B. 乱流パラメタリゼーション

1 乱流パラメタリゼーション

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は,

546#546 18#18 547#547 (162)

と与えられる. 548#548 は混合距離で, 244#244 とする. 187#187 と 173#173 はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, 549#549 は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり,

550#550 18#18 551#551 (163)

178#178 18#18 552#552 (164)

553#553 18#18 554#554 (165)

である. ここで

555#555 18#18 556#556 (166)

557#557 18#18 558#558 (167)

である. 1.5 次のクロージャーでは速度の 2 次相関量を以下のように表す.

559#559 (168)

また, 152#152 の場合,

560#560 18#18 561#561 (169)

562#562 18#18 563#563 (170)

564#564 18#18 565#565 (171)

と表し, 566#566 の場合,

560#560 18#18 567#567 (172)

562#562 18#18 568#568 (173)

564#564 18#18 569#569 (174)

と表す. ここで 223#223 は運動量に対する渦粘性係数, 224#224 はサブグリッ ドスケールの乱流運動エネルギー, 231#231 は渦拡散係数, 232#232 は相当 温位である. 223#223, 231#231 は 224#224 を用いて以下のように与えられる.

570#570 18#18 571#571 (175)

572#572 18#18 573#573 (176)

パラメータ 574#574 はともに 0.2 である.

1 乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在しない場合)

Klemp and Wilhelmson (1978) ではB:dEdtについて, 「Deardorff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式B:dEdt, レイノルズ応力1, レイノルズ応力 2 - レイノルズ応力4 の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. またサブグリッドスケール内での放射の影響は考慮しない. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8)

575#575 576#576 577#577

576#576 578#578

18#18 579#579

576#576 580#580 (177)

581#581 576#576 582#582

18#18 583#583 (178)

および, MY1974:eq(7)において 584#584 とした式

585#585 576#576 586#586

18#18 587#587 (179)

である. ここで

588#588

で, 589#589, 590#590 はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数, 591#591 は重力加速度ベ クトルの第 592#592 成分である.

MY1974:eq(7)およびMY1974:eq(8)に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく.

1. 593#593 (圧力による運動エネルギーの再分配)

   
   

   594#594
   
   
   とおく. ここで 595#595 は乱流の特徴的なスケール, 188#188 は無次元の定数である.

2. 596#596 (圧力による熱エネルギー再分配)

   1. の導出と同様の考察によって,
   

   597#597
   
   
   とおく. ここでの乱れのスケールは 598#598 とする.

3. 599#599 (粘性による散逸)

   粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて 600#600 のみ で表現する.
   

   601#601
   
   
   ここで 602#602 は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

4. 603#603

   
   

   604#604
   
   
   とおく.

5. 605#605

   速度変動による 605#605 と考え次のようにおく.

   606#606
   
   
   
   
   ここで 607#607 はそれぞれの特徴的スケールである.

6. 608#608 (圧力変動による拡散)

   
   

   609#609
   
   
   とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

7. 610#610 (コリオリ項)

   
   

   611#611
   
   
   
   
   612#612
   
   
   とする. この近似は Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

8. 613#613

   
   

   604#604 (180)

   
   
   とする.

以上の近似をMY1974:eq(7), MY1974:eq(8), qの予報式 に対して行うと, 以下の式を得る.

614#614 615#615 616#616

18#18 617#617

618#618 (181)

619#619 615#615 620#620

18#18 621#621 (182)

622#622 576#576 623#623

18#18 624#624 (183)

ここで

625#625

である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である.

MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)に対し, さらに以下の近似を加える.

• MY1974:Level4(1)では, 右辺の第 4 項と第 5 項だけ考慮する. さらに 626#626 とする.

• MY1974:Level4(2)では, 右辺の第 1 項と第 4 項だけ考慮する. さらに 627#627 とする.

• MY1974:Level4(3)では, 左辺の 628#628 に比例する項を無視する.

これらの近似を行うと, 式MY1974:Level4(1), MY1974:Level4(2), MY1974:Level4(3)は

629#629 18#18 630#630 (184)

631#631 18#18 632#632 (185)

622#622 18#18 633#633 (186)

となる. MY1974:Level1(1)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの 634#634 の式である. MY1974:Level1(2)は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の 635#635 の式で 636#636 の項を無視したものに対応する. MY1974:Level3(1) は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの 637#637 の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する.

