% ɽ��   AGCM5 ��1�� ������ǥ� ��������
%
% ���� 
\Drireki{96/01/22  ��Ƿ����}
%
\Dchapterhead

\section{�Ϥ����}

��۴ĥ�ǥ�Ǥ�ʬ��Ǥ��ʤ������Ϥʽ����Ȥˤ�뱿ư��͢����, ��ή��������
�Ȥ����ط����른���åȤ�ʬΥ����ַ������ؤη����˴�Ϳ���Ƥ���ȹͤ���
��Ƥ���. ���Τ褦�ʥ��֥���åɥ�������ν����ȤΤ��������Ȥθ��̤�
ɽ����ΤȤ���McFarlane (1987)�Υѥ�᥿�ꥼ������󤬤���\footnote{��
��AGCM5�Ǥ�McFarlane�Υѥ�᥿�ꥼ�������Τߤ��󶡤��Ƥ���}. 

\section{McFarlane (1987)�Υѥ�᥿�ꥼ�������}

���֥���åɥ�������λ����Ȥκ��Ȥˤ���®����®���̤�ѥ�᥿�饤��
����. �����Ȥ��ꤷ, ��ʿ��Ĺ��Ŭ���˲��ꤹ��(100km����)��, ���α�ư
�̥ե�å�����, ��ɽ�̤ε���(��ɽ�̹��٤�ʬ���Ȥ���Ϳ����)���絤�ǲ��ؤ�
��®�Ƿ�ޤ�. �����Ȥ���ľ�����Ť�, ���Ū����ή�԰���ξ�����������
���˺��Ȥ���Ȥ���, ���Ȥˤ�뱿ư�̤μ�«��ȯ�����Ѥ��, ��ư������
�ζ�����Ȥ��Ƽ�������. �ʲ��Ǥ� McFarlane (1987) �˱�äƥѥ�᥿��
���������β����Ԥ�.\\

\noindent [{\bf ñ���Ȥξ��ǲ���}]

�ޤ�, ñ���Ȥξ���ͤ��ƥѥ�᥿�ꥼ�������θ�������������. ��ñ��
����� $x$-$z$ ʿ�̤ǹͤ���($x$�Ͽ�ʿ, $z$�ϱ�ľ��ɸ). �Ϸ�
\begin{equation}
  h \cos (kx)
\end{equation}
����������������Ȥ�ͤ���. �ϵ��ž�θ��̤�̵�뤷��������������������
���ϤǤ������Ȥˤ������ʪ���̤ξ���֤δط��ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�. 
\begin{eqnarray}
 w' &=& \overline{U} \frac{\partial \psi'}{\partial x} ,\label{eq:grv_mono_w}\\
 u' &=&  -\frac{1}{\overline{\rho}}\frac{\partial }{\partial z}
            (\overline{\rho}\,\overline{U} \psi') , \label{eq:grv_mono_u}\\
 \theta' &=& - \psi' \frac{\partial \overline{\theta}}{\partial z} .
                                                    \label{eq:grv_mono_theta}
\end{eqnarray}
������, ������ΤĤ����̤�ʿ����(����å�ʿ��)��, ���å���ΤĤ����̤�
�����ɽ��. $u$ (�ޤ���$U$), $w$, $\rho$, $\theta$ �Ϥ��줾���ʿ��®, 
��ľ��®, ̩��, ���̤�ɽ��. $\psi'(x,z)$ ���Ѱ̤�, $z=0$ �Ǥ�
\begin{equation}
  \psi'(x,0) = h \cos (kx)      \label{eq:grv_mono_psi0}\\
\end{equation}
�Ǥ���. ���ڽ����Ȥ�ʬ���ط�����, 
\begin{equation}
  m = \overline{N}/\overline{U} , \label{eq:grv_mono_disp}
\end{equation}
($N$ �ϥ֥��ȥХ����鿶ư��), $\psi'(x,z)$ �β��
\begin{equation}
  \psi'(x,z) = A(z) \cos (kx + \int_0^z m dz),
\end{equation}
\begin{equation}
  A(z) = h \left[
       \frac{\overline{\rho}(0) \overline{N}(0) \overline{U}(0)}
            {\overline{\rho}(z) \overline{N}(z) \overline{U}(z)}\right]^{1/2},
\end{equation}
�Ǥ���.
(\ref{eq:grv_mono_w}), (\ref{eq:grv_mono_u}),
(\ref{eq:grv_mono_psi0}), (\ref{eq:grv_mono_disp}) 
�������Ȥα�ư�̥ե�å�����, 
\begin{eqnarray}
  \tau &=& \overline{\rho} \overline{u'w'} \nonumber \\
     &\simeq& -\frac{k h^2}{2} \overline{\rho}(0)\overline{N}(0)\overline{U}(0)
     \label{eq:grv_mono_tau}
\end{eqnarray}
�ȶ���Ǥ���.

