\section{数理表現}

ここでは, 惑星表面・地下の熱収支について述べる. 

\subsection{惑星表面 1 層モデル}

惑星表面に 1 層の板があるモデルを考える. 
このモデルは slab ocean モデルと等価である. 

この 1 層の板の熱容量が有限の時, 熱収支は下のように表現できる.
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\begin{eqnarray}
  C_s \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& - F_{SR} - F_{LR} - F_{h,\frac{1}{2}} - L F_{q,\frac{1}{2}} + F_g. 
\end{eqnarray}
%
ここで $C_s$ は熱容量である. 

一方, 熱容量が無限大のときは下のように表現できる. 
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\begin{eqnarray}
  \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& 0.
\end{eqnarray}
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このときは, 惑星表面温度を固定することと等価であり, 下のように書くことができる. 
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\begin{eqnarray}
  T_s &=& {\rm Const.}
\end{eqnarray}


\subsection{土壌熱拡散モデル}

地表面のモデルとして, 土壌中の熱伝導を考慮したモデルを考える. 
土壌温度の熱伝導方程式と, その境界条件としての地表面の熱収支は
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\begin{eqnarray}
  C_{g} \frac{ \partial T_{g} }{ \partial t}
    &=& - \frac{\partial F_{g,h}}{\partial z}
\\
  F_{g,h} &=& F_{SR} + F_{LR} + F_{h} + L F_{q} 
    {\rm \ \ \ for \ z \ = \ 0}
\\
  F_{g,h} &=& - \kappa \frac{\partial T_{g}}{\partial z}
    {\rm \ \ \ for \ z \ < \ 0}
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで $C_{g}$ は単位体積当たりの土壌比熱であり, 
$\kappa$ は土壌の熱拡散係数である. 


\subsubsection{融雪に伴う熱収支の修正}

惑星表面に積雪があり, かつ惑星表面温度が凝結温度を上回る時には, 融雪が起こる. 
この時, 積雪が残っている限り, 惑星表面温度は凝結温度を超えることはない. 

この時の惑星表面の熱収支は, 
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\begin{eqnarray}
  F_g
    &=& F_s + F_L + F_c + L F_q + F_{SM}
\\
    &=& 0
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで, $F_{SM}$ は融雪による熱フラックスである. 


\subsection{海氷 1 層熱収支モデル}

海氷が存在する場合のモデルとして, 1 層の海氷のモデルを考える. 
海氷面上の熱収支は, 
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\begin{eqnarray}
  C_i \frac{ \partial T_s }{ \partial t} 
    &=& - F_{SR} - F_{LR} - F_{h,\frac{1}{2}} - L F_{q,\frac{1}{2}} + F_g. 
\end{eqnarray}
%
となる. 
ここで, $C_i$ は海氷の単位面積当たりの熱容量, ...


