1 基礎方程式系

本数値モデルは水平・鉛直の 2 次元モデルである. 水平方向の座標変数を 4#4, 鉛直方向の座標変数を 5#5 と表し, 時間方向の変数は 6#6 と表す.

1 運動方程式・圧力方程式・熱の式・比湿の保存式

力学的な枠組みは, 準圧縮方程式系(Klemp and Wilhelmson,1978)を用いる. この方程式系では, 予報変数を水平一様な基本場とそこからのずれに分離し, 方程式の線形化を行っている. 基本場は静水圧平衡の状態にあるものと仮定する. またガスは理想気体とみなせるものとする. 準圧縮方程式系の導出は付録 A に示す. 方程式中の変数は付録 D に示す.

Klemp and Wilhelmson(1978) では凝結性ガスや凝結物を混合比で表現している のに対し, 本モデルでは比湿で表現している. 但し本ドキュメントにおける比湿とは, 通常の気象学で用いられている比湿を拡 張し, 全密度に対する任意のガスや凝結物の密度の比を指すものとする. 主成分が凝結する惑星大気を扱う際, 非凝結ガスの密度を分母とする混合比を用 いると数値計算上の困難が生じる可能性がある. このことは様々な惑星大気を扱うことを目的とする本モデルにとって大きな問題 となりうる. そこで本モデルでは微量成分が凝結する系だけでなく, 主成分が凝結する系での 計算も行なえるよう, 凝結ガスや凝結物を比湿で表現することにする.

本モデルでは非凝結性ガス, 凝結性ガス, 雲水, 雨水(氷)の 4 つのカテゴリー を想定している.

記号	意味	内容
7#7	非凝結性ガスの比湿	気体の非凝結成分
8#8	凝結性ガスの比湿	気体の凝結成分
9#9	雲水比湿	落下速度がゼロである粒子で,
		大気中の雲粒に対応する.
		通常 100 10#10m 以下の微小な流体粒子である.
11#11	雨水比湿	有意な落下速度を持つ粒子で,
		大気中の雨粒または氷粒に対応する.

12#12, 13#13, 14#14, 15#15, 16#16 をそれぞれ非凝結成分の密 度, 凝結成分の密度, 雲水の密度, 雨水の密度, 全密度とすると, 各カテゴリー の比湿は以下のように定義される.

17#17 18#18 19#19 (1)

20#20 18#18 21#21 (2)

22#22 18#18 23#23 (3)

24#24 18#18 25#25 (4)

各変数を基本場と擾乱場に分け, 基本場の風速 26#26, 雲水比湿と雨水比湿がゼロ であるとみなす. また基本場は水平一様であり, 静水圧平衡が成り立つと仮定する. 基本場の物理量に 27#27 を付し, 擾乱場の物理量に 28#28 を付すこと にすると, 各変数は以下のように書ける.

29#29 18#18 30#30

31#31 18#18 32#32

33#33 18#18 34#34

35#35 18#18 36#36

37#37 18#18 38#38

39#39 18#18 40#40

41#41 18#18 42#42

43#43 18#18 44#44

1#1, 2#2 はそれぞれ温位, エクスナー関数であり,

45#45 46#46 47#47 (5)

48#48 46#46 49#49 (6)

である. 但し

50#50 46#46 51#51 (7)

52#52 46#46 53#53 (8)

である. 54#54, 55#55 はそれぞれ非凝結性ガス, 凝結性ガスの定圧比熱であ り, 56#56, 57#57 はそれぞれ非凝結性ガス, 凝結性ガスの気体定数である. def_R, def_Cp に現れる和は各凝結性成分について取るもの とする. 58#58, 59#59 は非凝結性ガスと凝結性ガスの 密度を重みとする定圧比熱及び気体定数の平均値であり, 本文書では平均定圧比 熱, 平均気体定数と呼ぶことにする. 本モデルでは 58#58, 59#59 が一定値であ るとする . 静水圧平衡の式は

63#63 (9)

と表される. ここで

64#64 46#46 65#65 (10)

66#66 46#46 67#67 (11)

であり, 68#68 は仮温位と呼ばれる. 但し 69#69, 70#70 はそれぞれ非凝結性ガス, 凝結性ガスの分子量である. 71#71 を平均分子量と呼び, 一定値とみなす. 代表値 72#72, 73#73 は 74#74 を満たすものとする.

