% 表題   DCPAM5 第1部 数理モデル 物理過程 放射 数理モデル
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%\Drireki{2010/10/02 高橋芳幸}
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\section{数理表現}

\subsection{散乱のない場合の長波放射}

本長波放射モデルにおいては, 散乱を無視した放射伝達方程式について記述する. 

考える波数帯における透過率は別途何らかの方法で与えられるとすると, 
放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
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\begin{eqnarray}
  F_L(\tau) &=& F_L^+(\tau) - F_L^-(\tau)
\\
  F_L(\tau)^+ &=& \pi B_s {\cal T}(\tau_s,\tau) 
    - \int_\tau^{\tau_s} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\\
  F_L(\tau)^- &=& 
      \int_0^{\tau} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\end{eqnarray}
%
また, 放射フラックスを上向きと下向きに分ける必要がなければ, フラックスは下のように書ける.
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\begin{eqnarray}
  F_L(\tau) &=& \pi B_s {\cal T}(\tau_s,\tau) - \int_0^{\tau_s} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\end{eqnarray}
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ここで, $B$ はプランク関数, あるいはその積分値であり, $\cal T$ は透過率である. 
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$B$ は, 
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\begin{eqnarray}
  \pi B(\tau) &=& \pi \int_{k_{min}}^{k_{max}} B \left( T(\tau) \right) dk
\\
  \pi B_s     &=& \pi \int_{k_{min}}^{k_{max}} B \left( T_s \right) dk
\end{eqnarray}
%
である. ここで, $k$ は波数であり, $B(T)$ はプランク関数である.
... $B$ の文字がかぶっている.
特に灰色大気を考える場合には, ステファン・ボルツマン定数 $\sigma_{SB}$ を用いて, 
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\begin{eqnarray}
  \pi B(\tau) &=& \sigma_{SB} T^4(\tau)
\\
  \pi B_s &=& \sigma_{SB} T_s^4
\end{eqnarray}
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となる. 
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なお, 下部境界にフラックスの値を与えることもでき, その時には, 与える
フラックスを $F_{LB}$ として, $\pi B_s = F_{LB}$ とすればよい. 


透過率 ${\cal T}(\tau,\tau')$ は, 例えば光学的厚さが与えられる場合, 
下のようにあらわされる. 
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\begin{eqnarray}
  {\cal T}(\tau,\tau')
    &=& {\cal T}(\tau(p),\tau(p')) \nonumber
\\
    &=& \exp[ - \alpha \{   | \tau_L(p) - \tau_L(p') | ]
\end{eqnarray}
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$\alpha$ は散光因子である. 
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光学的厚さはどのように与えても良いが, 例えば Schneider and Liu (2009) では, 
下のように与えている.
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\begin{eqnarray}
  \tau_{L}(p) &=& \tau_{L,0} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^2
\end{eqnarray}
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ここで, $p_{0}$, $\tau_{L,0}$ はそれぞれ基準気圧とその気圧での光学的厚さである. 

一方, Numaguti et al. (1992) の放射モデルでは, (k 分布法に似せた記述を
していることを除くと) 下のように与えている. 
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\begin{eqnarray}
  \tau_{L}(p)
    &=&   k_{L,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz' 
        + k_{L,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=&   k_{L,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
        + k_{L,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $k_{L,wv}$, $k_{L,da}$ はそれぞれ水蒸気と乾燥大気の吸収係数であり, 
$q_{wv}$ は比湿である.

一方, バンドモデルを用いる場合は, 別途異なる表現で与えられる. 


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% 以下コメントアウト
%
\iffalse

\subsection{短波放射}


本短波放射モデルにおいては, 大気内での散乱を無視し, 吸収物質としては
水蒸気とそれ以外の気体を考える. 
全波長域を 1 バンドとし, k 分布法を念頭に, 吸収係数がバンド内で分布
を持つ場合を考える 
\footnote
{
  この考え方は長波放射と同様である. 
}. 

ただし, 地球を念頭に置くと, 実際には大気分子による散乱 (レイリー散乱) 
や雲による散乱が無視できない. そこで, これら散乱過程の効果を大雑把に
考慮するため, 大気アルベド $A_a$ というパラメータを導入し, 
大気の上端においてある割合の放射エネルギーが反射するとする. 

このとき, 放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
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\begin{eqnarray}
  F_S(\tau) &=& - ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) {\cal T}_{dir}(\tau,\chi) 
    + ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) A_s {\cal T}_{dif}(\tau,\chi)
\\
  {\cal T}_{dir}(\tau,\chi)
    &=& {\cal T}_{dir}(\tau(p),\chi) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv}(p,g)
                             + \tau_{S,da}(p,g) \} ] dg
\\
  {\cal T}_{dif}(\tau,\chi)
    &=& {\cal T}_{dif}(\tau(p),\chi) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv}(p_s,g)
                             + \tau_{S,da}(p_sg) \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{10mm}
          \cdot
          \exp[ - \alpha    \{   | \tau_{S,wv}(p_s,g) - \tau_{S,wv}(p,g) |   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                               + | \tau_{S,da}(p_s,g) - \tau_{S,da}(p,g) | \} ] dg
\\
  \tau_{S,wv}(p,g)
    &=& k_{S,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz'
\\
    &=& k_{S,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
\\
  \tau_{S,da}(p,g)
    &=& k_{S,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=& k_{S,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $\chi$ は太陽天頂角
%
\footnote
{
  恒星天頂角という言葉があるだろうか?
}
%
であり, 
$\alpha$ は散光因子である. 
$k_{S,wv}$, $k_{S,da}$ はそれぞれ短波放射における水蒸気とそれ以外の気体の吸収係数である. 
また, $A_s$ は惑星表面アルベドである. 
$F_{0}(\chi)$ は, 天頂角 $\chi$ における大気上端での恒星の放射フラックスである. 


\fi