% 表題   dcpam5  放射
%
% 履歴 
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%\Drireki{2011/07/01 高橋芳幸}
%
%  \Dchapterhead


\section{離散表現: 共通部分}

この節の内容のコードとの対応は確認していない.
符号が違うかも.
(コードの方を直していない.)

\subsection{加熱率}


放射加熱率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  Q_{k} &=& \frac{ g }{ C_p }
            \frac{ F_{k+\frac{1}{2}} - F_{k-\frac{1}{2}} }
                 { p_{k+\frac{1}{2}} - p_{k-\frac{1}{2}} }
\end{eqnarray}
%


\subsection{散乱を無視した場合の放射伝達方程式}

長波放射フラックスは下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^+ - F_{k+\frac{1}{2}}^-
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^+
    &=& \pi B_s {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
        - \sum_{k'=1}^{k} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^-
    &=&   \sum_{k'=k+1}^{k_{max}} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
また, 放射フラックスを上向きと下向きに分ける必要がなければ下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}
    &=& \pi B_s {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
        - \sum_{k'=1}^{k_{max}} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $B$ は
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{k}  , k_i \right) w_i
\\
  \pi B_s   &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{s,k}, i_i \right) w_i
\end{eqnarray}
%
ここでは, $w$ はガウス重みであり, 波数積分はガウス求積法で評価する. 
または, 灰色大気の場合には, 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \sigma_{SB} T_{k}^4
\\
  \pi B_s   &=& \sigma_{SB} T_{s}^4
\end{eqnarray}
%
となる. 

また, 光学的厚さが与えられる場合の透過率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
    &=& \exp( - \alpha (   | \tau_{L,k+\frac{1}{2}} - \tau_{L,k'+\frac{1}{2}} | ) )
\end{eqnarray}


一方, 放射過程の一部は, 惑星表面の熱収支を通して鉛直拡散過程や惑星表面の
熱収支と関係しており, それらの方程式を連立して同時に解くことになる.
鉛直拡散過程や惑星表面の熱収支は陰解法で計算しているため, 放射伝達方程式の
一部について線型化し, 放射フラックスの温度に対する変化率を求めておく必要が
ある. 
放射フラックスの温度に対する変化率は, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} &=& \DP{\pi B_s}{T_s} {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
\\
  \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}}
    &=& - \DP{\pi B_{k'}}{T_{k'}}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
となる. 
これらにより, 放射フラックスは, 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}^{n+1} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \sum_{k'=1}^{k_{max}} \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}} \Delta T_{k'}
\\
  \Delta T_s &=& T_s^{n+1} - T_s^{n-1}
\\
  \Delta T_k &=& T_k^{n+1} - T_k^{n-1}
\end{eqnarray}
%
として求められる. 
ただし, 上記の式ではすべての層について和をとっているが, 実際は
最下層の寄与のみ考慮し, 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}^{n+1} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{1}} \Delta T_{1}
\end{eqnarray}
%
とするのが現実的である
%
\footnote
{
  放射過程, 鉛直拡散過程, 惑星表面熱収支, 土壌中の熱収支の式をまとめて
  整理したものを三重対角行列にするためである.
}.




\subsection{射出のない場合の散乱を考慮した放射伝達方程式}

不均質大気に適応するためには, 大気が, 多数の均質の大気層からなると考える. 
この時, $n$ 層目の均質大気層に対する一般化された二方向近似した放射伝達方程式の
解は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F^+_n(\tau) &=& 
                  k_{1,n} \exp(  \lambda_n \tau ) 
       + \Gamma_n k_{2,n} \exp( -\lambda_n \tau ) + C^+_n(\tau)
\\
  F^-_n(\tau) &=& 
         \Gamma_n k_{1,n} \exp(  \lambda_n \tau ) 
                + k_{2,n} \exp( -\lambda_n \tau ) + C^-_n(\tau)
\\
  C^+_n(\tau) &=& \frac{ \omega_{0,n} \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \frac{\gamma_{1,n} - \frac{1}{\mu_0}}{\gamma_{3,n}} + \gamma_{4,n} \gamma_{2,n} \right\} }
                     {\lambda_n^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
\\
  C^-_n(\tau) &=& \frac{ \omega_{0,n} \pi F_s 
                           \exp \left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \frac{\gamma_{1,n} + \frac{1}{\mu_0}}{\gamma_{4,n}} 
                                + \gamma_{2,n} \gamma_{3,n} \right\} }
                     {\lambda_n^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
%\\
%  \lambda_n &=& \left( \gamma_{1,n}^2 - \gamma_{2,n}^2 \right)^{1/2}
%\\
%  \Gamma_n  &=& \frac{\gamma_{2,n}}{\gamma_{1,n} + \lambda_n}
\end{eqnarray}
%
ただし, $\tau$ は, $n$ 層目の上端から測った光学的厚さであり, $\tau_c$ は $n$ 層目よりも
上空の光学的厚さである. 


to be written...


% 以下, コメントアウト (yot, 2011/07/01).
\iffalse
以下, メモ.

\begin{eqnarray}
  \DP{F_n^+(\tau)}{\tau} &=& \gamma_{1,n} F_n^+(\tau) - \gamma_{2,n} F_n^-(\tau) - S_n^+
\\
  \DP{F_n^-(\tau)}{\tau} &=& \gamma_{2,n} F_n^+(\tau) - \gamma_{1,n} F_n^-(\tau) + S_n^+
\\
  S_n^+ &=& \gamma_{3,n} \pi F_s \omega_0 \exp\left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
          + 2 \left( 1 - \omega_{0,n} \right) \pi B(\tau)
\\
  S_n^- &=& \gamma_{4,n} \pi F_s \omega_0 \exp\left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
          + 2 \left( 1 - \omega_{0,n} \right) \pi B(\tau)
\end{eqnarray}
%
上記の式では, $\tau$ は $n$ 層目の上端からの光学的厚さであり, $\tau_c$ は, 
第 $n$ 層より上部にある層の光学的厚さの和である. つまり, 
%
\begin{eqnarray}
  \tau_c = \sum_{n+1}^{kmax} \tau_n
\end{eqnarray}
%
である.

このとき, 各層の方程式の境界条件は下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}

\fi


