湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化

山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹

2010 年 4 月 28 日

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化 1}

目次

第 1 章基礎方程式系 2 1.1 考えている系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 運動方程式・圧力方程式・熱の式・比湿の保存式 . . . . . . . . . . 2 1.3 雲微物理過程のパラメタリゼーション . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Kessler(1969) の雲微物理パラメタリゼーション . . . . . . . 7 1.3.2 Tobie et al.(2003) の雲微物理パラメタリゼーション . . . . . 9

1.4 放射加熱項の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 乱流混合のパラメタリゼーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 運動方程式中の拡散項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 熱力学の式の拡散項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 乱流運動エネルギーの式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.4 散逸加熱項の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

第 2 章参考文献 15

付録 A 準圧縮方程式系の導出 18

A.1 温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w を予報変数とする場合の方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 A.1.1 元となる方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 A.1.2 密度の時間発展方程式の書き換え – 比湿の時間発展方程式

の導出 – . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A.1.3 熱の式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 A.1.4 状態方程式の書き換え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 A.1.5 熱力学第一法則の書き換え – 温位の式の導出 – . . . . . . . 32 A.1.6 相当温位の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 A.1.7 圧力方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 A.1.8 運動方程式の書き換え . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 A.1.9 温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w を予報変数とする

場合の方程式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.2 準圧縮方程式系の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 A.2.1 基本場と擾乱場の分離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . 37 A.2.4 圧力方程式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 A.2.5 熱の式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A.2.6 比湿の保存式の線形化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A.2.7 エネルギー方程式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A.3 まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

付録 B 乱流パラメタリゼーション 48

B.1 乱流パラメタリゼーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 B.1.1 乱流運動エネルギー方程式の導出 (雲が存在しない場合) . . 49 B.1.2 乱流運動エネルギー方程式の導出 (雲が存在する場合) …. 54 B.1.3 3 次元の場合の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

付録 C 雲微物理過程 60 C.1 雨粒の終端速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 C.2 雲水の衝突併合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 C.3 平均終端速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 C.4 雨水の蒸発 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

付録 D 変数リスト 66

謝辞

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化第 1 章基礎方程式系 3}

第1章基礎方程式系

本数値モデルは水平・鉛直の 3 次元モデルである. 水平方向の座標変数を x, y, 鉛直方向の座標変数を z と表し, 時間方向の変数は t と表す.

1.1 考えている系

考えている系では, 以下のことが成り立つと仮定する.

• 任意の物理量は基本場成分と擾乱場成分の和で記述できる.

• 基本場は z のみに依存し, 静水圧平衡の状態にある.

• 基本場には雲や雨粒・氷粒が存在しない.

• 大気中の各気体分子は理想気体とみなせる.

• 大気中の各気体分子の気体定数, 定積比熱, 定圧比熱は一定である.

• 大気中の大気組成は大きく変化しない.

1.2 運動方程式・圧力方程式・熱の式・比湿の保存式

力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系 (Klemp and Wilhelmson,1978) を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 基本場は静水圧平衡の状態にあるものと仮定する. また気体は理想気体とみなせるものとする. 準圧縮方程式系の導出は付録 A に示す. 方程式中の変数は付録 D に示す.

Klemp and Wilhelmson(1978) では凝結性気体や凝結物を混合比で表現しているのに対し, 本モデルでは比湿で表現している. 但し本ドキュメントにおける比湿とは, 通常の気象学で用いられている比湿を拡張し, 全密度に対する任意の気体や凝結物の密度の比を指すものとする. 主成分が凝結する惑星大気を扱う際, 非凝結気体の密度を分母とする混合比を用いると数値計算上の困難が生じる可能性がある. このことは様々な惑星大気を扱うことを目的とする本モデルにとって大きな問題となりうる. そこで本モデルでは微量成分が凝結する系だけでなく, 主成分が凝結する系での計算も行なえるよう, 凝結気体や凝結物を比湿で表現することにする.

本モデルでは非凝結性気体, 凝結性気体, 雲水, 雨水 (氷) の 4 つのカテゴリーを想定している.

記号意味内容
q_{d}  非凝結性気体の比湿
q_{v}  凝結性気体の比湿
q_{c}  雲水比湿落下速度がゼロである粒子に関する比湿.

大気中の雲粒に対応.

q_{r}  雨水比湿有意な落下速度を持つ粒子に関する比湿.

大気中の雨粒または氷粒に対応.

ρ_{d}, ρ_{v}, ρ_{c}, ρ_{r}, ρ をそれぞれ非凝結成分の密度, 凝結成分の密度, 雲水の密度, 雨水の密度, 全密度とすると,

ρ = ρ_{d} + ∑ ρ_{v} + ∑ ρ_{c} + ∑ ρ_{r}  (1.1)

が成り立ち, 各カテゴリーの比湿は以下のように定義される.

q_{d} = \frac{ρ_{d}}{ρ} ,  (1.2)
q_{v} = \frac{ρ_{v}}{ρ} ,  (1.3)
q_{c} = \frac{ρ_{c}}{ρ} ,  (1.4)
q_{r} = \frac{ρ_{r}}{ρ} .  (1.5)

比湿に関して

q_{d} + ∑ q_{v} + ∑ q_{c} + ∑ q_{r} = 1  (1.6)

の関係が成り立つので, 非凝結性気体の比湿 q_{d} については診断的に求めることとする.

各変数を基本場と擾乱場に分け, 基本場の風速, 雲水比湿と雨水比湿がゼロであるとみなす. また基本場は水平一様であり, 静水圧平衡が成り立つと仮定する. 基本場の物理量に¯を付し, 擾乱場の物理量に ′ を付すことにすると, 各変数は以下のように書ける.

u(x, y, z, t) = u′(x, y, z, t),
v(x, y, z, t) = v′(x, y, z, t),
w(x, y, z, t) = w′(x, y, z, t),
θ(x, y, z, t) = \overline{θ}(z) + θ′(x, y, z, t),
Π(x, y, z, t) = \overline{Π}(z) + Π′(x, y, z, t),
⟨c_{s}⟩^{2}(x, y, z, t) = \overline{⟨c_{s}⟩^{2}}(z) + ⟨c_{s}⟩^{2}′(x, y, z, t)
q_{d}(x, y, z, t) = \overline{q_{d}}(z) + q_{d}′(x, y, z, t),
q_{v}(x, y, z, t) = \overline{q_{v}}(z) + q_{v}′(x, y, z, t),
q_{c}(x, y, z, t) = q_{c}′(x, y, z, t),
q_{r}(x, y, z, t) = q_{r}′(x, y, z, t).

θ, Π, ⟨c_{s}⟩ はそれぞれ温位, エクスナー関数, 音速であり,

Π ≡ (\frac{p}{p_{0}} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{p}⟩_{0}}  (1.7)
θ ≡ T (\frac{p_{0}}{p} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{p}⟩_{0}} = \frac{T}{Π}  (1.8)
⟨c_{s}⟩^{2} ≡ \frac{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{⟨c_{v}⟩_{0}}  (1.9)

である. 但し

⟨R⟩_{0} ≡ \frac{q_{d0}R_{d} + ∑ q_{v0}R_{v}}{q_{d0} + ∑ q_{v0}}  (1.10)
⟨c_{p}⟩_{0} ≡ \frac{q_{d0}c_{pd} + ∑ q_{v0}c_{pv}}{q_{d0} + ∑ q_{v0}}  (1.11)
⟨c_{v}⟩_{0} ≡ \frac{q_{d0}c_{vd} + ∑ q_{v0}c_{vv}}{q_{d0} + ∑ q_{v0}}  (1.12)

である. q_{d0}, q_{v0} はそれぞれ非凝結性気体, 凝結性気体の比湿の代表値, c_{pd}, c_{pv} はそれぞれ非凝結性気体, 凝結性気体の定圧比熱, c_{vd}, c_{vv} はそれぞれ非凝結性気体, 凝結性気体の定積比熱, R_{d}, R_{v} はそれぞれ非凝結性気体, 凝結性気体の気体定数である. q_{d0}, q_{v0}, c_{pd}, c_{pv}, R_{d}, R_{v} は定数である. 代表値 q_{d0}, q_{v0} は q_{d0} + ∑ q_{v0} = 1 を満たすよう, 実験に応じて決める. (1.10), (1.11), (1.12) に現れる和は各凝結性成分について取るものとする. ⟨c_{p}⟩_{0}, ⟨R⟩_{0} は非凝結性気体と凝結性気体の密度を重みとする定圧比熱及び気体定数の平均値であり, 本文書では平均定圧比熱, 平均気体定数と呼ぶことにする. 本モデルでは ⟨c_{p}⟩_{0}, ⟨R⟩_{0} は一定値である^{1}. また状態方程式は

ρ = \frac{p}{⟨R⟩_{0}Πθ_{v}} = \frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩_{0}}}{⟨R⟩_{0}θ_{v}}  (1.13)

と表される. ここで

θ_{v} ≡ (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q_{v}) θ,  (1.14)
⟨M⟩_{0} ≡ \frac{q_{d0} + ∑ q_{v0}}{q_{d0}/M_{d} + ∑ q_{v0}/M_{v}}  (1.15)

である. 但し M_{d}, M_{v} はそれぞれ非凝結性気体, 凝結性気体の分子量である. ⟨M⟩_{0} を平均分子量と呼び, 一定値とみなす.

以下, 基本場が満たす式を一覧する. 状態方程式は

\overline{ρ} = \frac{\overline{p}}{⟨R⟩_{0}\overline{Π}\overline{θ_{v}}} = \frac{p_{0}\overline{Π}^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩_{0}}}{⟨R⟩_{0}\overline{θ_{v}}}  (1.16)

となる. 但し

\overline{θ_{v}} ≡ (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \overline{q_{d}} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \overline{q_{v}}) \overline{θ},  (1.17)
\overline{Π} ≡ (\frac{\overline{p}}{p_{0}} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{p}⟩_{0}} ,  (1.18)
\overline{θ} ≡ \overline{T} (\frac{p_{0}}{\overline{p}} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{p}⟩_{0}} = \frac{\overline{T}}{\overline{Π}}  (1.19)

である. \overline{q_{d}}, \overline{q_{v}} は

\overline{q_{d}} + ∑ \overline{q_{v}} = 1  (1.20)

を満たす. 静水圧平衡の式は

\frac{∂\overline{Π}}{∂z} = −\frac{g}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}}  (1.21)

と表される. 音波は

\overline{⟨c_{s}⟩^{2}} ≡ \frac{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}\overline{Π}\overline{θ_{v}}}{⟨c_{v}⟩_{0}}  (1.22)

1⟨R⟩, ⟨c_{p}⟩, ⟨M⟩ が大きく変化する系では物理的に意味のある計算が保証されない.

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

を満たす. 各実験では\overline{T}, \overline{q_{d}}, \overline{q_{v}} を与え, (1.16) – (1.19), (1.21), (1.22) を用いてその他の基本場成分を決める.

以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 本モデルにおける予報変数は u′, w′, θ′, Π′, q′_{a} (a = v, c, r) である. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮しない. 凝結量は気相質量に比べて十分少ないと仮定する.

運動方程式

\frac{∂u′}{∂t} = −u′ \frac{∂u′}{∂x} − v′ \frac{∂u′}{∂y} − w′ \frac{∂u′}{∂z} − ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂x} + D_{u}  (1.23)
\frac{∂v′}{∂t} = −u′ \frac{∂v′}{∂x} − v′ \frac{∂v′}{∂y} − w′ \frac{∂v′}{∂z} − ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂y} + D_{v}  (1.24)
\frac{∂w′}{∂t} = −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z} − ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂z}
+\frac{θ′}{\overline{θ}} g + \frac{∑(R_{v}/R_{d} − 1)q′_{v} − ∑(q′_{c} + q′_{r})}{1 + ∑(R_{v}/R_{d} − 1)\overline{q_{v}}}g + D_{w′} (1.25)

圧力方程式

\frac{∂Π′}{∂t} = −\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}ρ̄θ̄_{v}^{2}} ∇· (ρ̄θ̄_{v}u′)

+\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}

\{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

(1.26)

熱の式

\frac{∂θ′}{∂t} = −u′ \frac{∂θ′}{∂x} − v′ \frac{∂θ′}{∂y} − w′ \frac{∂θ′}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} + \frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})
+D\overline{θ} + D_{θ′}  (1.27)

比湿の保存式

\frac{∂q′_{a}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{a}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{a}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{a}}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{q_{a}}}{∂z}

+\frac{1}{\overline{ρ}}M_{fall}(ρ′_{a}) + \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{a}) − \frac{\overline{q_{a}}}{\overline{ρ}} ∑ M_{fall}(ρ′_{r}) + D\overline{q_{a}} + D_{q′_{a}}.

(1.28)

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このとき (1.28) は a = v, c, r の 3 相に関する式となる. Q_{cond}, Q_{rad}, Q_{dis} はそれぞれ凝結加熱, 放射加熱, 散逸加熱による温度変化率を表し, M_{src}, M_{fall} はそれぞれ生成項, 落下項を表す. M_{src}, M_{fall}, Q_{cond} の定式化については 1.2 節で詳述する. Q_{rad} の定式化については 1.3 節で詳述する. Q_{dis}, D_{∗} の定式化については 1.4 節で詳述する.

1.3 雲微物理過程のパラメタリゼーション

本モデルでは Kessler(1969) のパラメタリゼーションと Tobie et al.(2003) に基づくパラメタリゼーションの 2 種類が用意されている^{2}.

1.3.1 Kessler(1969) の雲微物理パラメタリゼーション

Kessler(1969) のパラメタリゼーションでは 4 つのカテゴリーを想定し, 微物理素過程として以下を考慮する. ただし, これらの量は全て正の値として定義され, 水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.

記号内容
CN_{vc} 凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation)
EV_{cv} 蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation)
EV_{rv} 蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation)
CN_{cr} 併合成長による雲水から雨水への変換. 併合や水蒸気拡散により,

雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation)

CL_{cr} 衝突併合による雲水から雨水への変換.

大水滴が小水滴を衝突併合する (collection)

P R_{r} 雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表される.

M_{src}(ρ′_{v}) = −\overline{ρ}(CN_{vc} − EV_{cv} − EV_{rv}),  (1.29)
M_{src}(ρ′_{c}) = \overline{ρ}(CN_{vc} − EV_{cv} − CN_{cr} − CL_{cr}),  (1.30)
M_{src}(ρ′_{r}) = \overline{ρ}(CN_{cr} + CL_{cr} − EV_{cv}),  (1.31)
M_{fall}(ρ′_{v}) = 0,  (1.32)

2現在, 本モデルで用意されている Tobie et al.(2003) のパラメタリゼーションは火星大気計算でのみ使用可能である.

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M_{fall}(ρ′_{c}) = 0,  (1.33)
M_{fall}(ρ′_{r}) = P R_{r},  (1.34)
Q_{cond} = −\frac{L_{v}}{\overline{ρ}⟨c_{p}⟩_{0}} M_{src}(ρ′_{v}).  (1.35)

(1.27), (1.28) を書き直すと, 以下のようになる.

\frac{∂θ′}{∂t} = −u′ \frac{∂θ′}{∂x} − v′ \frac{∂θ′}{∂y} − w′ \frac{∂θ′}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} + \frac{L_{v}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{Π}} (CN_{vc} − EV_{cv} − EV_{rv})
+\frac{1}{Π̄} (Q_{rad} + Q_{dis}) + Dθ̄ + D_{θ′}  (1.36)
\frac{∂q′_{v}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{v}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{v}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{v}}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{q_{v}}}{∂z} − \frac{\overline{q_{v}}}{\overline{ρ}} ∑ P R_{r}
− (CN_{vc} − EV_{cv} − EV_{rv}) + D\overline{q_{v}} + D_{q′_{v}},  (1.37)
\frac{∂q′_{c}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{c}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{c}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{c}}{∂z} − \frac{\overline{q_{c}}}{\overline{ρ}} ∑ P R_{r}
+CN_{vc} − EV_{cv} − CN_{cr} − CL_{cr} + D_{q′_{c}},  (1.38)
\frac{∂q′_{r}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{r}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{r}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{r}}{∂z} + \frac{1}{\overline{ρ}}P R_{r} + CN_{cr} + CL_{cr} − EV_{rv} + D_{q′_{r}}. (1.39)

ここで, L_{v} は水の蒸発の潜熱 [J kg^{−1}], ⟨c_{p}⟩ は定圧比熱 [J K kg^{−1}] である.

微物理素過程は以下のように定式化する.

