% 表題 DCPAM5 コード解説 -- 力学過程 -- 非重力波項の計算 (サブルーチン NonLinearOnGrid) % % 履歴 %\Drireki{2009/07/11 森川 靖大} %\Drireki{2009/03/03 森川 靖大} %\Drireki{2009/02/24 森川 靖大} % \section[非重力波項の計算]{非重力波項の計算 (サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid})} \label{subsec:NonLinearOnGrid} %\subsection{渦度発散の計算} \subsection{{\tt NonLinearOnGrid}前の準備} {\tt NonLinearOnGrid}の直前で計算される, 地表面気圧の空間変化と渦度発散について記す. 灰色文字で示されるのは SPMODEL ライブラリ (Takehiro {\itshape et al.}, 2006) から提供される 関数である. この節では変数の時間ステップは全て $t$ であるため, 簡単化のため $(t)$ の表記を省略する. 経度, 緯度, 鉛直方向添え字 $i,j,k$ の表記も省略する. % %\vspace{-1cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧経度微分} \underbrace{\left(\nabla \pi \right)_{\lambda}}_{\Oarray{xy\_GradLambdaPiN}} &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \DP{(\ln \overbrace{p_s }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_PsN}\!\!\!\!\!\!})}{\lambda}, }_{\Farray{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad xy\_GradLambda\_w( w\_xy( ... ) )}} \\ \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧緯度微分} \underbrace{\left(\nabla \pi \right)_{\mu}}_{\Oarray{xy\_GradMuPiN}} &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ (1-\mu^2) \DP{(\ln \overbrace{p_s }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_PsN}})}{\mu}, }_{\Farray{\qquad\qquad\quad xy\_GradMu\_w( w\_xy( ... ) )}} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:渦度} \underbrace{\zeta }_{\Oarray{xyz\_VorN}} &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}} \underbrace{ \biggl( \underbrace{ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{V }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VN}}\!\!\!\!}{\lambda} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya( ... )}} - \underbrace{ \DP{\overbrace{U }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UN}}\!\!\!\!}{\mu} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya( ... )}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \biggr) }_{\Farray{xya\_wa( ... )}} \\ % \Deqlab{code-nongrav:発散} \underbrace{D }_{\Oarray{xyz\_VorN}} &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}} \underbrace{ \biggl( \underbrace{ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{U }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UN}}\!\!\!\!}{\lambda} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya( ... )}} + \underbrace{ \DP{\overbrace{V }^{\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VN}}\!\!\!\!}{\mu} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya( ... )}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \biggr) }_{\Farray{xya\_wa( ... )}} \end{align} \subsection{{\tt NonLinearOnGrid}での計算} サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid} では格子点上で $U_A, V_A, H, R, KE, $ $UT', VT', $ $Uq, Vq, $ $\dot{\sigma}, Z$ について計算を行う. この節では時間 $(t)$ と 経度, 緯度方向添え字 $i,j$ の表記を省略する. \subsubsection*{地表面気圧の変化に関連する項の計算} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧1} \underbrace{ Z }_{\Oarray{xy\_DPiDtN}} &= - \underbrace{ \sum_{k=1}^{K} \overbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}^{ \Warray{xyz\_PiAdv}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:地表面気圧2}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\Delta \sigma_{k}.}_{\qquad\quad \Carray{z\_DelSigma}} }_{\Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=1}$}} \end{align} % ここで, % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧2} \underbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}_{\Warray{xyz\_PiAdv}} &= \overbrace{U_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_UCosLatN}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \Dinv{1- \underbrace{\mu^2}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_SinLat**2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} \!\!\!\!\! \overbrace{\Dinv{a} \DP{\pi}{\lambda} }^{\Iarray{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! xy\_GradLambdaPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \ \ + \ \ \ \ \overbrace{V_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_VCosLatN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \Dinv{1- \underbrace{\mu^2}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_SinLat**2}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} \overbrace{\frac{(1-\mu^2)}{a}\DP{\pi}{\mu}.