以下に準圧縮方程式系の時間発展方程式を一覧する. 本モデルにおける予報変数は 75#75, 76#76, 77#77, 78#78, 79#79 (80#80) である. 密度の式では乾燥成分と湿潤成分の分子量の差を考慮するが, 熱の式では考慮し ない. 凝結量は気相質量に比べて十分少ないと仮定する.

運動方程式

81#81 18#18 82#82 (12)

83#83 18#18 84#84

85#85 (13)

圧力方程式

86#86 18#18 87#87 88#88 89#89 90#90

熱の式

91#91 18#18 92#92

93#93 (14)

比湿の保存式

94#94 18#18 95#95 96#96

97#97 (15)

比湿に関して

98#98 (16)

の関係が成り立つので, 非凝結性ガスの比湿については診断的に求めることとす る. このとき def_qa は 80#80 の 3 相に関する式となる. 99#99, 100#100, 101#101 はそれぞれ凝結加熱項, 放射加熱項, 散逸加熱項を表し, 102#102, 103#103 はそれぞれ生成項, 落下項を表す. 102#102, 103#103, 99#99 の定式化については 1.2 節で詳述する. 100#100 の定式化については 1.3 節で詳述する. 101#101, 104#104 の定式化については 1.4 節で詳述する. 105#105 は音速であり, 次式を満たす.

106#106 (17)

また状態方程式は

107#107 (18)

と表される.

2 雲微物理過程のパラメタリゼーション

本モデルでは Kessler(1969) のパラメタリゼーションと Tobie et al.(2003) に基づくパラメタリゼーションの 2 種類が用意されている.

1 Kessler(1969) の雲微物理パラメタリゼーション

Kessler(1969) のパラメタリゼーションでは 4 つのカテゴリーを想定し, 微物 理素過程として以下を考慮する. ただし, これらの量は全て正の値として定義され, 水蒸気が直接雨水に凝結する過程は無視されている.

記号	内容
108#108	凝結による水蒸気から雲水への変換 (condensation)
109#109	蒸発による雲水から水蒸気への変換 (evaporation)
110#110	蒸発による雨水から水蒸気への変換 (evaporation)
111#111	併合成長による雲水から雨水への変換. 併合や水蒸気拡散により,
	雲粒子が雨粒の大きさにまで成長する (autocondensation)
112#112	衝突併合による雲水から雨水への変換.
	大水滴が小水滴を衝突併合する (collection)
113#113	雨水の重力落下に伴う雨水混合比の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ れる.

114#114 18#18 115#115 (19)

116#116 18#18 117#117 (20)

118#118 18#18 119#119 (21)

120#120 18#18 121#121 (22)

122#122 18#18 121#121 (23)

123#123 18#18 124#124 (24)

125#125 18#18 126#126 (25)

def_theta, def_qa を書き直すと, 以下のようになる.

91#91 18#18 127#127

128#128 (26)

129#129 18#18 130#130

131#131 (27)

132#132 18#18 133#133

134#134 (28)

135#135 18#18 136#136 (29)

ここで, 137#137 は水の蒸発の潜熱[J kg138#138], 139#139 は定圧比熱[J K kg138#138] である.

微物理素過程は以下のように定式化する.