���Ȥ���ή�԰���ˤ�굯��, ���Ȥε������ΰ�ǤϽ����ȤϤ��礦�ɡ�˰�¡�
�������֤��ݤĤȤ���. ����� Lindzen (1981) �ˤ��Ƴ�����줿��ˡ�Ǥ�
��. 

��ή�԰���ξ��, 
\begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial z}  (\overline{\theta}+\theta') < 0
\end{equation}
��($\theta$�ϲ���), �����Ȥβ�����������, ���Ū��, 
\begin{equation}
  -F(z) \sin( kx + \int_0^z m dz ) > 1,
     \label{eq:grv_mono_brkF_x}
\end{equation}
\begin{equation}
  F(z) \equiv \frac{\overline{N}(z) \, h}{\overline{U}(z)}\left[
       \frac{\overline{\rho}(0) \overline{N}(0) \overline{U}(0)}
            {\overline{\rho}(z) \overline{N}(z) \overline{U}(z)}\right]^{1/2},
     \label{eq:grv_mono_F}
\end{equation}
�Ȥʤ�. ������ $F$ �ϥե롼�ɿ���ª���뤳�Ȥ������.
(\ref{eq:grv_mono_brkF_x})���, �⤵ $z$ �ˤ����ƺ��Ȥ������� $x$ 
��¸�ߤ������, 
\begin{equation}
  |F(z)| > 1      \label{eq:grv_mono_brkF}
\end{equation}
�Ǥ���. (\ref{eq:grv_mono_tau}), (\ref{eq:grv_mono_F})���, 
\begin{eqnarray}
  F(z)^2 &=& \frac{h^2 \overline{\rho}(0) \overline{N}(0) \overline{U}(0)}
      {\overline{\rho}(z) \overline{N}(z)^{-1} \overline{U}(z)^3}, \nonumber \\
       &=& \frac{-\tau}
              {\frac{k}{2} \overline{\rho}(z) \overline{N}(z)^{-1}
              \overline{U}(z)^3} ,
     \label{eq:grv_mono_F2}
\end{eqnarray}
�Ƚ񤱤�.
(\ref{eq:grv_mono_F}) �Ϲ⤵ $z$ �ޤǺ��Ȥ��ʤ����ˤΤߤ��ƤϤޤ뤬,
(\ref{eq:grv_mono_F2}) �η��ˤ������������Ǻ��Ȥ����뤿�� $|\tau|$ 
���⤵�ȤȤ�˸���������ˤ�Ȥ���. ������Ѥ���, �⤵ $z$ �Ǻ���
�����Ｐ (\ref{eq:grv_mono_brkF}) ��,
\begin{equation}
    |\tau| > \frac{k}{2} \overline{\rho}(z) \overline{N}(z)^{-1}
             |\overline{U}(z)^3|
\end{equation}
��ɽ����.  (\ref{eq:grv_mono_brkF}) �Ǥ�, ���׳��ե롼�ɿ��פ� 1 �Ȥ�
�����Ȥˤʤ뤬, ñ���ȤǤʤ����䥷�����԰�����θ�������� 1 ���
�⾮�����ʤ�. ������ 1 �ʲ������ $F_c$ ��ۤ������԰���ˤʤ�Ȥ�����
�˰��̲�����Ⱦ弰��
\begin{equation}
    |\tau| > \frac{k}{2} F_c^2\,\overline{\rho}(z) \overline{N}(z)^{-1} 
             |\overline{U}(z)^3|   \label{eq:grv_mono_break}
\end{equation}
�Ȥʤ�. 