}^{ \Iarray{xy\_GradMuPiN}} \end{align} % \subsubsection*{渦度, 発散の変化に関連する項の計算} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \begin{split} \overbrace{{U_A}_{,1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyz\_UAdvN}\!\!\!\!\!\!\!\!} & = \underbrace{(\zeta_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xy\_VorN}\!\!\!\!\!} \!\! + \!\! \overbrace{f)}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_Cori}\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\! \underbrace{V_1}_{\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_VCosLatN}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:Ｖの定義}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!} - \quad \frac{1}{2 \underbrace{\Delta \sigma_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_DelSigma}\!\!\!\!\!\!\!\!}} \overbrace{\dot{\sigma}_{3/2}}^{ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyr\_SigDotN}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:鉛直速度の式}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } \underbrace{(U_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_UCosLatN}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:Ｕの定義}参照}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\! - U_{2} ) \\ & \quad - \!\!\underbrace{C_{p}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{CpDry}} \!\!\!\!\!\!\! \overbrace{\hat{\kappa}_1}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{z\_TInpCoefK} \ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:温度鉛直補間の係数K}参照} \!\!\!\!\!\!\! } \!\!\!\!\!\! \underbrace{T_{v,1}'}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_TempVirEdd}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:仮温度の擾乱}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \overbrace{\Dinv{a} \DP{\pi}{\lambda} }^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xy\_GradLambdaPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + {\cal F}_{\lambda, k} \cos \varphi, \\ {U_A}_{,k} & = ( \zeta_k + f ) V_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( U_{k-1} - U_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( U_k - U_{k+1} ) ] \\ & \quad - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a} \DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_{\lambda, k} \cos \varphi, \qquad (k=2,\cdots,K-1) \\ {U_A}_{,K} & = ( \zeta_K + f ) V_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( U_{K-1} - U_K ) - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,k}'}{a} \DP{\pi}{\lambda} + {\cal F}_{\lambda, K} \cos \varphi, \end{split} \end{align} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \begin{split} \overbrace{{V_A}_{,1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyz\_VAdvN}\!\!\!\!\!\!\!\!} & = - ( \zeta_1 + f ) U_1 - \frac{1}{2 \Delta \sigma_1} \dot{\sigma}_{3/2} ( V_1 - V_2 ) - C_{p} \hat{\kappa}_1 T_{v,1}' \overbrace{\frac{1-\mu^2}{a}\DP{\pi}{\mu}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xy\_GradMuPiN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + {\cal F}_{\varphi, 1} \cos \varphi, \\ {V_A}_{,k} & = - ( \zeta_k + f ) U_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} [ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( V_{k-1} - V_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( V_k - V_{k+1} ) ] \\ & \quad - C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}' \frac{1-\mu^2}{a} \DP{\pi}{\mu} + {\cal F}_{\varphi, k} \cos \varphi, \qquad (k=2,\cdots,K-1) \\ {V_A}_{,K} & = - ( \zeta_K + f ) U_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( V_{K-1} - V_K ) \\ & \quad - C_{p} \hat{\kappa}_K T_{v,K}' \frac{1-\mu^2}{a} \DP{\pi}{\mu} + {\cal F}_{\varphi, K} \cos \varphi, \end{split} \end{align} % \vspace{-0.5cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:エネルギーの項} \underbrace{ (\mbox{\sl KE})_{k} + \sum_{l=1}^{K}W_{kl} (T_{v,l}-T_{l}) }_{\Oarray{xyz\_KinEngyN}} \,\,\, = \,\,\, \frac{U_k^{2}+V_k^{2}}{2 (1-\mu^2)} + \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \sum_{l=1}^{K} W_{kl} \overbrace{(T_{v,l}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_TempVir}\ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:仮温度}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } - \underbrace{T_{l}).