% 表題   DCPAM5  座標系・変換公式に関する解説 -- 球面調和函数の離散的直交関係
%
% 履歴
%\Drireki{1991/11/12 保坂征宏}
%\Drireki{1992/01/07 保坂征宏}
%\Drireki{2005/04/04 石渡正樹}

\section{球面調和函数の離散的直交関係}
\Dseclab{球面調和函数の離散的直交関係}

  ここでは
  球面直交関数の離散的直交関係である選点直交性を示す. 
  %
  \begin{align}
      \sum_{j=1}^{J} 
      \sum_{i=1}^{I}
         P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) w_j
      = I \delta_{nn'} \delta_{mm'} 
  \end{align}
  %
  ここで, $ i,j,m,m',n,n',I,J,M,N(m)$ は整数で,
  $1 \le i \le I , 1 \le j \le J, $
  $0 \le |m|,|m'| \le M, |m| \le n \le N, |m'| \le n' \le N$ 
  であり,  
  ${\displaystyle M \le \left[ \frac{I}{2} \right] , 
                  N(m) \le J-1   }$ 
  を満たす. 
  また, $w_j$ は Gauss 荷重, 
  ${\displaystyle \lambda_i=\frac{2\pi(i-1)}{I} }$, 
  $\mu_j$ は $P_J(\mu)$ の零点である. 
  $[ \ ]$ は それを越えない最大の整数を表す. 
  これは, 有限な直交多項式系において成り立つ
  選点直交性と呼ばれる性質である
         \footnote{
               別の離散的直交関係については後で述べる. } . 
  
  この式を証明する. 
  Legendre函数・陪函数の定義・（連続系での）直交性, 
  Gauss の台形公式, 
  Legendre函数の零点を用いた多項式の積分評価
  を既知とすると, 
  \begin{align}
      & \quad
         \sum_{j=1}^{J} 
           \sum_{i=1}^{I} 
           P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
           \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) 
           w_j                             \nonumber \\
      &=  
        I \sum_{j=1}^{J} 
            P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) w_j \delta_{mm'} .
  \end{align}
  ここで Gauss の台形公式を使った.
  更に変形すると
  \begin{align}
      & \quad
         \sum_{j=1}^{J} 
           \sum_{i=1}^{I} 
           P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
           \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) 
           w_j                             \nonumber \\
      &=  
        I \sum_{j=1}^{J} 
            P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m} (\mu_j) w_j 
                                           \nonumber \\
      &=  
        \frac{I}{2} \int_{-1}^1 
            P_n^m (\mu) P_{n'}^{m} (\mu) d\mu .
  \end{align}
  ここで,  Gauss-Legendreの公式を使った.
  更に, 連続系の Legendre函数・陪函数の直交性より
  \begin{align}
      & \quad
         \sum_{j=1}^{J} 
           \sum_{i=1}^{I} 
           P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
           \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) 
           w_j                              \nonumber  \\
      &=  
          I \delta_{nn'} \delta_{mm'}
  \end{align}
  が得られる.
  以上により, 離散化した球面調和関数の選点直交性が示された. 

     余談ではあるが, 
     直交多項式系においては
     離散的な直交関係としては選点直交性のほかに
     次のような直交関係も知られている
            \footnote{
                  以下については, 
                  森, 1984 「数値解析法」が詳しい. } . 
     $ \{ f_k(\mu) \}(k=0,1,2,\cdots) $ を
     $\  [ a ,b ] \ $ で定義された
     重み $w(\mu)$, 規格化定数 $\lambda_k$ の直交多項式
       ${\displaystyle  
          \left( \int_a^b f_k (\mu) f_{k'} (\mu) w(\mu) d \mu
               = \lambda_k \delta_{kk'} \right)   }$ 
     とする. 
     $\mu_j, \mu_{j'}(1 \le j,j' \le J)$ を $f_J(\mu)$ の零点, 
     $w_j=w(\mu_j)$ とすれば, 選点直交性
     \begin{align}
           \sum_{j=0}^{J-1} 
              f_k (\mu_j) f_{k'} (\mu_{j}) w_j
                 = \lambda_k  \delta_{kk'}
       \end{align}
     のほかに, 
       \begin{align}
           \sum_{k=0}^{J-1} 
              \frac{f_k (\mu_j) f_k (\mu_{j'}) }{\lambda_k}
                 = \frac{1}{w_j}  \delta_{jj'}       
       \end{align}
     が成り立つ. 
    
     実際, 
     Legendre函数 $\{ P_n \}(n=0,1,2,\cdots,J-1) $ については
     この関係が成り立つ. 
     すなわち, 
     $w_j$ を GCM で用いている Gauss 荷重として, 
       \begin{align}
             \sum_{n=0}^{J-1} P_n (\mu_j) P_n (\mu_{j'}) 
                 = \frac{1}{w_j}  \delta_{jj'}       
       \end{align}
     である. しかし, 
     GCM では Legendre函数 $P_{J}$ の零点でのみ
     値を計算することと, 
     波数切断の関係とから, 
     Legendre陪函数 $\{ P_n^m \} (n=|m|,|m|+1,|m|+2,\cdots,N)$ の
     離散的直交関係は意味がない
            \footnote{
                  そもそも, ここで述べている直交関係は
                  $f_k（k=0,1,2,\cdots,K-1）$ が 
                  $k$次多項式であるような直交多項式系において
                  成り立つものである.  
                  Legendre陪函数は
                  $m$ が奇数のときは多項式でないし,
                  $m$ が偶数であっても 
                  $P_n^m$ は $n$次多項式であって, 
                  $n-m$ 次多項式ではない. 
                  その場合にも直交多項式の議論を拡張して
                  ここで述べている直交関係を
                  使えるのか, については未調査である. }. 
     Legendre函数の直交関係についても, 
     波数切断により $P_n$ は
     $n=0,1,2,\cdots,N < J-1$ しか扱わないので
            \footnote{
                  T42 ならば, $m=0$ で $J=63, N=42$, 
                  R21 ならば, $m=0$ で $J=63, N=21$, 
                  である.} 
     実際には意味がない. 

     三角関数についても同様な離散的直交関係がある. 選点直交性
     \begin{align}
     \sum_{i=0}^{I-1}
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) 
         = I \delta_{mm'}
     \end{align}
     のほかに, 
     \begin{align}
     \sum_{m=-\frac{I}{2}+1}^{\frac{I}{2}}
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m \lambda_{i'}) 
        = I \delta_{ii'} 
     \end{align}
     も成り立つ. 
     （ただし, $I$ は偶数で $I=2M$. 
       $I$ が奇数の場合には, $I=2M+1$ として, 
       $m$についての和は 
       ${\displaystyle  -\frac{I-1}{2} \sim \frac{I-1}{2} }$ でとる. ）
     しかし GCM では, 
     波数切断により 
     $|m|$ の最大値 $M$ は
     ${\displaystyle \frac{I}{3} }$ 以下の値なので
     やはり意味がない
            \footnote{
                  T42 ならば $I=128$ に対して $M=42$ , 
                  R21 ならば $I=64$ に対して  $M=21$ である. } .