雲が存在しない場合, 638#638, 639#639 は保存量であるので, 638#638, 639#639 は 1#1 と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って, 635#635 を導いたのと同様 の近似を行なうことにより, 次式を得る.

640#640 18#18 641#641 (187)

642#642 18#18 643#643 (188)

但し 644#644, 645#645 は各物理量に関する乱れのスケールである.

646#646 とし, 600#600 を 224#224 で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると

629#629 18#18 647#647 (189)

648#648 18#18 649#649

18#18 650#650 (190)

546#546 18#18 651#651 (191)

となり, 乱流エネルギーの式は散逸項の係数を除きB:dEdtに一致 する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である.

2 乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在する場合)

飽和湿潤過程における熱力学的保存量は 232#232, 639#639 である. そこで浮力項の中の 77#77, 652#652 を 653#653, 654#654 で表す.

飽和状態における物理量には * 印を付すことにする. 飽和比湿 655#655 を基本場近傍で Taylor 展開すると,

656#656 657#657 658#658

18#18 659#659 (192)

となる. 比湿の定義より,

660#660 18#18 661#661

18#18 662#662

18#18 663#663

18#18 664#664 (193)

665#665 18#18 666#666

18#18 667#667 (194)

が成り立つ. 但し moistturb2 の変形の途中で Clausius-Clapeyron の式

668#668 (195)

を用いた. moistturb2, moistturb3 を moistturb1 に代入す ると,

669#669 18#18 670#670 (196)

となる. ここで

671#671 (197)

となることに注意すると,

669#669 18#18 672#672

18#18 673#673 (198)

となる. moistturb6 より

674#674 18#18 675#675 (199)

が得られる. B.1.1 節同様, 676#676 とすると,

674#674 18#18 677#677 (200)

となる. 相当温位の定義より,

678#678 657#657 679#679

18#18 680#680

18#18 681#681 (201)

となる. moistturb9 より

682#682 18#18 683#683 (202)

となる. moistturb8, moistturb10 より

684#684 (203)

653#653, 654#654 は保存量なので, B.1.1 節での 1#1 と同一形式の時間発展方程式を満たす. 従って,

685#685 18#18 686#686 (204)

642#642 18#18 687#687 (205)

を得る. 但し 688#688, 689#689 は各物理量に関する乱れのスケールである.

690#690 とし, 600#600 を 224#224 で表すと,

629#629 18#18 647#647 (206)

648#648 18#18 649#649

18#18 691#691 692#692

693#693 (207)

546#546 18#18 694#694 (208)

となる.

3 2 次元の場合の表現

2 次元の場合のB:dEdt式の各項を書き下す. 先ず浮力による乱流エネルギー生成項を書き下す. 雲が存在しない場合,

550#550 18#18 695#695

18#18 696#696

18#18 697#697 (209)

である. また雲が存在する場合,

550#550 18#18 695#695

18#18 696#696

18#18 698#698 241#241

699#699 (210)

となる. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 173#173 は,

178#178 18#18 700#700

18#18 701#701

18#18 702#702

18#18 703#703 704#704

18#18 705#705 706#706

18#18 707#707

708#708 (211)

である. 乱流エネルギー拡散項 549#549 は,

553#553 18#18 709#709

18#18 710#710 (212)

である. 以上の B, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで雲が存在しない場合の乱流エネルギーの式を得る.

546#546 18#18 711#711 712#712

713#713 (213)

B:E を用いて 714#714 を 224#224 で書き換えると, 以下の式が得 られる.

233#233 18#18 234#234 235#235 236#236 237#237 238#238

また B-moist, S, De 式を B:dEdt 式 に代入することで雲が存在する場合の乱流エネルギーの式を得る.

546#546 18#18 698#698 241#241 715#715 712#712

716#716 (214)

B:E を用いて 714#714 を 224#224 で書き換えると, 以下の式が得 られる.

233#233 18#18 234#234 240#240 241#241 242#242 236#236 237#237 238#238