% 表題   DCPAM5 第1部 物理過程 放射 AGCM5 放射モデル 離散モデル
%
% 履歴 
%\Drireki{93/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%\Drireki{2010/11/04 石渡正樹}
%\Drireki{2011/07/01 高橋芳幸}


\section{AGCM5 放射モデル: 離散表現}


\subsection{長波放射}

長波における $\pi B(\tau)$ と透過率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \sigma_{SB} T_{k}^4
\\
  \pi B_s   &=& \sigma_{SB} T_{s}^4
\\
  {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}} \Delta g_{L,l}
          \exp( - \alpha (   | \tau_{L,wv,k+\frac{1}{2},l} - \tau_{L,wv,k'+\frac{1}{2},l} |    \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                           + | \tau_{L,da,k+\frac{1}{2},l} - \tau_{L,da,k'+\frac{1}{2},l} | ) )
\\
  \tau_{L,wv,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{L,wv,l} M_{wv,k-\frac{1}{2}}
\\
  \tau_{L,da,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{L,da,l} M_{da,k-\frac{1}{2}}
\\
  M_{wv,k-\frac{1}{2}}
    &=& \sum_{k'=k}^{k_{max}} q_{wv,k'} \frac{ p_{k'-\frac{1}{2}} - p_{k'+\frac{1}{2}} }{g}
\\
  M_{da,k-\frac{1}{2}}
    &=& \frac{p_{k-\frac{1}{2}}}{g}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}} \Delta g_{L,l}
          \exp( - \alpha (   k_{L,wv,l} | M_{wv,k+\frac{1}{2}} - M_{wv,k'+\frac{1}{2}} |    \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                           + k_{L,da,l} | M_{da,k+\frac{1}{2}} - M_{da,k'+\frac{1}{2}} | ) )
\\
  M_{wv,k-\frac{1}{2}}
    &=& \sum_{k'=k}^{k_{max}} q_{wv,k'} \frac{ p_{k'-\frac{1}{2}} - p_{k'+\frac{1}{2}} }{g}
\\
  M_{da,k-\frac{1}{2}}
    &=& \frac{p_{k-\frac{1}{2}}}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $l_{max,L}$ は, 長波放射における, 積算確率関数に対する積分の分点の数 (領域の数) であり, 
$\Delta g_{L,l}$ は積算確率関数の $l$ 番目の領域の幅である. 




\subsection{短波放射}

短波放射フラックスは下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}}
    &=& F^+_{k+\frac{1}{2}} - F^-_{k+\frac{1}{2}}
\\
  F^+_{k+\frac{1}{2}}
    &=& ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) A_s {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
\\
  F^-_{k+\frac{1}{2}}
    &=& ( 1 - A_a ) F_{0}(\chi) {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi) \nonumber
\\
  {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv,k+\frac{1}{2},l}
                             + \tau_{S,da,k+\frac{1}{2},l} \} ] \Delta g_{S,l}
\\
  {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ \tau_{S,wv,\frac{1}{2},l}
                             + \tau_{S,da,\frac{1}{2},l} \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{10mm}
          \cdot 
          \exp[ - \alpha    \{ \tau_{S,wv,\frac{1}{2},l} - \tau_{S,wv,k+\frac{1}{2},l}   \nonumber
\\
    & & \hspace{35mm}
                             + \tau_{S,da,\frac{1}{2},l} - \tau_{S,da,k+\frac{1}{2},l} \} ] \Delta g_{S,l}
\\
  \tau_{S,wv,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{S,wv,l} M_{wv,k-\frac{1}{2}}
\\
  \tau_{S,da,k-\frac{1}{2},l}
    &=& k_{S,da,l} M_{da,k-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}


% コメントアウト (yot, 2011/07/01).
\iffalse

ここから下は消す予定.
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{dir,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}} \Delta g_{S,l}
          \exp[ - \sec \chi \{ k_{S,wv,l} M_{wv,k+\frac{1}{2}}   \nonumber
\\
    & & \hspace{30mm}
                             + k_{S,da,l} M_{da,k+\frac{1}{2}} \} ] \Delta g_l
\\
  {\cal T}_{dif,k+\frac{1}{2}}(\chi)
    &=& \sum_{l=1}^{l_{max,S}}
          \exp[ - \sec \chi \{ k_{S,wv,l} M_{wv,\frac{1}{2}}
                             + k_{S,da,l} M_{da,\frac{1}{2}} \} ] \nonumber
\\
    & & \hspace{20mm}
          \exp[ - \alpha    \{   k_{S,wv,l} | M_{wv,\frac{1}{2}} - M_{wv,k+\frac{1}{2}} |   \nonumber
\\
    & & \hspace{35mm}
                               + k_{S,da,l} | M_{da,\frac{1}{2}} - M_{da,k+\frac{1}{2}} | \} ] \Delta g_{S,l}
\end{eqnarray}
%
ここで, $l_{max,S}$ は, 短波放射における積算確率関数に対する積分の分点の
数 (領域の数) であり, 
$\Delta g_{S,l}$ は積算確率関数の $l$ 番目の領域の幅である. 

\fi