水蒸気と雲水の間の変換: 140#140

 
雲水は粒が小さく, 水蒸気との間で瞬間的に飽和調節が起こるもの とする. すなわち, 移流などの項を計算した後の温度と水蒸気量が 過飽和状態となっている場合には, ちょうど飽和になる量の水蒸気 を凝結させる. 一方, 移流などの項を計算した後に, 雲水が存在す るにも拘わらず未飽和になっている場所では, ちょうど飽和になる 量の雲水を蒸発させる.

雲水の併合成長: 111#111

 
Kessler (1969) に従って, 以下のように与える.

141#141 (30)

ただし, 142#142, 143#143 は併合成長に関する閾値, 時間スケールであり, それぞれ 0, 100 [s] とする.

雲水の衝突併合: 112#112

 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.

144#144 (31)

雨水の蒸発: 110#110

 
Kessler (1969) に従って, 以下で定式化する.

145#145 (32)

ただし 146#146 は飽和比湿を表す.

雨水のフラックス: 113#113

 
雨水の重力落下による混合比の変化率は,

147#147 (33)

であり, 雨水の終端落下速度 148#148 [m s138#138] は

149#149 (34)

で与える. ただし 150#150 は液相の密度である.

2 Tobie et al.(2003) の雲微物理パラメタリゼーション

Tobie et al.(2003) は火星大気での CO151#151 の雲物理の定式化について述べ ている. Tobie et al.(2003) では雲水を除く 3 つのカテゴリーを考える(152#152). 雲粒は拡散成長のみによって成長すると仮定し, 雲粒の併合成長は考慮しない. 微物理過程として以下を考慮する.

記号	内容
153#153	凝結による水蒸気から氷への変換 (condensation)
113#113	氷粒の重力落下に伴う氷比湿の変化率 (precipitation)

この微物理素過程を用いると, 生成項, 落下項, 凝結加熱項は以下のように表さ れる.

114#114 18#18 154#154 (35)

118#118 18#18 155#155 (36)

120#120 18#18 121#121 (37)

123#123 18#18 124#124 (38)

125#125 18#18 156#156 (39)

def_theta, def_qa を書き直すと, 以下のようになる.

91#91 18#18 157#157

128#128 (40)

129#129 18#18 158#158

159#159 (41)

135#135 18#18 160#160 (42)

ここで 161#161 は CO162#162 の昇華の潜熱 [J K138#138 kg138#138] である.

以下, 153#153 の取り扱いについて述べる. 本モデルでは単位質量の気相に含まれる凝結核の個数及び半径は空間的・時間的 に一様と仮定する. また雲粒の半径は各格子内において空間的に一定であると仮定する. 更に雲粒は球形の凝結核を核として形成され, 雲粒自身も球形となると仮定する. このとき

163#163 (43)

という関係式が成り立つ. ここで 164#164 は CO162#162 氷の密度, 165#165 は雲粒半径, 166#166 は凝結 核の半径, 167#167 は単位体積当たりの凝結核の数密度である. 本モデルでは 168#168 [kg/m169#169] と与え, 166#166, 167#167 は実験に応じて与える. 雲粒の雲粒が拡散によって成長する場合の単位時間単位体積当たりの凝結量 153#153 は以下のように表される.

170#170 (44)

ここで 171#171, 172#172, 173#173 はそれぞれ熱輸送に関する定数, 質量輸送に関する 定数, 飽和比であり

174#174 18#18 175#175 (45)

176#176 18#18 177#177 (46)

178#178 18#18 179#179 (47)

と表される. 但し 180#180, 181#181, 182#182 はそれぞれ熱拡散係数, 分子拡散係数, CO162#162 の 飽和蒸気圧である. 本モデルでは Tobie et al. (2003) 同様に主成分凝結系では 183#183 と して

184#184 (48)

と表す. CO162#162 の飽和蒸気圧については半経験式である Antoine の式

185#185 (49)

を用いて定める(Antoine, 1888). ここで 186#186, 187#187, 188#188 は実験により定まる係数であり, CO162#162 の場合 189#189, 190#190, 191#191 である(化学工学会, 1999). 火星大気環境における凝結を想定すると 192#192[K] であるので, 193#193 と近似して

194#194 (50)

とする.