(\ref{eq:grv_mono_break}) ������Ω���ʤ���� $\tau$ �� $z$ �˴ؤ�����
�Ǥ���Ȥ�, (\ref{eq:grv_mono_break})������Ω�ľ��Ϻ��Ȥ�������Ȥ�
��. ���ξ��, ���դ�ۤ���ʬ�Ϻ��Ȥˤ�����, ξ�դ����礦����������
��, ¨�������Ȥ���˰�¡פ������֤��¸�����Ȥ���. ���줿���Ȥˤ�뱿
ư�̤μ�«($-\partial\tau/\partial z$)�ˤ��ʿ��������®�����. \\

\noindent [{\bf GCM�Τ�����꼰��}]

(\ref{eq:grv_mono_tau}) �ˤʤ�äƻ����Ȥα�ư�̥ե�å�����
\begin{equation}
  \tau = - \frac{Ek h_e^2}{2} \overline{\rho}(0) \overline{N}(0)
         \overline{U}(0) ,  \label{eq:grv_gcm_tau1}
\end{equation}
\begin{equation}
  h_e \equiv \min( 2S_d\, , \, \frac{\overline{U}}{\overline{N}} ) ,
                            \label{eq:grv_gcm_he}
\end{equation}
�Ȥ���. ������ $E$ �� ``efficiency'' ��, �и�Ū�˷����� 1 �ʲ�����
���Ǥ���. �ޤ�, $S_d$ �ϥ��֥���åɥ�������(���Ĳ�ž�αƶ���������
500km�ʲ�����)���Ϸ���ɸ���к��Ǥ���\footnote{\,$\,\sin^2$��ɸ���к���
   $2^{-1/2}$ �Ǥ��뤫��, (\ref{eq:grv_gcm_he}) �Ǥ�, $2S_d$ ��� 
   $2^{1/2}S_d$ �Ȥ���ۤ����ɤ��褦�˻פ��뤬, McFarlane �� (NCAR CCM3
   ��) �������Ƥ���. �����Ƥ����Ĥ����, �Υ����귿���Ϸ���ͤ���Ф�����
   �뤬. �ʤ�, AGCM5 �ǡ���ɽ����ʬ���פȤ��Ƥ��륰��å��� {\tt GRZSD}
   �Ϥ��� $2S_d$ ���б����뤳�Ȥ�����.}.
McFarlane �� $S_d$ ��罰�񳤷���ɸ���10ʬ��Υǡ������åȤ����������. 
$h_e$ ������� $\overline{U}/\overline{N}$ �Ȥ� min ��ȤäƤ�
��Τ�, �ǲ��ؤ���˰�¾������������������ƤΤ��ȤǤ���(��
(\ref{eq:grv_mono_F})�� $z=0$ �ΤȤ� $F=\overline{N}h/\overline{U}$�ˤ�
��). 