水蒸気と雲水の間の変換: −CN_{vc} + EV_{cv} 雲水は粒が小さく, 水蒸気との間で瞬間的に飽和調節が起こるものとする. すなわち, 移流などの項を計算した後の温度と水蒸気量が過飽和状態となっている場合には, ちょうど飽和になる量の水蒸気を凝結させる. 一方, 移流などの項を計算した後に, 雲水が存在するにも拘わらず未飽和になっている場所では, ちょうど飽和になる量の雲水を蒸発させる.

雲水の併合成長: CN_{cr} Kessler (1969) に従って, 以下のように与える.

CN_{cr} = (q′_{c} − q_{c0}) /τ_{ac}  (1.40)

ただし, q_{c0}, τ_{ac} は併合成長に関する閾値, 時間スケールであり, それぞれ 0, 100 [s] とする.

雲水の衝突併合: CL_{cr} Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.

CL_{cr} = 10.344g^{1/2} (\frac{ρ̄}{ρ_{w}} )^{0.375} q′_{c}q′_{r}^{0.875}  (1.41)

雨水の蒸発: EV_{rv} Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.

EV_{rv} = 4.85 × 10^{−2} (q_{vsw} − q′_{v}) (ρ̄q′_{r})^{0.65}  (1.42)

ただし q_{vsw} は飽和比湿を表す.

雨水のフラックス: P R_{r} 雨水の重力落下による混合比の変化率は,

P R_{r} = \frac{∂}{∂z} (ρ̄q′_{r}V_{term}) .  (1.43)

であり, 雨水の終端落下速度 V_{term} [m s^{−1}] は

V_{term} = 0.3224g^{1/2} (\frac{ρ_{w}}{\overline{ρ}} )^{0.375} q′_{r}^{0.125}  (1.44)

で与える. ただし ρ_{w} は液相の密度である.

各々の微物理過程の導出については, 付録 C を参照されたい.

1.3.2 Tobie et al.(2003) の雲微物理パラメタリゼーション

Tobie et al.(2003) は火星大気での CO_{2} の雲物理の定式化について述べている. Tobie et al.(2003) では雲水を除く 3 つのカテゴリーを考える (q_{c} = 0). 雲粒は拡散成長のみによって成長すると仮定し, 雲粒の併合成長は考慮しない. 微物理過程として以下を考慮する.

記号内容
CN_{vr} 凝結による水蒸気から氷への変換 (condensation)
P R_{r} 氷粒の重力落下に伴う氷比湿の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表される.

M_{src}(ρ′_{v}) = −\overline{ρ}CN_{vr},  (1.45)
M_{src}(ρ′_{r}) = \overline{ρ}CN_{vr},  (1.46)
M_{fall}(ρ′_{v}) = 0,  (1.47)
M_{fall}(ρ′_{r}) = P R_{r},  (1.48)
Q_{cond} = −\frac{L_{s}}{\overline{ρ}⟨c_{p}⟩_{0}} M_{src}(ρ′_{v}).  (1.49)

(1.27), (1.28) を書き直すと, 以下のようになる.

\frac{∂θ′}{∂t} = −u′ \frac{∂θ′}{∂x} − v′ \frac{∂θ′}{∂y} − w′ \frac{∂θ′}{∂z} − w′ \frac{∂θ̄}{∂z} + \frac{L_{s}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{Π}}CN_{vr}
+\frac{1}{Π̄} (Q_{rad} + Q_{dis}) + Dθ̄ + D_{θ′}  (1.50)
\frac{∂q′_{v}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{v}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{v}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{v}}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{q_{v}}}{∂z} − \frac{\overline{q_{v}}}{\overline{ρ}} ∑ P R_{r}(ρ′_{r})
−CN_{vr} + D\overline{q_{v}} + D_{q′_{v}},  (1.51)
\frac{∂q′_{r}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{r}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{r}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{r}}{∂z} + \frac{1}{\overline{ρ}}P R_{r} − CN_{vr} + D_{q′_{r}}.  (1.52)

ここで L_{s} は CO_{2} の昇華の潜熱 [J K^{−1} kg^{−1}] である.

以下, CN_{vr} の取り扱いについて述べる. 本モデルでは単位質量の気相に含まれる凝結核の個数及び半径は空間的・時間的に一様と仮定する. また雲粒の半径は各格子内において空間的に一定であると仮定する. 更に雲粒は球形の凝結核を核として形成され, 雲粒自身も球形となると仮定する. このとき

\frac{4}{3}ρ_{I}π(r_{d}^{3} − r_{aero}^{3})N = q′_{r}\overline{ρ}  (1.53)

という関係式が成り立つ. ここで ρ_{I} は CO_{2} 氷の密度, r_{d} は雲粒半径, r_{aero} は凝結核の半径, N は単位体積当たりの凝結核の数密度である. 本モデルでは ρ_{I} = 1.565 × 10^{3} [kg/m^{3}] と与え, r_{aero}, N は実験に応じて与える. 雲粒の雲粒が拡散によって成長する場合の単位時間単位体積当たりの凝結量 CN_{vr} は以下のように表される.

CN_{vr} = \frac{4πr_{d}N}{\overline{ρ}(R_{h} + R_{m})}(S − 1).  (1.54)

ここで R_{h}, R_{m}, S はそれぞれ熱輸送に関する定数, 質量輸送に関する定数, 飽和比であり

R_{h} = \frac{L_{s}^{2}}{kR_{v}T^{2}} = \frac{L_{s}^{2}}{kR_{v}θ^{2}Π^{2}} ,  (1.55)
R_{m} = \frac{R_{v}T}{Dp_{∗}} = \frac{R_{v}θΠ}{Dp_{∗}},  (1.56)
S = \frac{p}{p_{∗}} = \frac{p_{0}^{\frac{cp}{R}} Π}{p_{∗}}  (1.57)

と表される. 但し k, D, p_{∗} はそれぞれ熱拡散係数, 分子拡散係数, CO_{2} の飽和蒸気圧である. 本モデルでは Tobie et al. (2003) 同様に主成分凝結系では R_{h} ≫ R_{m} として

CN_{vr} = \frac{4πr_{d}N}{R_{h}} (S − 1).  (1.58)

と表す. CO_{2} の飽和蒸気圧については半経験式である Antoine の式

p_{∗} = exp (A − \frac{B}{T − C} )  (1.59)

を用いて定める (Antoine, 1888). ここで A, B, C は実験により定まる係数であり, CO_{2} の場合 A = 27.4, B = 3103, C = −0.16 である (化学工学会, 1999). 火星大気環境における凝結を想定すると O(T) ∼ 150[K] であるので, T ≫ C と近似して

p_{∗} ≈ exp (A − \frac{B}{T} )  (1.60)

とする.

以下, 単位時間体積当たりの雲粒落下量 P R_{r} の取り扱いについて述べる. Tobie et al.(2003) では雲粒落下を無視しているが, 本パラメタリゼーションでは考慮する. P R_{r} は Kessler(1969) と同様に, 雲粒の終端速度 V_{term} での移流として表現する. 即ち

P R_{r} = \frac{∂}{∂z} (ρ_{r}V_{term})  (1.61)

と表す. 終端速度 V_{term} については球形粒子に関する Stokes 則を適用して

V_{term} = C_{sc} \frac{2r_{d}^{2}gρ_{I}}{9η}  (1.62)

と表す. ここで C_{sc} は微小な粒子における Stokes 則からのずれを補正する係数 (Cunningham 補正係数) であり,

C_{sc} = 1 + 1.255\frac{λ}{r_{d}}  (1.63)

と表される (Cunningham, 1910). λ は CO_{2} の平均自由行程であり,

λ = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}πσ^{2}p_{CO_{2}}}  (1.64)

と表される. k_{B} は Boltzmann 定数, σ は CO_{2} 分子の直径, p_{CO_{2}} は CO_{2} の分圧であり, k_{B} = 1.38 × 10^{−23} [m^{2} kg s^{−2} K^{−1}], σ = 3.3 × 10^{−10} [m] である (Golden and Sircar, 1994). η は粘性係数であり, Sutherland の公式

η = η_{ref} (\frac{T_{ref} + C_{CO_{2}}}{T + C_{CO_{2}}} ) (\frac{T}{T_{ref}} )^{3/2}  (1.65)

で表現する (Sutherland, 1893). η_{ref}, T_{ref}, C_{CO_{2}} はそれぞれ粘性係数の基準値, 温度の基準値, CO_{2} に関する Sutherland 定数であり, η_{ref} = 1.47 × 10^{−5} [Pa · s], T_{ref} = 293 [K], C_{CO_{2}} = 240 [K] と与える (理科年表, 2004).

1.4 放射加熱項の表現

放射加熱項 Q_{rad} は正味の上向き放射フラックス F_{net} を用いて以下のように表される.

Q_{rad} = −\frac{1}{\overline{ρ}⟨c_{p}⟩_{0}} \frac{dF_{net}}{dz}

本モデルでは F_{net} は陽に計算せず, Q_{rad} は高度のみに依存するパラメタとして与える.

1.5 乱流混合のパラメタリゼーション

1.5.1 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.

D_{u_{i}} = −\frac{∂}{∂x_{j}} \overline{(u′_{i}u′_{j})}
= −\frac{∂}{∂x_{j}} [−K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) + \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb}]  (1.66)

ここで K_{m} は運動量に対する乱流拡散係数であり, E_{turb} はサブグリッドスケールの乱流運動エネルギー

E_{turb} = \frac{1}{2}\overline{(u′)^{2} + (v′)^{2} + (w′)^{2}} = \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2}l^{2}}  (1.67)

である. Deardorff(1975) に従い, C_{m} = 0.2 とする.

1.5.2 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いて温位の粘性拡散項を表現する. 雲が存在しない場合,

D_{θ} = −\frac{∂}{∂x_{j}} \overline{u′_{j}θ′}
= −\frac{∂}{∂x_{j}} (K_{h} \frac{∂θ}{∂x_{j}} )  (1.68)

と表し, 雲が存在する場合,

D_{θ} = −\frac{∂}{∂x_{j}} \overline{u′_{j}θ′}
= −\frac{∂}{∂x_{j}} [(1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{Π}^{2}\overline{θ}^{2}} )^{−1} K_{h} \frac{∂θ_{e}}{∂x_{j}} ]  (1.69)

と表す. ここで K_{h} は温位に対する乱流拡散係数, θ_{e} は相当温位である.

1.5.3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いて, 乱流エネルギーの時間発展方程式を表現する^{3}. 雲が存在しない場合,

\frac{∂E_{turb}}{∂t} = −u\frac{∂E_{turb}}{∂x} − v \frac{∂E_{turb}}{∂y} − w\frac{∂E_{turb}}{∂z}

−3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{K_{h}}{\overline{θ}} \frac{∂θ}{∂z} − 3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \frac{∂q_{v}}{∂z} − ∑ \frac{∂q_{L}}{∂z}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}

+2C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂y} )

+\frac{∂}{∂z} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂z} ) − (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (1.70)

となる. また雲が存在する場合,

\frac{∂E_{turb}}{∂t} = −u\frac{∂E_{turb}}{∂x} − v \frac{∂E_{turb}}{∂y} − w\frac{∂E_{turb}}{∂z}

−3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1}

3乱流運動エネルギーの時間発展方程式の導出に関しては, 付録 B を参照されたい.

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

[\frac{1}{\overline{θ}} + \frac{1}{R_{d}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} (∑ L\overline{q_{v}})] \frac{∂θ_{e}}{∂z}

+3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} \frac{∂ (∑ q_{L})}{∂z}

+2C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂y} )

+\frac{∂}{∂z} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂z} ) − (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (1.71)

となる. ここで C_{m} = 0.2, 混合距離 l = (ΔxΔyΔz)^{1/3} とする. ただし Δx, Δy, Δz は格子間隔である.

1.5.4 散逸加熱項の表現

散逸加熱項 Q_{dis} は, 乱流運動エネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える.

Q_{dis} = \frac{1}{⟨c_{p}⟩_{0}} \frac{C_{ε}}{l} \frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}} .  (1.72)

ここで C_{ε} = 0.2, l = (ΔxΔyΔz)^{1/3} である.

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化第 2 章参考文献 16}

第2章参考文献

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 19}

付録A 準圧縮方程式系の導出

A.1 温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w を予報変数とする場合の方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような系を考える. また気体は理想気体みなせるものとする. このような系では温位 θ が非凝結時の保存量として使える.

A.1.1 元となる方程式系

3 次元大気の状態を気温 T, 圧力 p, 風速 u, v, w, 密度 ρ で表現する場合, 一般的な圧縮性流体の方程式系は以下のようになる.

運動方程式

\frac{du}{dt} = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂x} + D_{u}  (A.1)
\frac{dv}{dt} = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂y} + D_{v}  (A.2)
\frac{dw}{dt} = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂z} − g + D_{w}  (A.3)

熱力学第一法則

ĉ_{p} \frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} = ĉ_{p} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})  (A.4)

状態方程式

p_{d} = ρ_{d}R_{d}T,  (A.5)
p_{v} = ρ_{v}R_{v}T.  (A.6)

密度の時間発展方程式

\frac{∂ρ_{d}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{d}u_{j}) = D_{ρ_{d}},  (A.7)
\frac{∂ρ_{v}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{v}u_{j}) = M_{src}(ρ_{v}) + D_{ρ_{v}},  (A.8)
\frac{∂ρ_{c}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{c}u_{j}) = M_{src}(ρ_{c}) + D_{ρ_{c}},  (A.9)
\frac{∂ρ_{r}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{r}u_{j}) = M_{src}(ρ_{r}) + M_{fall}(ρ_{r}) + D_{ρ_{r}}  (A.10)

ここで ĉ_{p} は凝結物も含んだ単位質量の気塊の定圧比熱, Q は非断熱加熱による温度変化率, q_{v} は凝結性気体の比湿, q_{c} は雲水比湿, q_{r} は雨水比湿である. q_{v}, q_{r}, q_{c} は, 凝結成分の数だけ存在する. D_{∗}, M_{src}, M_{fall} はそれぞれ乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. 以下では, 温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w を予報変数とする場合の基礎方程式系を導出する.

A.1.2 密度の時間発展方程式の書き換え – 比湿の時間発展方程式の導出 –

D_{ρ_{d}} + ∑ D_{ρ_{v}} + ∑ D_{ρ_{c}} + ∑ D_{ρ_{r}} = 0 となると仮定して (A.7) – (A.10) の和をとると,

\frac{∂ρ}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρu_{j}) = ∑ M_{fall}(ρ_{r})  (A.11)

が得られる. 但し M_{src}(ρ_{v}) + M_{src}(ρ_{c}) + M_{src}(ρ_{r}) = 0 となることを用いた. (A.7)

– (A.10) 及び (A.11) より

\frac{∂}{∂t} (\frac{ρ_{d}}{ρ} ) = −\frac{ρ_{d}}{ρ^{2}} \frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{ρ} \frac{∂ρ_{d}}{∂t}
= −\frac{ρ_{d}}{ρ^{2}} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρu_{j}) + ∑ M_{fall}(ρ_{r})] + \frac{1}{ρ} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{d}u_{j}) + D_{ρ_{d}}]
= −u_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{ρ_{d}}{ρ} ) − \frac{ρ_{d}}{ρ^{2}} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{d}},  (A.12)
\frac{∂}{∂t} (\frac{ρ_{v}}{ρ} ) = −\frac{ρ_{v}}{ρ^{2}} \frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{ρ} \frac{∂ρ_{v}}{∂t}
= −\frac{ρ_{v}}{ρ^{2}} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρu_{j}) + ∑ M_{fall}(ρ_{r})]

+\frac{1}{ρ} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{v}u_{j}) + M_{src}(ρ_{v}) + D_{ρ_{v}}]

= −u_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{ρ_{v}}{ρ} ) − \frac{ρ_{v}}{ρ^{2}} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{v}},  (A.13)
\frac{∂}{∂t} (\frac{ρ_{c}}{ρ} ) = −\frac{ρ_{c}}{ρ^{2}} \frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{ρ} \frac{∂ρ_{c}}{∂t}
= −\frac{ρ_{c}}{ρ^{2}} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρu_{j}) + ∑ M_{fall}(ρ_{r})]

+\frac{1}{ρ} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{c}u_{j}) + M_{src}(ρ_{c}) + D_{ρ_{c}}]

= −u_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{ρ_{c}}{ρ} ) − \frac{ρ_{c}}{ρ^{2}} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{c}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{c}},  (A.14)
\frac{∂}{∂t} (\frac{ρ_{r}}{ρ} ) = −\frac{ρ_{r}}{ρ^{2}} \frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{ρ} \frac{∂ρ_{r}}{∂t}
= −\frac{ρ_{r}}{ρ^{2}} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρu_{j}) + ∑ M_{fall}(ρ_{r})]

+\frac{1}{ρ} [−\frac{∂}{∂x_{j}} (ρ_{r}u_{j}) + M_{src}(ρ_{r}) + M_{fall}(ρ_{r}) + D_{ρ_{r}}]

= −u_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{ρ_{r}}{ρ} ) − \frac{ρ_{r}}{ρ^{2}} ∑ M_{fall} + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{r}}.

