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%表題   2 次元非静力学モデル -- 数理モデル
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%履歴   2003-07-25 高橋 こう子   新規作成
%       2003-09-03 高橋 こう子   骨子完成
%       2003-09-08 高橋 こう子   参考文献追加
%       2003-09-09 高橋 こう子   Appendix 追加
%       2003-11-17 高橋 こう子   修正
%       2003-11-22 高橋 こう子   運動エネルギーの式修正
%       2004-07-25 小高正嗣      2 次元乾燥大気版へ再構成
%       2004-11-30 小高正嗣      
%       2005-01-31 杉山耕一朗
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\chapter{座標系}

空間座標系は 2 次元直線直交座標系を用いる. 水平方向の座標変数を $x$, 
鉛直方向の座標変数を $z$ と表す. 時間方向の変数は $t$ とする.


\chapter{基礎方程式系}

 この節では理想気体を仮定した乾燥大気に対する 2 次元準圧縮系の基礎方程式
 を示す. 凝結物質を含まないことをのぞき, これらの方程式系は Klemp
 and Wilhelmson (1978) と同様である.
 
\section{変数の定義}

 モデルの独立変数は空間方向の座標変数 $x, z$ と時間方向の変数 $t$ である.
 モデルの予報変数はこれらの関数として定義される
  \begin{center}
   \begin{tabular}[tb]{lll}
    $u$ & : & 速度の $x$ 成分 \\
    $w$ & : & 速度の $z$ 成分 \\
    $\Theta$ & : & 温位 \\
    $\Pi$ & : & 無次元圧力関数 
   \end{tabular}
  \end{center}
 である.

 無次元圧力関数 (エクスナー関数) $\pi$ は圧力 $p$ を用いて以下のように定義され
 る.
 \begin{equation}
  \Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}}
  \Deqlab{エクスナー関数}
 \end{equation}
 $p_{0}$ は地表面での気圧である.
 温位 $\Theta$ は
 \begin{eqnarray}
  \Theta &\equiv& T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/c_{p}}
  \nonumber \\
         &=& \frac{T}{\Pi}
  \Deqlab{温位}
 \end{eqnarray}
 で与えられる. 
 ここで $T$ は温度, $c_{p}$ は
 定圧比熱, $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である.

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\pagebreak

\section{基礎方程式}

 基礎方程式は, 基本場の静水圧の式, 運動方程式, 圧力方程式, 熱力学の式である. 
 基本場は水平一様な静止状態であるとし, 
 基本場の変数は上付きバー $(\bar{~})$ で表す.

\subsection{静水圧の式}

 \begin{equation}
  \DP{\overline{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \overline{\theta}}
 \end{equation}
 基本場の密度 $\overline{\rho}$ は理想気体の状態方程式から
 以下のように与えられる. 
 \begin{equation}
   \overline{\rho} = \frac{p_{0}}{R_{d}}
                    \frac{\overline{\Pi}^{c_{v}/R_{d}}}{\overline{\theta}}
 \end{equation}

\subsection{運動方程式}
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} = - c_{p} \overline{\theta} \DP{\pi}{x_{i}}
   + \delta_{i3} g
       \frac{\theta}{\overline{\theta}}
       + D_{u_{i}}.
 \end{eqnarray}
 ここで $i=1,3$ で $u_{1}=u, u_{3}=w$ である.
 左辺の時間微分は以下のように表される.
 \begin{eqnarray}
   \DD{}{t} = \DP{}{t} + u_{i}\DP{}{x_{i}}.
 \end{eqnarray}
 $D_{u_{i}}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項であり, 詳細は
 \Dsecref{サブグリッドスケールの乱流拡散}で述べる.

\subsection{圧力方程式}
 \begin{eqnarray}
    \DP{\pi}{t}
     + \frac{\overline{c}^{2}}{c_{p}
         \overline{\rho} \overline{\theta}^{2}}
         \DP{}{x_{j}}
	 \left(\overline{\rho} \overline{\theta} u_{j}\right)
     = 0.
 \end{eqnarray}
 ここで $\overline{c}$ は基本場の音速であり, 以下のように与えられる.
 \begin{equation}
  \overline{c^{2}} = \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
                  \overline{\Pi} \overline{\theta}
  .
 \end{equation}
 ここで $c_{v}$ は定積比熱である.

\subsection{熱力学の式} 
 \begin{eqnarray}
  \DD{\theta}{t} = - w\DP{\overline{\theta}}{z} + D_{\theta}
  .
 \end{eqnarray}
 $D_{\theta}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項である.


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\pagebreak

\section{サブグリッドスケールの乱流拡散}
\Dseclab{サブグリッドスケールの乱流拡散}

\subsection{運動方程式中の拡散項} 
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に,
1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.
%
 \begin{eqnarray}
  D_{u_{i}} 
   &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
   \nonumber \\
  &=& - \DP{}{x_{j}}
       \left[
          - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
	  	        + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
       \right].
 \end{eqnarray}
 ここで $K_{m}$ は運動量に対する乱流拡散係数であり,  $E$ は
 サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー
 \begin{eqnarray}
  E = \frac{1}{2}
      \overline{(u^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}}
 \end{eqnarray}
 である.

\subsection{熱力学の式の拡散項}
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に,
1.5 次のクロージャーを用いることで温位の粘性拡散項は以下のように書ける.
%
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta} 
   &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{i}^{\prime} \theta}
   \nonumber \\
   &=& - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 ここで $K_{h}$ は温位に対する乱流拡散係数である.


\subsection{乱流運動エネルギーの式}

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に,
1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式は以
下ように書ける.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{K_{m}}{t}
  &=& 
   - \left( 
      u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
     \right)
   - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} 
      \left(\DP{\theta}{z} \right)
\nonumber \\
  && 
  + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
\nonumber \\
  &&
  +  \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
     \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
  - \frac{K_{m}}{3}
     \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\nonumber \\
   && 
   + \Dinv{2}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
   + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
   + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\nonumber \\
  && 
   - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}
\Deqlab{kiso:TurbE}
\end{eqnarray}
%
ここで $C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2$, 
混合距離 $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする.


\Deqref{kiso:TurbE} 式中の乱流エネルギー生成項と
乱流エネルギー消散項が釣合うとみなすことで, 
乱流拡散係数を診断的に求めることができる. 
%
\begin{eqnarray}
K_{m}^{2} = 
 - \frac{3 g}{\overline{\theta}} 
      \left(\DP{\theta}{z} \right)
  + 2 \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
  + \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
\Deqlab{close_1}
\end{eqnarray}
%
但し速度の収束は零とみなした. 




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