���Ȥξ�Ｐ (\ref{eq:grv_mono_break}) �� $E$ �ܤ���: 
\begin{equation}
    |\tau| > \frac{Ek}{2} F_c^2\overline{\rho}(z) \overline{N}(z)^{-1} 
             |\overline{U}(z)^3| \, .  \label{eq:grv_gcm_break}
\end{equation}
����ˤ�ä� $E$ �Ϻ��Ȥξ����Ѥ����˽������񹳤��礭���Τߤ��Ѥ���
�ѥ�᥿���Ȥʤ�. $\tau$ �ϲ��ؤ���׻����Ƥ���,
(\ref{eq:grv_gcm_break}) ���������ʤ��Ȥ����Ǥ� $z$ �˴ؤ�����Ȥ�,
(\ref{eq:grv_gcm_break}) ���������Ȥ����Ǥ�(\ref{eq:grv_gcm_break})��
ξ�դ��������ʤ�褦�ˤ���. �ʤ�, $\overline{U}(z)$ ����礬�����ؤ�
����ֲ��� $z$ (����ƥ������٥�)�� $\tau=0$ �Ȥʤ뤳�Ȥ�����.

$F_c$, $E$, $k$ ���ͤϷи�Ū�˷���. McFarlane ��
\begin{eqnarray}
    F_c^2 &=& 0.5 \\
    Ek/2  &=& 8 \times 10^{-6} m^{-1}
\end{eqnarray}
����Ѥ���. AGCM5�Υǥե���Ȥ⤳��ʤ�äƤ���. $E$ �� $k$ ����Ω����
���ɬ�פ��ʤ����Ȥ�����. �����, �㤨�п�ʿ��Ĺ�� 100 km
($k=6.28\cdot 10^{-6}$ m$^{-1}$) �Ȳ��ꤹ���, $E=0.127$ ����������.


�����ޤ�̵�뤷�Ƥ������θ�����ͤ��ͤФʤ�ʤ�. 
��ư�̥ե�å�����, 
\begin{equation}
  \mbox{\boldmath $\tau$}
     = \tau \mbox{\boldmath $e$}_0 ,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mbox{\boldmath $e$}_0 \equiv 
       \frac{1}{(\overline{u}(0)^2 + \overline{v}(0)^2)^{1/2}}
       (\overline{u}(0), \overline{v}(0)) ,
\end{equation}
��ɽ����. ������ $\tau$ ��  (\ref{eq:grv_gcm_tau1}) ��Ʊ��
\begin{equation}
  \tau = - \frac{Ek h_e^2}{2} \overline{\rho}(0) \overline{N}(0)
          \overline{U}(0) ,
\end{equation}
�Ǥ��뤬, $\overline{U}(0)$ �ϲ���� $z=0$ �Ǥο�ʿ��®�������ͤȤ�
���������:
\begin{equation}
  \overline{U}(0) \equiv (\overline{u}(0)^2 + \overline{v}(0)^2)^{1/2} .
                                                   \label{eq:grv_gcm_U0}
\end{equation}

����˹⤵ $z$ �Ǥ� $\overline{U}$ ����ɽ��®��ʿ�Ԥ���®��ʬ,
\begin{equation}
  \overline{U}(z) \equiv (\overline{u}(z), \overline{v}(z)) \cdot
                    \mbox{\boldmath $e$}_0 ,       \label{eq:grv_gcm_Uz}
\end{equation}
�Ȥ����, ���Ȥξ��ˤ����������Ѳ����θ���Ƥ��ʤ��ä�
(\ref{eq:grv_gcm_break}) �򤽤Τޤ��Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

�ѥ�᥿�饤�����줿�����Ȥθ��̤�, ��ư�������ζ����� 
$-\partial${\boldmath $\tau$}$/\partial z$ ��ɽ�����. 

\section{ʸ��}

\begin{description}
  \item McFarlane, N.A., 1987:
    The effect of orographically excited gravity wave drag on the
    general circulation of the lower stratosphere and troposphere.
    {\it J. Atmos. Sci.}, {\bf 44}, 1775--1800.

  \item Lindzen, R.S., 1981:
    Turbulence and stress owing to gravity wave and tidal breakdown.
    {\it J. Geophys. Res.}, {\bf 86}, 9707--9714.
\end{description}