(A.15)

(A.12) – (A.15) を比湿で表現すると,

\frac{dq_{d}}{dt} = −\frac{q_{d}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{d}},  (A.16)
\frac{dq_{v}}{dt} = −\frac{q_{v}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{v}},  (A.17)
\frac{dq_{c}}{dt} = −\frac{q_{c}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{c}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{c}},  (A.18)
\frac{dq_{r}}{dt} = −\frac{q_{r}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{r}}. (A.19)

となる. 但し, q_{d} + ∑ q_{v} + ∑ q_{c} + ∑ q_{r} = 1 の関係が成り立つので, q_{d} については時間発展方程式を解かずに, 診断的に求めることとする.

A.1.3 熱の式の導出

A.1.3 節では, Satoh(2004) に従い, Clausius-Clapeyron の式, 各カテゴリーの比エンタルピーと比内部エネルギーの導出, 比内部エネルギーの時間発展方程式の導出を行なう. 更にそれらの結果を用いて, 熱の式の導出を行なう. A.1.3 節においては, 雨粒または氷粒の存在を無視する. 凝結性気体と凝結物は相平衡状態にあるとする. また各気体と凝結物の定圧比熱の温度・圧力依存性を無視する. 凝結性気体は非凝結性気体に比べて圧倒的に多いか, 或いは圧倒的に少ないものとする.

Clausius-Clapeyron の式の導出

各カテゴリーの比エンタルピー, 比内部エネルギー, 比エントロピー, 比容, 化学ポテンシャルをそれぞれ H_{i}, U_{i}, S_{i}, v_{i}, μ_{i} とする. また飽和蒸気圧を p^{∗} と表すことにする. 相平衡状態が実現されているとき,

μ_{c}(p^{∗}, T) = μ_{v}(p^{∗}, T),  (A.20)
μ_{c}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) = μ_{v}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT),  (A.21)

が成り立つ. (A.20), (A.21) の差をとると,

μ_{c}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) − μ_{c}(p^{∗}, T) = μ_{v}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) − μ_{v}(p^{∗}, T)

(A.22)

となる. μ_{v}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) 及び μ_{c}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) に関する (p^{∗}, T) 近傍での 1 次の Taylor 展開を考えると,

μ_{c}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) ≃ μ_{c}(p^{∗}, T) + (\frac{∂μ_{c}}{∂p^{∗}} )_{T} dp^{∗} + (\frac{∂μ_{c}}{∂T} )_{p^{∗}} dT,
μ_{c}(p^{∗} + dp^{∗}, T + dT) ≃ μ_{v}(p^{∗}, T) + (\frac{∂μ_{v}}{∂p^{∗}} )_{T} dp^{∗} + (\frac{∂μ_{v}}{∂T} )_{p^{∗}} dT (A.23)

となる. (A.23), (A.23) を (A.22) に代入すると,

(\frac{∂μ_{c}}{∂p^{∗}} )_{T} dp^{∗} + (\frac{∂μ_{c}}{∂T} )_{p^{∗}} dT = (\frac{∂μ_{v}}{∂p^{∗}} )_{T} dp^{∗} + (\frac{∂μ_{v}}{∂T} )_{p^{∗}} dT  (A.24)

となる. ここで

(\frac{∂μ_{i}}{∂T} )_{p} = −S_{i},  (A.25)
(\frac{∂μ_{i}}{∂p} )_{T} = v_{i},  (A.26)

となることに注意すると,

v_{c}dp^{∗} − s_{c}dT = v_{v}dp^{∗} − s_{v}dT,

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 23} すなわち

\frac{dp^{∗}}{dT} = \frac{s_{v} − s_{c}}{v_{v} − v_{c}}  (A.27)

となる. 潜熱 L を

L ≡ T (s_{v} − s_{c})  (A.28)

と定義すると,

\frac{dp^{∗}}{dT} = \frac{L}{T (v_{v} − v_{c})}  (A.29)

となる. ここで v_{v} ≫ v_{c} であることを用い, さらに理想気体の状態方程式を用いると,

\frac{dp^{∗}}{dT} ≃ \frac{L}{T v_{v}}
= \frac{Lp^{∗}}{R_{v}T^{2}}  (A.30)

となり, Clausius-Clapeyron の式が得られる.

比エンタルピーの導出定圧比熱の定義

c_{pi} = T (\frac{∂S_{i}}{∂T} )_{p}  (A.31)

及び Maxwell の関係式

− (\frac{∂S_{i}}{∂p} )_{T} = (\frac{∂v_{i}}{∂T} )_{p}  (A.32)

を用いると,

c_{pi}(p, T) = c_{pi}(p_{0}, T) + ∫_{p_{0}}^{p} (\frac{∂c_{pi}}{∂p′} )_{T} dp′
= c_{pi}(p_{0}, T) + ∫_{p_{0}}^{p} \{\frac{∂}{∂p′} [T (\frac{∂S_{i}}{∂T} )_{p′} ]_{T} \} dp′
= c_{pi}(p_{0}, T) + T ∫_{p_{0}}^{p} [\frac{∂}{∂T} (\frac{∂S_{i}}{∂p′} )_{T} ]_{p′} dp′
= c_{pi}(p_{0}, T) − T ∫_{p_{0}}^{p} (\frac{∂^{2}v_{i}}{∂T^{2}} )_{p′} dp′  (A.33)
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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 24} となる. 但し p_{0} は圧力の基準値である. 特に理想気体の場合, 状態方程式より (∂^{2}v_{i}/∂T^{2})_{p} = 0 となるので,

c_{pi}(p, T) = c_{pi}(p_{0}, T)  (A.34)

となる. (A.34) より理想気体の比熱は圧力に依存しないことが分かる. エンタルピーに関して

dH_{i} = T dS_{i} + v_{i}dp + μ_{i}dq_{i}
= T [(\frac{∂S_{i}}{∂T} )_{p} dT + (\frac{∂S_{i}}{∂p} )_{T} dp] + v_{i}dp + μ_{i}dq_{i}
= T (\frac{∂S_{i}}{∂T} )_{p} dT + [T (\frac{∂S_{i}}{∂p} )_{T} dp + v_{i}] dp + μ_{i}dq_{i}  (A.35)

より

(\frac{∂H_{i}}{∂T} )_{p} = T (\frac{∂S_{i}}{∂T} )_{p} ,  (A.36)
(\frac{∂H_{i}}{∂p} )_{T} = T (\frac{∂S_{i}}{∂p} )_{T} dp + v_{i}  (A.37)

が成り立つ. T_{0} を温度の基準値とすると, (A.31), (A.32), (A.36), (A.37) より

H_{i}(p, T) = H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} (\frac{∂H_{i}}{∂T′} )_{p_{0}} dT′ + ∫_{p_{0}}^{p} (\frac{∂H_{i}}{∂p′} )_{T} dp′
= H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} T′ (\frac{∂S_{i}}{∂T′} )_{p_{0}} dT′ + ∫_{p_{0}}^{p} [T (\frac{∂S_{i}}{∂p′} )_{T} + v_{i}] dp′
= H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pi}(p_{0}, T′)dT′ + ∫_{p_{0}}^{p} [−T (\frac{∂v_{i}}{∂T} )_{p′} + v_{i}] dp′
= H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pi}(p_{0}, T′)dT′ − T^{2} ∫_{p_{0}}^{p} [\frac{1}{T} (\frac{∂v_{i}}{∂T} )_{p′} − \frac{v_{i}}{T^{2}} ] dp′
= H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pi}(p_{0}, T′)dT′ − T^{2} ∫_{p_{0}}^{p} \{\frac{∂}{∂T} [\frac{v_{i}(p′, T)}{T}]_{p′} \} dp′

(A.38)

となる. 特に理想気体の場合, 状態方程式より ∂(v_{i}/T)_{p}/∂T = 0 となるので,

H_{i}(p, T) = H_{i}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pi}(p_{0}, T′)dT′  (A.39)

となる.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 25} 以下, 相平衡時における H_{c} と H_{v} の関係式を求める. H_{c} はそれぞれ

H_{c}(p, T) = μ_{c}(p, T) + T S_{c}(p, T),  (A.40)
H_{v}(p, T) = μ_{v}(p, T) + T S_{v}(p, T)  (A.41)

と表される. (A.40), (A.41) の差をとると,

H_{c}(p, T) − H_{v}(p, T) = μ_{c}(p, T) − μ_{v}(p, T) + T [S_{c}(p, T) − S_{v}(p, T)](A.42)

となる. (A.42) に

S_{i}(p, T) = − (\frac{∂μ_{i}}{∂T} )_{p}  (A.43)

を用いると,

H_{c}(p, T) − H_{v}(p, T) = μ_{c}(p, T) − μ_{v}(p, T) − T \frac{∂}{∂T} [μ_{c}(p, T) − μ_{v}(p, T)]_{p}

(A.44)

となる. (A.25) において i = v, c とし, p^{∗} から p まで積分すると,

μ_{c}(p, T) = μ_{c}(p^{∗}, T) + ∫_{p^{∗}}^{p} v_{c}(p′, T)dp′,  (A.45)
μ_{v}(p, T) = μ_{v}(p^{∗}, T) + ∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′  (A.46)

となる. (A.45), (A.46) の差をとり, μ_{c}(p^{∗}, T) = μ_{v}(p^{∗}, T) となることを用いると,

μ_{c}(p, T) − μ_{v}(p, T) = − ∫_{p^{∗}}^{p} [v_{v}(p′, T) − v_{c}(p′, T)] dp′  (A.47)

となる. (A.47) を (A.44) に代入し, μ_{v}, μ_{c} を消去すると,

H_{c}(p, T) − H_{v}(p, T) = − ∫_{p^{∗}}^{p} [v_{v}(p′, T) − v_{c}(p′, T)] dp′

+T \frac{∂}{∂T} [∫_{p^{∗}}^{p} [v_{v}(p′, T) − v_{c}(p′, T)] dp′]_{p}

≃ − ∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′ + T \frac{∂}{∂T} [∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′]_{p}
= − ∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′ + T ∫_{p^{∗}}^{p} \frac{∂v_{v}(p′, T)}{∂T}dp′ − T \frac{dp^{∗}}{dT} v_{v}(p^{∗}, T)
= − ∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′ + ∫_{p^{∗}}^{p} v_{v}(p′, T)dp′ − L(T)
= −L(T)  (A.48)

が得られる.

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さらに相平衡時における c_{pc} と c_{pv} の関係式を求める. (A.31) に (A.39), (A.40), (A.43), (A.48) を適用すると,

c_{pc}(p, T) = T (\frac{∂S_{c}}{∂T} )_{p}
= T \{\frac{∂}{∂T} [\frac{H_{c}(p, T) − μ_{c}(p, T)}{T}]\}_{p}
= T [−\frac{S_{c}}{T} + \frac{1}{T} (\frac{∂H_{c}}{∂T} )_{p} + \frac{1}{T} (\frac{∂μ_{c}}{∂T} )_{p}]
= (\frac{∂H_{c}}{∂T} )_{p}
= \frac{∂}{∂T} [H_{v}(p, T) − L(T)]_{p}
= \frac{∂}{∂T} [H_{v}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pv}(p_{0}, T′)dT′ − L(T)]
= c_{pv}(p_{0}, T) − \frac{dL}{dT}  (A.49)

が得られる. 特に定圧比熱が温度に依存しない場合, (A.49) を T について積分することにより,

L(T) = L(T_{0}) + (c_{pv} − c_{pc}) (T − T_{0})
= L_{00} + (c_{pv} − c_{pc}) T  (A.50)

が得られる. 但し

L_{00} = L(T_{0}) − (c_{pv} − c_{pc}) T_{0}  (A.51)

である.

(A.39), (A.48), (A.49), (A.50) を用いて定圧比熱が温度に依存しない場合の比エンタルピーを求めると,

H_{d}(p, T) = H_{d}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pd}(p_{0}, T_{0})dT′
= H_{d}(p_{0}, T_{0}) + c_{pd}(T − T_{0})
= c_{pd}T,  (A.52)
H_{c}(p, T) = H_{v}(p, T) − L(T)
= H_{v}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} c_{pv}(p_{0}, T′)dT′ − L(T)
= H_{v}(p_{0}, T_{0}) + ∫_{T_{0}}^{T} [c_{pc}(p_{0}, T′) + \frac{dL}{dT′} ] dT′ − L(T)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 27}

= H_{v}(p_{0}, T_{0}) − L(T_{0}) + c_{pc}(T − T_{0})
= H_{c}(p_{0}, T_{0}) − c_{pc}T_{0} + c_{pc}T
= c_{pc}T  (A.53)
H_{v}(p, T) = H_{c}(p, T) + L(T)
= c_{pc}T + L_{00} + (c_{pv} − c_{pc})T
= c_{pv}T + L_{00}  (A.54)

となる. 比内部エネルギーの導出エンタルピーの定義より

U_{i}(p, T) = H_{i}(p, T) − pv_{i}(p, T)  (A.55)

となる. 従って, 定圧比熱が温度に依存しない場合の比内部エネルギーを求めると, (A.52), (A.53), (A.54) より

U_{d}(p, T) = H_{d}(p, T) − pv_{d}(p, T)
= c_{pd}T − R_{d}T
= c_{vd}T,  (A.56)
U_{v}(p, T) = H_{v}(p, T) − pv_{v}(p, T)
= c_{pv}T + L_{00} − R_{v}T
= c_{vv}T + L_{00},  (A.57)
U_{c}(p, T) = U_{v}(p, T) + H_{c}(p, T) − H_{v}(p, T) − p(v_{c} − v_{v})
≃ U_{v}(p, T) + H_{c}(p, T) − H_{v}(p, T) + pv_{v}
= H_{c}(p, T)
= c_{pc}T  (A.58)

となる. 熱の式の導出 Satoh(2004) と Landau and Lifshitz(1987) を参考にして熱の式 (A.4) を導出する.

