% 表題   DCPAM5  放射
%
% 履歴 
%\Drireki{2010/10/02 高橋芳幸}
%
%  \Dchapterhead

このファイルはそのうち削除.


\section{離散表現}

%\ref{sec:math_radiation} 節に述べた放射過程を離散化する. 

この節の内容のコードとの対応は確認していない.
符号が違うかも.

\subsection{長波放射}

長波放射フラックスは下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^+ - F_{k+\frac{1}{2}}^-
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^+
    &=& \pi B_s {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
        - \sum_{k'=1}^{k} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^-
    &=&   \sum_{k'=k+1}^{k_{max}} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
また, 放射フラックスを上向きと下向きに分ける必要がなければ下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}
    &=& \pi B_s {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
        - \sum_{k'=1}^{k_{max}} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $B$ は
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{k}  , k_i \right) w_i
\\
  \pi B_s   &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{s,k}, i_i \right) w_i
\end{eqnarray}
%
ここでは, $w$ はガウス重みであり, 波数積分はガウス求積法で評価する. 
または, 灰色大気の場合には, 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \sigma_{SB} T_{k}^4
\\
  \pi B_s   &=& \sigma_{SB} T_{s}^4
\end{eqnarray}
%
となる. 

また, 光学的厚さが与えられる場合の透過率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
    &=& \exp( - \alpha (   | \tau_{L,k+\frac{1}{2}} - \tau_{L,k'+\frac{1}{2}} | ) )
\end{eqnarray}


一方, 放射過程の一部は, 惑星表面の熱収支を通して鉛直拡散過程や惑星表面の
熱収支と関係しており, それらの方程式を連立して同時に解くことになる.
鉛直拡散過程や惑星表面の熱収支は陰解法で計算しているため, 放射伝達方程式の
一部について線型化し, 放射フラックスの温度に対する変化率を求めておく必要が
ある. 
放射フラックスの温度に対する変化率は, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} &=& \DP{\pi B_s}{T_s} {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
\\
  \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}}
    &=& - \DP{\pi B_{k'}}{T_{k'}}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
となる. 
これらにより, 放射フラックスは, 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}^{n+1} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \sum_{k'=1}^{k_{max}} \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}} \Delta T_{k'}
\\
  \Delta T_s &=& T_s^{n+1} - T_s^{n-1}
\\
  \Delta T_k &=& T_k^{n+1} - T_k^{n-1}
\end{eqnarray}
%
として求められる. 
ただし, 上記の式ではすべての層について和をとっているが, 実際は
最下層の寄与のみ考慮し, 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}^{n+1} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{1}} \Delta T_{1}
\end{eqnarray}
%
とするのが現実的である
%
\footnote
{
  放射過程, 鉛直拡散過程, 惑星表面熱収支, 土壌中の熱収支の式をまとめて
  整理したものを三重対角行列にするためである.
}.



%
% 以下コメントアウト
%
\iffalse


\subsection{短波放射}

短波放射フラックスは下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}
    &=& - ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi) \nonumber
\\  
    & & \hspace{10mm}
        + ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) A_s {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
\\
  {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv,k+\frac{1}{2},l}
                             + \tau_{S,da,k+\frac{1}{2},l} \} ] \Delta g_{S,l}
\\
  {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv,\frac{1}{2},l}
                             + \tau_{S,da,\frac{1}{2},l} \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{10mm}
          \cdot 
          \exp[ - \alpha    \{ \tau_{S,wv,\frac{1}{2},l} - \tau_{S,wv,k+\frac{1}{2},l}   \nonumber
\\
    & & \hspace{35mm}
                             + \tau_{S,da,\frac{1}{2},l} - \tau_{S,da,k+\frac{1}{2},l} \} ] \Delta g_{S,l}
\\
  \tau_{S,wv,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{S,wv,l} M_{wv,k-\frac{1}{2}}
\\
  \tau_{S,da,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{S,da,l} M_{da,k-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}
%
ここから下は消す予定.
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}} \Delta g_{S,l}
          \exp[ - \sec \chi \{ k_{S,wv,l} M_{wv,k+\frac{1}{2}}   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                             + k_{S,da,l} M_{da,k+\frac{1}{2}} \} ] \Delta g_l
\\
  {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ k_{S,wv,l} M_{wv,\frac{1}{2}}
                             + k_{S,da,l} M_{da,\frac{1}{2}} \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{20mm}
          \exp[ - \alpha    \{   k_{S,wv,l} | M_{wv,\frac{1}{2}} - M_{wv,k+\frac{1}{2}} |   \nonumber
\\
    & & \hspace{35mm}
                               + k_{S,da,l} | M_{da,\frac{1}{2}} - M_{da,k+\frac{1}{2}} | \} ] \Delta g_{S,l}
\end{eqnarray}
%
ここで, $l_{max,S}$ は, 短波放射における積算確率関数に対する積分の分点の
数 (領域の数) であり, 
$\Delta g_{S,l}$ は積算確率関数の $l$ 番目の領域の幅である. 

\fi