7.2.ps} %% \end{center} % \vspace{-5mm} %\caption{時間経過後の波の様子. 初期のプロファイルを $F(x)$, 初期速度は 0 % とする. 初期擾乱の半分は右に進み, 残りの半分は左に進む様子が分かる.} \label{wave-profile-pic} %\end{figure} \end{document}