}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_TempN}} }_{\!\!\!\!\!\! \mbox{\footnotesize {\tt HydroGrid}を呼ぶと $W_{kl}$がかかる} } \end{align} % %\footnote{$W_{kl}$についてもちゃんと書くべきだがとりあえず置いておく}. % ここで, % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:Ｕの定義} \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}} & = \overbrace{u_k}^{\Iarray{xyz\_UN}} \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:Ｖの定義} \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}} & = \overbrace{v_k}^{\Iarray{xyz\_VN}} \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!} \end{align} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{code-nongrav:鉛直速度の式} \underbrace{\dot{\sigma}_{k-1/2}}_{\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} &= \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}} \Biggl[ \underbrace{\sum_{k=1}^{K} D_k \Delta \sigma_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_DivSum$_{k=1}$} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + \overbrace{\sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_k\Biggl]}^{ \Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=1}$} } - \Biggl[ \underbrace{\sum_{l=k}^{K} D_l \Delta \sigma_l}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_DivSum$_{k=l}$} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + \overbrace{\sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_l\Biggl]}^{ \Warray{xyz\_PiAdvSum$_{k=l}$} } \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad (k = 2, \cdots, K), \\ \dot{\sigma}_{1/2} &= 0, \\ \dot{\sigma}_{K+1/2} &= 0, \end{split} \end{align} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:仮温度の擾乱} \underbrace{T_{v,k}^{\prime}}_{\Warray{xyz\_TempVirEdd}} & = \overbrace{T_{v,k}}^{ \Warray{xyz\_TempVir} \ \mbox{\scriptsize (\ref{eq:code-nongrav:仮温度})参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } - \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}}, \end{align} % \vspace{-0.5cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:仮温度} \underbrace{T_{v,k}}_{\Warray{xyz\_TempVir}} & = \underbrace{T_k}_{\Iarray{xyz\_TempN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \bigg\{ 1 + \bigg( \underbrace{\Dinv{\epsilon_v}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{EpsV}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} - 1 \bigg) \underbrace{q_k}_{\Iarray{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!xyz\_QVapN}} \bigg\}, \end{align} % \vspace{-0.5cm} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{code-nongrav:温度鉛直補間の係数K} \underbrace{\hat{\kappa}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \CarrayS{z\_TInpCoefK}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} & = \frac{ \sigma_{k-1/2} \overbrace{\alpha_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + \sigma_{k+1/2} \overbrace{\beta_k}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{z\_HydroBeta}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} } { \Delta \sigma_k }, \end{split} \end{align} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{code-nongrav:静水圧の式の係数α} \underbrace{\alpha_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \CarrayS{z\_HydroAlpha}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} & = \biggl( \frac{ \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}} } { \underbrace{\sigma_k}_{\Carray{z\_Sigma}} } \biggl)^{\!\!\!\!\!\!\!