空間離散化された運動方程式(2.28),
(2.29)と圧力方程式
(2.30)を時間方向に離散化する.
音波に関連する項は短いタイムステップ で離散化し, その他
の項は長いタイムステップ
で離散化する. 音波に関連する項の離
散化には HE-VI 法を採用し,
の式は前進差分,
の式は後退差分
(クランク・ニコルソン法)で離散化する. その他の項の離散化にはリープフロッ
グ法を用いる. 離散化した式の計算はまず
の式から行う. 得られた
の
を用いて
を計算し,
を用いて
を計算する.
解く方程式を以下のように書き直す.
ただし の式には音波減衰項(Skamarock and Klemp, 1992)を加えてある.
ここで
は音波に関連しない項,
(3.1)を時間方向に離散化すると以下のようになる.
HE-VI 法を用いるので, と
の式を連立して解く.
の式におい
て音波減衰項は前進差分, 圧力項は後退差分で離散化する.
の式にお
いて水平微分項は(3.6)で求めた
を用いて離散化し, 鉛直微分項は後退差分で離散化する.
上下境界を固定壁とする場合, 境界条件は上部下部境界で,
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(3.8) | ||
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(3.9) |
下部境界:
下部境界()について考える. この時 (3.7) 式に
添字を付けて書き下すと,
上部境界:
上部境界()について考える. この時 (3.7) 式
を添字を付けて書き下すと,
(3.10), (3.14),
(3.16) 式を連立すると, 以下のような行列式の形式で書く
ことができる.
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(3.14) |
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運動方程式の外力項 (3.1), (3.2) 式を
離散化する.
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(3.17) |
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(3.18) |
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(3.19) |
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(3.20) | ||
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(3.21) |
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(3.22) |
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(3.23) |
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(3.24) | ||
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(3.25) |
熱力学の式を書き下すと以下のようになる.
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(3.28) |
(3.32) 式を書き下す. 移流項は,
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(3.30) |
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(3.31) |
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(3.32) |
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(3.33) |
Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS (坪木と榊原篤志, 2001) と同様
に, 1.5 次のクロージャーを用いることで, 乱流エネルギーの時間発展方程式
は以下ように書ける.
(3.37) 式を離散化する. CReSS にならい, 移流項を で,
移流項以外を
で評価する.
リープフロッグ法を用いたことによって生じる計算モードの増幅を抑制するた
め, Asselin (1972) の時間フィルターを長い時間刻みで 1 ステップ計算する
毎に(実際には短い時間刻みの計算を
ステップ計算する毎に)適用する.
たとえば(3.6)を用いて
を計算する場合, 以下のように時間フィルターを適用する.
ここで はフィルターの係数であり, その値は 0.05 を用い
る. (3.7), (3.8)の計算に対しても同様
に時間フィルターを適用する.