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比内部エネルギー U の時間発展方程式は

ρ\frac{dU}{dt} + ∇ · F^{rad} + ∇ · F^{therm} = −p∇ · u + ε  (A.59)

と表される. ここで F_{i}^{rad}, F_{i}^{therm}, ε はそれぞれ放射フラックス, 熱拡散フラックス, 消散率であり,

F^{therm} = H_{d}i_{d} + ∑ H_{v}i_{v} − κ∇T
= c_{pd}T i_{d} + ∑ (c_{pv}T + L_{00}) i_{v} − κ∇T,  (A.60)
ε = \frac{1}{2}η (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} − \frac{2}{3}δ_{ij}∇ · u)^{2} + ζ (∇ · u)^{2}  (A.61)

である. H_{d}, H_{v} はそれぞれ非凝結性気体と凝結性気体の比エンタルピー, i_{d}, i_{v} はそれぞれ非凝結性気体と凝結性気体の拡散流束密度, κ は熱伝導率, η, ζ は第一粘性係数, 第二粘性係数である. L_{00} は潜熱 L(T) の定数部分であり,

L_{00} = L(T) − (c_{pv} − c_{pc})T  (A.62)

である. U は比エンタルピー H を用いて

U = H − \frac{p}{ρ}  (A.63)

と表される. (A.63) を (A.59) に代入し, dH/dt について整理すると,

ρ\frac{dH}{dt} + \frac{p}{ρ} \frac{dρ}{dt} − \frac{dp}{dt} + ∇ · F^{rad} + ∇ · F^{therm} + p\frac{∂u_{i}}{∂x_{i}} − ε

= ρ\frac{dH}{dt} − p\frac{∂u_{i}}{∂x_{i}} − \frac{dp}{dt} + ∇ · F^{rad} + ∇ · F^{therm} + p\frac{∂u_{i}}{∂x_{i}} − ε
= ρ\frac{dH}{dt} − \frac{dp}{dt} + ∇ · F^{rad} + ∇ · F^{therm} − ε
= 0,  (A.64)

すなわち

\frac{dH}{dt} = \frac{1}{ρ} (\frac{dp}{dt} − ∇ · F^{rad} − ∇ · F^{therm} + ε)  (A.65)

となる. 比エンタルピーを各カテゴリーの比エンタルピーの和で表現すると

H = q_{d}H_{d} + ∑ q_{v}H_{v} + ∑ q_{c}H_{c}
= q_{d}c_{pd}T + ∑ q_{v} (c_{pv}T + L_{00}) + ∑ q_{c}c_{pc}T  (A.66)

となる. (A.66) のラグランジュ微分をとると,

\frac{dH}{dt} = (q_{d}c_{pd} + ∑ q_{v}c_{pv} + ∑ q_{c}c_{pc}) \frac{dT}{dt}

+c_{pd}T \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ (c_{pv}T + L_{00}) \frac{dq_{v}}{dt} + ∑ c_{pc}T \frac{dq_{c}}{dt}

= ĉ_{p} \frac{dT}{dt} + c_{pd}T \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ (c_{pv}T + L_{00}) \frac{dq_{v}}{dt} + ∑ c_{pc}T \frac{dq_{c}}{dt} (A.67)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 29} となる. 但し

ĉ_{p} = q_{d}c_{pd} + ∑ q_{v}c_{pv} + ∑ q_{c}c_{pc}  (A.68)

と置いた. (A.65) を (A.67) に代入し, ĉ_{p}dT/dt について整理すると,

ĉ_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{ρ} (\frac{dp}{dt} − ∇ · F^{rad} − ∇ · F^{therm} + ε)
−c_{pd}T \frac{dq_{d}}{dt} − ∑ (c_{pv}T + L_{00}) \frac{dq_{v}}{dt} − ∑ c_{pc}T \frac{dq_{c}}{dt}  (A.69)

雨粒又は氷粒の存在を無視する場合, 比湿の時間発展方程式は

\frac{dq_{d}}{dt} = \frac{1}{ρ}D_{ρ_{d}},  (A.70)
\frac{dq_{v}}{dt} = \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{v}},  (A.71)
\frac{dq_{c}}{dt} = −\frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) + \frac{1}{ρ}D_{ρ_{c}},  (A.72)

と表される. D_{ρ_{d}}, D_{ρ_{v}}, D_{ρ_{c}} はそれぞれ

D_{ρ_{d}} = −∇ · i_{d},  (A.73)
D_{ρ_{v}} = −∇ · i_{v},  (A.74)
D_{ρ_{c}} = 0  (A.75)

と表されるので, (A.70), (A.71), (A.72) は

\frac{dq_{d}}{dt} = −\frac{1}{ρ}∇ · i_{d},  (A.76)
\frac{dq_{v}}{dt} = \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) − \frac{1}{ρ}∇ · i_{v},  (A.77)
\frac{dq_{c}}{dt} = −\frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v})  (A.78)

となる. (A.76), (A.77), (A.78) を (A.69) に代入すると,

ĉ_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{ρ} (\frac{dp}{dt} − ∇ · F^{rad} − ∇ · F^{therm} + ε)

+\frac{1}{ρ}c_{pd}T ∇ · i_{d} − \frac{1}{ρ} ∑ (c_{pv}T + L_{00}) [M_{src}(ρ_{v}) − ∇ · i_{v}]

+\frac{1}{ρ} ∑ c_{pc}T M_{src}(ρ_{v})  (A.79)

となる. i_{d}, i_{v} に関して

i_{d} + ∑ i_{v} = 0  (A.80)
i_{v} = −ρD_{v} (∇q_{v} + \frac{k_{T}}{T} ∇T + \frac{k_{p}}{p} ∇p)  (A.81)
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が成り立つ. 但し D_{v}, k_{T}, k_{p} はそれぞれ拡散係数, 熱拡散比, barodiffusion 係数である. q_{v} → 0 又は q_{v} → 1 の極限において k_{T}, k_{p} はゼロに収束することが知られている. 即ち,

i_{v} ≃ −ρD_{v}∇q_{v}  (A.82)

となる. (A.60) 及び (A.82) を用いて, (A.79) から F^{therm}, i_{d}, i_{v} を消去すると,

ĉ_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{rad} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{therm} + \frac{ε}{ρ}

+\frac{1}{ρ}c_{pd}T ∇ · i_{d} + \frac{1}{ρ} ∑ (c_{pv}T + L_{00}) ∇ · i_{v}

−\frac{1}{ρ} ∑ [L_{00} + (c_{pv} − c_{pc}) T] M_{src}(ρ_{v})

= \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{rad} + \frac{ε}{ρ}

−\frac{1}{ρ}∇ · [c_{pd}T i_{d} + ∑ (c_{pv}T + L_{00}) i_{v} − κ∇T ]

+\frac{1}{ρ}c_{pd}T ∇ · i_{d} + \frac{1}{ρ} ∑ (c_{pv}T + L_{00}) ∇ · i_{v}

−\frac{1}{ρ} ∑ LM_{src}(ρ_{v})

= \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{rad} + \frac{ε}{ρ} + \frac{1}{ρ}∇ · (κ∇T)

−\frac{1}{ρ}i_{d} · ∇ (c_{pd}T) − \frac{1}{ρ} ∑ i_{v} · ∇ (c_{pv}T + L_{00}) − \frac{1}{ρ} ∑ LM_{src}(ρ_{v})

= \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{rad} + \frac{ε}{ρ} + \frac{1}{ρ}∇ · (κ∇T)

+\frac{1}{ρ} ∑ i_{v} · ∇ (c_{pd}T) − \frac{1}{ρ} ∑ i_{v} · ∇ (c_{pv}T) − \frac{1}{ρ} ∑ LM_{src}(ρ_{v})

= \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{1}{ρ}∇ · F^{rad} + \frac{ε}{ρ} + \frac{1}{ρ}∇ · (κ∇T)

− ∑ D_{v}∇q_{v} · ∇ [(c_{pd} − c_{pv})T] − \frac{1}{ρ} ∑ LM_{src}(ρ_{v})

(A.83)

となる. ここで

ĉ_{p}Q_{rad} = −\frac{1}{ρ}∇ · F^{rad},  (A.84)
ĉ_{p}Q_{dis} = \frac{ε}{ρ},  (A.85)
ĉ_{p}Q_{cond} = −\frac{1}{ρ}LM_{src}(ρ_{v}),  (A.86)
ĉ_{p}D_{T} = \frac{1}{ρ}∇ · (κ∇T) − ∑ D_{v}∇q_{v} · ∇ [(c_{pd} − c_{pv})T]  (A.87)

と置くと,

ĉ_{p} \frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} = ĉ_{p} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + ĉ_{p}D_{T}  (A.88)

が得られる.

A.1.4 状態方程式の書き換え

(A.5), (A.6) より

p = p_{d} + ∑ p_{v}
= (ρ_{d}R_{d} + ∑ ρ_{v}R_{v}) T
= (ρ_{d} + ∑ ρ_{v}) \frac{q_{d}R_{d} + ∑ q_{v}R_{v}}{q_{d} + ∑ q_{v}} T.  (A.89)

ここで

⟨R⟩ ≡ \frac{q_{d}R_{d} + ∑ q_{v}R_{v}}{q_{d} + ∑ q_{v}}  (A.90)
ρ_{g} ≡ ρ_{d} + ∑ ρ_{v}  (A.91)

と置くと,

p = ρ_{g}⟨R⟩T  (A.92)

となる. 但し R_{d}, R_{v} はそれぞれ非凝結性ガスの気体定数, 凝結性ガスの気体定数である. ⟨R⟩ は気体定数の密度の重みつき平均であり, 本文書では平均気体定数と呼ぶことにする.

普遍気体定数を R_{∗} として,

⟨M⟩ ≡ \frac{R_{∗}}{⟨R⟩} = \frac{q_{d} + ∑ q_{v}}{q_{d}/M_{d} + ∑ q_{v}/M_{v}}  (A.93)

と置く. 但し M_{d}, M_{v} はそれぞれ非凝結性ガスの分子量, 凝結性ガスの分子量を表す. また ⟨M⟩ を平均分子量と呼ぶことにする. 本モデルでは ⟨R⟩, ⟨M⟩ を一定値とみなし, 以降 ⟨R⟩_{0}, ⟨M⟩_{0} と書くことにする. ここで

T_{v} ≡ (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q_{v}) T  (A.94)

を導入すると,

p = ρ_{g}⟨R⟩T
≃ ρ_{g}⟨R⟩_{0}T
= ρ⟨R⟩_{0} \frac{ρ_{g}⟨R⟩_{0}}{ρ⟨R⟩_{0}} T
= ρ⟨R⟩_{0} \frac{ρ_{d}R_{d} + ∑ ρ_{v}R_{v}}{ρ⟨R⟩_{0}} T
= ρ⟨R⟩_{0} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q_{v}) T
= ρ⟨R⟩_{0}T_{v}  (A.95)

と近似される^{1}. 更に温位

θ ≡ T (\frac{p_{0}}{p} )^{\frac{⟨R⟩_{0}}{⟨cp⟩_{0}}}  (A.96)

及びエクスナー関数

Π ≡ \frac{T}{θ} = (\frac{p}{p_{0}} )^{\frac{⟨R⟩_{0}}{⟨cp⟩_{0}}}  (A.97)

並びに

θ_{v} ≡ \frac{T_{v}}{Π} = (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q_{v}) θ  (A.98)

を導入すると,

p = ρ⟨R⟩_{0}Πθ_{v}  (A.99)

となる. ここで

⟨c_{p}⟩ = \frac{q_{d}c_{pd} + ∑ q_{v}c_{pv}}{q_{d} + ∑ q_{v}}  (A.100)

であり, 本文書では ⟨c_{p}⟩ を平均定圧比熱と呼ぶことにする. c_{pd}, c_{pv} はそれぞれ非凝結性ガスの定圧比熱, 凝結性ガスの定圧比熱を表す. また本モデルでは ⟨c_{p}⟩ を一定値とみなし, ⟨c_{p}⟩_{0} と表すことにする. (A.99) に (A.97) を代入して p を消去し, ρ について整理すると,

ρ = \frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩_{0}}}{⟨R⟩_{0}θ_{v}} = \frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩_{0}}}{⟨R⟩_{0} (q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}) θ}  (A.101)

となる.

1(A.95) で行なった近似の精度については現在調査中である.

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A.1.5 熱力学第一法則の書き換え – 温位の式の導出 –

(A.4) において, 凝結物が気体に比べて十分少なく, q_{d}c_{pd} ≫ q_{c}c_{pc}, q_{d}c_{pv} ≫ q_{c}c_{pc} が成り立つとすると, ĉ_{p} ≈ ⟨c_{p}⟩ となるので,

⟨c_{p}⟩\frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} ≈ ⟨c_{p}⟩ (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})  (A.102)

と近似される. 平均定圧比熱を定数で近似すると,

⟨c_{p}⟩_{0} \frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} ≈ ⟨c_{p}⟩_{0} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})  (A.103)

となる. さらに凝結物は全密度に比べて十分小さいとみなすと,

⟨c_{p}⟩_{0} \frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ_{g}} \frac{dp}{dt} ≈ ⟨c_{p}⟩_{0} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})  (A.104)

と近似される. θ のラグランジュ微分をとると,

\frac{dθ}{dt} = (\frac{p_{0}}{p} )^{\frac{⟨R⟩_{0}}{⟨cp⟩}} \frac{dT}{dt} − \frac{⟨R⟩_{0}}{⟨c_{p}⟩_{0}} \frac{T}{p} (\frac{p_{0}}{p} )^{\frac{⟨R⟩_{0}}{⟨cp⟩}} \frac{dp}{dt}
= \frac{θ}{⟨c_{p}⟩_{0}T} (⟨c_{p}⟩_{0} \frac{dT}{dt} − \frac{1}{ρ_{g}} \frac{dp}{dt})
= \frac{Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}}{Π}  (A.105)

となる. 但し式変形の途中で p = ρ_{g}⟨R⟩_{0}T を用いた. 乱流拡散を考慮すると,

\frac{dθ}{dt} = \frac{1}{Π} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}  (A.106)

が得られる.

予報変数として温位を用いる際には平均気体定数, 平均定圧比熱があまり大きく変化することを許容しないことを前提とするので, 計算の適用範囲に制約が加わることに常に注意しなければならない.

A.1.6 相当温位の導出

(A.106), (A.17) において, 放射加熱・散逸加熱・乱流拡散・雲粒落下を無視すると,

dθ = \frac{1}{Π}Q_{cond} = − ∑ \frac{L}{Π⟨c_{p}⟩_{0}} M_{src}(ρ_{v}),  (A.107)
dq_{v} = \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v})  (A.108)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 34} となる. ここで dq_{v}/q_{v} ≫ dΠ/Π であると仮定すると^{2}, (A.107), (A.108) より

dθ ≃ ∑ \frac{Lq_{v}}{Π⟨c_{p}⟩}_{0}  (A.109)

となる. (A.109) において

θ_{e} = θ + ∑ \frac{Lq_{v}}{Π⟨c_{p}⟩}_{0}  (A.110)

と置くと, θ_{e} は近似的に保存量となる.

A.1.7 圧力方程式の導出

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. (A.101) のラグランジュ微分をとると,

\frac{dρ}{dt} = \frac{d}{dt} [\frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩}}{⟨R⟩_{0} (q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}) θ} ]
= \frac{p_{0}Π^{(⟨c_{v}⟩_{0}−1)/⟨R⟩}}{⟨R⟩_{0} (q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}) θ} \frac{⟨c_{v}⟩_{0}}{⟨R⟩_{0}} \frac{dΠ}{dt}

−\frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩}}{⟨R⟩_{0} (q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}) θ^{2}} \frac{dθ}{dt}

−\frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩_{0}/⟨R⟩}}{⟨R⟩_{0} (q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v})^{2} θ} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} )

= ⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v} (\frac{⟨c_{v}⟩_{0}}{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}Πθ_{v}} ) ρ\frac{dΠ}{dt} − \frac{ρ}{θ} \frac{dθ}{dt}

−\frac{ρ}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} )

= \frac{⟨c_{p}⟩_{0}ρθ_{v}}{⟨c_{s}⟩^{2}} \frac{dΠ}{dt} − \frac{ρ}{θ} \frac{dθ}{dt}
−\frac{ρ}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} ) . (A.111)

となる. ここで ⟨c_{s}⟩ は音速であり,

⟨c_{s}⟩^{2} = \frac{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{⟨c_{v}⟩_{0}}  (A.112)

2地球大気ではこの近似が成立するとされているが, 他の惑星大気で成立するかどうかは常に確かめる必要がある.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 35} である. (A.111) に (A.11) を適用すると,

\frac{dΠ}{dt} = \frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [\frac{1}{ρ} \frac{dρ}{dt} + \frac{1}{θ} \frac{dθ}{dt}

+\frac{1}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} ) ]

= \frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [ − \frac{∂u_{j}}{∂x_{j}} + \frac{1}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{θ} \frac{dθ}{dt}

+\frac{1}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} ) ] (A.113)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.1.8 運動方程式の書き換え

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. (A.97), (A.99) より

\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂x_{i}} = \frac{⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{p} \frac{∂ (p_{0}Π^{⟨c_{p}⟩/⟨R⟩_{0}})}{∂x_{i}}
= \frac{⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{p} (\frac{p_{0}c_{p}_{d}}{R_{d}} Π^{⟨c_{p}⟩/⟨R⟩_{0}−1}) \frac{∂Π}{∂x_{i}}
= \frac{⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{p} (\frac{⟨c_{p}⟩}{⟨R⟩_{0}} pΠ^{−1}) \frac{∂Π}{∂x_{i}}
= ⟨c_{p}⟩θ_{v} \frac{∂Π}{∂x_{i}}

(A.114)

となる. 以上より

\frac{du}{dt} = −⟨c_{p}⟩θ_{v} \frac{∂Π}{∂x} + D_{u}  (A.115)
\frac{dv}{dt} = −⟨c_{p}⟩θ_{v} \frac{∂Π}{∂y} + D_{v}  (A.116)
\frac{dw}{dt} = −⟨c_{p}⟩θ_{v} \frac{∂Π}{∂z} − g + D_{w}  (A.117)

が得られる.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 36}

A.1.9 温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w を予報変数とする

場合の方程式系

以上より, 3 次元大気の状態を温位 θ, エクスナー関数 Π, 風速 u, v, w, 密度 ρ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 運動方程式

\frac{du}{dt} = −⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v} \frac{∂Π}{∂x} + D_{u}  (A.118)
\frac{dv}{dt} = −⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v} \frac{∂Π}{∂y} + D_{v}  (A.119)
\frac{dw}{dt} = −⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v} \frac{∂Π}{∂z} − g + D_{w}  (A.120)

圧力方程式

\frac{∂Π}{∂t} = \frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [ − \frac{∂u_{j}}{∂x_{j}} + \frac{1}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{θ} \frac{dθ}{dt}

+\frac{1}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \frac{dq_{d}}{dt} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \frac{dq_{v}}{dt} ) ]

(A.121)

状態方程式

ρ = \frac{p}{⟨R⟩_{0}Πθ_{v}} = \frac{p_{0}Π^{⟨c_{v}⟩/⟨R⟩_{0}}}{⟨R⟩θ_{v}}  (A.122)

熱の式

\frac{dθ}{dt} = \frac{1}{Π} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}  (A.123)

凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式

\frac{dq_{v}}{dt} = −\frac{q_{v}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{v}) + D_{q_{v}}  (A.124)
\frac{dq_{c}}{dt} = −\frac{q_{c}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{c}) + D_{q_{c}}  (A.125)
\frac{dq_{r}}{dt} = −\frac{q_{r}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{ρ}M_{src}(ρ_{r}) + D_{q_{r}} (A.126)

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ただし, エクスナー関数 Π は,

Π ≡ (\frac{p}{p_{0}} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{p}⟩_{0}}  (A.127)

であり, 音速 ⟨c_{s}⟩ は

⟨c_{s}⟩^{2} = \frac{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}Πθ_{v}}{⟨c_{v}⟩_{0}}  (A.128)

である.