\overbrace{\kappa}^{\Carray{Kappa}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} -1, \end{split} \end{align} % \vspace{-0.5cm} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{code-nongrav:静水圧の式の係数β} \underbrace{\beta_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \CarrayS{z\_HydroBeta}{DynamicsInit}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} & = 1 - \biggl( \frac{ \sigma_{k+1/2} } { \sigma_k } \biggl)^{\kappa}, \end{split} \end{align} % \vspace{-1.0cm} % \begin{align} \begin{split} \Deqlab{code-nongrav:κ=Ｒ／Ｃｐ} \underbrace{\kappa}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \CarrayS{Kappa}{DynamicsInit}} & = \frac{\overbrace{R}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{GasRDry}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} {\underbrace{C_p}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{CpDry}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}. \end{split} \end{align} % \subsubsection*{温度の変化に関連する項の計算} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \Oarray{xyz\_TempUAdvN} &\equiv \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{T^{\prime}_{k}}^{ \Warray{xyz\_TempEdd} \ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:温度の擾乱}参照} } \\ \Oarray{xyz\_TempVAdvN} &\equiv \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! T'_k, \end{align} % \begin{align} % \Deqlab{code-nongrav:温度変化の項} \begin{split} \underbrace{ H_k }_{\Oarray{xyz\_TempNonLinearN}} & = T^{\prime}_{k} \underbrace{D_{k}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_DivN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ &\ \ - \; \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} \Big[ \overbrace{\dot{\sigma}_{k-1/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \big( \!\!\!\!\! \underbrace{\hat{T^{\prime}}_{k-1/2}}_{ \!\!\!\!\Warray{xyr\_TempEdd} \ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:半整数レベル温度の擾乱}参照}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\! - T^{\prime}_{k} \big) + \dot{\sigma}_{k+1/2} \big(T^{\prime}_{k} - \hat{T^{\prime}}_{k+1/2} \big) \Big] \\ &\ \ - \; \frac{1}{\Delta \sigma_{k}} \Big[ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k-1/2}}_{\!\!\!\!\!\! \Warray{xyr\_SigDotNonG} \ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:鉛直速度非重力波}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \overbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{r\_RefTemp} \ \mbox{\scriptsize \Deqref{code-nongrav:半整数レベル基準温度}参照} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} - \underbrace{\overline{T}_{k}}_{ \!\!\!\Carray{z\_RefTemp} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \big) + \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k+1/2} \big( \overline{T}_{k} - \hat{\overline{T}}_{k+1/2} \big) \Big] \\ &\ \ + \underbrace{\hat{\kappa}_k}_{ \!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_TInpCoefK}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \! T_{v,k} \!\!\! \overbrace{\Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi}^{ \Warray{xyz\_PiAdv}} \\ &\ \ - \frac{ \overbrace{\alpha_{k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} }{\Delta \sigma_{k} } \biggl[ T_{v,k} \underbrace{ \sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}} + \overbrace{ T'_{v,k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Warray{xyz\_TempVirEdd}} \underbrace{ \sum_{l=k}^{K} D_l \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_DivSum}} \biggr] \\ &\ \ - \frac{ \overbrace{\beta_{k}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Carray{z\_HydroBeta}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} }{\Delta \sigma_{k} } \biggl[ T_{v,k} \sum_{l=k+1}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l} + T'_{v,k} \sum_{l=k+1}^{K} D_l \Delta \sigma_{l} \biggr] \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (k=1,\cdots,K-1), \\ % % % \overbrace{ H_K }^{\Oarray{xyz\_TempNonLinearN} k=K} \!\!\!\!\!\! & = T_{K}^{\prime} D_{K} \\ & \quad - \frac{1}{\Delta \sigma_{K}} \left[ \dot{\sigma}_{K-1/2} \left( \hat{T^{\prime}}_{K-1/2} - T^{\prime}_{K} \right) + \dot{\sigma}_{K+1/2} \left( T^{\prime}_{K} - \hat{T^{\prime}}_{K+1/2} \right) \right] \\ & \quad - \frac{1}{\Delta \sigma_{K}} \left[ \dot{\sigma}^{\rm NG}_{K-1/2} \left( \hat{\overline{T}}_{K-1/2} - \overline{T}_{K} \right) + \dot{\sigma}^{\rm NG}_{K+1/2} \left( \overline{T}_{K} - \hat{\overline{T}}_{K+1/2} \right) \right] \\ & \quad + \hat{\kappa}_{K} T_{v,K} \Dvect{v}_{K} \cdot \nabla \pi \\ & \quad - \frac{\alpha_{K}}{\Delta \sigma_{K} } \left[ T_{v,K} \Dvect{v}_{K} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{K} + T'_{v,K} D_K \Delta \sigma_{K} \right]. \end{split} \end{align} % ここで, % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:温度の擾乱} \underbrace{T_{k}^{\prime}}_{\Warray{xyz\_TempEdd}} & = \overbrace{T_{k}}^{ \Iarray{xyz\_TempN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } - \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}}, \end{align} % \vspace{-0.5cm} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:半整数レベル温度の擾乱} \underbrace{\hat{T}_{k-1/2}^{\prime}}_{\Warray{xyr\_TempEdd}\!