% 表題   DCPAM5  座標系・変換公式に関する解説 --  GCM で現れる球面調和函数の空間微分
%
% 履歴
%\Drireki{1991/12/04 保坂征宏}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}


\section{微分公式, GCMの変数の微分関係式}

ここでは, 
スカラー量, ベクトルの微分を計算する. 
さらにそれらを元に, 
発散$D$, 渦度 $\zeta$, 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数$\psi$ と
$(u,v)$ との関係を付ける. 
%$(U,V)$ との関係を付ける. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{スカラー量の微分}
   
   スカラー量 $f(\lambda,\varphi)$ の $x$ 微分は
    ${\displaystyle \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{f}{\lambda} }$
   で与えられる. 
   
   $f$ の $y$ 微分は
    ${\displaystyle \frac{1}{r} \DP{f}{\varphi}
             \left( = \frac{\cos \varphi}{r} \DP{f}{\mu} \right) }$
   で与えられる. 
   
   $f$ の2次元ラプラシアンは
   \begin{align}
    \begin{split}
            \nabla^2_H f  
        &\equiv 
           \frac{1}{r^2}
           \left[ \frac{1}{\cos \varphi} 
                  \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] f  \\
        &= 
         \frac{1}{r^2}
          \left[
            \DP{}{\mu} 
               \left\{ (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right\}
          + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda}
          \right] f 
    \end{split}   
   \end{align}
   で与えられる. 
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{ベクトル量の微分}
   
   2次元ベクトル場 $\Dvect{v}=(v_1,v_2)$ の水平発散は 
   %
   \begin{align}
    \begin{split}
      \mbox{div}_H \Dvect{v}
         &\equiv     \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (v_2 \cos \varphi)     \\
     &=     \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(  \sqrt{1-\mu^2} v_2 )    
    \end{split}   
   \end{align}
   %
   で与えられる. 

   $\Dvect{v}$ の回転の $r$ 成分は,
   %
   \begin{align}
    \begin{split}
      (\mbox{rot} \Dvect{v})_r
      &\equiv    \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\varphi}(v_1 \cos \varphi)    \\
     &=     \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(\sqrt{1-\mu^2}v_1)      
    \end{split}   
   \end{align}
   %
   で与えられる. 
   
以上で得られた微分公式を元に, 
以下に実際にGCMで使用する便利な微分の公式を並べておく. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{発散}

   水平分布する速度場の水平発散 $D$ を $u,\ v$ を用いて表す
%
%   水平分布する速度場
%   \begin{align}
%     (u,v) \equiv 
%        \left( \frac{U}{\cos \varphi}, \frac{V}{\cos \varphi} \right) 
%   \end{align}
%   の水平発散 $D$ を, $U,V$ を用いて表す.  
%
   \begin{align}
    \begin{split}
     D   &=     \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi)
%     \\
%     &=     \frac{1}{r \cos^2 \varphi} \DP{U}{\lambda} 
%         +  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{V}{\varphi}                 \\
%     &=     \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda} 
%         +  \frac{1}{r} \DP{V}{\mu}
     .
    \end{split}   
   \end{align}
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{渦度}
   
   水平分布する速度場の渦度 $\zeta$ を $u,\ v$ を用いて表す
%
%   水平分布する速度場
%   \begin{align}
%     (u,v) = \left( \frac{U}{\cos \varphi}, \frac{V}{\cos \varphi} \right) 
%   \end{align}
%   の渦度 $\zeta$ を, $U,V$ を用いて表す. 
%
   \begin{align}
    \begin{split}
      \zeta 
     &=     \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\varphi}(u \cos \varphi)
%     \\
%     &=     \frac{1}{r \cos^2 \varphi} \DP{V}{\lambda} 
%         -  \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{U}{\varphi}                \\
%     &=     \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{V}{\lambda} 
%         -  \frac{1}{r} \DP{U}{\mu}
     .
    \end{split}   
   \end{align}
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{速度ポテンシャル, 流線関数と $(U,V)$}
\subsection{速度ポテンシャル, 流線関数と $(u,v)$}
   
   速度ポテンシャル $\chi$, 流線関数 $\psi$ は
   %
   \begin{align}
     D     &\equiv  \nabla_H^2 \chi , \\
     \zeta &\equiv  \nabla_H^2 \psi
   \end{align}
   %
   で定義される. 
   $(u,v)$ を $\chi,\psi$ で表す. 
%   $(U,V)$ を $\chi,\psi$ で表す. 
   %
   \begin{align}
     u  &=  - \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\varphi}
            + \frac{1}{r\cos\varphi}  \DP{\chi}{\lambda} , \\
     v  &=    \frac{1}{r\cos\varphi}  \DP{\psi}{\lambda}
            + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\varphi}
   \end{align}
   %
%   \begin{align}
%     U  &=  - \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\psi}{\mu}
%            + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\lambda} \\
%     V  &=    \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\lambda}
%            + \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\chi}{\mu}
%   \end{align}
   %
   となる.