A.2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

u(x, z, t) = u′(x, z, t),
v(x, z, t) = v′(x, z, t),
w(x, z, t) = w′(x, z, t),
θ(x, z, t) = \overline{θ}(z) + θ′(x, z, t),
Π(x, z, t) = \overline{Π}(z) + Π′(x, z, t),
q_{d}(x, z, t) = \overline{q_{d}}(z) + q_{d}′(x, z, t),
q_{v}(x, z, t) = \overline{q_{v}}(z) + q_{v}′(x, z, t),
q_{c}(x, z, t) = q_{c}′(x, z, t),
q_{r}(x, z, t) = q_{r}′(x, z, t).

ここで基本場の風速 w と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場には静水圧平衡

\frac{∂Π̄}{∂z} = −\frac{g}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}}  (A.129)

の関係が成り立つものとする.

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 38}

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

\frac{∂u′}{∂t} = − [u′ \frac{∂u′}{∂x} + v′ \frac{∂u′}{∂y} + w′ \frac{∂u′}{∂z} ]

−⟨c_{p}⟩_{0} (θ̄_{v} \frac{∂Π̄}{∂x} + θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂x} + θ_{v}′ \frac{∂Π̄}{∂x} + θ_{v}′ \frac{∂Π′}{∂x} ) + D_{u}

\frac{∂v′}{∂t} = − [u′ \frac{∂v′}{∂x} + v′ \frac{∂v′}{∂y} + w′ \frac{∂v′}{∂z} ]

−⟨c_{p}⟩_{0} (θ̄_{v} \frac{∂Π̄}{∂y} + θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂y} + θ_{v}′ \frac{∂Π̄}{∂y} + θ_{v}′ \frac{∂Π′}{∂y} ) + D_{v}.

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は x 方向には変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.

\frac{∂u′}{∂t} = −u′ \frac{∂u′}{∂x} − v′ \frac{∂u′}{∂y} − w′ \frac{∂u′}{∂z}
−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂x} + D_{u}  (A.130)
\frac{∂v′}{∂t} = −u′ \frac{∂v′}{∂x} − v′ \frac{∂v′}{∂y} − w′ \frac{∂v′}{∂z}
−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂y} + D_{v}.  (A.131)

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

\frac{∂w′}{∂t} = − [u′ \frac{∂w′}{∂x} + v′ \frac{∂w′}{∂y} + w′ \frac{∂w′}{∂z} ]

−⟨c_{p}⟩_{0} (θ̄_{v} \frac{∂Π̄}{∂z} + θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂z} + θ_{v}′ \frac{∂Π̄}{∂z} + θ_{v}′ \frac{∂Π′}{∂z} )

−g + D_{w′}

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.

\frac{∂w′}{∂t} = −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z}

−⟨c_{p}⟩_{0} (θ̄_{v} \frac{∂Π̄}{∂z} + θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂z} + θ_{v}′ \frac{∂Π̄}{∂z}) − g + D_{w′}.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 39} さらに静水圧の式

\frac{∂\overline{Π}}{∂z} = −\frac{g}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}}  (A.132)

を利用すると以下のようになる.

\frac{∂w′}{∂t} = −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z}

+⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v} (\frac{g}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} ) − ⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂z} + ⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}′ (\frac{g}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} ) − g + D_{w′}

= −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z} − ⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v} \frac{∂Π′}{∂z} + \frac{θ_{v}′}{θ̄_{v}} g + D_{w′}

仮温位

θ_{v} ≡ \frac{T_{v}}{Π} = (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q_{v}) θ  (A.133)

を基本場成分と擾乱成分に分けると,

θ̄_{v} = (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q̄_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q̄_{v}) θ̄
= [1 + ∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) \overline{q_{v}}] θ̄  (A.134)
θ′_{v} = (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} \overline{q_{d}} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} \overline{q_{v}}) θ′ + (\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} q′_{d} + ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} q′_{v}) \overline{θ}
= [1 + ∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) \overline{q_{v}}] θ′
+ [∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) q′_{v} − ∑ (q′_{c} + q′_{r})] \overline{θ}  (A.135)

となるので, 浮力項は

\frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} g = \frac{θ′}{\overline{θ}} g + \frac{∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) q′_{v} − ∑ (q′_{c} + q′_{r})}{1 + ∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) \overline{q_{v}}}g  (A.136)

と書き換えられる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は

\frac{∂w′}{∂t} = −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z}
−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂z} + \frac{θ′}{\overline{θ}} g + \frac{∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) q′_{v} − ∑ (q′_{c} + q′_{r})}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}g + D_{w′}(A.137)

となる.

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A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない. (A.113) に (A.16), (A.17) を代入すると,

\frac{dΠ}{dt} = \frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [ − \frac{∂u_{j}}{∂x_{j}} + \frac{1}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + \frac{1}{θ} \{\frac{1}{Π}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{q_{d}⟨M⟩_{0}/M_{d} + ∑ q_{v}⟨M⟩_{0}/M_{v}} \{\frac{⟨M⟩_{0}}{M_{d}} (−\frac{q_{d}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + D_{q_{d}})

+ ∑ \frac{⟨M⟩_{0}}{M_{v}} (−\frac{q_{v}}{ρ} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) + M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}) \}]

= \frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [ − \frac{∂u_{j}}{∂x_{j}} + \frac{1}{θ} \{\frac{1}{Π}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}
+\frac{1}{q_{d} + M_{d} ∑ q_{v}/M_{v}} \{D_{q_{d}} + M_{d} ∑ \frac{1}{M_{v}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]  (A.138)

となる. (A.138) の左辺を線形化すると,

\frac{dΠ}{dt} = \frac{∂Π̄ + Π′}{∂t} + u′ \frac{∂Π̄ + Π′}{∂x} + v′ \frac{∂Π̄ + Π′}{∂y} + w′ \frac{∂Π̄ + Π′}{∂z}
≈ \frac{∂Π′}{∂t} + w′ \frac{∂Π̄}{∂z}

となる. 乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと, 圧力方程式を線形化したときの ⟨c_{s}⟩^{2}, 及び θ_{v} からの寄与は基本場成分のみとなる. 従って (A.138) の右辺を線形化すると,

\frac{⟨c_{s}⟩^{2}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ_{v}} [ − \frac{∂u_{j}}{∂x_{j}} + \frac{1}{θ} \{\frac{1}{Π}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{q_{d} + M_{d} ∑ q_{v}/M_{v}} \{D_{q_{d}} + M_{d} ∑ \frac{1}{M_{v}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

≈ \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [ − \frac{∂uj^{′}}{∂x_{j}} + \frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{\overline{q_{d}} + M_{d} ∑ \overline{q_{v}}/M_{v}} \{D_{q_{d}} + M_{d} ∑ \frac{1}{M_{v}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

= \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [ − \frac{∂uj^{′}}{∂x_{j}} + \frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 41} となる. ここで\overline{q_{d}} + \overline{q_{v}} = 1, D_{q_{d}} + D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}} = 0 となることを用いた. また

\overline{⟨c_{s}⟩^{2}} = \frac{⟨c_{p}⟩_{0}⟨R⟩_{0}Π̄θ̄_{v}}{⟨c_{v}⟩_{0}}

である. 従って線形化された圧力方程式は

\frac{∂Π′}{∂t} = −w′ \frac{∂Π̄}{∂z} − \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} \frac{∂uj^{′}}{∂x_{j}}

+\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

(A.139)

と表される. (A.139) の右辺第 1 項, 第 2 項をまとめると,

−w′ \frac{∂Π̄}{∂z} − \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} \frac{∂uj^{′}}{∂x_{j}}

= −w′ \frac{∂}{∂z} (\frac{ρ̄⟨R⟩_{0}θ̄_{v}}{p_{0}} )^{⟨R⟩_{0}/⟨c_{v}⟩_{0}} − \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} (\frac{∂u′}{∂x} + \frac{∂w′}{∂z} )
= −w′ \frac{⟨R⟩_{0}}{⟨c_{v}⟩}_{0}Π̄\frac{1}{(\frac{ρ̄⟨R⟩_{0}θ̄_{v}}{p_{0}} )} \frac{⟨R⟩_{0}}{p_{0}} \frac{∂(ρ̄θ̄_{v})}{∂z} − \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}θ̄_{v}} (\frac{∂u′}{∂x} + \frac{∂w′}{∂z} )
= −\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}ρ̄θ̄_{v}^{2}} \{w′ \frac{∂(ρ̄θ̄_{v})}{∂z} + ρ̄θ̄_{v} (\frac{∂u′}{∂x} + \frac{∂w′}{∂z} )\}
= −\frac{\overline{c_{s}^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}ρ̄θ̄_{v}^{2}} ∇· (ρ̄θ̄_{v}u′)

以上より,

\frac{∂Π′}{∂t} = −\frac{\overline{c_{s}^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}ρ̄θ̄_{v}^{2}} ∇· (ρ̄θ̄_{v}u′)

+\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

(A.140)

である.

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 42}

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

\frac{∂(θ̄ + θ′)}{∂t} = −u′ \frac{∂(θ̄ + θ′)}{∂x} − v′ \frac{∂(θ̄ + θ′)}{∂y} − w′ \frac{∂(θ̄ + θ′)}{∂z}

+\frac{1}{Π̄ + Π′} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + Dθ̄ + D_{θ′}

ここで平均場の量は z の関数であることを用いると,

\frac{∂θ′}{∂t} = − (u′ \frac{∂θ′}{∂x} + v′ \frac{∂θ′}{∂y} + w′ \frac{∂θ′}{∂z} ) − w′ \frac{∂θ̄}{∂z}
+\frac{1}{Π̄}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + Dθ̄ + D_{θ′}  (A.141)

となる.

A.2.6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに等しい.

\frac{∂q′_{v}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{v}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{v}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{v}}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{q_{v}}}{∂z}
−\frac{\overline{q_{v}}}{\overline{ρ}} ∑ M_{fall}(ρ′_{r}) + \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{v}) + D\overline{q_{v}} + D_{q′_{v}},  (A.142)
\frac{∂q′_{c}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{c}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{c}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{c}}{∂z}
+\frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{c}) + D_{q′_{c}},  (A.143)
\frac{∂q′_{r}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{r}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{r}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{r}}{∂z}
+\frac{1}{\overline{ρ}}M_{fall}(ρ′_{r}) + \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{r}) + D_{q′_{r}}.  (A.144)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.2.7 エネルギー方程式の導出

準圧縮方程式系におけるエネルギー方程式を導出する.

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

(A.130), (A.131), (A.137) にそれぞれ\overline{ρ}u′, \overline{ρ}v′, \overline{ρ}w′ を掛けて足し合わせると

\frac{∂(\overline{ρ}K)}{∂t} = −\overline{ρ}u · ∇K − ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}u · ∇Π′ + \overline{ρ}u · D + g \frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} \overline{ρ}w′ (A.145)

となる. 但し u = (u′, v′, w′), D = (D_{u}, D_{v}, D_{w}), K = [u′^{2} + v′^{2} + w′^{2}]/2 と置いた. 連続の式

\frac{∂ρ′_{d}}{∂t} + \frac{∂}{∂x} (u′\overline{ρ_{d}}) + \frac{∂}{∂z} (w′\overline{ρ_{d}}) = 0,  (A.146)
\frac{∂ρ′_{v}}{∂t} + \frac{∂}{∂x} (u′\overline{ρ_{v}}) + \frac{∂}{∂z} (w′\overline{ρ_{v}}) = M_{src}(ρ′_{v})  (A.147)

より

\frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ∑ ρ′_{v}) + ∇ · (\overline{ρ}u) = ∑ M_{src}(ρ′_{v})  (A.148)

となる. 但し\overline{ρ} = \overline{ρ_{d}} + ∑ \overline{ρ_{v}} であることを用いた. (A.148) を用いると, (A.145) の右辺第 1 項は

−\overline{ρ}u · ∇K = −∇ · (\overline{ρ}Ku) + K∇ · (\overline{ρ}u)
= −∇ · (\overline{ρ}Ku) − K \frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) + KM_{src}(ρ′_{v}) (A.149)

となる. また (A.140) を用いて (A.145) の右辺第 2 項を書き換えると

−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}u · ∇Π′ = −∇ · [⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′u] + ⟨c_{p}⟩_{0}Π′∇ · (\overline{ρ}\overline{θ_{v}}u)
= −∇ · [⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′u]

+Π′ \frac{⟨c_{p}⟩_{0}^{2}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}^{2}}{\overline{⟨c_{s}⟩}^{2}}

[ − \frac{∂Π′}{∂t} + \frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}} [\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}})

+ ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]]

= −∇ · [⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′u] − \frac{∂}{∂t} [\frac{\overline{ρ}}{2} \frac{⟨c_{p}⟩_{0}^{2}\overline{θ_{v}}^{2}Π′^{2}}{\overline{⟨c_{s}⟩}^{2}} ]

+⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′

[\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}})

+ ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]  (A.150)

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 44} となる. (A.148) より任意のスカラー量 ϕ について

\overline{ρ}\frac{dϕ}{dt} = \frac{∂}{∂t} (\overline{ρ}ϕ) + ∇ · (\overline{ρ}ϕu) + ϕ\frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ∑ ρ′_{v}) − ϕ ∑ M_{src}(ρ′_{v})  (A.151)

が成り立つ. (A.141) 及び (A.151) を用いて (A.145) の右辺第 4 項を書き換えると,

\frac{θ′}{\overline{θ}} \overline{ρ}w′ = \frac{θ′}{\overline{θ}} \overline{ρ}\frac{dz}{dt}
= \frac{\overline{ρ}}{\overline{θ}}θ′ \frac{d}{dt} (gz) + \frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [\frac{dθ′}{dt} + w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}]
= \frac{\overline{ρ}}{\overline{θ}} \frac{d}{dt} (θ′gz) + \frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}]
= \frac{1}{\overline{θ}} \frac{∂}{∂t} (\overline{ρ}θ′gz) + \frac{1}{\overline{θ}}∇ · (\overline{ρ}θ′gzu) + \frac{θ′gz}{\overline{θ}} [\frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) − ∑ M_{src}(ρ′_{v})]

+\frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}]

= \frac{1}{\overline{θ}} \frac{∂}{∂t} (\overline{ρ}θ′gz) + ∇ · (\frac{\overline{ρ}θ′gzu}{\overline{θ}}) + \frac{\overline{ρ}θ′gzw′}{\overline{θ}^{2}} \frac{∂\overline{θ}}{∂z}

+\frac{θ′gz}{\overline{θ}} [\frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) − ∑ M_{src}(ρ′_{v})]

+\frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}] ,  (A.152)
\frac{\overline{ρ}g}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} q′_{v} = \frac{∂}{∂t} [\frac{q′_{v}\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ] + ∇ · [\frac{q′_{v}\overline{ρ}gzu}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

−q′_{v}gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

+gz [w′ \frac{∂\overline{q_{v}}}{∂z} + \frac{\overline{q_{v}}}{\overline{ρ}} ∑ M_{fall}(ρ_{r}) − \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(q_{v}) − D_{q_{v}}]

(A.153)

\frac{\overline{ρ}g}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} q′_{c} = \frac{∂}{∂t} [\frac{q′_{c}\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ] + ∇ · [\frac{q′_{c}\overline{ρ}gzu}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

−q′_{c}gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

+gz [−\frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(q_{c}) − D_{q_{c}}]

(A.154)

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

\frac{\overline{ρ}g}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} q′_{r} = \frac{∂}{∂t} [\frac{q′_{r}\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ] + ∇ · [\frac{q′_{r}\overline{ρ}gzu}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

−q′_{r}gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

+gz [−\frac{1}{\overline{ρ}}M_{fall}(ρ_{r}) − \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(q_{r}) − D_{q_{r}}]

(A.155)

(A.149), (A.150), (A.152), (A.153), (A.154), (A.155) より (A.145) は以下のように書き換えられる.