\!\!\!\!\!\!\!\!} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 , & \text{($k = 1$)} \\ \underbrace{a_k}_{\Carray{z\_TInpCoefA}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} T_k + \overbrace{b_{k-1}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_TInpCoefB}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} T_{k-1} - \underbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2},}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{r\_RefTemp}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} & \text{($k = 2, \cdots, K$)} \\ 0 , & \text{($k = K+1$)} \end{array} \right. \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:半整数レベル基準温度} \underbrace{\hat{\overline{T}}_{k-1/2}}_{ \CarrayS{r\_RefTemp}{DynamicsInit}} \!\!\!\!\! = \left\{ \begin{array}{ll} 0 , & \text{($k = 1$)} \\ a_k \underbrace{\overline{T}_k}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_RefTemp}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} + b_{k-1} \overline{T}_{k-1}, & \text{($k = 2, \cdots, K$)} \\ 0 , & \text{($k = K+1$)} \end{array} \right. \end{align} % %\footnote{k=1 〜 K+1 ではなくk=0 〜 K の方が式との対応が良いが. %(支配方程式およびその離散化文書も合わせて変更する必要あり. )} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:温度補間係数a} \underbrace{a_k}_{\CarrayS{z\_TInpCoefA}{DynamicsInit}} & = \overbrace{\alpha_k}^{ \Carray{z\_HydroAlpha}\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \left[ 1- \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa} \right]^{-1}, \\ \Deqlab{code-nongrav:温度補間係数b} \underbrace{b_k}_{\CarrayS{z\_TInpCoefB}{DynamicsInit}} & = \overbrace{\beta_k}^{ \Carray{z\_HydroBeta}} \left[ \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k+1} } \right)^{\kappa} - 1 \right]^{-1}, \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:鉛直速度非重力波} \underbrace{ \dot{\sigma}^{\rm NG}_{k-1/2}}_{ \Warray{xyr\_SigDotNonG}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} = \overbrace{\sigma_{k-1/2}}^{\Carray{r\_Sigma}} \underbrace{ \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{k}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}\ k=1} - \underbrace{ \sum_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi \Delta \sigma_{l}}_{\Warray{xyz\_PiAdvSum}} \, . \end{align} \subsubsection*{比湿の変化に関連する項の計算} % \vspace{-1cm} % \begin{align} \Oarray{xyz\_QVapUAdvN} &\equiv \underbrace{U_k}_{\Warray{xyz\_UCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \overbrace{q_{k},}^{ \Iarray{xyz\_QVapN} } \\ \Oarray{xyz\_QVapVAdvN} &\equiv \underbrace{V_k}_{\Warray{xyz\_VCosLatN}} \!\!\!\!\!\!\!\! q_k, \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:水蒸気の変化Ｒ} \begin{split} \overbrace{R_1}^{\Oarray{xyz\_QVapNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\! &= q_1 \underbrace{D_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xyz\_DivN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} - \frac{1}{2\underbrace{\Delta \sigma_1}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{z\_DelSigma}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}} \overbrace{\dot{\sigma}_{3/2}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Oarray{xyr\_SigDotN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} ( \!\!\!\!\!\! \underbrace{q_1}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Iarray{xzy\_QVapN}} \!\!\!\!\!