以下, 単位時間体積当たりの雲粒落下量 195#195 の取り扱いについて述べる. Tobie et al.(2003) では雲粒落下を無視しているが, 本パラメタリゼーション では考慮する. 195#195 は Kessler(1969) と同様に, 雲粒の終端速度 148#148 での移流 として表現する. 即ち

196#196 (51)

と表す. 終端速度 148#148 については球形粒子に関する Stokes 則を適用して

197#197 (52)

と表す. ここで 198#198 は微小な粒子における Stokes 則からのずれを補正する係数 (Cunningham 補正係数)であり,

199#199 (53)

と表される(Cunningham, 1910). 200#200 は CO162#162 の平均自由行程であり,

201#201 (54)

と表される. 202#202 は Boltzmann 定数, 203#203 は CO162#162 分子の直径, 204#204 は CO162#162 の分圧であり, 205#205 [m206#206 kg s207#207 K138#138], 208#208 [m] である(Golden and Sircar, 1994). 209#209 は粘性係数であり, Sutherland の公式

210#210 (55)

で表現する(Sutherland, 1893). 211#211, 212#212, 213#213 はそれぞれ粘性係数の基準値, 温度の基 準値, CO162#162 に関する Sutherland 定数であり, 214#214 [Pa 215#215 s], 216#216 [K], 217#217 [K] と与 え る(理科年表, 2004).

3 放射加熱項の表現

放射加熱項 100#100 は正味の上向き放射フラックス 218#218 を用いて 以下のように表される.

219#219

本モデルでは 218#218 は陽に計算せず, 100#100 は高度のみに依存する パラメタとして与える.

4 乱流混合のパラメタリゼーション

1 運動方程式中の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いることで粘性拡散項は以下のように書ける.

220#220 18#18 221#221

18#18 222#222 (56)

ここで 223#223 は運動量に対する乱流拡散係数であり, 224#224 は サブグリッドスケールの乱流運動エネルギー

225#225 (57)

である. Deardorff(1975) に従い, 226#226 とする.

2 熱力学の式の拡散項

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いて温位の粘性拡散項を表現する. 雲が存在しない場合,

227#227 18#18 228#228

18#18 229#229 (58)

と表し, 雲が存在する場合,

227#227 18#18 228#228

18#18 230#230 (59)

と表す. ここで 231#231 は温位に対する乱流拡散係数, 232#232 は相当温位である.

3 乱流運動エネルギーの式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原, 2001) と同様に, 1.5 次のクロージャーを用いて, 乱流エネルギーの時間発展方程式を表現する . 雲が存在しない場合,

233#233 18#18 234#234 235#235 236#236 237#237 238#238

239#239 (60)

となる. また雲が存在する場合,

233#233 18#18 234#234 240#240 241#241 242#242 236#236 237#237 238#238

243#243 (61)

となる. ここで 226#226, 混合距離 244#244 とする. ただし 245#245 はそれぞれ水平および鉛直格子間隔である.

4 散逸加熱項の表現

散逸加熱項 101#101 は, 乱流運動エネルギーの散逸項をもとに, 以下のように与える.

246#246 (62)

ここで 247#247, 248#248 である.

Footnotes

... るとする

60#60, 61#61, 62#62 が大きく 変化する系では物理的に意味のある計算が保証されない.

... 種類が用意されている

現在, 本モデルで用意されている Tobie et al.(2003) のパラメタリゼーション は火星大気計算でのみ使用可能である.

...微物理素過程は以下のように定式化する

各々の微物理過程の導出については付録 C を参照されたい.

... 乱流エネルギーの時間発展方程式を表現する

乱流運動エネルギーの時間発展方程式の導出に関しては, 付録 B を参照された い.