% 表題   DCPAM5  座標系・変換公式に関する解説 -- スペクトルの係数同士の関係
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%\Drireki{1991/12/23 保坂征宏}

\section{スペクトルの係数同士の関係}

ここではスペクトルの係数同士の便利な公式を挙げておく. 
$g = \DP{f}{\lambda}$ の時
\begin{align}
 \Deqlab{spectral:ラムダ}
   \tilde{g}_n^m = im \tilde{f}_n^m .
\end{align}
$h = \nabla_H^2 f$ の時   
\begin{align}
 \Deqlab{spectral:ラプラシアン}
  \tilde{h}_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} \tilde{f}_n^m .
\end{align}

\Deqref{spectral:ラムダ} については
「スペクトルの係数と格子点値とのやり取り」に証明を示した. 
ここでは, \Deqref{spectral:ラプラシアン} について証明しておく. 

微分評価の定義より, 
\begin{align*}
  h_{ij} 
  = \left. \left(\nabla_H^2 \sum_{m,n} 
                  \tilde{f}_n^m Y_n^m \right)\right|_{ij} 
  = - \sum_{m,n}
        \frac{n(n+1)}{r^2} 
        \left. \tilde{f}_n^m Y_n^m \right|_{ij}
\end{align*}
である. ところで, 
\begin{align*}
  h_{ij} =  \sum_{m,n}
        \left. \tilde{h}_n^m Y_n^m \right|_{ij}
\end{align*}
である. この２つの式の右辺に左から 
${\displaystyle \sum_{i,j} Y_{n'}^{m'*}|_{ij} }$ を演算して
比較すると, 
\begin{align*}
 \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                  = -\frac{n(n+1)}{r^2} \tilde{h}_{n'}^{m'} 
\end{align*}
を得る.