\! - q_{2} ) , \\ R_k &= q_k D_k - \frac{1}{2 \Delta \sigma_k} \left[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( q_{k-1} - q_k ) + \dot{\sigma}_{k+1/2} ( q_k - q_{k+1} ) \right], \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (k=2,\cdots,K-1) \\ R_K &= q_K D_K - \frac{1}{2 \Delta \sigma_K} \dot{\sigma}_{K-1/2} ( q_{K-1} - q_K ) . \end{split} \end{align} \subsection{スペクトル時間変化項の計算} \label{subsec:スペクトル時間変化項の計算} サブルーチン {\tt NonLinearOnGrid} から得られた値から $\pi, \zeta, D, T, q$に関するスペクトル時間変化項を計算する. この節でも変数の時間ステップは全て $t$ であるため, 簡単化のため $(t)$ の表記を省略する. なお, 本来$\widetilde{[ \hspace{0.5cm} ]}^{m}_{n}$と記載されるべき 表記を, 変数名を記載する関係からチルダを省略して $[ \hspace{0.5cm} ]^{m}_{n}$と記載する. % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:地表面気圧変化の非重力波項} \underbrace{ \left( \DP{\tilde{\pi}^{m}_{n}}{t} \right)^{\rm NG} }_{\Oarray{w\_DPiDtN}} = \overbrace{ \bigl[ \!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ Z_{ij} }_{\Iarray{xy\_DPiDtN}} \!\!\!\!\!\!\!\bigr]^{m}_{n}, }^{\Farray{w\_xy}} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:渦度変化の非重力波項} \begin{split} \overbrace{ \biggl( \DP{\tilde{\zeta}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG} }^{\Oarray{wz\_DVorDtN}} &= \Dinv{a} \biggl( \underbrace{ \biggl[ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{{V_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_VAdvN} \!\!\!\!\!}}{\lambda} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}} - \underbrace{ \biggl[ \DP{\overbrace{{U_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_UAdvN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}} \biggr), \end{split} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:発散変化の非重力波項} \begin{split} \overbrace{ \biggl( \DP{\tilde{D}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG} }^{\Oarray{wz\_DDivDtN}} &= \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}} \biggl( \underbrace{ \biggl[ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{{U_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_UAdvN} \!\!\!\!\!}}{\lambda} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}} + \underbrace{ \biggl[ \DP{\overbrace{{V_A}_{,ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_VAdvN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}} \biggr) \\ & \qquad - \underbrace{\Dinv{a^2}}_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\Carray{RPlanet**2}} \underbrace{ \Biggl[ - n (n+1) \overbrace{ \left\{ (\mbox{\sl KE})_{ijk} + \sum_{l=1}^{K} W_{ijkl} ( T_{v,ijl}-T_{ijl} ) \right\} }^{\Iarray{xyz\_KinEngyN}} \Biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_Lapla\_wa( wa\_xya( ... ) )}} % + {\cal D}(D_{k}) , \end{split} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:温度変化の非重力波項} \begin{split} \overbrace{ \biggl( \DP{\tilde{T}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG} }^{\Oarray{wz\_DTempDtN}} &= - \Dinv{a} \biggl( \underbrace{ \biggl[ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{U_{ijk} T'_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_TempUAdvN} \!\!\!\!\!}}{\lambda} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}} \quad + \quad \underbrace{ \biggl[ \DP{\overbrace{V_{ijk} T'_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_TempVAdvN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}} \biggr) \\ & \qquad + \underbrace{ \bigl[ \!\!\!\!\!\! \overbrace{H_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_TempNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\!\! \bigr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_xya}} % + {\cal D}(T_{k}) % + {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v}) , \end{split} \end{align} % \begin{align} \Deqlab{code-nongrav:比湿変化の非重力波項} \begin{split} \overbrace{ \biggl( \DP{\tilde{q}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm NG} }^{\Oarray{wz\_DQVapDtN}} &= - \Dinv{a} \biggl( \underbrace{ \biggl[ \Dinv{1-\mu^2} \DP{\overbrace{U_{ijk} q_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_QVapUAdvN} \!\!\!\!\!}}{\lambda} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}} \quad + \quad \underbrace{ \biggl[ \DP{\overbrace{V_{ijk} q_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_QVapVAdvN} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu} \biggr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}} \biggr) \\ & \qquad + \underbrace{ \bigl[ \!\!\!\!\!\! \overbrace{R_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Iarray{xyz\_QVapNonLinearN}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \!\!\!\!\!\! \bigr]^{m}_{n} }_{\Farray{wa\_xya}} , \end{split} \end{align} %