\frac{∂}{∂t} \{\overline{ρ} [K − \frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} gz + \frac{1}{2} (\frac{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}Π′}{\overline{⟨c_{s}⟩}} )^{2}]\} + ∇ · [\overline{ρ} (K − \frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} gz + ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}Π′) u]

= −K \frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) + \overline{ρ}u · D + KM_{src}(ρ′_{v})

+⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′

[\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

+ [− ∑(q′_{v} + q′_{c} + q′_{r}) + ∑(R_{v}/R_{d})q′_{v}] ∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ]

−θ′gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{\overline{θ}}]

+\frac{\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}

[ \{w′ ∑ (−1 + R_{v}/R_{d}) \frac{∂q_{v}}{∂z} \} + (∑ \frac{\overline{q_{v}}R_{v}}{\overline{ρ}R_{d}} ) (∑ M_{fall}(ρ_{r}))

+ ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) − ∑ R_{v}D_{q_{v}}/R_{d}]

+\frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂θ}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}]  (A.156)

計算領域として矩形領域を想定し, 鉛直方向の境界からの流出は無く, 水平境界の両端では周期的であるとすると, 計算領域境界面でのフラックスはゼロとなる. 従って (A.156) を全計算領域にわたって積分すると,

\frac{∂}{∂t} ∫ \{\overline{ρ} [K − \frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} gz + \frac{1}{2} (\frac{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}Π′}{\overline{⟨c_{s}⟩}} )^{2}]\} dV

= − ∫ K \frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) dV + ∫ \overline{ρ}u · DdV + ∫ KM_{src}(ρ′_{v})dV

+ ∫ ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′

[\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]dV

+ ∫ [− ∑(q′_{v} + q′_{c} + q′_{r}) + ∑(R_{v}/R_{d})q′_{v}] ∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ] dV

− ∫ θ′gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{\overline{θ}}] dV

+ ∫ \frac{\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}

[ \{w′ ∑ (−1 + R_{v}/R_{d}) \frac{∂q_{v}}{∂z} \} + (∑ \frac{\overline{q_{v}}R_{v}}{\overline{ρ}R_{d}} ) (∑ M_{fall}(ρ_{r}))

+ ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) − ∑ R_{v}D_{q_{v}}/R_{d}]dV

+ ∫ \frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂θ}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}] dV  (A.157)

となり, 準圧縮方程式に関するエネルギー方程式が得られる.

(A.157) の左辺は全エネルギーの時間変化を表している. 左辺の被積分関数の第 1 項, 第 2 項, 第 3 項はそれぞれ運動エネルギー, 浮力による位置エネルギー, 弾性エネルギー (熱エネルギー) を表す. 右辺第 1 項, 第 5 項, 第 6 項は準圧縮近似によって現れる項であり, 一般にゼロとなることはない. 右辺第 2 項は運動量の乱流拡散, 第 3 項は凝結, 第 4 項は非断熱加熱と乱流拡散, 第 7 項は蒸気の勾配・雲粒落下・水蒸気拡散, 第 8 項は温位勾配・非断熱加熱を表す. 非断熱加熱や乱流拡散や基本場の空間変化が存在しなかったとしても, 右辺がゼロとなることは無い. 即ち, 準圧縮方程式では全エネルギーが保存されることはない.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 A 準圧縮方程式系の導出 47} 運動方程式

\frac{∂u′}{∂t} = −u′ \frac{∂u′}{∂x} − v′ \frac{∂u′}{∂y} − w′ \frac{∂u′}{∂z}
−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂x} + D_{u}  (A.158)
\frac{∂v′}{∂t} = −u′ \frac{∂v′}{∂x} − v′ \frac{∂v′}{∂y} − w′ \frac{∂v′}{∂z}
−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂y} + D_{v}.  (A.159)
\frac{∂w′}{∂t} = −u′ \frac{∂w′}{∂x} − v′ \frac{∂w′}{∂y} − w′ \frac{∂w′}{∂z}

−⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}} \frac{∂Π′}{∂z} + \frac{θ′}{\overline{θ}} g + \frac{∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) q′_{v} − ∑ (q′_{c} + q′_{r})}{1 + ∑ (−1 + \frac{R_{v}}{R_{d}} ) \overline{q_{v}}}g + D_{w′}

(A.160)

圧力方程式

\frac{∂Π′}{∂t} = −\frac{\overline{⟨c_{s}⟩^{2}}}{⟨c_{p}⟩_{0}ρ̄θ̄_{v}^{2}} ∇· (ρ̄θ̄_{v}u′)

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}

\{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]

(A.161)

熱の式

\frac{∂θ′}{∂t} = −u′ \frac{∂θ′}{∂x} − v′ \frac{∂θ′}{∂y} − w′ \frac{∂θ′}{∂z} − w′ \frac{∂θ̄}{∂z}
+\frac{1}{Π̄}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + Dθ̄ + D_{θ′}  (A.162)

比湿の保存式

\frac{∂q′_{v}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{v}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{v}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{v}}{∂z} − w′ \frac{∂\overline{q_{v}}}{∂z}
−\frac{\overline{q_{v}}}{\overline{ρ}} ∑ M_{fall}(ρ′_{r}) + \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{v}) + D\overline{q_{v}} + D_{q′_{v}}, (A.163)
\frac{∂q′_{c}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{c}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{c}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{c}}{∂z}

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

+\frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{c}) + D_{q′_{c}},  (A.164)
\frac{∂q′_{r}}{∂t} = −u′ \frac{∂q′_{r}}{∂x} − v′ \frac{∂q′_{r}}{∂y} − w′ \frac{∂q′_{r}}{∂z}
+\frac{1}{\overline{ρ}}M_{fall}(ρ′_{r}) + \frac{1}{\overline{ρ}}M_{src}(ρ′_{r}) + D_{q′_{r}}.  (A.165)

エネルギー方程式

\frac{∂}{∂t} ∫ \{\overline{ρ} [K − \frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} gz + \frac{1}{2} (\frac{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{θ_{v}}Π′}{\overline{⟨c_{s}⟩}} )^{2}]\} dV

= − ∫ K \frac{∂}{∂t} (ρ′_{d} + ρ′_{v}) dV + ∫ \overline{ρ}u · DdV + ∫ KM_{src}(ρ′_{v})dV

+ ∫ ⟨c_{p}⟩_{0}\overline{ρ}\overline{θ_{v}}Π′

[\frac{1}{\overline{θ}} \{\frac{1}{\overline{Π}}(Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) + D_{θ}\}

+\frac{1}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} \{ − ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} [M_{src}(q_{v}) + D_{q_{v}}] \}]dV

+ ∫ [− ∑(q′_{v} + q′_{c} + q′_{r}) + ∑(R_{v}/R_{d})q′_{v}] ∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}} ] dV

− ∫ θ′gz∇ · [\frac{\overline{ρ}u}{\overline{θ}}] dV

+ ∫ \frac{\overline{ρ}gz}{1 + ∑ (\frac{R_{v}}{R_{d}} − 1) \overline{q_{v}}}

[ \{w′ ∑ (−1 + R_{v}/R_{d}) \frac{∂q_{v}}{∂z} \} + (∑ \frac{\overline{q_{v}}R_{v}}{\overline{ρ}R_{d}} ) (∑ M_{fall}(ρ_{r}))

+ ∑(D_{q_{v}} + D_{q_{c}} + D_{q_{r}}) − ∑ R_{v}D_{q_{v}}/R_{d}]dV

+ ∫ \frac{\overline{ρ}gz}{\overline{θ}} [w′ \frac{∂θ}{∂z} − \frac{1}{\overline{Π}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) − D_{θ}] dV  (A.166)

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 B 乱流パラメタリゼーション 49}

付録B 乱流パラメタリゼーション

B.1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロージャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

\frac{dE_{turb}}{dt} = B + S + D_{E} − (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}  (B.1)

と与えられる. l は混合距離で, l = (ΔxΔyΔz)^{1/3} とする. B と S はそれぞれ浮力と流れの変形速度による乱流エネルギー生成項, D_{E} は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流エネルギーの消散項であり,

B = \frac{g_{j}}{\overline{θ_{v}}} \overline{u′_{j}θ′_{v}},  (B.2)
S = −\overline{(u′_{i}u′_{j})}\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} ,  (B.3)
D_{E} = \frac{∂}{∂x_{j}} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂x_{j}} )  (B.4)

である. ここで

\frac{θ′_{v}}{\overline{θ_{v}}} = \frac{θ′}{\overline{θ}} + \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} q′_{v} − ∑ q′_{L}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}  (B.5)
q_{L} = q_{v} + q_{c} + q_{r}  (B.6)

である. 1.5 次のクロージャーでは速度の 2 次相関量を以下のように表す.

\overline{(u′_{i}u′_{j})} = −K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) + \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb},  (B.7)

また, q_{c} = 0 の場合,

\overline{(u′_{i}θ)} = −K_{h} \frac{∂θ}{∂x_{j}}  (B.8)

\overline{(u′_{i}q_{v})} = −K_{h} \frac{∂q_{v}}{∂x_{j}}  (B.9)
\overline{(u′_{i}q_{L})} = 0 − K_{h} \frac{∂q_{L}}{∂x_{j}}  (B.10)

と表し, q_{c} > 0 の場合,

\overline{(u′_{i}θ)} = −K_{h} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1} \frac{∂θ_{e}}{∂x_{j}}  (B.11)

\overline{(u′_{i}q_{v})} = −K_{h} \frac{L\overline{q_{v}}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1} \frac{∂θ_{e}}{∂x_{j}}  (B.12)
\overline{(u′_{i}q_{L})} = −K_{h} \frac{∂q_{L}}{∂x_{j}}  (B.13)

と表す. ここで K_{m} は運動量に対する渦粘性係数, E_{turb} はサブグリッドスケールの乱流運動エネルギー, K_{h} は渦拡散係数, θ_{e} は相当温位である. K_{m}, K_{h} は E_{turb} を用いて以下のように与えられる.

K_{m} = C_{m}E_{turb}^{1/2}l,  (B.14)
K_{h} = 3K_{m}.  (B.15)

パラメータ C_{ε}, C_{m} はともに 0.2 である.

B.1.1 乱流運動エネルギー方程式の導出 (雲が存在しない場合)

Klemp and Wilhelmson (1978) では (B.1) について, 「Deardorff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭である. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿って式 (B.1), (B.7), (B.8) – (B.10) の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散係数などの物理定数は一定とする. またサブグリッドスケール内での放射の影響は考慮しない. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

\frac{∂\overline{u′_{i}u′_{j}}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{k}} [u_{k}\overline{u′_{i}u′_{j}} + \overline{u′_{k}u′_{i}u′_{j}} − ν \frac{∂}{∂x_{k}} \overline{u′_{i}u′_{j}}]
+ \frac{∂}{∂x_{j}} \overline{pu′_{i}} + \frac{∂}{∂x_{i}} \overline{pu′_{j}} + f_{k}(ε_{jkl}\overline{u′_{l}u′_{i}} + ε_{ikl}\overline{u′_{l}u′_{j}})

= −\overline{u′_{k}u′_{i}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} − \overline{u′_{k}u′_{j}} \frac{∂u_{i}}{∂x_{k}} − \overline{θ_{v}}^{−1}(g_{j}\overline{u′_{i}θ_{v}} + g_{i}\overline{u′_{j}θ_{v}})
+ \overline{p (\frac{∂u′_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u′_{j}}{∂x_{i}} )} − 2ν \overline{\frac{∂u′_{i}}{∂x_{k}} \frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}}} ,  (B.16)

\frac{∂\overline{u′_{j}θ′}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{k}} [u_{k}\overline{θ′u′_{j}} + \overline{u′_{k}u′_{j}θ′} − α\overline{u′_{j} \frac{∂θ′}{∂x_{k}}} − ν\overline{θ′ \frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}}} ] + \frac{∂}{∂x_{j}} \overline{pθ′} + ε_{jkl}f_{k}\overline{u′_{l}θ′}
= −\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂θ}{∂x_{k}} − \overline{θ′u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} − \overline{θ_{v}}^{−1}g_{j}\overline{(θ′)^{2}} + \overline{p\frac{∂θ′}{∂x_{j}}} − (α + ν)\overline{\frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}} \frac{∂θ′}{∂x_{k}}} . (B.17)

および, (B.16) において i = j とした式

\frac{∂q^{2}}{∂t} + u_{k} \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} + \frac{∂}{∂x_{k}} (\overline{u′_{k}u′_{j}u′_{j}} − ν \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} ) + 2f_{k}ε_{jkl}\overline{u′_{l}u′_{j}}
= −2\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} − 2\frac{∂}{∂x_{j}} \overline{pu′_{j}} + 2g_{j}\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ_{v}} − 2ν\overline{(\frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}} )^{2}}(B.18)

である. ここで

q ≡ \sqrt{\overline{(u′_{i})^{2}}}
= \sqrt{2E_{turb}}

で, ν, α はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数, g_{j} は重力加速度ベクトルの第 j 成分である.

(B.16) および (B.17) に現れる圧力に関する相関項および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

1. \overline{p (\frac{∂u′_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u′_{i}}{∂x_{j}} )} (圧力による運動エネルギーの再分配)

= −\frac{q}{3l_{1}} (\overline{u′_{i}u′_{j}} − \frac{δ_{ij}}{3} q^{2}) + Cq^{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) ,

とおく. ここで l_{1} は乱流の特徴的なスケール, C は無次元の定数である.

2. \overline{p\frac{∂θ′}{∂x_{j}}} (圧力による熱エネルギー再分配)

1. の導出と同様の考察によって,

= −\frac{q}{3l_{2}} \overline{u′_{j}θ′}

とおく. ここでの乱れのスケールは l_{2} とする.

3. 2ν \overline{\frac{∂u′_{i}}{∂x_{k}} \frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}}} (粘性による散逸)

粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて q のみで表現する.

= \frac{2}{3} \frac{q^{3}}{Λ_{1}} δ_{ij}.

ここで Λ_{1} は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

4. (α + ν)\overline{\frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}} \frac{∂θ′}{∂x_{k}}}

= 0

とおく.

5. \overline{u′_{k}u′_{i}u′_{j}}, \overline{u′_{k}u′_{j}θ′}, \overline{u′_{k}(θ′)^{2}} 速度変動による\overline{u′_{k}u′_{i}u′_{j}}, \overline{u′_{k}u′_{j}θ′}, \overline{u′_{k}(θ′)^{2}} と考え次のようにおく.

\overline{u′_{k}u′_{i}u′_{j}} = −qλ_{1} (\frac{∂\overline{u′_{i}u′_{j}}}{∂x_{k}} + \frac{∂\overline{u′_{i}u′_{k}}}{∂x_{j}} + \frac{∂\overline{u′_{j}u′_{k}}}{∂x_{i}} ) ,
\overline{u′_{k}u′_{j}θ′} = −qλ_{2} (\frac{∂\overline{u′_{k}θ′}}{∂x_{j}} + \frac{∂\overline{u′_{j}θ′}}{∂x_{k}} ) ,
\overline{u′_{k}(θ′)^{2}} = −qλ_{3} \frac{∂\overline{(θ′)^{2}}}{∂x_{k}} .

ここで λ_{i}(i = 1, 2, 3) はそれぞれの特徴的スケールである.

