% 表題   DCPAM5 第1部 物理過程 放射 AGCM5 放射モデル 数理モデル
%
% 履歴 
%\Drireki{93/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%\Drireki{2010/11/04 石渡正樹}
%\Drireki{2011/07/01 高橋芳幸}
%

\section{AGCM5 放射モデル: 数理表現}

ここでは, 地球流体電脳倶楽部 AGCM5 に実装されていた放射モデル
について述べる. このモデルは, Numaguti (1992) の放射モデルを基にして,
実装方法を一部変更したものである
%
\footnote
{
  ここで述べる放射モデルと Numaguti (1992) の放射モデルの差は, 放射伝達方程式の
  積分を部分積分しているかどうかの違いである.
  したがって, 連続系では両者は等しい.
  離散化した時点で差が出るはずである.
  どちらの方法の方が良いのかはよく分からない.
}.

この放射モデルでは, 長波では散乱を無視し, 短波では, 散乱の効果を非常に簡単に
考慮して, 実質吸収のみ扱う. 


\subsection{長波放射}

長波で扱う放射伝達方程式は, \Dsecref{radiation:math:non-scat-rte} に示した, 
散乱を無視した放射伝達方程式である. 
そこで以下では, 透過率の式のみ示す. 

本モデルにおいては, 吸収物質として水蒸気とそれ以外の気体を考える. 
全波長域を 1 バンドとし, k 分布法を念頭に, 吸収係数がバンド内で分布を持つ場合を
考える 
\footnote
{
  この考え方がよくある k 分布法の考え方と整合的かどうか良くわからない. 
  しかし, Numaguti (1992) の定式化に物理的意味を付けるとすると, このように
  なると思われる.
}. 

このとき, $\pi B(\tau)$ は
%
\begin{eqnarray}
  \pi B(\tau) &=& \sigma_{SB} T^4(\tau)
\\
  \pi B_s &=& \sigma_{SB} T_s^4
\end{eqnarray}
%
と書くことができ, 透過率は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}(\tau,\tau')
    &=& {\cal T}(\tau(p),\tau(p')) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \alpha \{   | \tau_{L,wv}(p,g) - \tau_{L,wv}(p',g) |   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                            + | \tau_{L,da}(p,g) - \tau_{L,da}(p',g) | \} ] dg
\\
  \tau_{L,wv}(p,g)
    &=& k_{L,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz'
\\
    &=& k_{L,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
\\
  \tau_{L,da}(p,g)
    &=& k_{L,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=& k_{L,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $\sigma_{SB}$ はステファン・ボルツマン定数であり, 
$\alpha$ は散光因子である. 
$k_{L,wv}$, $k_{L,da}$ はそれぞれ長波放射における水蒸気とそれ以外の気体の吸収係数である. 
$g$ は積算確率関数 (のようなもの) である. 




% 以下, コメントアウト. いずれ消すでしょう.
% (yot, 2010/07/01)
\iffalse

本長波放射モデルにおいては, 散乱を無視し, 吸収物質としては水蒸気とそれ以外の気体
を考える. 
全波長域を 1 バンドとし, k 分布法を念頭に, 吸収係数がバンド内で分布を持つ場合を
考える 
\footnote
{
  この考え方がよくある k 分布法の考え方と整合的かどうか良くわからない. 
  しかし, Numaguti (1992) の定式化に物理的意味を付けるとすると, このように
  なると思われる.
}. 

このとき, 放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F_L(\tau) &=& \pi B_s {\cal T}(\tau_s,\tau) - \int_0^{\tau_s} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\\
  \pi B(\tau) &=& \sigma_{SB} T^4(\tau)
\\
  \pi B_s &=& \sigma_{SB} T_s^4
\\
  {\cal T}(\tau,\tau')
    &=& {\cal T}(\tau(p),\tau(p')) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \alpha \{   | \tau_{L,wv}(p,g) - \tau_{L,wv}(p',g) |   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                            + | \tau_{L,da}(p,g) - \tau_{L,da}(p',g) | \} ] dg
\\
  \tau_{L,wv}(p,g)
    &=& k_{L,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz'
\\
    &=& k_{L,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
\\
  \tau_{L,da}(p,g)
    &=& k_{L,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=& k_{L,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
である. 
%
ここで, $\sigma_{SB}$ はステファン・ボルツマン定数であり, 
$\alpha$ は散光因子である. 
$k_{L,wv}$, $k_{L,da}$ はそれぞれ長波放射における水蒸気とそれ以外の気体の吸収係数である. 
$g$ は積算確率関数 (のようなもの) である. 

\fi


\subsection{短波放射}


本モデルにおいては, 非常に簡単に散乱の効果を考慮するが, 実質的に吸収のみ
行う大気の放射伝達方程式を解く. 

吸収物質としては
水蒸気とそれ以外の気体を考える. 
全波長域を 1 バンドとし, k 分布法を念頭に, 吸収係数がバンド内で分布
を持つ場合を考える 
\footnote
{
  この考え方は長波放射と同様である. 
}. 
散乱過程の効果は, 大気アルベド $A_a$ というパラメータを導入し, 
大気の上端においてその割合の放射エネルギーが反射すると考えることによって考慮する. 

このとき, 放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F_S(\tau) &=& F^+_S(\tau) - F^-_S(\tau)
\\
  F^+_S(\tau) &=& ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) A_s {\cal T}_{dif}(\tau,\chi)
\\
  F^-_S(\tau) &=& ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) {\cal T}_{dir}(\tau,\chi)
\\
  {\cal T}_{dir}(\tau,\chi)
    &=& {\cal T}_{dir}(\tau(p),\chi) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv}(p,g)
                             + \tau_{S,da}(p,g) \} ] dg
\\
  {\cal T}_{dif}(\tau,\chi)
    &=& {\cal T}_{dif}(\tau(p),\chi) \nonumber
\\
    &=& \int_0^1 
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv}(p_s,g)
                             + \tau_{S,da}(p_sg) \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{10mm}
          \cdot
          \exp[ - \alpha    \{   | \tau_{S,wv}(p_s,g) - \tau_{S,wv}(p,g) |   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                               + | \tau_{S,da}(p_s,g) - \tau_{S,da}(p,g) | \} ] dg
\\
  \tau_{S,wv}(p,g)
    &=& k_{S,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz'
\\
    &=& k_{S,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
\\
  \tau_{S,da}(p,g)
    &=& k_{S,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=& k_{S,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $\chi$ は太陽の天頂角
\footnote{天頂角を表す数学記号は文献によってまちまちである.
  会田 (1982) では $\theta$, Liou (2002) では $\theta_0$, 
  Peixot and Oort (1992) では $Z$, Hartmann (1994) では
  $\theta_s$ が使われている.
}
(Liou, 2002 によれば solar zenith angle
%Oort and Peixiot によれば sun's zenith angle.
)
であり, 
$\alpha$ は散光因子である. 
$k_{S,wv}$, $k_{S,da}$ はそれぞれ短波放射における水蒸気とそれ以外の気体の吸収係数である. 
また, $A_s$ は惑星表面アルベドである. 
$F_{0}(\chi)$ は, 天頂角 $\chi$ における大気上端での恒星の放射フラックスである.