% 表題   DCPAM5  力学過程の支配方程式の導出 -- σ-座標プリミティブ方程式
%
% 履歴 
%\Drireki{1994/04/13 石渡正樹}
%\Drireki{1997/04/15 赤堀浩司}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}
%

\section{$\sigma$-座標プリミティブ方程式}

静力学平衡のもとでは, 気圧 $p$ は鉛直座標 $z$ に対し単調減少する関数で
ある. そこで, 鉛直座標を $z$ から, 地表面気圧 $p_s$
で規格化した気圧座標,
    \begin{align}
      \Deqlab{シグマ}
      \sigma \equiv \frac{p}{p_s}
    \end{align}
に変換する. $\sigma$ と $z$ の関係は, 静力学平衡の式
\Deqref{状態方程式仮温度使用}を変形して得られる. 
    \begin{align} 
      \Deqlab{シグマ静力学}
      \DP{\sigma}{z} = - \frac{g \sigma}{R^d T_v}.
    \end{align} 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\sigma$-座標変換公式}

$z$- 座標から $\sigma$- 座標への変換公式を示す. 

鉛直微分
    \begin{align}
     \begin{split}
       \DP{\bullet}{z} 
        & = \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma} \\
        & = - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}.
     \end{split}    
    \end{align}
水平微分
    \begin{align}
     \Deqlab{ラムダ微分}
     \begin{split}
        \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
       & =   \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
       - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}   \\
       & =   \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
       + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma},
     \end{split}     
     \\ \nonumber \\
     \Deqlab{ファイ微分}
     \begin{split}
         \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
       & =   \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
       - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}   \\
       & =   \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
       + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}.
     \end{split}
    \end{align}
時間微分
    \begin{align}
     \begin{split}
         \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
       & =   \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
       - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}  \\
       & =   \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
       + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
         \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}.
     \end{split}
    \end{align}
ラグランジュ微分はこれらを用いて,
    \begin{align}
     \Deqlab{ラグランジュ微分σ座標}
      \left( \DD{\bullet}{t} \right)_z
     & =   \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
      + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
      + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
      + w \left( \DP{\bullet}{z} \right)_z \nonumber \\
     & =   \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
      + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
      + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
      \nonumber \\
     & \quad
       + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
        \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
       + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
       + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
       -w \right\} \DP{\bullet}{\sigma} \nonumber \\
     & =   \left( \DD{\bullet}{t} \right)_{\sigma}.
    \end{align}
ここで, $\sigma$-座標鉛直速度 $\dot{\sigma}$ を定義する. 
    \begin{align}
     \Deqlab{σドット定義}
      \dot{\sigma} \equiv
        \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
        \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
       + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
       + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
       -w \right\}.
    \end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\sigma$-座標プリミティブ方程式系}

\subsubsection{静力学平衡の式}

\Deqref{シグマ静力学}を重力ポテンシャル $\Phi=gz$ を用いて書けば,
    \begin{align}
      \DP{\Phi}{\sigma}=-\frac{R^d T_v}{\sigma}.
    \end{align}

\subsubsection{運動方程式}

水平の圧力勾配は, \Deqref{ラムダ微分}および\Deqref{ファイ微分} を 
$p$ に対して適用し, \Deqref{シグマ} を用いれば次のように変換される. 
    \begin{align}
      \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\lambda} \right)_z
     & =   \frac{1}{\rho} \left\{ \DP[][\sigma]{p}{\lambda}
       + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{p}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
       \right\} \nonumber \\
     & =   \frac{R^d T_v}{p_s} \DP{p_s}{\lambda}
       + \frac{R^d T_v}{p} \frac{g \sigma}{R^d T_v} p_s \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
        \nonumber \\
     & =   R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\lambda} + \DP{\Phi}{\lambda},
     \\
      \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\varphi} \right)_z
     & = R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\varphi} + \DP{\Phi}{\varphi}.
    \end{align}
ここで $\pi \equiv \ln p_s$ である. したがって, 運動方程式の水平成分は,
    \begin{align}
     \Deqlab{運動方程式(東西)のσ座標プリミティブ}
             \DD{u}{t}  -f v - \frac{uv}{a} \tan \varphi
       & = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda}
           - \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
           + {\cal F}_{\lambda},
     \\
     \Deqlab{運動方程式(南北)のσ座標プリミティブ}
             \DD{v}{t} + fu + \frac{u^2}{a} \tan \varphi
       & = - \frac{1}{a}  \DP{\Phi}{\varphi}
           - \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi}
           + {\cal F}_{\varphi}.
    \end{align}

