鉛直座標変換鉛直座標として

σ ≡ \frac{p}{p_{s}}  (1)

をとる. この時

pσ = p_{s}  (2)

が成り立つことに注意.

鉛直座標変換ノート^{4} より, 次のような変換則が得られる.

(t)_{z} = (t)_{σ} = (t)_{σ} + \frac{u}{a cos φ} (λ)_{σ} + \frac{v}{a} (φ)_{σ} + σ̇σ  (3)

[][z]fλ=[][σ]fλ − fσσz[][σ]zλ  (4)
[][z]fφ=[][σ]fφ − fσσz[][σ]zφ  (5)

(v)_{z}=\frac{1}{a cos φ}uλ + \frac{1}{a cos φ}φ cos φv + wz
=\frac{1}{a cos φ} [[][σ]uλ − uσσz[][σ]zλ]

+\frac{1}{a cos φ} [φ(v cos φ) − σ(v cos φ)σz[][σ]zλ] + wσσz

=\frac{1}{a cos φ} [[][σ]uλ − uσσz[][σ]zλ]

+\frac{1}{a cos φ} [φ(v cos φ) − σ(v cos φ)σz[][σ]zλ] + σ (zt) σz

=\frac{1}{a cos φ}[][σ]uλ − \frac{1}{a cos φ}uσσz[][σ]zλ

+\frac{1}{a cos φ}φ(v cos φ) − \frac{1}{a cos φ}σ(v cos φ)σz[][σ]zλ

+σzσ [(zt)_{σ} + \frac{u}{a cos φ} (zλ)_{σ} + \frac{v}{a} (zφ)_{σ} + σ̇zσ]

=∇_{σ}u + σ̇σ  (6)

ただし,

∇_{σ}=([][σ]λ, [][σ]φ, 0)

である.

静水圧平衡, 運動方程式, 連続の式, 温度の式は次のようになる.

静水圧平衡式

p_{s}σz = −ρg. (7)

ジポテンシャル Φ ≡ gz を用いると

Φσ = −\frac{RT}{σ}

(8) となる.

運動方

kiso.ref/gfd/formula/vertical ??

程式

(ut)_{σ} − fv=\frac{uv tan φ}{z} − \frac{1}{ρa cos φ} ([][σ]pλ − p_{s}σz[][σ]zλ) + F_{λ} − uS[P r], (9)

(vt)_{σ} + fu=−\frac{u^{2} tan φ}{a} − \frac{1}{ρa} ([][σ]pφ − p_{s}σz[][σ]zφ) + F_{φ} − vS[P r].(10)

(??)

を用いると

(ut)_{σ} − fv=−\frac{1}{ρa cos φ} ([][σ]pλ + ρg[][σ]zλ) + F_{λ} − uS[P r], (11)

(vt)_{σ} + fu=−\frac{1}{ρa} ([][σ]pφ + ρg[][σ]zφ) + f_{φ}  (12)

とな