6. \overline{pu′_{i}}, \overline{pθ′} (圧力変動による拡散)

\overline{pu′_{i}} = \overline{pθ′} = 0

とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

7. f_{k}(ε_{jkl}\overline{u′_{l}u′_{i}} + ε_{ikl}\overline{u′_{l}u′_{j}}), f_{k}ε_{jkl}\overline{u′_{l}θ′} (コリオリ項)

f_{k}ε_{jkl}\overline{u′_{l}u′_{i}} = f_{k}ε_{ikl}\overline{u′_{l}u′_{j}} = 0,
f_{k}ε_{jkl}\overline{u′_{l}θ′} = 0

とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

8. α\overline{u′_{j} \frac{∂θ′}{∂x_{k}}} , ν\overline{θ′ \frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}}}

= 0  (B.19)

とする.

以上の近似を (B.16), (B.17), (B.18) に対して行うと, 以下の式を得る.

\frac{d\overline{u′_{i}u′_{j}}}{dt} − \frac{∂}{∂x_{k}} [qλ_{1} (\frac{∂\overline{u′_{i}u′_{j}}}{∂x_{k}} + \frac{∂\overline{u′_{i}u′_{k}}}{∂x_{j}} + \frac{∂\overline{u′_{j}u′_{k}}}{∂x_{i}} ) − ν \frac{∂}{∂x_{k}} \overline{u′_{i}u′_{j}}]
= −\overline{u′_{k}u′_{i}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} − \overline{u′_{k}u′_{j}} \frac{∂u_{i}}{∂x_{k}} − \overline{θ_{v}}^{−1}(g_{j}\overline{u′_{i}θ′_{v}} + g_{i}\overline{u′_{j}θ′_{v}})
−\frac{q}{3l_{1}} (\overline{u′_{i}u′_{j}} − \frac{δ_{ij}}{3} q^{2}) + Cq^{2} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) − \frac{2}{3} \frac{q^{3}}{Λ_{1}} δ_{ij}, (B.20)
\frac{d\overline{u′_{j}θ′}}{dt} − \frac{∂}{∂x_{k}} [qλ_{2} (\frac{∂\overline{u′_{k}θ′}}{∂x_{j}} + \frac{∂\overline{u′_{j}θ′}}{∂x_{k}} )]
= −\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂θ}{∂x_{k}} − \overline{θ′u′_{k}} \frac{∂u′_{j}}{∂x_{k}} − \overline{θ_{v}}^{−1}g_{j}\overline{(θ′)^{2}} − \frac{q}{3l_{2}} \overline{u′_{j}θ′},  (B.21)
\frac{dq^{2}}{dt} + \frac{∂}{∂x_{k}} [qλ_{1} (\frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} + 2\frac{∂\overline{u′_{j}u′_{k}}}{∂x_{j}} ) − ν \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} ]
= −2\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} + 2g_{j}\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} − 2\frac{q^{3}}{Λ_{1}}  (B.22)

ここで

\frac{d}{dt} ≡ \frac{∂}{∂t} + u_{k} \frac{∂}{∂x_{k}}

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応する式である.

(B.20), (B.21), (B.22) に対し, さらに以下の近似を加える.

• (B.20) では, 右辺の第 4 項と第 5 項だけ考慮する. さらに C = −1/3 とする.

• (B.21) では, 右辺の第 1 項と第 4 項だけ考慮する. さらに\overline{u′_{j}u′_{k}} ∼ q^{2}δ_{jk}/3 とする.

• (B.22) では, 左辺の λ_{1} に比例する項を無視する.

これらの近似を行うと, 式 (B.20), (B.21), (B.22) は

\overline{u′_{i}u′_{j}} = \frac{δ_{ij}}{3} q^{2} − ql_{1} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} )  (B.23)
\overline{u′_{j}θ′} = −ql_{2} \frac{∂θ}{∂x_{j}}  (B.24)
\frac{dq^{2}}{dt} = −2\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} + 2g_{j}\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} + \frac{∂}{∂x_{k}} [ν \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} ] − 2\frac{q^{3}}{Λ_{1}}  (B.25)

となる. (B.23) は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの\overline{u′_{i}u′_{j}} の式である. (B.24) は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの\overline{u′_{j}θ′} の式で\overline{(θ′)^{2}} の項を無視したものに対応する. (B.25) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルの q^{2} の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに対応する.

雲が存在しない場合, q_{v}, q_{L} は保存量であるので, q_{v}, q_{L} は θ と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って, \overline{u′_{j}θ′} を導いたのと同様の近似を行なうことにより, 次式を得る.

\overline{u′_{j}q′_{v}} = −ql_{3} \frac{∂q_{v}}{∂x_{j}} ,  (B.26)
\overline{u′_{j}q′_{L}} = −ql_{4} \frac{∂q_{L}}{∂x_{j}}  (B.27)

但し l_{3}, l_{4} は各物理量に関する乱れのスケールである.

ql_{1} = K_{m}, ql_{2} = ql_{3} = ql_{4} = K_{h} とし, q を E_{turb} で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

\overline{u′_{i}u′_{j}} = \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb} − K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} )  (B.28)
\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} = \frac{\overline{u′_{j}θ′}}{\overline{θ}} + \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{u′_{j}q′_{v}} − ∑ \overline{u′_{j}q′_{L}}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}
= −\frac{K_{h}}{\overline{θ}} \frac{∂θ}{∂x_{j}} − K_{h} \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \frac{∂q_{v}}{∂x_{j}} − ∑ \frac{∂q_{L}}{∂x_{j}}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}  (B.29)
\frac{dE_{turb}}{dt} = −\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} + g_{j}\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} + \frac{∂}{∂x_{k}} [K_{m} \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} ] − \frac{2^{3/2}}{Λ_{1}} E_{turb}^{3/2} (B.30)

となり, (B.30) は散逸項の係数を除き (B.1) に一致する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあわせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必要である.

B.1.2 乱流運動エネルギー方程式の導出 (雲が存在する場合)

飽和湿潤過程における熱力学的保存量は θ_{e}, q_{L} である. そこで浮力項の中の θ′, q′_{v} を θ′_{e}, q′_{L} で表す.

飽和状態における物理量には * 印を付すことにする. 飽和比湿 q_{v}^{∗}(T, p) を基本場近傍で Taylor 展開すると,

q_{v}^{∗}(T, p) ≃ q_{v}^{∗}(\overline{T} , \overline{p}) + (\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂T} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} T′ + (\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂p} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} p′
= \overline{q_{v}^{∗}} + (\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂T} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} T′ + (\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂p} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} p′  (B.31)

となる. 比湿の定義より,

(\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂T} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} = \frac{∂}{∂T} (\frac{p_{v}^{∗}/R_{v}}{p/⟨R⟩_{0}} )_{(\overline{T} ,\overline{p})}
= \frac{⟨R⟩_{0}}{R_{v}\overline{p}} (\frac{∂p_{v}^{∗}}{∂T} )_{(\overline{T} ,\overline{p})}
= \frac{L⟨R⟩_{0}}{R_{v}^{2}\overline{T}^{2}} \frac{\overline{p_{v}}^{∗}}{\overline{p}}
= \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{T}^{2}} ,  (B.32)
(\frac{∂q_{v}^{∗}}{∂p} )_{(\overline{T} ,\overline{p})} = \frac{∂}{∂p} (\frac{p_{v}^{∗}/R_{v}}{p/⟨R⟩_{0}} )_{(\overline{T} ,\overline{p})}
= −\frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}}  (B.33)

が成り立つ. 但し (B.32) の変形の途中で Clausius-Clapeyron の式

\frac{∂p_{v}^{∗}}{∂T} = \frac{Lp_{v}^{∗}}{R_{v}T^{2}}  (B.34)

を用いた. (B.32), (B.33) を (B.31) に代入すると,

q_{v}^{∗}′(T, p) = \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{T}^{2}} T′ − \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} p′  (B.35)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 B 乱流パラメタリゼーション 56} となる. ここで

\frac{T′}{\overline{T}} ≃ \frac{θ′}{\overline{θ}} + \frac{⟨R⟩_{0}}{⟨c_{p}⟩_{0}} \frac{p′}{\overline{p}}  (B.36)

となることに注意すると,

q_{v}^{∗}′(T, p) = \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{T}} (\frac{θ′}{\overline{θ}} + \frac{⟨R⟩_{0}}{⟨c_{p}⟩_{0}} \frac{p′}{\overline{p}} ) − \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} p′
= \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} θ′ + (\frac{L⟨R⟩_{0}}{R_{v}⟨c_{p}⟩_{0}\overline{T}} − 1) \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} p′  (B.37)

となる. (B.37) より

\overline{u′_{j}q_{v}^{∗}′} = \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} \overline{u′_{j}θ′} + (\frac{L⟨R⟩_{0}}{R_{v}⟨c_{p}⟩_{0}\overline{T}} − 1) \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} \overline{u′_{j}p′}  (B.38)

が得られる. B.1.1 節同様, \overline{u′_{j}p′} = 0 とすると,

\overline{u′_{j}q_{v}^{∗}′} = \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} \overline{u′_{j}θ′}  (B.39)

となる. 相当温位の定義より,

θ′_{e} ≃ θ′ + ∑ \frac{L}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{Π}}q_{v}^{∗}′
= θ′ + ∑ \frac{L}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{Π}} [\frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} θ′ + (\frac{L⟨R⟩_{0}}{R_{v}⟨c_{p}⟩_{0}\overline{T}} − 1) \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} p′]
= θ′ (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}^{∗}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{Π}^{2}\overline{θ}^{2}} ) + ∑ \frac{L}{⟨c_{p}⟩_{0}\overline{Π}} (\frac{L⟨R⟩_{0}}{R_{v}⟨c_{p}⟩_{0}\overline{T}} − 1) \frac{\overline{q_{v}^{∗}}}{\overline{p}} p′ (B.40)

となる. (B.40) より

\overline{u′_{j}θ′} = (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}^{∗}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{Π}^{2}\overline{θ}^{2}} )^{−1} \overline{u′_{j}θ′_{e}}  (B.41)

となる. (B.39), (B.41) より

\overline{u′_{j}q_{v}^{∗}′} = \frac{L\overline{q_{v}}^{∗}}{R_{v}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}^{∗}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{Π}^{2}\overline{θ}^{2}} )^{−1} \overline{u′_{j}θ′_{e}}  (B.42)

θ′_{e}, q′_{L} は保存量なので, B.1.1 節での θ と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って,

\overline{u′_{j}θ′_{e}} = −ql_{5} \frac{∂θ_{e}}{∂x_{j}} ,  (B.43)
\overline{u′_{j}q′_{L}} = −ql_{6} \frac{∂q_{L}}{∂x_{j}}  (B.44)

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 B 乱流パラメタリゼーション 57} を得る. 但し l_{5}, l_{6} は各物理量に関する乱れのスケールである. ql_{5} = ql_{6} = K_{h} とし, q を E_{turb} で表すと,

\overline{u′_{i}u′_{j}} = \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb} − K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} )  (B.45)
\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} = \frac{\overline{u′_{j}θ′}}{\overline{θ}} + \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{u′_{j}q′_{v}} − ∑ \overline{u′_{j}q′_{L}}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}
= −K_{h} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1}
[\frac{1}{\overline{θ}} + \frac{1}{R_{d}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} (∑ L\overline{q_{v}})] \frac{∂θ_{e}}{∂x_{j}}
+K_{h} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} \frac{∂ (∑ q_{L})}{∂x_{j}},  (B.46)
\frac{dE_{turb}}{dt} = −\overline{u′_{j}u′_{k}} \frac{∂u_{j}}{∂x_{k}} + g_{j}\overline{θ_{v}}^{−1}\overline{u′_{j}θ′_{v}} + \frac{∂}{∂x_{k}} [K_{m} \frac{∂q^{2}}{∂x_{k}} ] − \frac{2^{3/2}}{Λ_{1}} E_{turb}^{3/2} (B.47)

となる.

B.1.3 3 次元の場合の表現

3 次元の場合の (B.1) 式の各項を書き下す. 先ず浮力による乱流エネルギー生成項を書き下す. 雲が存在しない場合,

B = \frac{g_{j}}{\overline{θ_{v}}} \overline{u′_{j}θ′}
= \frac{g}{\overline{θ}} \overline{w′θ′}
= −g \frac{K_{h}}{\overline{θ}} \frac{∂θ}{∂z} − gK_{h} \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \frac{∂q_{v}}{∂z} − ∑ \frac{∂q_{L}}{∂z}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}  (B.48)

である. また雲が存在する場合,

B = \frac{g_{j}}{\overline{θ_{v}}} \overline{u′_{j}θ′}
= \frac{g}{\overline{θ}} \overline{w′θ′}
= −gK_{h} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1}

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

[\frac{1}{\overline{θ}} + \frac{1}{R_{d}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} (∑ L\overline{q_{v}})] \frac{∂θ_{e}}{∂z}
+gK_{h} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} \frac{∂ (∑ q_{L})}{∂z}  (B.49)

となる. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 S は,

S = −\overline{(u′_{i}u′_{j})}\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}}
= − \{−K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) + \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb}\} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}}
= \{K_{m} (\frac{∂u_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x_{i}} ) − \frac{2}{3}δ_{ij}E_{turb}\} \frac{∂u_{i}}{∂x_{j}}
= \{K_{m} (\frac{∂u}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂x} ) − \frac{2}{3}δ_{1j}E_{turb}\} \frac{∂u}{∂x_{j}}

+ \{K_{m} (\frac{∂v}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂y} ) − \frac{2}{3}δ_{2j}E_{turb}\} \frac{∂v}{∂x_{j}}

+ \{K_{m} (\frac{∂w}{∂x_{j}} + \frac{∂u_{j}}{∂z} ) − \frac{2}{3}δ_{3j}E_{turb}\} \frac{∂w}{∂x_{j}}

= \{2K_{m} \frac{∂u}{∂x} − \frac{2}{3}E_{turb}\} \frac{∂u}{∂x} + K_{m} (\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} ) \frac{∂u}{∂y} + K_{m} (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z}) \frac{∂u}{∂z}

+K_{m} (\frac{∂v}{∂x} + \frac{∂u}{∂y}) \frac{∂v}{∂x} + \{2K_{m} \frac{∂v}{∂y} − \frac{2}{3}E_{turb}\} \frac{∂v}{∂y} + K_{m} (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} ) \frac{∂v}{∂z}

+K_{m} (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z}) \frac{∂w}{∂x} + K_{m} (\frac{∂w}{∂y} + \frac{∂v}{∂z} ) \frac{∂w}{∂y} + \{2K_{m} \frac{∂w}{∂z} − \frac{2}{3}E_{turb}\} \frac{∂w}{∂z}

= 2K_{m} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+K_{m} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )  (B.50)

である. 乱流エネルギー拡散項 D_{E} は,

D_{E} = \frac{∂}{∂x_{j}} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂x_{j}} ) ,
= \frac{∂}{∂x} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂y} ) + \frac{∂}{∂z} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂z} ) (B.51)

である. 以上の (B.48), (B.50), (B.51) 式を (B.1) 式に代入することで雲が存在しない場合の乱流エネルギーの式を得る.

\frac{dE_{turb}}{dt} = −g \frac{K_{h}}{\overline{θ}} \frac{∂θ}{∂z} − gK_{h} \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \frac{∂q_{v}}{∂z} − ∑ \frac{∂q_{L}}{∂z}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}

+2K_{m} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+K_{m} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂y} ) + \frac{∂}{∂z} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂z} )

− (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (B.52)

(B.14) を用いて K_{m} を E_{turb} で書き換えると, 以下の式が得られる.

\frac{∂E_{turb}}{∂t} = −u\frac{∂E_{turb}}{∂x} − v \frac{∂E_{turb}}{∂y} − w\frac{∂E_{turb}}{∂z}

−3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{K_{h}}{\overline{θ}} \frac{∂θ}{∂z} − 3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \frac{∂q_{v}}{∂z} − ∑ \frac{∂q_{L}}{∂z}}{1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}}}

+2C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂y} )

+\frac{∂}{∂z} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂z} ) − (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (B.53)

また (B.49), (B.50), (B.51) 式を (B.1) 式に代入することで雲が存在する場合の乱流エネルギーの式を得る.

\frac{dE_{turb}}{dt} = −gK_{h} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1}
[\frac{1}{\overline{θ}} + \frac{1}{R_{d}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} (∑ L\overline{q_{v}})] \frac{∂θ_{e}}{∂z}

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 B 乱流パラメタリゼーション 60}

+gK_{h} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} \frac{∂ (∑ q_{L})}{∂z}

+2K_{m} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+K_{m} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂y} ) + \frac{∂}{∂z} (K_{m} \frac{∂E_{turb}}{∂z} )

− (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (B.54)

(B.14) を用いて K_{m} を E_{turb} で書き換えると, 以下の式が得られる.