\subsubsection{連続の式}

速度の発散は,
    \begin{align}
         \left( \Ddiv \Dvect{v} \right)_z
%       &=    \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
%           + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (\cos \varphi v)
%           + \DP{w}{z}            \nonumber \\
       &=    \frac{1}{a \cos \varphi} 
             \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                    + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma}
                    \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]   \nonumber \\
       & \quad
           + \frac{1}{a \cos \varphi} 
             \left[   \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
           + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi) 
                    \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]
           - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left( \DD{z}{t}
             \right)_{\sigma}
             \nonumber \\
       &=    \frac{1}{a \cos \varphi} 
             \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                    + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma} 
                    \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]           \nonumber \\
       & \quad
           + \frac{1}{a \cos \varphi} 
             \left[  \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
                    + \frac{g \sigma}{R^d T_v}\DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi)
                    \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]          \nonumber \\
       & \quad
           - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left[
              \DP[][\sigma]{z}{t} + \frac{u}{a \cos \varphi}
              \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
             + \frac{v}{a} \DP[][\sigma]{z}{\varphi}
             + \dot{\sigma} \DP{z}{\sigma}
             \right]     \nonumber \\
       &=   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP[][\sigma]{u}{\lambda}
           + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
             \varphi) \right)_{\sigma} 
           + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}              \nonumber \\
       & \quad
           - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left[ \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{t}
           + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\sigma}
             \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
           + \frac{v}{a} \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\varphi} 
           + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \DP[][]{z}{\sigma} \right]
           \nonumber \\
%       &=   ( \Ddiv{\Dvect{v}})_{\sigma} 
%           + \DP{\sigma}{z}
%             \left[ \left( \DP{}{t}
%           + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
%           +   \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}
%           + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \right)_{\sigma} \DP{z}{\sigma} \right]
%           \nonumber \\
       &=   ( \Ddiv{\Dvect{v}_H})_{\sigma} + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma} 
           + \DP{\sigma}{z}
             \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}.
    \end{align}
ここで, 
    \begin{align}
       \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
         \equiv \frac{1}{a \cos \varphi}
               \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
             + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
               \varphi ) \right)_{\sigma}.
    \end{align}
ゆえに, $z$- 座標連続の式は次のように変換される. 
    \begin{align}
     \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_z
       + \left( \Ddiv{\Dvect{v}} \right)_z
     & =    \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
       + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
       + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
       + \DP{\sigma}{z} \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}
       \nonumber \\
     & =   \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
       + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
       + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
       + \frac{\rho}{p_s} \left( \DD{}{t} \frac{p_s}{\rho} \right)_{\sigma}
       \nonumber \\
     & =   \left( \DD{\ln p_s}{t} \right)_{\sigma} 
       + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
       + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}. 
    \end{align}
したがって $\pi \equiv \ln p_s$ を用いて記述すれば次のようになる. 
      \begin{align}
      \Deqlab{連続の式}
            \DD{\pi}{t}
          + \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
          + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
        = 0.
      \end{align} 

\subsubsection{熱力学の式}

\Deqref{z熱力}の右辺第1項は次のように変換される. 
    \begin{align}
     \frac{1}{C_p^d \rho} \DD{p}{t} 
        & =     \frac{1}{C_p^d \rho} \left\{ \DP{p}{t}
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p 
              + \dot{\sigma}  \DP{p}{\sigma} \right\}
                                             \nonumber \\
       & =      \frac{1}{C_p^d \rho} \left\{ \sigma \DP{p_s}{t}
              + \sigma \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p_s 
              + \dot{\sigma}  p_s \right\}
                                              \nonumber \\
       & =      \frac{R^d T_v}{C_p^d} \left\{   \DP{\pi}{t} 
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
              + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}.
    \end{align}
ここで,
    \begin{align}
            \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} 
        =   \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          + \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}.
    \end{align}
したがって, 熱力学の式は次のようになる. 
    \begin{align}
     \Deqlab{熱力学の式σ座標}
          \DD{T}{t} 
      =   \frac{R^d T_v}{C_p^d}
            \left\{   \DP{\pi}{t} 
                    + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
                    + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}
                    + \frac{Q^*}{C_p^d}.
    \end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{境界条件}

ここで, $\sigma$ 座標における境界条件について述べる. 

\subsubsection{地表面高度}
\vspace{-7ex}
    \begin{align}
      \Phi = \Phi_s (\lambda, \varphi)   \ \ \ \ {\rm at} \ \ \sigma=1.
    \end{align}
すなわち, $\Phi_s$ は表面地形を表す. この境界条件を用いて, 静力学平衡
の式を鉛直積分することで, 任意の $\sigma$ における高度 $\Phi$ を求める
ことができる. 
%
\subsubsection{$\sigma$ 座標鉛直速度}
\vspace{-7ex}
    \begin{align}
      \dot{\sigma} = 0  \ \ \ at \ \ \sigma = 0, \ 1.
    \end{align}
%
\subsubsection{水平流および熱力学変数}
ここでは述べない.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{傾向方程式}

連続の式を鉛直方向に $\sigma=0$ から $\sigma=1$ まで積分し,
$\dot{\sigma}$ に関する境界条件を用いれば, 傾向方程式とよばれる $\pi$ 
の時間変化に関する式が得られる.
    \begin{align}
       \frac{\partial \pi}{\partial t}
       = - \int_{0}^{1} \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma
         - \int_{0}^{1} D  d \sigma.
    \end{align}
この式を用いれば, $\dot{\sigma}$ の情報がなくても地表面気圧の時間変化
を求めることができる. なお, ここでは後のことを考えて 
$\Ddiv{\Dvect{v}_H}$ を $D$ と表現している. $D$ については次節で改めて
定義する.

鉛直速度$\dot{\sigma}$は, 連続の式を鉛直方向に $\sigma=0$ から 
$\sigma=\sigma$ まで積分することで診断的に得られる. 
    \begin{align}
       \dot{\sigma} 
       = - \sigma 
         \frac{\partial \pi}{\partial t}
         - \int_{0}^{\sigma} D d \sigma
         - \int_{0}^{\sigma} 
             \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma.
    \end{align}