\frac{∂E_{turb}}{∂t} = −u\frac{∂E_{turb}}{∂x} − v \frac{∂E_{turb}}{∂y} − w\frac{∂E_{turb}}{∂z}

−3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} (1 + ∑ \frac{L^{2}\overline{q_{v}}}{⟨c_{p}⟩_{0}R_{v}\overline{θ}^{2}\overline{Π}^{2}} )^{−1}

[\frac{1}{\overline{θ}} + \frac{1}{R_{d}\overline{Π}\overline{θ}^{2}} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} (∑ L\overline{q_{v}})] \frac{∂θ_{e}}{∂z}

+3gC_{m}lE_{turb}^{1/2} (1 + ∑ \frac{R_{v}}{R_{d}} \overline{q_{v}} − ∑ \overline{q_{L}})^{−1} \frac{∂ (∑ q_{L})}{∂z}

+2C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂x})^{2} + (\frac{∂v}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂z} )^{2}\}

+C_{m}lE_{turb}^{1/2} \{(\frac{∂u}{∂y} + \frac{∂v}{∂x} )^{2} + (\frac{∂v}{∂z} + \frac{∂w}{∂y} )^{2} + (\frac{∂w}{∂x} + \frac{∂u}{∂z})^{2}\}

−\frac{2}{3}E_{turb} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} )

+\frac{∂}{∂x} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂x} ) + \frac{∂}{∂y} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂y} )

+\frac{∂}{∂z} (C_{m}lE_{turb}^{1/2} \frac{∂E_{turb}}{∂z} ) − (\frac{C_{ε}}{l} ) Eturb^{\frac{3}{2}}.  (B.55)

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 C 雲微物理過程 61}

付録C 雲微物理過程

Kessler(1969) に基づく雲微物理パラメタリゼーションの, 終端速度 V_{D}, 雲水の衝突併合による雨水比湿の変化率 CL_{cr}, 平均終端速度 V_{term}, 蒸発による雨水比湿の変化率 EV_{rv} について解説する^{1}.

C.1 雨粒の終端速度

Newton の抵抗法則より球体の抵抗力 F_{D} は

F_{D} = \frac{1}{8}ρV_{D}^{2}C_{D}D^{2}  (C.1)

と表される. ここで C_{D} は抵力係数であり, 一般にレイノルズ数の関数である. 雨滴の落下のようにレイノルズ数が大きい現象の場合, レイノルズ数の定義により, 粘性力は流れ場にほとんど寄与しなくなる. このとき C_{D} はレイノルズ数に依存しない定数となる. 抵抗力と重力の釣合いを考えると

\frac{1}{6}πρ_{w}D^{3}g = \frac{1}{8}ρV_{D}^{2}C_{D}D^{2}  (C.2)

となる. (C.2) を V_{D} について解くと,

V_{D} = (\frac{4ρ_{w}gD}{3C_{D}ρ} )^{1/2}  (C.3)

となる. Kessler(1969) では ρ_{w} = 10^{3}[kg/m^{3}], g = 9.8[m/s^{2}], ρ_{0} = 1.2 [kg/m^{3}], C_{D} = 0.644 として

V_{D} = 130 (\frac{ρ_{0}}{ρ} )^{0.5} D^{0.5}  (C.4)

1本章の内容は Ogura and Takahashi (1971), 浅井 (1983) を参考にした.

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としている^{2}. 但し ρ_{0} は地表面での大気密度である. 他の惑星大気においても C_{D} = 0.644 であるとみなすと,

V_{D} = 1.4389 (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2}  (C.5)

が得られる.

C.2 雲水の衝突併合

雲水の衝突併合による雨水混合比の変化率 CL_{cr} は, 直径 D の単一の雨粒の衝突併合による質量変化率 (dm(D)/dt)_{cr} と D から D + dD の範囲の直径を持つ雨粒の数 N_{D} を用いて

CL_{cr} = \frac{1}{ρ} ∫_{0}^{∞} (\frac{dm}{dt})_{cr} N_{D} dD  (C.6)

と表される. (dm(D)/dt)_{cr} は,

(\frac{dm}{dt})_{cr} = \frac{π}{4} D^{2}V_{D}Eρq_{c}  (C.7)

と表される. ここで V_{D} は雨粒の落下速度, E は雨粒と衝突した雲粒のうち雨粒に併合される割合を表す係数 (捕捉係数) である.

雨粒のサイズ分布関数と雨粒の落下速度 V_{D} を以下のように仮定する.

N_{D} = N_{0} exp(−λD),  (C.8)
V_{D} = 1.4389 (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} .  (C.9)

ここで N_{0}, λ はパラメータである. 式 (C.9) の分布は一般にマーシャル・パルマー型分布 (Marshall and Palmer, 1948) と呼ばれる. Kessler (1969) では N_{0} = 10^{7} とする. これを式 (C.6) に代入すると,

CL_{cr} = \frac{1.4389π}{4} (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} EN_{0}q_{c} ∫_{0}^{∞} D^{2.5} exp(−λD) dD (C.10)
= \frac{1.4389π}{4} (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} EN_{0}q_{c} \frac{3.75}{λ^{3}} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{λ}}

2Kessler(1969) では C_{D} をどのように決めたのかについては書かれていない. Gunn and Kinzer(1949) によると, レイノルズ数が 3000 程度である雨粒の C_{D} の値は 0.66 となるので, Kessler(1969) は系の特徴的なレイノルズ数が 3000 程度であると想定して C_{D} の値を決めたのかも知れない.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 C 雲微物理過程 63}

= \frac{1.4389 × 3.75π^{3/2}}{8} (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} EN_{0}q_{c}λ^{−3.5}  (C.11)

を得る. ここで E は D によらないと仮定した. Kessler (1969) では E = 1 とする. 雨粒のサイズ分布曲線の傾きを表すパラメータ λ は, 以下の式を用いて雨水比湿 q_{r} で置き換える.

q_{r} = \frac{1}{ρ} ∫_{0}^{∞} ρ_{w} \frac{π}{6} D^{3}N_{D} dD
= \frac{πN_{0}ρ_{w}}{6ρ} ∫_{0}^{∞} D^{3} exp(−λD) dD
= \frac{πN_{0}ρ_{w}}{6ρ} \frac{6}{λ^{4}}
= \frac{πN_{0}ρ_{w}}{ρ} λ^{−4}.  (C.12)

ここで ρ_{w} は液相の密度である. これを λ について解き, 式 (C.11) に代入すると,

CL_{cr} = \frac{1.4389 × 3.75π^{3/2}}{8} (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} EN_{0}q_{c} (\frac{ρq_{r}}{πN_{0}ρ_{w}} )^{0.875}
= \frac{1.4389 × 3.75π^{5/8}}{8} EN_{0}^{1/8}g^{1/2} (\frac{ρ}{ρ_{w}} )^{0.375} q_{c}q_{r}^{0.875}
= 10.344g^{1/2} (\frac{ρ}{ρ_{w}} )^{0.375} q_{c}q_{r}^{0.875}  (C.13)

となる. 最後の式変形では, N_{0} = 10^{7}, E = 1 を代入した.

C.3 平均終端速度

平均終端速度 V_{term} は雨滴の鉛直フラックス F_{r}, 雨滴密度 ρ_{r} により

V_{term} = \frac{F_{r}}{ρ_{r}}  (C.14)

と表される. ρ_{r}, F_{r} はそれぞれ以下のように表される.

ρ_{r} = ∫_{0}^{∞} N_{D}mdD,  (C.15)
F_{r} = ∫_{0}^{∞} N_{D}mV_{D}dD.  (C.16)
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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 C 雲微物理過程 64} ここで m は直径 D の雨滴の質量であり,

m = \frac{π}{6} D^{3}ρ_{w}  (C.17)

と書ける. (C.8), (C.9), (C.17) を (C.15), (C.16) に適用すると,

ρ_{r} = ∫_{0}^{∞} N_{0} exp(−λD)\frac{π}{6} ρ_{w}D^{3}dD
= \frac{πρ_{w}N_{0}}{λ^{4}}  (C.18)
F_{r} = ∫_{0}^{∞} N_{0} exp(−λD)\frac{π}{6} ρ_{w}D^{3}1.4389 (\frac{ρ_{w}gD}{ρ} )^{1/2} dD
= \frac{1.4389 × 105π^{3/2}}{96} ρ_{w}^{3/2}g^{1/2}ρ^{−1/2}N_{0}λ^{−9/2}  (C.19)

となる. (C.18) を (C.19) に代入して λ を消去すると,

F_{r} = \frac{1.4389 × 105π^{3/2}}{96} ρ_{w}^{3/2}g^{1/2}ρ^{−1/2}N_{0} (\frac{ρ_{r}}{πN_{0}ρ_{w}} )^{9/8}
= \frac{1.4389 × 105π^{3/8}}{96} ρ_{w}^{3/8}g^{1/2}ρ^{−1/2}N_{0}^{−1/8}ρ_{r}^{9/8}  (C.20)

となる. (C.14) に (C.20) を代入すると

V_{term} = \frac{1.4389 × 105π^{3/8}}{96} ρ_{w}^{3/8}g^{1/2}ρ^{−1/2}N_{0}^{−1/8}ρ_{r}^{1/8}
≈ 0.3224g^{1/2} (\frac{ρ_{w}}{ρ} )^{0.375} q_{r}^{0.125}  (C.21)

が得られる.

C.4 雨水の蒸発

蒸発による雨水混合比の変化率 EV_{rv} は, 式 (C.6) と同様に

EV_{rv} = \frac{1}{ρ_{d}} ∫_{0}^{∞} (\frac{dm}{dt})_{ev} N_{D} dD  (C.22)

と表される. ここで (dm(D)/dt)_{ev} は直径 D の単一の雨粒の蒸発による質量変化率である.

雨水の蒸発は雨粒の表面からの水蒸気の拡散によって律速されると仮定する. 雨粒周囲の水蒸気フラックスを F とすると, 雨粒の質量の変化率は

(\frac{dm}{dt})_{ev} = −4πr_{d}^{2}F (r_{d})  (C.23)

と表される. ここで r は雨粒中心からの距離, r_{d} は雨粒の半径で, F は

F = −K_{d} \frac{dρ_{v}}{dr}

と表される. ρ_{v} は水蒸気の密度, K_{d} は水蒸気の拡散係数である. 雨粒の周囲では水蒸気フラックスの収束発散はないと仮定すると,

\frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}F ) = 0

が成り立つ. これを積分し

ρ_{v} = −\frac{C_{1}}{r} + C_{2}

境界条件 r = r_{d} で ρ_{v} = ρ_{v,s}, r = ∞ で ρ_{v} = ρ_{v,∞} を適用すると,

C_{1} = (ρ_{v,∞} − ρ_{v,s})r_{d}, C_{2} = ρ_{v,∞}

これより, 雨粒表面での拡散による水蒸気フラックスは

F (r_{d}) = −K_{d} \frac{dρ_{v}}{dr} |_{r=r_{d}}
= K_{d} \frac{ρ_{v,s} − ρ_{v,∞}}{r_{d}}  (C.24)

よって,

(\frac{dm}{dt})_{ev} = −4πr_{d}K_{d}(ρ_{v,s} − ρ_{v,∞})  (C.25)

と表される. 雨粒が落下しながら蒸発する場合には, K_{d} に補正項のついた

(\frac{dm}{dt})_{ev} = −4πr_{d} (1 + \frac{F r}{s} ) K_{d}(ρ_{v,s} − ρ_{v,∞})  (C.26)

が用いられる. ここで F は換気因子, s は雨粒表面でのクヌーセン層の厚さである^{3}.

Kessler (1969) では, (C.26) の右辺の項を以下のように近似する.

4πr_{d} (1 + \frac{F r}{s} ) ∼ 2.24 × 10^{3}D^{1.6},
K_{d}(ρ_{v,s} − ρ_{v,∞}) ∼ 10^{−5}(ρ_{v,s} − ρ_{v,∞}).

3(C.26) は Kinzer and Gunn(1951) で導出されている. 導出方法については要確認である.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 C 雲微物理過程 66} このとき (C.26) は

(\frac{dm}{dt})_{ev} ∼ −2.24 × 10^{−2}(ρ_{v,s} − ρ_{v,∞})D^{1.6}  (C.27)

となる. これを式 (C.22) に代入し, 雨粒のサイズ分布として (C.8) を仮定すると,

EV_{rv} = −\frac{1}{ρ_{d}} 2.24 × 10^{−2}(q_{v,s} − q_{v,∞}) ∫_{0}^{∞} D^{1.6}N_{D} dD,
= −2.24 × 10^{−2}(q_{v,s} − q_{v,∞}) ∫_{0}^{∞} D^{1.6}N_{0} exp(−λD) dD
= −2.24 × 10^{−2}(q_{v,s} − q_{v,∞})N_{0} \frac{Γ(2.6)}{λ^{13/5}}
= −2.24 × 10^{−2}Γ(2.6)(πρ_{w})^{−0.65}N_{0}^{0.35}(q_{v,s} − q_{v,∞})(ρ_{d}q_{r})^{0.65}
= −1.7 × 10^{−4}N_{0}^{0.35}(q_{v,s} − q_{v,∞})(ρ_{d}q_{r})^{0.65}
= −4.81 × 10^{−2}(q_{v,s} − q_{v,∞})(ρ_{d}q_{r})^{0.65}  (C.28)

最後の式変形を行う際には(C.12)式の関係を用いて λ を消去し, Γ(2.6) = 1.4296245, N_{0} = 10^{7} とした^{4}.

4Kessler (1969) では最終的には

EV_{rv} = 4.85 × 10^{−2}(q_{v,s} − q_{v,∞})(ρ_{d}q_{r})^{0.65} としている.

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\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 D 変数リスト 67}

付録D 変数リスト

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化付録 D 変数リスト 68} \begin{aligned}C_{ε} & : & 乱流拡散係数のための定数 \\ C_{m} & : & 乱流拡散係数のための定数 \\ c_{s} & : & 音波 \\ c̄_{s} & : & 基本場の音波 \\ ⟨c_{p}⟩ & : & 平均定圧比熱 \\ ⟨c_{v}⟩ & : & 定積比熱 \\ D_{∗} & : & サブグリッドスケールの乱流拡散項 \\ E_{turb} & : & サブグリッドスケールの運動エネルギー \\ f & : & コリオリパラメータ \\ g & : & 重力加速度 \\ K_{h} & : & 熱に対する乱流拡散係数 \\ K_{m} & : & 運動量に対する乱流拡散係数 \\ l & : & 混合距離 \\ p & : & 圧力 \\ \overline{p} & : & 基本場の圧力 \\ p_{0} & : & 地表面での基準圧力 \\ Π & : & エクスナー関数 \\ \overline{Π} & : & 基本場のエクスナー関数 \\ q_{v} & : & 比湿 \\ q_{c} & : & 雲水比湿 \\ q_{r} & : & 雨水比湿 \\ R_{d} & : & 乾燥成分の気体定数 \\ R_{v} & : & 湿潤成分の気体定数 \\ ⟨R⟩ & : & 平均気体定数 \\ \overline{ρ} & : & 基本場の密度 \\ ρ_{0} & : & 地表面での密度 \\ S & : & 飽和比 \\ t & : & 時間座標 \\ \overline{T} & : & 基本場の温度 \\ \overline{θ} & : & 基本場の温位 \\ θ′ & : & 温位偏差 \\ u_{i} & : & 速度, i = 1, 3 (u_{1}, u_{3}) = (u, w) \\ x_{i} & : & 空間 z 座標, i = 1, 3 (x_{1}, x_{3}) = (x, z) \end{aligned}

teishiki.tex  2010 年 4 月 28 日 (山下達也, 杉山耕一朗, 石渡正樹)

\underline{2 次元非静力学モデルの定式化謝辞 69}

謝辞

本資源は, 地球流体電脳倶楽部のインターネット上での学術知識の集積と活用の実験の一環として

http://www.gfd-dennou.org/arch/deepconv/

において公開されているものである. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}山下達也, 杉山耕一朗, 北守太一, 小高正嗣 (T. Yamashita, K. Sugiyama, T. Kitamori, M. Odaka) 2009. 本資源は, 著作者の諸権利に抵触しない (迷惑をかけない) 限りにおいて自由に利用していただいて構わない. なお, 利用する際には今一度自ら内容を確かめることをお願いする (無保証無責任原則).

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